Ableitungsregeln. Produkte- und Quotientenregel. Ableitung einiger wichtiger Funktionen. Kettenregel. Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Transkript

1 Vorkurs Mthemtik DIFFERENTIATION Ableitugsregel (f + g) = f + g (cf) = c f, c R ( ) = (c) =, c R Dmit köe wir Polyome bleite: Beispiel. ( ) = ( 5 ) + 3( ) + () = = Produkte- ud Quotieteregel Beispiel. (uv) = u v + uv u v = u v uv v, wo v = = ( + ) ( ) 4 + ( + ) = ( + ). Ableitug eiiger wichtiger Fuktioe (si ) = cos (cos ) = si si (t ) Quot.-regel = = cos si cos si cos cos = cos + si cos = cos (e ) = e (Drum immt m e ls Bsis für Epoetilfuktioe!) Ketteregel Seie f, g zwei Fuktioe. Wir köe, sofer g i D vo f ldet, eie eue Fuktio h bstel, idem wir f ud g eiderhäge. Zuerst wede wir g uf ud d f uf die Zhl die wir erhlte hbe: h() := f(g()). Wie sieht die Ableitug vo h us? Es gilt: h () = (f(g()) = f (g()) g (). (Ketteregel) 7

2 Vorkurs Mthemtik DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitug vo si( )). Es seie f() = si (f () = cos ) g() = (g () = ) h() = f(g()) = si. Also ist die Ableitug vo h: h () = f (g())g () = cos = cos. M et f (g()) die äussere Ableitug ud g () die iere Ableitug. Merkregel für die Ketteregel: Äussere Ableitug ml iere Ableitug. ACHTUNG: Die äussere Ableitug ht ls Argumet g(), icht! Beispiel. Mit Hilfe der Ketteregel köe wir die Ableitug des Logrithmus bestimme: e log = e log = Aber e log = e log log = log, lso log = ud so log =. Optimierug Wir hbe eie Fuktio f() = Sie sieht so us: 8

3 Vorkurs Mthemtik DIFFERENTIATION f() Wir wolle rusfide wo im erste Qudrte die Fuktio ihr Mimum ht. Wie sieht die Steigug um ds Mimum herum us? Vo liks her kommed ist sie positiv ud wird immer kleier, bis sie ch dem Mimum egtiv wird. Also muss sie im Mimum sei. Es gilt f ht ei Mimum i = f () =. Dsselbe gilt türlich für ei Miimum. M et die Miim ud Mim Etremlwerte oder Etrem. Dmit k m gut Optimierugsufgbe löse: Beispiel. Wir hbe eie 4-Krto. Wir scheide vo de Ecke Qudrte weg ud flte de Rest zu eier (offee) Kiste. Wie lge müsse die Seite der Qudrte sei, dmit die Kiste möglichst viel fsst? 4 Ds Volume der Kiste ist V () = ( )(4 ) =

4 Vorkurs Mthemtik INTEGRATION Wir wolle V mimiere. Also müsse wir die Nullstelle vo V () fide. V () = = + 3 = ud drus erhlte wir, = ± = ± 3 D ei egtives Volume keie Si mcht, bleibt die Lösug = 3. Itegrtio Beim Itegriere sucht m für eie Fuktio f eie dere Fuktio F so dss F = f. F heisst d Stmmfuktio vo f. Ht m eie Stmmfuktio F gefude, so ist F + C, C R ebeso eie Stmmfuktio, d die Kostte C beim Ableite verschwidet. We es lso midestes eie Stmmfuktio gibt, so gibt es uedlich viele. M et die Mege der Stmmfuktioe ds ubestimmte Itegrl vo f ud otiert sie durch f() d. Ursprüglich wurde ds Itegrl beim Bestimme vo Fläche, die uter dem Grphe eier Fuktio f ud zwische zwei vertikle Achse = ud = b liege, gefude. f() b f() d b 3

5 Vorkurs Mthemtik INTEGRATION Diese Fläche bezeichet m mit b f() d ud et dies ei bestimmtes Itegrl,, b sid die Itegrtiosgreze, f() der Itegrd ud die Itegrtiosvrible. Es gilt b f() d = F (b) F () =: [F ()] b. Itegrtiosregel (f + g) d = f d + c f d = c f d, g d für lle c R Diese ud die folgede Regel ergebe sich drus, dss wir bei der Itegrtio die Differetitio umkehre wolle! d = C si d = cos + C cos d = si + C e d = e + C d = log + C für = Beispiel. Bestimme die Fläche uter dem Grph vo f() = +4 3 zwische de Nullstelle vo f. Zuerst suche wir die Nullstelle vo f. Wir fide =, = 3. Wir müsse 3 f() d 3

6 Vorkurs Mthemtik INTEGRATION bereche. 3 f() d = = = d d d d = 3 d [] 3 = = ( ) ( 3 + 3) = ( 4 3 ) = d 3 3 d Prtielle Itegrtio Produkte köe wir mit der Formel für prtielle Itegrtio bereche. Es gilt b b fg d = [F g] b F g d, wobei F türlich eie Stmmfuktio vo f ist. Dies ist ds Alogo für die Produktformel der Differetilrechug. Beispiel. Wir wolle bereche. Es gilt π cos u du π π cos u du = cos u cos u du = [si u cos u] π (si π cos π si cos ) + = + π = π si u ( si u) du = π cos u du = π π si u du = cos u du. Dies führt uf π cos u du = π 3

7 Vorkurs Mthemtik INTEGRATION ud so π cos u du = π 4. Ueigetliche Itegrle Mchml will m Fläche bestimme, dere Itegrtiosgreze icht zum Defiitiosbereich des Itegrde gehöre. Es gibt zwei Fälle. Eierseits köe oder b gz ormle Zhle sei, die eifch icht i D sid, dererseits k = oder b = sei. f() f() () d: Der Itegrd immt bei keie Wert. (b) d: Der Itegrd geht bis +. 33

8 Vorkurs Mthemtik INTEGRATION I beide Fälle berechet m ds Itegrl, i dem m sttt der kritische Itegrtiosgreze eie Folge i D immt, die gege diese Greze kovergiert. Wir illustriere dieses Vorgehe hd eies Beispiel. (Dieses Beispiel etspricht dem Bild () vo obe.) Beispiel. de ist j icht i D vo. Es gilt d = d := lim d, d = = Itegrle dieser Forme et m ueigetliche Itegrle.. Substitutiosregel Mchml lässt sich ei kompliziertes Itegrl durch Ersetzug der Itegrtiosvrible i eie Fuktio i eier dere Vrible vereifche. Dies geschieht ch der Formel b f() d = d c f(g(u))g (u) du () wobei c, d so, dss g(c) =, g(d) = b. M k die Gleichug uch umkehre, we dies dielich ist. Beispiel. Wir wolle d bereche. Wir versuche es mit der Substitutio = si u. Gemäss () gilt d = π π si u cos u du = cos u cos u du = π cos u du = π 4, gemäss userem Beispiel für die prtielle Itegrtio. M übersehe dbei icht, wie wir die Itegrtiosgreze gepsst hbe: = si π, = si. 34