Zahlenreihen und Konvergenzkriterien

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1 Copyright, Pge of 0 Zhlereihe ud Kovergezkriterie. Kovergete Reihe Reihe sid Folge spezieller Burt, so dss gegeüber de Ergebisse über Folge grudsätzlich icht viel Neues zu erwrte ist. Doch ist es zweckmäßig die Ergebisse über Folge so umzuformuliere, dss sie der spezielle Burt gepsst sid. Defiitio: (Zhle-Reihe, Grezwert) Sei ( ) eie Folge i. (i) Uter der (uedliche) Reihe f(s ) mit s : k k für jedes. (ii) Die heiße Glieder der Reihe. verstehe wir die Folge (iii) Die s heiße Teilsumme (uch Prtilsumme) der Reihe. (iv) heißt koverget gege s, we die Folge f(s ) der Teilsumme koverget ist. (v) Flls Kovergez gege s vorliegt, heißt s der Reihewert, ud wir schreibe s. Eie Reihe ist lso geu d koverget, we die Folge ihrer Prtilsumme kovergiert. Bemerkug: Jede Reihe ist die Folge ihrer Prtilsumme. Umgekehrt ist uch jede Folge (zumid. i eiem metrische Rum) die Prtilsummefolge eier Reihe, de + ( ) + ( - ) + ( 3 - )+ + ( - - ). k k k Die Folge ( )/ soll ls Reihe drgestellt werde. Dzu bereche wir die erste 0 Glieder der Folge:,,,,,,,,, Ds erste Glied der Reihe ist uch ds erste der Folge, lso setze wir 0. Des Weitere ergebe sich die Prtilsumme wie folgt: + (k k ). Ds -te Glied ist d z.b. k k k + (/ -) + (/3 -/) + (/4 -/3) + (/ -/4) k + ( ) + (-/) +(-/6) +(-/) +(-/0) /. Bemerkug: D eie Reihe eie Folge besoderer Burt ist, ist ebeso die Reihe eie Abbildug vo ch A, wobei i diesem Dokumet ur der Fll A: behdelt wird.

2 Copyright, Pge of 0 Abäder edlich vieler Summde s eier Reihe ädert ichts dr, dss die Reihe kovergiert bzw. divergiert. D diese Ttsche bei eifche Folge gilt, gilt sie türlich uch bei Reihe. Aber türlich ädert sich ddurch i.. der Wert der Reihe. Diese Ttsche k z.b. bei der Abschätzug eier Reihe sehr ützlich sei, m k lso edlich viele Idizes bei der Utersuchug uf Kovergez verchlässige ud eie Idexverschiebug wede. Beispiele: Die wichtigste Reihe werde im Folgede ufgelistet: Die geometrische Reihe q <. q q ist koverget, flls diverget, flls Im Fll der Kovergez gilt für de Reihewert s: s q q für q <. Die hrmoische Reihe ist diverget. Noch llgemeier: ist geu d koverget, we >. Die Expoetilreihe x exp(x) kovergiert für lle x, j sogr für lle x.! D.h. die Reihe exp(.).. kovergiert beispielsweise gege de Fuktioswert der Expoetilfuktio! Die Cosiusreihe k k x ( ) kovergiert gege cos(x). Etspreched kovergiert die (k)! k 0 Siusreihe k+ k x ( ) gege die Fuktio si(x). (k + )! k 0 Die e-reihe! e exp() lim +, kovergiert gege die irrtiole (ud trszedete) Zhl e. Ei Beweis, dss ll diese Werte ttsächlich übereistimme sei dem Leser zur Übug überlsse. Es ist hilfreich de biomische Lehrstz uf de Ausdruck + zuwede, ud eiige Abschätzuge mit Hilfe der Expoetilreihe herbeizuführe.

3 Copyright, Pge 3 of 0 Jeder Stz über kovergete Folge liefert eie Stz über kovergete Reihe; wir übertrge zuächst die Recheregel, soweit sich iteresste Aussge ergebe. Stz.: (Recheregel für kovergete Reihe) Seie, b kovergete Reihe, wobei s, b s b. Sei. D gilt (i) [ + b ] ist d ebeflls eie koverg. Reihe mit [ + b ] [ s + s b ] (ii) [ b ] ist d ebeflls eie koverg. Reihe mit [ b ] [ s ] Es gibt kei llgemeies Schem eie Reihe uf Kovergez hi zu utersuche. Es gibt jedoch sehr viele verschiedee Kovergezkriterie, die je ch Art ud Aufbu der Reihe sivoll ihre Awedug fide k. Am Ede des Dokumetes wird jedoch eie Strtegie (kei Ptetrezept) vorgestellt, welche es zum Ziel hbe soll, eie vorgelegte Reihe uf Kovergez hi zu utersuche. Die Grezwertfidug ist bei Reihe ei sehr diffiziler Prozess, er soll hier ur m Rde gesproche werde. Stz.: (Trivilkriterium; otwedige Kovergezbedigug) Ist die Reihe koverget, so gilt lim 0. Diese Bedigug ist ber icht hireiched für die Kovergez eier Reihe, wie folgedes Beispiel zeigt. Die hrmoische Reihe ist diverget, ber die Folge ( )(/) ist eie Nullfolge. Stz.3: ( ε - 0 -Kriterium) kovergiert ε > 0 gibt es mid. ei, so dss für lle gilt: 0 ( 0 s < ε ). Ds u folgede Cuchykriterium ht gegeüber dem ε - 0 -Kriteriums de etscheidede Vorteil, dss der Grezwert der Reihe icht bekt sei muss. Hiweis: Befide wir us über eiem (Cuchy)-vollstädigem Rum (bspw. oder mit der koische, euklidische Metrik), so ist jede Cuchyreihe gleichzeitig uch koverget ud umgekehrt. I icht-

4 Copyright, Pge 4 of 0 vollstädige Räume gilt diese Äquivlez icht mehr; ei Gegebeispiel ist die e-reihe über dem Rum. Bildet die Folge der Prtilsumme eie Cuchyfolge, so bezeiche wir diese spezielle Reihe ls Cuchyreihe. Stz.4: (Cuchykriterium) kovergiert ε >0, ε, so dss für lle gilt: ε k ε + s - s ε < ε. Ds Cuchykriterium sgt lso us: Eie Reihe ud dmit eie Cuchyfolge der Prtilsumme, ist. kovergiert geu d, we sie eie Cuchyreihe, Der Vorteil des Cuchykriteriums besteht dri, dss m es ur mit edliche Summe zu tu ht! Fst lle i der Prxis oft beötigte Kovergezkriterie sid ur hireiched, ud ebe icht otwedig. So uch ds folgede Stz.: (Leibitzkriterium) ( ) kovergiert ( ) ist eie mooto fllede Nullfolge. Sei f: ( )( ) eie Folge vo Prtilsumme. Wir utersuche f uf Kovergez. Nch dem Leibitzkriterium müsse wir ( ) ( ) eie mooto fllede Nullfolge ist. Wir wisse, dss. Dmit ist ( ) eie Nullfolge. Wir müsse och chweise, dss ( ) eie mooto fllede Folge ist. Dzu überprüfe wir die Ugleichug ( )-( + ) 0: ( )-( + ) 0 ( ) - ( + + -) d Die Folge ( ) ist lso eie mooto fllede Nullfolge.

5 Copyright, Pge of 0 Stz.6: (Quotietekriterium) ist bsolut koverget Es gibt ei q mit 0 q<, so dss + q, für fst lle. Es muss lso gelte 0< + <, für fst lle. Prüfe Sie die Reihe ()! uf Kovergez. Wir beutze ds Quotietekriterium ud erhlte. () (( + ))! (( + )) ()! () + ( + )! ( + ) ()! () + ( + )! () ( + ) + ()! Kehrbruch mulitpliziere ( + )( + )()! () ( + )( + )()!() ( + ) + + ()! ( + ) ()! ( + )() ( + ) () ( + ) ( + ) () ( + ) ( + ) ( + ) + ( + )( + )() ( + )( + ) ( + )() ( ) ( ) + ( + ) +. Nch dem Quotietekriterium müsse fst lle Glieder der Folge echt kleier ud echt größer 0 sei. Wir setze lso de Limes ud erhlte. ( + ) + lim ( ) e, d.h. die Folge ist icht vo der geforderte Form, lso ist die Reihe diverget. Prüfe Sie die Reihe! uf Kovergez. Wir beutze wieder ds Quotietekriterium ud erhlte: ( + ) ( + )! ( + )! ( + )! ( + ) ( + )! ( + )! ( + )! für. ( + ) 4 (+ ) 4 Nch dem Quotietekriterium müsse fst lle Glieder der Folge echt kleier ud echt größer 0 sei. Diese Bedigug ist hier erfüllt, d.h. die Reihe ist koverget.

6 Copyright, Pge 6 of 0 Stz.7: (Wurzelkriterium) Für ei (festes!) q< gelte ist bsolut koverget q b eiem Idex 0. Eie äquivlete Aussge ist. Es gibt ei C ud ei q mit 0 q<, so dss C q für fst lle. Prüfe Sie die Reihe + + uf Kovergez. Wir beutze ds Wurzelkriterium ud erhlte für. Die vorgegebee Reihe kovergiert lso ch dem Wurzelkriterium. Bemerkug: Im Fll + oder ist ohe Zustziformtio keie Etscheidug über Kovergez oder Divergez möglich. Für die Reihe gilt ( + ) +. (+ ) (+ ) Wir wisse, dss die hrmoische Reihe diverget ist. Aber für die Reihe gilt (+ ) (+ ) (+ ) (+ ) + Wie wir ber wisse ist koverget. +. Fustregel: Wurzel- ud Quotietekriterium etstehe beide durch Vergleich mit der geometrische Reihe. Dher wird, flls eis vo ihe keie Etscheidug liefert, im Allgemeie uch ds dere Kriterium versge.

7 Copyright, Pge 7 of 0. Absolut kovergete Reihe Grudlge ller folgede Kriterie ist ds sog. Mootoiekriterium (für Folge ud dmit uch) für Reihe. Stz.: (Mootoiekriterium) Eie mootoe Folge (s ) k ist koverget, we sie beschräkt ist. Geuer: k ) Ist (s ) mooto wchsed ud ch obe beschräkt, so ist (s ) koverget, ud es gilt lim (s ) sup{s } ) Ist f mooto flled ud ch ute beschräkt, so ist f koverget, ud es gilt lim (s ) if{s } Wir zeige, dss die Folge ( ) mit kovergiert. Dzu zeige wir zuächst, dss gilt 3 + 0, d.h. die Fuktio fällt mooto. D die Fuktio whrscheilich mooto fällt, muss ds ()-te Glied der Folge größer oder gleich ls ds (+)-te Glied sei ( + ) (3+ ) (+ )(3 ) (3+ )(3 ) (3+ )(3 ) (3+ ) (+ )(3 ) (3+ )(3 ) >0. (3+ )(3 ) Mit dieser Rechug erschlägt m zwei Probleme uf eiml. Zum eie ist dmit die Mootoie chgewiese, zum dere ber uch die Beschräktheit. Es gilt j >0 für lle türliche (3+ )(3 ) ud somit bildet 0 eie utere Schrke. Mit dem Mootoiekriterium folgt, dss kovergiert ud es gilt if{,, 3 8, } lim 3. Stz.: (Supremumskriterium) Es sei (i) eie Reihe mit ichtegtive Glieder, d gilt: ist koverget (ii) sup s k <. k Im Kovergezfll ist obiges Supremum gerde der Reihewert. Beweis: (i) (ii): Ist koverget, so ist die Folge der Prtilsumme (s ): beschräkt. Dmit ist (ii) erfüllt. k k koverget, lso isbesodere

8 Copyright, Pge 8 of 0 (ii) (i): D 0 für jedes gilt, ist (s ): k eie mooto wchsede Folge. Aufgrud der k Vorussetzug (ii) ist (s ) beschräkt, de es gilt m 0<s < sup sm k m <, für jedes. k Mit dem Mootoiekriterium folgt die Kovergez vo (s ). Also ist ist dmit gerde der Reihewert. koverget ud ds Supremum Eie stärkere Forderug ls die gewöhliche Kovergez eier Reihe ist die sog. bsolute Kovergez. Derrtige Reihe sid uch ivrit gegeüber (uedlich) viele Umorduge vo Glieder. Defiitio: Eie Reihe kovergiert. heißt bsolut koverget, we die Reihe ichtegtiver, reeller Zhle Ei weiteres wichtiges Kriterium ist ds Stz.3: (Mjorte- /Miortekriterium) Seie ( ) ud (b ) zwei Folge mit 0 b für fst lle. (i) Ist b koverget, so ist bsolut koverget. (ii) Ist diverget, so uch b. Bechte Sie, dss ds Miorte- ud ds Mjortekriterium äquivlet zueider sid. Ds Eie folgt durch Kotrpositio sofort us dem Adere. Prüfe Sie die Reihe uf Kovergez. Wir schätze die Folge ( ): + + b. Für lle, gilt +, lso ist +. D diverget ist (Vgl. hrmoische Reihe), folgt die Divergez us dem Miortekriterium.

9 Copyright, Pge 9 of 0 Prüfe Sie die Reihe werde, d der Fktor + (+ ) ( ) uf Kovergez. Hier k icht ds Leibitzkriterium gewedet (+ ) ( ) sich wie folgt etwickelt.,,,,,,,,, Es muss hier mit dem Mjortekriterium gerbeitet werde. Dzu schätze wir die Folge b. + (+ ) ( ) < + für lle. (+ ) D die Reihe kovergiert folgt mit dem Mjortekriterium die Kovergez vo ( ). + Absolut kovergete Reihe verhlte sich sehr gutrtig, ws die Reihefolge der Summtio betrifft. Durch Umordug uedlich vieler Glieder k sich bei kovergete Reihe der Limes äder. Auch sid Teilreihe kovergeter Reihe i.. icht mehr koverget. Dgege sid Teilreihe eier bsolut kovergete Reihe stets wieder bsolut koverget, ud dmit uch koverget, wie der folgede Stz i llgemeierer Form lehrt: Stz.3: Eie bsolut kovergete Reihe ist koverget; es gilt. Solche Mipultioe lsse sich ur mit bsolut kovergete Reihe bedekelos durchführe. Folgeder Stz brigt dies ochmls zum Ausdruck. Stz.4: (Umordugsstz) Ist die Reihe gege S. bsolut koverget, etw gege S, so kovergiert uch jede Umordug der Reihe Bemerkug: Ist die Reihe der Reihe, die gege x kovergiert. koverget, ber icht bsolut koverget, so gibt es zu jedem x eie Umordug

10 Copyright, Pge 0 of 0 Zu guter letzt soll u och eie mögliche Strtegie ufgezeigt werde Reihe uf Kovergez hi zu utersuche. Isbesodere Afäger köe sich dr zumid. orietiere: Es sei eie Reihe gegebe. Um diese uf Kovergez zu utersuche, gehe wie folgt vor:. Ist eie Nullfolge? Nei: divergiert. J: Siehe.. Hdelt es sich um eie geometrische Reihe mit q <? Nei: Siehe 3. J: Reihe kovergiert etspreched obigem Beispiel. 3. Ist die Reihe mit ( )(-) (b ) lteriered, ud ist (c ) ist eie mooto fllede Nullfolge? Nei: Siehe 4. J: Reihe kovergiert ch Leibiz 4. Sid fst lle 0 ud ist ds Quotietekriterium erfüllt? Nei: Siehe. J: Reihe kovergiert!. Existiert eie Mjorte oder eie Miorte? Weiß icht: Womöglich eie schwer zu lösede Reihe ;-) J: Reihe kovergiert!