21 OM: Von der Änderung zum Bestand - Integralrechnung ga
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- Margarethe Abel
- vor 5 Jahren
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1 1 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ga I diesem Olie-Mteril werde die Frge geklärt, wie weit der Formlismus ei der Etwicklug des Itegrls uszuführe ist ud wie eie schuliche Begrüdug des Huptstzes der Differetil- ud Itegrlrechug für Kurse uf grudlegedem Aforderugsiveu erfolge k. Um ds Verstädis zu sicher, wird eie trgfähige Grudvorstellug vom Itegrlegriff etwickelt. Dei soll vo Schproleme us Kotexte wie Zu- ud Aluf sowie Geschwidigkeit ud Weg usgegge ud die Erfhrug mit Grezprozesse erweitert werde. Ds Itegrl wird ls us Äderugsrte ud Afgsestd (re-)kostruierter Bestd gedeutet, der üer die Additio vo Produkte u.. zum Flächeihlt führt. Ahd der grfische Drstellug vo Äderug ud Bestd werde die Zusmmehäge etdeckt ud erklärt. Ds Itegrl k ls Bestd ud uter estimmte Bediguge ls Flächeihlt iterpretiert werde. Der Bezug zur Differetilrechug wird durch de Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug i der Form f(x) dx F() F() mit F f formuliert. Bei der (Re-)Kostruktio vo Bestäde köe Vorgäge etrchtet werde, die sich mithilfe kostter oder stückweise lierer Fuktioe eschreie lsse. Auf i diesem Zusmmehg gemchte Etdeckuge ufued köe Stmmfuktioe defiiert ud die Aussge des Huptstzes der Differetil- ud Itegrlrechug schließlich erkt, formuliert ud egrüdet werde. Ei Beispiel eies us Äderugsrte ud Afgsestd (re-)kostruierte Bestdes k folgede Aufge iete: Aufge 1: Die Messstelle eier Ölpipelie zeigt zu jedem Zeitpukt die momete Durchflussrte. Sie wird mit Hilfe eies im Rohr efestigte Propellers estimmt. Ds Bild rechts zeigt ei dzugehöriges Messdigrmm. ) Ermittel Sie die Gesmtölmege, die i dem drgestellte Zeitrum durch die Pipelie fließt. ) Bereche Sie die gesmte Ölmege, die ch jeder Stude durch die Pipelie geflosse ist, ud stelle Sie diese Werte im utere Digrmm grphisch dr. c) Ermittel Sie eie Gleichug eier Fuktio D, die de Durchfluss i de erste 5 Stude eschreit. d) Etwickel Sie die Fuktiosterme für de Durchfluss i de Zeiträume 5 is Stude ud is 1 Stude. Berücksichtige Sie dei, dss sich der Durchfluss icht sprughft äder k. 1
2 1 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ga Eie Lösugsskizze wäre etw: ) Berechug der Gesmtölmege m m 60 m m 5h 0 h 0 h 5h 0 650m h h h h ) Berechug der gesmte Ölmege, die ch jeder Stude durch die Pipelie geflosse ist: Zeit i Stude Durchflussmege i m c) Eie Durchflussfuktio ist D(t) 0 t für 0 t 5. d) Eie Durchflussfuktio ist D (t) 10 t 0 t 50 für 5 t. Eie Durchflussfuktio ist D (t) 0 t 90 für t 1. Der Grph der Fuktioe ist im Bild oe drgestellt. 1 Die i diesem Zusmmehg uftretede Frge ch der Stetigkeit der Fuktioe solle schuugsgeleitet egrüdet werde. Um ds Itegrl ls Grezwert vo Produktsumme zu eschreie, ist es sivoll, die (Re-)Kostruktio uch Beispiele zu etrchte, ei dee die Berdug icht stückweise lier ist. Für eie grudsätzliche Klärug der Vorgehesweise reicht eie Beschräkug uf i dem etrchtete Itervll mooto steigede Fuktioe mit icht egtive Fuktioswerte us.
3 1 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ga Aufge : Gegee ist die Fuktio f mit f(x) x. Sie stellt eie Äderugsrtefuktio dr. Betrchtet wird der Grph der Fuktio im Itervll [0 ;1]. Schätze Sie de Flächeihlt mithilfe sogeter Oersumme durch Uterteilug i,, 16 Rechtecke. i. Rechtecke ii. Rechtecke iii. 16 Rechtecke iv. Fläche uter f Für die Berechug der Flächeihlte ergit sich: Rechtecke: 0,5 0,0 0,5 0,16 0,5 0,6 0,5 1 0,675 Rechtecke: 51 0, Rechtecke: 17 0, Alog köe uch die Werte für die Utersumme ermittelt werde: i. Rechtecke ii. Rechtecke iii. 16 Rechtecke iv. Fläche uter f Eie Verschulichug der Berechug mithilfe etsprecheder Werkzeuge uterstützt die Argumettio ud diet der Illustrtio eier mögliche Vorgehesweise im ga:
4 1 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ga Aschulich ist klr, dss diese Oersumme ei immer weiterer Verfeierug der Uterteilug gege de gesuchte Flächeihlt uter dem Grphe vo f kovergiere. Die isherige Erfhruge köe verllgemeiert werde: Aufge : Gegee ist die Fuktio f mit f(x) x. Bestimme de Flächeihlt uter dem Grphe vo f im Itervll [0 ;] für ei elieiges 0. Begrüde Sie die ufgeführte Terme. Für die Fuktio f mit S f(x) x im Itervll [0 ; ] edeutet dies: 1 S (1 ) TIPP: S S 6 1 Für ergit sich: lim S 1 6 Die Formel für die Summe der erste Qudrtzhle k etweder eiem Tfelwerk oder eiem CAS-Recher etomme oder mitgeteilt werde. Mit S x f x1 f x f x f x1 f x für wird die Itegrlschreiweise erläutert: lim S x dx. 0
5 1 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ga Die Frge, w ud wie weit die Grezprozesse formlisiert werde, k icht puschl etwortet werde. Zur formle Beschreiug k die Limes-Schreiweise oder die Pfeil- Schreiweise verwedet werde. Dei immt die Limes-Schreiweise eher de Grezwert ls Ergeis eies Grezprozesses i de Fokus ud die Pfeil-Schreiweise legt de Fokus uf de Grezprozess selst. Die Schreiweise sollte de Argumettiosweise der Schülerie ud Schüler gepsst werde ud diese sivoll verdeutliche. Die formle Beschreiug wird icht eötigt, um de Grezwert zu verstehe. Ds schuliche Verstädis, ds die Schülerie ud Schüler i frühere Schuljhrgäge erwere (z.b. we Terme zu Puktmuster ufgestellt werde), wird hier weiter gefestigt. Die Utersuchuge führe schließlich zur Defiitio der Stmmfuktio ud zum Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug: Gegee ist eie Fuktio f. Eie Fuktio F heißt Stmmfuktio vo f, we gilt: F (x) f(x). Ds heißt: Die Aleitug der Stmmfuktio ist die gegeee Fuktio f. Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug (1. Teil): Ist f eie uf [ ; ] stetige Fuktio, so ist die durch differezierr mit: F (x) f(x). x F (x) f(t) dt defiierte Stmmfuktio Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug (. Teil): Jede üer [ ; ] itegrierre Fuktio f, die dort eie Stmmfuktio esitzt, erfüllt f(t) dt F() F(). Für Kurse uf grudlegedem Aforderugsiveu gilt es, diese zweite Teil des Stzes chzuweise. Im Folgede wird eie Beweismöglichkeit drgestellt. Dei wird der Fll etrchtet, dss der Grph vo f oerhl der x-achse liegt. 5
6 1 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ga Es hdelt sich um die (Re-)Kostruktio vo Fuktioe. Ds Ausggsprolem esteht dri, dss f ud F() gegee sid ud F() gesucht wird. Wir versuche eie schrittweise Aäherug F(). Gegee ist die Fuktio f mit ihrer Fuktiosgleichug f(x) ud dem zugehörige Grphe. Im Schzusmmehg eschreit f eie Bestdsäderug. Des Weitere ist der Bestd F zum Zeitpukt, lso F() gegee. Um de Bestd zum Zeitpukt äherugsweise zu estimme, werde die Bestäde zwische ud sukzessive ergäzt. F F f f f f F F f f f f 6
7 1 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ga Eie essere Aäherug erhält m durch eie feiere Uterteilug ei der sukzessive Aäherug (vgl. Oer- ud Utersumme ei der Defiitio des Itegrls). F F f f f f 7 F F f f f f 7 Oder llgemei ei eier Eiteilug i Teile: F F f f f f ( 1) F F f f f f ( 1) 1 F F f i i0 Für große Werte für gilt 1 i0 f i f(x) dx ud dmit ud somit F F() f(x)dx. F F() f(x)dx Bei diese Üerleguge ist die Grudvorstellug des Itegrls ls Grezwert vo Produktsumme trged. Die (Re-)Kostruktio der Fuktio F etspricht somit der Bildug vo Flächeihlte. 7
30 OM: Von der Änderung zum Bestand - Integralrechnung ea
0 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ea I diesem Olie-Mteril werde die Frge geklärt, wie weit der Formlismus bei der Etwicklug des Itegrls uszuführe ist ud wie eie schuliche Begrüdug des Huptstzes
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4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion
1. Grundlagen. 2. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 3. Vektorrechnung. 4. Trigonometrische Funktionen. 5. Differentialrechnung. 6.
Ihlte Brüceurs Mthemti Fchhochschule Hover SS 0 Dipl.-Mth. Coreli Reiterger. Grudlge. Poteze, Wurzel, Logrithme. Vetorrechug 4. Trigoometrische Futioe. Differetilrechug. Itegrlrechug 7. Mtrize, Liere Gleichugssysteme
12. Integralrechnung. 12.A Das Riemann-Integral. 12. Integralrechnung 131
2. Itegrlrechug 3 2. Itegrlrechug Als Abschluss der Alysis i eier Veräderliche wolle wir ch der Differetitio u och die Itegrtio betrchte. D die Itegrlrechug über R sehr verschiede vo der über C ist, werde
Seminarstunden S-Std. (45 min) Nr. Modul Theorie Übungen. 14 Potenzieren und Radizieren 1 1
Mthemtik Grudlge Poteziere ud Rdiziere Mthemtik Grudlge für Idustriemeister Semirstude S-Std. (45 mi) Nr. Modul Theorie Üuge 4 Poteziere ud Rdiziere Ihlt 4 Poteziere ud Rdiziere... 4. Poteziere... 4..
8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium
Angewandte Mathematik und Programmierung
Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug Eiführug i ds Kozept der objektorietierte Aweduge zu mthemtische Reches WS 2012/13 Ihlt Wiederholug (Eigeschfte vo Folge zusmmegefsst) Zhlereihe Kovergez vo Reihe Beweis
Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit
Uiversität Regesburg Nturwisseschftliche Fkultät I Didktik der Mthetik Dr. Güter Rotheier WS 008/09 Privte Vorlesugsufzeichuge Kei Aspruch uf Vollstädigkeit 5 7 Eleetrthetik (LH) ud Fehlerfreiheit. Zhlebereiche.5.
Jetzt ändert sich die dritte Stelle nach dem Komma nicht mehr, man hat also vier zählende Stellen
9. M setze = ud bereche mit Hilfe der Folge (9.5) die dritte Wurzel us uf vier zählede Stelle geu. = + + =,, =,, =.75, 4 =,48889, =,449, =,4478 Jetzt ädert sich die dritte Stelle ch dem Komm icht mehr,
Marek Kubica, Diskrete Strukturen Übungsblatt 13 Gruppe 11
Mrek Kubic, kubic@i.tum.de Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Pukteverteilug: Σ Aufgbe () 8 () 7 Der Grph B ht de Prüfer-Code,,,,, der zustde kommt, we m de kleiste Kote vom Grd streicht ud de dere, übrig
Ausbau der Funktionentheorie
Skript zum Ausbu der Fuktioetheorie I Skript zum Ausbu der Fuktioetheorie I Ausbu der Fuktioetheorie Potezfuktioe (PF) Bisher hbe wir us mit liere Fuktioe ud dere jeweiligem chrkteristische Verluf bzw
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo
Teilfolgen aus und fragen nach deren Rekursionsformel. Die Ideen gehen auf Édouard Lucas zurück.
Hs Wlser, [0090331] Teilfolge der Fibocci-Folge 1 Worum geht es? Wir wähle us der Fibocci-Folge 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 33 377 Teilfolge us ud frge ch dere Rekursiosformel.
Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen
Techikerschule Aufge für Klusure ud Aschlussprüfuge Epoetilgleichuge, Logrithmusgleichuge Grudlgewisse: Recheregel zur Epoetil- ud Logrithmusrechug. Hiweise ud Formelsmmlug siehe Seite - 5. Bereche Sie.
Münchner Volkshochschule. Themen
Theme Logik ud Megelehre Zhlesysteme ud Arithmetik Gleichuge ud Ugleichuge Li. Gleichugssysteme ud spez. Aweduge Geometrie ud Trigoometrie Vektore i der Ebee ud Puktemege Fuktioe eier Veräderliche Zhlefolge
4.5 Integralrechnung
.5 Itegrlrechug Ihltsverzeichis 1 Checkliste Eiführugsufgbe Die Lösug des Problems.1 Utersumme.......................................... Ds Summezeiche...................................... Die Berechug
Teilbarkeit. Christoph Dohmen. Judith Coenen. 17. Mai Christoph Dohmen, Diskrete Mathematik Teilbarkeit. Judith Coenen
Diskrete Mthemtik Teilrkeit Christoph Dohme 7. Mi 2006 Diskrete Mthemtik Teilrkeit Ihltsverzeichis. Eileitug 2. Der größte gemeisme Teiler 3. Divisio mit Rest 4. Der Eukli sche Algorithmus 5. Ds kleiste,
Stochastisches Integral
Kapitel 11 Stochastisches Itegral Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 1 / 2 Lerziele Wieer Prozess ud Browsche Bewegug Stochastisches Itegral Stochastische Differetialgleichug
( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade
Aufgbe : ( Pute Zeige Sie mithilfe des Biomische Lehrstzes: ( 3 ( 3 ist für lle N eie türliche Zhl Lösug : Nch dem biomische Lehrstz gilt: ( 3 Somit ergibt sich ( 3 ( 3 ( ( 3 bzw ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3
Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Anwendungen des bestimmten Integrals
Didaktik der Mathematik der Sekudarstufe II Aweduge des bestimmte Itegrals Fläche zwische zwei Graphe Mittelwert eier Fuktio Volume eies Rotatioskörpers Läge vo Kurve, die Graphe vo Fuktioe sid (Bogeläge
10. Stetigkeit Definition (Stetigkeit) Beispiele. Wir übertragen den Stetigkeitsbegriff für reelle Funktionen auf metrische Räume.
10 Stetigkeit Wir übertrge de Stetigkeitsbegriff für reelle Fuktioe uf metrische Räume 101 Defiitio (Stetigkeit) Seie (X, d x ), (Y,d y ) metrische Räume, f : X Y eie Abbildug Wir sge f ist stetig im Pukt
Technische Physiker II
Dteverrbeitug für Techische Physiker II Iterpoltio Guss-Itegrtio Nullstellesuche Apssugsprobleme Itegrtio ti gesucht: Aäherug ds bestimmte Itegrl b i f( x dx w f( E ( i i bisher: Polyome geriger Ordug
A 2 Die Cramersche Regel
Die Crmersche egel Mtrixschreibweise eies liere Gleichugssystems Die Crmersche egel 5 Wir gehe vo der llgemei Gestlt eies liere Gleichugssystems us : Gegebe seie m (reelle oder komplexe) Zhle ik (i,,,
VI. Integralrechnung. VI.1. Treppenfunktionen. 124 VI. Integralrechnung 5. Oktober 2006
24 VI. Itegrlrechug 5. Oktoer 26 VI. Itegrlrechug Nchdem wir im letzte Kpitel die Differetilrechug keegelert he, mit dere Hilfe es möglich ist, die Äderugsrte eier Fuktio durch dere Aleitug zu eschreie,
Kapitel I Zahlenfolgen und -reihen
Kpitel I Zhlefolge ud -reihe D (Zhlefolge) Ist jeder Zhl geu eie Zhl R,,,, eie (reelle) Zhlefolge bilde M schrieb: Die heiße Glieder der Zhlefolge zugeordet, so sgt m, dss die Zhle B Eie Zhlefolge ist
Ganzrationale Funktionen
Gazratioale Fuktioe 9. Defiitio gazratioaler Fuktioe Im Folgede werde ebe lieare ud quadratische Fuktioe auch solche betrachtet, bei dee die Variable i der dritte, vierte oder auch i eier och höhere Potez
In jeder noch so kleinen Umgebung von 2 liegen fast alle Folgenglieder. Die Folge hat den Grenzwert 2 und wir schreiben dafür: lim a = 2
0. Kovergez vo Folge ud Reihe Der i de Aschitte geometrische Folge ud Reihe eigeführte Grezwertegriff ist für die Alysis (Ifiitesimlrechug) grudleged. Im Folgede werde Grezwerte ei elieige Folge ud Fuktioe
Also definieren wir: Die Definition ist damit unabhängig vom Kürzen oder Erweitern des Exponenten.
7. Poteze mit rtiole Expoete Eiführedes Beispiel: Wir versuche ls Potez vo zu schreie. Bei dieser Erweiterug solle die isherige Potezgesetze gültig leie. x mit poteziert x x ( ) ( ) log 8 Also defiiere
Ober- und Untersummen
Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Oer- ud Utersumme Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Oer- ud Utersumme mit ud uedlich viele Streife siehe uch S. 5 im Buch. Oer- ud Utersumme
Kapitel 6 Differenzierbarkeit
Kapitel 6 Differezierbarkeit Ihalt 6.1 6.1Die Defiitio 6.2 6.2Die Eigeschafte 6.3 6.3Extremwerte Seite 2 Was heißt differezierbar? Differezierbare Fuktioe sid sid glatte Fuktioe. Wir Wir beschreibe diese
x mit Hilfe eines linearen, zeitinvarianten
Übug &Prktiku zu Digitle Sigle ud Systee The: Fltug Diskrete Fltug Wird ei zeitdiskretes Sigl ( T ) x it Hile eies liere, zeitivrite Siglverrbeitugssystes verrbeitet, so lässt sich ds Verhlte des verrbeitede
Fit in Mathe. April Klassenstufe 10 Wurzelfunktionen
Thema Fit i Mathe Musterlösuge 1 April Klassestufe 10 Wurzelfuktioe Uter der -te Wurzel eier icht-egative Zahl (i Zeiche: ) versteht ma die icht-egative Zahl, die mal mit sich selber multipliziert, die
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Warum Informatiker Integralrechnung brauchen
Pro. Dr. Wolgg Koe Mthemtik, WS6 9..7 7. Itegrlrechug "Sius mius Itegrl, Cosius hilt lleml..." [Studiosus Aoymus] 7.. Wrum Iormtiker Itegrlrechug ruche Die Itegrtio ist ls Umkehrug der Dieretitio us sich