BRÜCKENKURS MATHEMATIK

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1 Brückekurs: Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug - Prof. Dr. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK ELEMENTE DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG Schwerpukte: Begriff der Aleitug Aleitugsregel Uestimmtes Itegrl Bestimmtes Itegrl Itegrtiosregel Aweduge Prof. Dr. hil. M. Ludwig TU Dresde Istitut für Wisseschftliches Reche Septemer 4

2 Brückekurs: Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug - Prof. Dr. M. Ludwig Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug. Elemete der Differetilrechug.. Begriff des Differetilquotiete f :, Df D f wird i Umgeug vo f D zgl. ihrer "Veräderug" utersucht. Beispiele:. Eie gerdliige Bewegug eies Mssepuktes sei durch eie Fuktio s s t ud seie Geschwidigkeit durch st v t t eschriee. Bei Äderug der Fuktio st i eiem Zeititervll t t t legt der Mssepukt de Weg sst tst zurück. Durch Quotieteildug erhält m log zu oe s st ts t t t eie Ausdruck für die mittlere Geschwidigkeit der Bewegug im etrchtete Zeititervll. Um die momete Geschwidigkeit vt im Zeitpukt t zu erhlte, ist es he lieged de Grezwert s st tst lim v t : lim t t t t zu ilde. P : Astieg der Sekte durch zwei Kurvepukte P,f ud P h,f h : f hf t s h etspricht dem mittlere Astieg vo C im Itervll... h. De Astieg vo C im Pukt P erhält m durch de Grezwert. Astieg eier Kurve C f im Pukt,f hf f t lim t s lim, h h h flls dieser eistiert. Die Gerde durch P mit diesem Astieg heißt Tgete die Kurve C im Pukt P.

3 Brückekurs: Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug - Prof. Dr. M. Ludwig Def.. Differetilquotiet Die i eier Umgeug vo defiierte Fuktio f heißt der Stelle differezierr (diff 'r), we der Grezwert f hf y f lim lim h h eistiert. Dieser Grezwert heißt Differetilquotiet oder. Aleitug vo f der Stelle. Adere Bezeichuge: y dy,, d df d Höhere Aleituge etstehe durch mehrmlige Differetitio k k d f f, f,, f zw. k d Folgeruge. f sei uf I defiiert I D f. D heißt f uf I diff 'r, we f diff 'r für jede iere Pukt vo I ist. dy f Schreiweise: f,, d, woei I d d. f heißt (kurz) diff 'r, we f uf Df diff 'r ist.. Differetitio elemetrer Fuktioe (Differetitiosregel) Die Grudfuktioe sid i ihre Defiitiosgeiete diff 'r.,,,. isesodere :,, \,, speziell: e e,. l,, ; si cos, ; cos si, ;.. Differetitiosregel für rithmetisch verküpfte Grudfuktioe f,g seie uf eiem Itervll I diff 'r, d f g, rf r, fg ud f g mit g sid uf I diff 'r. Dei gilt:

4 Brückekurs: Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug - Prof. Dr. M. Ludwig fg fg rf rf, r fg f gf g Produktregel f gfgf, g Quotieteregel g g Beispiel c d c d c f,f c d c d c d.4. Ketteregel f sei uf eiem Itervll I ud g sei uf eiem Itervll J diff 'r, d ist f uf I diff 'r, flls f I J. Dei gilt fghh (Ketteregel). df df dz f g, h f gh : d dz d Beispiele: cos z. f, z cos ; fz df dz z cos f lsil si dz d z l f, u f ; z u lu Bemerkug: z z. dz du f z f du d u f g h Stz Die elemetre Fuktioe sid (i ihre Defiitiosgeiete is uf eizele Pukte) diff 'r. Ihre Aleituge sid wieder elemetre Fuktioe..5 Aweduge der Differetilrechug.5. Vollstädige Kurvediskussio, Etremwertufge Gegee: f: Df Gesucht: Lokles ud gloles Verhlte der Fuktio [vgl. Vorlesug ud Semir zu reelle Fuktioe]. Dzu sid zu estimme:. Defiitiosereich, Werteereich [vgl. reelle Fuktioe]. Nullstelle [vgl. reelle Fuktioe]. Pole [vgl. reelle Fuktioe] 4. Lücke [vgl. reelle Fuktioe] 4

5 Brückekurs: Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug - Prof. Dr. M. Ludwig 5. symptotisches Verhlte, vgl. reelle Fuktioe,, Pol 6. reltive Etrem 7. Wedepukte 8. Mootoieeigeschfte 9. Krümmugseigeschfte (kove, kokv) zu 6. Bestimmug reltiver Etrem Es sei f:df ud zudem f so oft differezierr, wie eötigt. Die Aleituge seie stetig. Notwedige Bedigug für reltive Etremwert f ist der Stelle differezierr ud f Hireichede Bedigug für reltive Etremwert f f f k k ud f, d ht f ei eie reltive Etremwert ud zwr ei reltives k Mimum f, flls k k,,. Miimum f Spezilfll f ud f, d ht f ei eie reltive Etremwert ud zwr ei reltives Mimum f, flls Miimum f zu 7. Bestimmug vo Wedepukte Notwedige Bedigug für Wedepukt f ist der Stelle zweiml differezierr ud f Hireichede Bedigug für Wedepukt f f f k k ud f, d ht f ei eie Wedepukt k,,. Spezilfll f ud f, d ht f ei eie Wedepukt zu 8. Mootoieeigeschfte f ist streg mooto wchsed f im etreffede Itervll. flled f ist s mooto wchsed f im etreffede Itervll. flled Eie Äderug der Mootoie erfolgt i Etrem ud Pole gerder Ordug. 5

6 Brückekurs: Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug - Prof. Dr. M. Ludwig zu 9. Krümmugseigeschfte f ist streg (vo ute) kove f im etreffedem Itervll. kokv f ist (vo ute) kove f im etreffedem Itervll. kokv Eie Äderug der Krümmug erfolgt i Wedepukte ud Pole ugerder Ordug. P Beispiel: f Q. Defiitiosereich: Df \, ; Werteereich: Wf. Nullstelle:! (-fch), weil Q!. Pole: ud P,P 4. Lücke: keie; Bemerkug: Flls f ei eie Lücke esitzt, d weiterreche mit Erstzfuktio. 5. Asymptotisches Verhlte: ; [vgl. Polyomdivisio] Asymptote: ya lim f lim y, lim f lim y, weil A Asymptotisches Verhlte de Pole: : lim, lim : lim, lim Bemerkug: Berechug k wie folgt durchgeführt werde: z.b. A : lim lim lim 6. Reltive Etrem: 4! f ; f zweifch ud, f ; 6

7 Brückekurs: Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug - Prof. Dr. M. Ludwig zweifch : f Wedepukt? : f Miimum mit f : f Mimum mit f 7. Wedepukte: f ; f 4 4 f 4 (zweifch) ist Wedepukt mit f. 8. Mootoie streg mooto steiged streg mooto flled mooto flled )* )* Flls Itervll ei geteilt wird, ist Fuktio streg mooto flled. 9. Krümmugseigeschfte (kove, kokv) streg kokv, d f streg kove, d f streg kokv, d f streg kove, d f Speziell: Die Bestimmug der reltive Etremwerte eötigt m zur Lösug vo Etremwertufge 7

8 Brückekurs: Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug - Prof. Dr. M. Ludwig.5. Geometrische Aweduge Gleichug der Tgete y de Grphe der Fuktio f durch de Pukt,f : y f f f f f oder y m f f mit Astieg m f, der der. Aleitug der Fuktio ud Asolutglied f f. Beispiel: Tgete die Fuktio f si im Pukt fcosfm Tgete: y f der Stelle etspricht,, d.h. ud f. Itegrtio. Ds uestimmte Itegrl Iterprettio: Umkehr der Aleitug der Differetilrechug.. Defiitio des uestimmte Itegrls Es sei f: Df, Df ud I Df ei offees Itervll. d F heißt Stmmfuktio vo f uf I, we F f für I. d Bemerkug: We F irged eie Stmmfuktio vo f ist, d erhält m durch Additio eier elieige Kostte c zu F lle Stmmfuktioe vo f. Def.. Uestimmtes Itegrl Ist Firgedeie Stmmfuktio vo Itegrl vo f uf I ud wird mit f d ezeichet, d.h. f F c eie elieige (Itegrtios-)Kostte ist. Nch Def.. gilt lso: d d f d d d Fc f f uf I, so heißt die Summe ds uestimmte ud Die Umkehr ist is uf c eideutig. d c, woei d f d d F Fc. d f 8

9 Brückekurs: Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug - Prof. Dr. M. Ludwig.. Techik des Itegrieres Uterschied zwische Differetitio ud Itegrtio: Jede elemetre Fuktio ist diff'r [Stz s.o.], er icht jede elemetre Fuktio ist itegrierr (z.b. si ist icht itegrierr) Gruditegrle s. Tfelwerke Itegrtiosregel folge us Diff'regel ; z.b. f g d f d g d Beispiel: r f d r f d, r d d d d C Itegrtiostechike Prtielle Itegrtio f g d f g f g d Beispiel: si d cos cos d cos d si si d si cos si d cos si cos C f g si f g cos f g cos f g si Sustitutio Es sei f mit g t gegee. Aus d g f d f g t g t dt t dt folgt!! Uedigt uf Eieideutigkeit vo g chte; sost, flls otwedig, Gesmtitegrl i Teilitegrle zerlege. 9

10 Brückekurs: Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug - Prof. Dr. M. Ludwig Beispiel: dt d 4 4t dt t C t dt Sustitutio: t, 4d dt d 4 Wichtige Soderfälle: f d l f c f f fd f c ; Sustitutio: f t df dt R gze rtiole Fuktio R d c. Ds estimmte Itegrl Gesucht sei der Flächeihlt A, de eie Fuktio eischließt. Zerlegug z vo, durch edlich viele Pukte Mß für Feiheit der Zerlegug: z i,, i i mit i Zwischesumme: S f,, i Es gilt: Folge vo Teilsumme Sk A i i i i i i m i i f im Itervll, mit der -Achse für z k. Bestimmug vo A mit Hilfe der Oer- ud Utersumme: Beispiel: f, elieig Oersumme: O i i i i 6 i i i i Utersumme: U 6 lim O limu

11 Brückekurs: Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug - Prof. Dr. M. Ludwig Def.. Bestimmtes Itegrl f heißt üer, itegrierr (eigetlich Riem-itegrierr), we für jede Zerlegug zk vo, mit lim zk ud für jede Whl der etsprechede Zwischepukte die k Folge S k der Zwischesumme stets gege de gleiche Wert kovergiert. Dieser Wert heißt d estimmtes (eigetliches Riem-) Itegrl vo f üer,. Bezeichug: f d d f Also: f d: lim f Festleguge: Geometrische Deutug: i i f d ; Itervll, mit der -Achse. i i f d f d für f d vorzeicheehfteter Flächeihlt vo f im Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug, Berechug estimmter Itegrle f stetig uf,, F sei eie Stmmfuktio vo f uf d f F F.,, d gilt Beispiel: direkt: I d dt t t dt dd ; Greze: t t Sustitutio: t dt t flsch, d t i icht eieideutig t t I dt i eieideutig dt t er: dt d d ; Greze: t t t t t dt t t dt t t t t t