Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen

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1 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS Zhlefolge.. Wozu IformtikerIe Folge bruche Kovergez vo Folge ist die Grudlge der Alysis (Differetil- ud Itegrlrechug) Trszedete Gleichuge wie x l x 50 k m äherugsweise über Folge löse (Fixpukt-Itertio) Jede Simultio im Computer zerlegt die Zeit i kleie Schritte ud berechet somit Folge f(t 0 ), f(t ), f(t ),... >> WPF Spiele, Simultio ud Dymische Systeme. Lufzeit vo Algorithme, Worst-cse-Abschätzug durch obere Abschätzug zu bekte Folge. Oftmls schreibt m ei Progrmm ud k es für kleie Mege (z.b. 0) usteste, ber i der Prxis wird es mit viel größere Mege (z.b ) lufe. Wie ist ds Verhlte im Grezwert großer Zhle? Dies führt uf Folge ud die Ldusche O()-Nottio. Eiordug:.. Defiitio ud Eigeschfte vo Folge Wir htte j bereits zur Defiitio reeller Zhle de Begriff der Zhlefolge beötigt. I diesem Kpitel soll der Begriff weiter vertieft werde. Def D-: Zhlefolge Uter eier (uedliche) Zhlefolge versteht m eie eideutige Abbildug der Mege N der türliche Zhle uf eie Zhlebereich. ( ) N,,,... W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 5

2 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS Die Zhle,,,... heiße Glieder der Folge, ist ds -te Glied. Beispiel:.) d.h. (, N ),,,, (Bem. : 0) Weitere Beispiele i Vorlesug Def D-: Mootoie vo Folge Eie Folge heißt: mooto wchsed ( ), flls für lle N gilt: + streg mooto wchsed, flls für lle N gilt: < + mooto flled ( ), flls für lle N gilt: + streg mooto flled, flls für lle N gilt: > + Def D-: Beschräktheit vo Folge Sei N. Eie Folge heißt: ch obe beschräkt (.o.b.), flls ei R existiert, so dss für lle gilt: ch ute beschräkt (.u.b.), flls ei R existiert, so dss für lle gilt: ud beschräkt, flls sie ch obe ud ute beschräkt ist. Beispiele:.), N d.h. ( ),,, 8 6, Die Folge ist mooto flled ud beschräkt, z.b. L 0, K..) d.h. (, N ),,,, W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 6

3 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS Die Folge ist streg mooto wchsed ud ch ute beschräkt, z.b. L 0, ber ch obe ubeschräkt (es existiert kei K mit )... Grezwert eier Zhlefolge Schue wir us ei Beispiel ( ) im Grphe : Aschulich: Ab eiem gewisse liege lle Folgeglieder im "ε-bd" um Grezwert g0, egl wie schml ds Bd ist. BEACHTE: Grezwert ud (obere/utere) Schrke sid icht dsselbe!! Die Folge ht die utere Schrke (z.b.) -, die obere Schrke +/ ud de Grezwert 0. Dieses schuliche Bild "ε-bd" wird u i eie Defiitio übersetzt. Def D-: Grezwert eier Folge g heißt Grezwert (Limes) der Folge ( ), flls es zu jedem ε > 0 eie türliche Zhl o (ε) gibt, so dss für lle ( ) gilt: o ε g <ε Existiert der Grezwert eier Folge, d heißt die Folge koverget. M schreibt: lim g oder g Eie Folge, die keie Grezwert besitzt, heißt diverget. W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 7

4 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS Es gilt: Stz S- Eie kovergete Folge ist beschräkt. ur muss ebe der Grezwert icht mit oberer/uterer Schrke zusmmeflle. Die logische Umkehrug des Stzes ist mchml uch ützlich: Stz S- Eie ubeschräkte Folge ist diverget. Eie ubeschräkte Folge, bei der für jedes K b eiem bestimmte 0 (K) lle Folgeglieder über K liege, heißt bestimmt-diverget, sie besitzt de ueigetliche Grezwert + Geuso für ueigetliche Grezwert lim. Beispiel für Grezwerte:.), N d.h. ( lim 0 ),, Beweis i Vorlesug,,... "Nullfolge".) d.h. (.) ( ), N d.h. ( ), 0,, 0,,.. () ist diverget BEACHTE: Nicht jede divergete Folge ist uch ubeschräkt (!!) + 5, N ) 6, 9,,.. ( ) ist ch Stz S- diverget, weil ( ) icht beschräkt ist. ( ) ist bestimmt-diverget ud besitzt de ueigetliche Grezwert.... Reche mit Grezwerte Wir wolle für beliebige Folge ohe viel Aufwd de Grezwert bereche. Der Weg:. Für eiige weige fudmetle Folge de Grezwert kee. Adere Folge durch Reche mit Grezwerte uf Fudmetlfolge zurückführe W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 8

5 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS Stz S - Fudmetle Nullfolge lim 0 lim 0 für q > lim 0 für α > 0 q α Stz S - Fudmetle bestimmt-divergete Folge (+) lim q α lim für q > lim für α > 0 Stz S -5 Rechegesetze für Grezwerte Seie ( ), (b ) kovergete Folge mit de Grezwerte ud b. D sid uch die r Folge ( + b ),( b ), für(b 0,b 0) ud ( ) b für r R koverget, ud es gilt: ± ± ) lim ( b ) b b) lim ( b ) b c) lim ( c ) c d) e) lim b lim ( b r r ) Rechetechisch: M k de Limes uf die Eizelterme "ch ie ziehe", z.b. lim ( ) ( oder lim ( ) lim ( ) ) we der etstehede Term etscheidbr ist. Die Regel vo Stz S -5 sid uch utzbr, we Folge oder b gege ± "kovergiere", we m folgede Regel verwedet Stz S -6 Sei c R, d R +, lso d>0 c + d + c 0 ( ) d c + ist so zu verstehe: Eie Folge, die gege c kovergiert, plus eie Folge, die bestimmt diverget gege geht, ergebe zusmme eie Folge, die bestimmt diverget gege geht. W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 9

6 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS Dgege sid chfolgede Ausdrücke "uetscheidbr", d.h. ohe weitere Utersuchug k NICHTS usgesgt werde: 0?? 0?? 0 D muss m durch geeigete Umformuge versuche, zu eier etscheidbre Situtio zu komme. I Vorlesug werde Folgeruge us Stz S -5 ud Stz S -6 gezeigt. Regel für die Berechug vo Grezwerte: Komplizierte Ausdrücke uf Summe / Produkt / Quotiet bekter Folge (meist Nullfolge ud kostte Folge) zurückführe. (D.h. we möglich, de Limes "ch ie ziehe".) Bei Brüche durch die größte Potez im Neer dividiere (g.p.i.n.). We eie Summe vo Terme die Situtio - ergibt, d schue, ob eie Zusmmefssug (z.b. uf gemeisme Hupteer) Klärug brigt. W ist "ch ie ziehe" für Limes NICHT möglich? We ddurch eie "uetscheidbre" Situtio (s. gelbe Tbelle ch Stz S -6) etsteht. D muss m versuche, erst derweitig zu vereifche. Beispiele: ) lim b) c) lim 5 lim lim. Wäre, we wir Grezwert eifch so ch ie ziehe, lso uetscheidbr. Ntürlich mit g.p.i.n. oder Kürze eifch lösbr. Resultt: + 5 lim lim( ) + lim( lim( 8) lim( + lim 8 + ) lim( ) lim( 5 7 ) ) Hier hbe wir zuerst g.p.i.n. beutzt, dmit kostte Folge oder Nullfolge etstehe ud wir so de Limes ch ie ziehe dürfe. d) lim 8 W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 0

7 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS Ü e) lim 7 Zur Übug: ) lim ) lim + + k k ) lim k k k Aweduge für Zhlefolge... Fixpukt-Itertio Die Fixpukt-Itertio ist eie "quick-&-dirty"-methode, um vo icht eifch lösbre Gleichuge (sog. trszedete Gleichuge) eie Lösug zu bestimme:. M brigt die Gleichug i die sog. Fixpukt-Form f(). (Hierfür gibt es oft zhlreiche Möglichkeite, ud m muss probiere, welche Lösug zum Ziel führt). Jetzt strtet m mit eiem Wert ud bestimmt f(), f(),... usw., lso llgemei: f(-). We die Folge () de Grezwert besitzt, d ist eie Lösug der trszedete Gleichug. Beispiel: Wir suche eie umerische Lösug x für die Gleichug. Lösug: Sei x 0. Wir ddiere x uf beide Seite ud dividiere mit x durch: () Ersetze wir ds x uf der like Seite durch ud die x uf der rechte Seite durch -, so erhlte wir eie sog. rekursive Folge: + + ( ) Wir köe u mit dem Tscherecher (oder Excel) Werte eisetze ud erhlte: (i Excel vormche),.5,, 6.56 Wieso quick & dirty? Es gibt für jede Gleichug uedlich viele Fixpukt-Forme. M ht lso keie Grtie, lle Lösuge gefude zu hbe Nicht jede Fixpukt-Form muss eie Grezwert hbe. Aber immerhi k m überhupt eie Lösug für schwierige Gleichuge fide! W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite

8 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS Ldusche O()-Nottio [Teschl, Bd., S. 0-0] oder [Hcheberger05, S. 8-87] I der Iformtik muss m oft die Lufzeit vo Algorithme bschätze. Beispiel Mtrixmultipliktio: M brucht Multipliktioe ud (-) Additioe, lso isgesmt Opertioe. Wie wächst die Lufzeit, we die Mtrixgröße (Zeilezhl) steigt? Oft iteressiert m sich für ds Grezwertverhlte großer, ud hier ist der domite Term : Def D-5: Ldusche O()-Nottio Seie A( ) ud B(b ), b 0 Folge. Wir defiiere die Mege "Groß-O" vo B durch O(B) O(b) { () Der Quotiet b ist beschräkt }. M sgt d: Die Folge A ist "vo der Ordug O(B)", ls Formel: A O(B). Für A O(B) schreibt m üblicherweise (we uch ugeu) A O(B). Beispiele:, de + O(, ber uch + O( ) oder O( ). O( ). ). 6 log() O( log()) +. ANMERKUNG: Die Folge B(b ) wird dbei meist so gewählt, dss sie. möglichst eifch ist (lso b sttt im Mtrixbeispiel). möglichst "billig" ist, im Sie vo Lufzeit-"Koste" (lso b sttt oder ) WARNUNG: Ds Gleichheitszeiche i Aussge mit der O()-Nottio ist NICHT ds Gleichheitszeiche der Arithmetik, soder ur eie (ugeue) Abkürzug für " O(B)". De us AO(B) ud CO(B) folgt NICHT AB ud NICHT AC. Mit der O()-Nottio drückt m us, dss ds die Folge A, B ud C für große zur selbe Wchstumsklsse (Mege) gehöre. Es gilt folgede Reihug für Wchstumsklsse: O() < O(log()) < O() < O( log()) < O( ) < O( log()) < < O( ) Hierbei bedeutet z.b. O(log()) < O(): Für jede Vertreter () mit (log()) gilt: () Mit dere Worte: () wächst stärker ls c log() R. ist diverget. [Hrtm0, S. 5-9] brigt die O()-Nottio uch, llerdigs Schreibweise etws upräzise. W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite

9 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS Ü Übug: Orde Sie de Folge ei möglichst eifches ud "billiges" O(B) zu. Folge () O( ) () () + log() () (5) I Vorlesug oder Übug: Tbelle mit Vergleich verschiedeer Lufzeitverhlte, weitere Bsp. zu Fixpukt-Itertio. Ü Übug: A, B, seie die Lufzeite verschiedeer Algorithme. Etscheide Sie für die Fälle, ud : Welcher Algorithmus, erster oder zweiter, ist jeweils für große scheller? Erster Algorithmus Zweiter Algorithmus Fll Fll A 00 + B 5 C D Fll E ( + )! ( )!( + ) F Hiweis: Bilde Sie jeweils Erster / Zweiter W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite

10 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS Fzit zu Folge Wir hbe i diesem Kpitel folgede Begriffe keegelert: Grezwert: we schließlich lle Folgeglieder i eiem "ε-schluch" liege kovergete Folge: ht ei edliche Zhl ls Grezwert (Limes) divergete Folge: ds Gegeteil bestimmt-divergete Folge: ht + oder ls Grezwert (ueigetlicher G.) Wichtige Resultte: Mit Grezwerte k m reche: Opertor Grudrecheopertioe. Techike: g.p.i.n., Hupteer, lim vertuschbr mit de meiste Ws m sich merke sollte: die fudmetle Nullfolge us Stz S - ud die fudmetle bestimmt-divergete Folge us Stz S -. W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite