Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
|
|
- Joachim Brinkerhoff
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo Polyome 9 Für Experte Komplexe Zhleeee Bektlich k m jede Pukt der Eee mit wei Koordite eschreie Ist die erste Koordite ud die weite Koordite, d P schreit m de Pukt i der Form P i Defiitio: Jede Pukt P der Eee k m ls eie komplexe Zhl i schreie Fsst m die Pukte der Eee ls komplexe Zhle uf, d et m die Eee die komplexe Zhleeee Defiitio: Die Mege heißt Mege der komplexe Zhle i, Defiitio: Für eie komplexe Zhl i heißt der lteil ud der giärteil Schreiweise: ud Zhle der Form (lso giärteil ) liege uf der chtschse, die m i der komplexe Zhleeee die reelle Achse et Diese Zhle sid die reelle Zhle, ud die reelle Achse ist die gewöhliche Zhlegerde Jede reelle Zhl ist lso eie speielle komplexe Zhl Zhle der Form i (lso lteil ) heiße imgiäre Zhle Sie liege uf der Hochchse, die m i der komplexe Zhleeee die imgiäre Achse et Defiitio: Der Betrg eier komplexe Zhl i ist i Der Betrg eier komplexe Zhl ist der Astd der Zhl i der komplexe Zhleeee vom Ursprug Für eie reelle Zhl i ist, lso der üliche Betrg us_komplexehle /
2 Beispiel: ist i der komplexe Zhleeee der Kreis um mit dem Rdius Defiitio: Für eie komplexe Zhl i heißt i die kojugiert komplexe Zhl i Die kojugiert komplexe Zhl etsteht durch eie Spiegelug der reelle Achse i Für eie reelle Zhl ist die kojugiert komplexe Zhl gleich der Zhl selst che mit komplexe Zhle i cdi c d i Defiitio (Additio): Deutug i der komplexe Zhleeee: De komplexe Zhle i ud w c di etspreche die Pukte P ud Q c d mit de c Ortsvektore OP ud OQ d Der Summe w etspricht der Pukt mit dem Ortsvektor OP OQ c d w w Für reelle Zhle i ud w c i Additio ist Feststellug: Für die Additio komplexer Zhle gilt: ds Kommuttivgeset: ; ds Assoitivgeset: ; es git ei eutrles Elemet: ; 4 jede Zhl i ht eie Gegehl, ämlich i w c i c, lso die üliche, so dss gilt: Für eie reelle Zhl i ist die Gegehl i, lso die üliche Gegehl i Die Gegehl etsteht durch eie Spiegelug m Ursprug i Wie ei reelle Zhle wird die Sutrktio defiiert ls die Additio der Gegehl: Defiitio (Sutrktio): w w us_komplexehle /
3 Also ist icdi c di Der Astd weier reeller Zhle ud uf der Zhlegerde ist für komplexe Zhle: Ds gilt etspreched Merke: Der Astd weier komplexer Zhle ud w i der komplexe Zhleeee ist w Beispiel: i ist i der komplexe Zhleeee der Kreis um i mit dem Rdius Defiitio (Multipliktio): ic d i c d d ci Beispiel: ii i i i Für reelle Zhle i ud wc i ist w i c i c c c, lso die üliche Multipliktio Feststellug: Für die Multipliktio komplexer Zhle gilt: ds Kommuttivgeset: ; ds Assoitivgeset: ; es git ei eutrles Elemet: Feststellug: Für die Additio ud die Multipliktio komplexer Zhle gilt ds Distriutivgeset: Ttsächlich muss m sich die Defiitio der Multipliktio icht merke, soder m schreit die komplexe Zhle i Klmmer, multipliiert wie ülich us ud ersett i i durch Beispiel: i 4 5i 4 5ii4 i5i 8 ii5ii 8 i5 7 i Defiitio (-te Pote): Beispiel: i ii Fktore (,,, ) Feststellug: Jede komplexe Zhl i, ht eie Kehrhl, ämlich i, so dss gilt: Beweis: Es ist i i, lso i i i i i us_komplexehle /
4 Bemerkug: Es ist, lso Wege ist Für eie reelle Zhl i ist, lso die üliche Kehrhl Defiitio (Divisio): w w ( w ) Diese Defiitio ergit für reelle Zhle die üliche Divisio Ttsächlich muss m sich die Defiitio der Divisio icht merke, soder m erweitert de Bruch mit dem komplex kojugierte Neer ud wedet die dritte iomische Formel Beispiel: 45i68i 4 5i 4 ii4 64 i 64 6 i i 6 8i 6 8i 6 8i Für Experte: Die komplexe Zhle ilde eie Körper Polrform komplexer Zhle Feststellug ud Defiitio: Jeder komplexe Zhl k m de Wikel wische der positive reelle Achse ud der Strecke uorde, woei 8 8 gilt Dieser Wikel heißt ds Argumet vo Schreiweise: rg Beispiel: rg i 9 rg : Berechug vo Soderfälle: reell, lso : ) : ) : 8 imgiär, lso i: c) : 9 d) : 9 Allgemeier Fll: Für i ist t i us_komplexehle 4/
5 Achtug: Fll ud ist 9 8, ud m muss 8 um WTR-Ergeis ddiere Beispiel: i t,7 8 46, ud ist 8 9, ud m muss 8 vom WTR-Ergeis sutrhiere Beispiel: i t, , Eie komplexe Zhl i, k m mit ihrem Betrg r ud ihrem Argumet rg drstelle: Soderfll r (Vergleiche Sius ud Kosius im Eiheitskreis ) gilt cos si i llgemeie Fll mit elieigem r dekt m sich ds oige Bild etrisch gestreckt, mit dem Ursprug ls Strecketrum ud dem Streckfktor r D erhält m r cos r si r r i r Also gilt i r cos r si i r cos si i Ds ist die Drstellug mit dem Betrg ud dem Argumet: Defiitio: Die Polrform eier komplexe Zhl ist r cos si i mit r ud rg Gegest ur Polrform heißt die Drstellug i die Normlform us_komplexehle 5/
6 Umrechug vo der Normlform i r Bestimme rg wie oe erläutert Umrechug vo der Polrform r cos si i i die Polrform r cos si i : i die Normlform i: rcos rsi i, lso r cos ud r si Feststellug (Beweis siehe Für Experte ): Für komplexe Zhle r cos si i r cos si i ist rr cos si i Also gilt: ud rg rg rg Für Experte: M muss evtl 6 ddiere oder sutrhiere Merke: Bei der Multipliktio komplexer Zhle multipliiere sich die Beträge ud ddiere sich die Argumete ud Durch -fche Awedug dieser Formel w durch vollstädige Iduktio folgt der St (Formel vo Moivre): Die -te Pote (,,, ) eier komplexe Zhl rcos si i ist r cos si i Also gilt: rg rg Für Experte: M muss evetuell 6 oder ei Vielfches vo 6 ddiere oder sutrhiere Wurel komplexer Zhle Defiitio: Gegee ist eie komplexe Zhl ud eie türliche Zhl Eie komplexe Zhl w mit w heißt eie -te Wurel vo ; im Fll heißt w eie Qudrtwurel vo Liest m die Formel vo Moivre rückwärts, d erhält m de St: Jede komplexe Zhl ht eie -te Wurel (,, 4, ), ämlich die Zhl w mit w ud rg w rg us_komplexehle 6/
7 Also ist w rg cos ud w rg si Stdrdufge: Bereche eie -te Wurel w eier komplexe Zhl i Lösug: Bereche Bereche t rg rg Achtug: Fll ud muss m 8 um WTR-Ergeis ddiere, ud im Fll ud muss m 8 vom WTR-Ergeis sutrhiere! rg rg w cos ud w si Bereche Feststellug: Ist die Zhl w eie -te Wurel der Zhl (,,4, ), d erhält m eie weitere -te Wurel w vo, idem m ds Argumet vo w um 6 vergrößert Beweis: D w eie -te Wurel vo ist, gilt rg w rg Drus folgt 6 rg w rg w rg w 6 rg w rg Also ist uch w eie -te Wurel vo Folgerug: Eie komplexe Zhl ht für jede türliche Zhl midestes verschiedee -te Wurel Beweis: M k ds Argumet eier -te Wurel -ml um 6 erhöhe, is m ds ursprügliche Argumet plus 6 ud dmit die ursprügliche -te Wurel erhält Feststellug: Eie komplexe Zhl ht für jede türliche Zhl höchstes verschiede -te Wurel Beweis: Eie -te Wurel vo ist eie Nullstelle des Polyoms x, ud wie im elle ht ei Polyom vom Grd höchstes Nullstelle Drus folgt der St: Eie komplexe Zhl ht für jede türliche Zhl geu verschiedee -te Wurel Bei reelle Zhle ist ds ektlich ders: Eie positive reelle Zhl x ht geu eie reelle -te Wurel, ämlich x Ist x eie egtive reelle Zhl ud ugerde, d ht x geu eie reelle -te Wurel, ämlich x us_komplexehle 7/
8 Ist x eie egtive reelle Zhl ud gerde, d ht x keie -te Wurel Fll : Eie komplexe Zhl ht wei verschiedee Qudrtwurel: Die Zhl w mit w die Zhl w w rg ud rg w ; Soderfll: Eie egtive reelle Zhl x ht die eide Qudrtwurel w Beispiel: Die Zhl ht die eide Qudrtwurel i ud i x i ud w x i Alle -te Wurel eier komplexe Zhl he desele Betrg uterscheide sich jeweils um 6 Drus folgt die, ud ihre Argumete Feststellug: I der komplexe Zhleeee liege die -te Wurel ( ) eier Zhl uf dem Kreis um de Ursprug mit dem Rdius, ud sie sid die Eckpukte eies regelmäßige -Ecks Beispiel: Die vierte Wurel vo sid i,, i ud Sie liege uf dem Eiheitskreis ud sid die Ecke eies Qudrts i i Feststellug: Ist die Zhl w eie -te Wurel der Zhl, d ist w eie -te Wurel vo Beweis: D w eie -te Wurel vo ist, gilt w M k chreche, dss w w gilt Drus folgt durch vollstädige Iduktio: w w Also ist w, d h w ist eie -te Wurel vo Formel vo Crdo Für eie speielle Form eier Gleichug dritte Grdes git es eie Lösugsformel: St (Formel vo Crdo; ohe Beweis): Gegee ist eie Gleichug der Form x pxq ( p, q ) Bei geeigeter Whl der Wurel ist q q p q x D D mit D eie reelle Lösug der Gleichug Es git wei Fälle: Ist D, d ist D eie reelle Zhl, ud ei der Berechug der Lösug trete ur reelle Zhle uf, weil m ls dritte Wurel eier reelle Zhl immer eie reelle Zhl ehme k us_komplexehle 8/
9 Ist D, d ist D D i Sett m q : D, d lutet die Formel vo Crdo: x Ist w eie dritte Wurel vo, d ist w eie dritte Wurel vo Also ergit die Formel vo Crdo die Lösug x w w Die Zhl x ist eie reelle Zhl, de für jede komplexe Zhl w i ist ww i i w Stdrdufge: Bestimme eie reelle Lösug der Gleichug x px q Lösug: p q Bereche D q q Fll D : Bereche x D D Fll D : q Bereche D mit D D i 4 Bereche de lteil w rg cos eier dritte Wurel w vo x w 5 Bereche Bemerkug: Eie (elieige) Gleichug dritte Grdes x x cxd ( cd,, ) k durch eie geeigete Sustitutio i eie Gleichug der Form pq üerführt werde, siehe Für Experte Also k m mit der Formel vo Crdo elieige Gleichuge dritte Grdes löse Nullstelle ud Fktorisierug vo Polyome Defiitio: Ei Polyom p x x x x heißt ei reelles Polyom (w komplexes Polyom), we lle Koeffiiete,,, reelle Zhle (w komplexe Zhle) sid Ei reelles Polyom ist lso ei speielles komplexes Polyom us_komplexehle 9/
10 Bektlich ht ei reelles ormiertes qudrtisches Polyom x px q die Nullstelle p p x, q p Ist q, d ht ds Polyom die eide komplex kojugierte Nullstelle p p, q i Bemerkuge: Eigetlich drf m im Komplexe ds Wureleiche icht verwede Wege ist ds er i Ordug Ds Polyom ht keie reelle Zerlegug, er die komplexe Zerlegug x px q x x Ht ei reelles Polyom x x p x eie reelle Nullstelle x, d lässt sich vo splte, d h es git ei reelles Polyom q x mit p x x x q x p x ei Lierfktor Etspreched gilt: Ht ei (reelles oder komplexes) Polyom d lässt sich vo p x ei Lierfktor x splte, d h es git ei komplexes Polyom qx mit Feststellug: Für jede komplexe Zhl gilt p x x q x Isesodere ist ds Polyom p x x x reell Beweis: x x x x p x eie komplexe Nullstelle, p x x x x xx x x x x Fudmetlst der Alger (ohe Beweis): Der Körper der komplexe Zhle ist lgerisch geschlosse, d h jedes ichtkostte komplexe Polyom ht (midestes) eie komplexe Nullstelle Bemerkuge: Also ht uch jedes ichtkostte reelle Polyom (midestes) eie komplexe Nullstelle Der St sgt icht, wie m eie Nullstelle estimme k us_komplexehle /
11 Folgerug: Jedes ichtkostte (reelle oder komplexe) Polyom lässt sich ls Produkt vo komplexe Lierfktore schreie, d h für ei ormiertes Polyom -te Grdes px x iedrigere Terme gilt p x x x x Diese Nullstelle köe teilweise gleich sei Feststellug (Beweis siehe Für Experte ) : Ht ei reelles Polyom eie komplexe Nullstelle, d ist uch die kojugiert komplexe Zhl eie Nullstelle des Polyoms Ei reelles Polyom k m lso immer folgedermße fktorisiere: Zu jeder reelle Nullstelle gehört ei reeller Lierfktor Ei Polyom ugerde Grdes ht immer eie reelle Nullstelle Nch dem Asplte des ugehörige Lierfktors leit ei Polyom gerde Grdes ürig We dieses Polyom keie reelle Nullstelle ht, d ht es wei kojugiert komplexe Nullstelle Ds Produkt der eide ugehörige Lierfktore ist ei reelles qudrtisches Polyom, ds m splte k Drus folgt ds Ergeis: Jedes ichtkostte reelle Polyom lässt sich ls ei Produkt vo reelle Lierfktore ud reelle qudrtische Terme schreie, d h für ei ormiertes Polyom px x iedrigere Terme gilt p x x x xx x x x p xq x p xq x p xq Für Experte r k k Beweis der Feststellug: Für komplexe Zhle r cos si i r cos si i gilt rr cos si i ud Beweis: Ohe Begrüdug: Additiostheoreme für Sius ud Kosius: si si cos cos si cos cos cos si si Drus folgt r cos si i r cos si i cos cos si si cos si si cos cos si i rr i rr us_komplexehle /
12 Feststellug: Eie Gleichug der Form x x cxd ( cd,, ) wird durch die Sustitutio x w x i eie Gleichug der Form pq üerführt Beweis: Die Sustitutio ergit c d c c d 9 c c d 7 9 c c d 7 Beweis der Feststellug: Ht ei reelles Polyom eie komplexe Nullstelle, d ist uch die kojugiert komplexe Zhl eie Nullstelle des Polyoms Beweis Sei p x x x x D gilt p w w w w für ist p us_komplexehle /
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo
MehrKomplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
MehrKomplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
MehrDas Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Durch Berechnung der entsprechenden Wurzel entsteht wieder der Wert der Basis.
. Wurzel Ds Wurzelziehe (Rdiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Durch Berechug der etsprechede Wurzel etsteht wieder der Wert der Bsis. poteziere Wurzel ziehe. Die Qudrtwurzel Ds Ziehe der Qudrtwurzel
MehrFORMELSAMMLUNG ARITHMETIK. by Marcel Laube
FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK y Mrcel Lue EINFÜHRUNG... DIE OPERATIONS-STUFEN... OPERATIONE 1. STUFE: ADDITION UND SUBTRAKTION... BEZEICHNUNGEN... VORZEICHENREGEL... RECHENOPERATION. STUFE... MULTIPLIKATION:...
MehrZusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für
MehrSS 2017 Torsten Schreiber
SS 07 Torste Schreier e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste
MehrAlgebra/Arithmetik. Eine Variable ist ein Platzhalter oder ein Stellvertreter für eine Zahl.
Algebr/Arithmetik 1. Grudbegriffe Geometrie: Lehre vo de Rumgrösse Algebr: Lehre vo de Gleichuge Arithmetik: Lehre vo de Zhlegrösse (Zhle, Vrible) Defiitio: Eie Vrible ist ei Pltzhlter oder ei Stellvertreter
MehrTeilbarkeit. Christoph Dohmen. Judith Coenen. 17. Mai Christoph Dohmen, Diskrete Mathematik Teilbarkeit. Judith Coenen
Diskrete Mthemtik Teilrkeit Christoph Dohme 7. Mi 2006 Diskrete Mthemtik Teilrkeit Ihltsverzeichis. Eileitug 2. Der größte gemeisme Teiler 3. Divisio mit Rest 4. Der Eukli sche Algorithmus 5. Ds kleiste,
MehrLogarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines
Eie Gleichug höhere Grdes wie z. B. Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 I. Allgemeies k ch ufgelöst werde, idem m die Wurzel zieht. Tritt die Uekte jedoch im Epoete eier Potez uf, spricht
Mehr5.6 Additionsverfahren
5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
MehrZahlenbereiche. Jeder Zahlenbereich ist eine Erweiterung des vorigen und enthält diesen
Mthemtik Ihlt Zhlebereiche Recheopertioe Hierrchie der Recheopertioe Recheregel Brüche Recheregel für Brüche Klmmerreche Potezrechug Potezgesetze Ntürliche Zhle Zhlebereiche Jeder Zhlebereich ist eie Erweiterug
MehrTerme. Kapitel 2. Terme. Wertebereich. Summensymbol. Summensymbol Rechnen. Summensymbol. Aufgabe 2.1. Summensymbol Rechnen.
Terme Kpitel Terme Ei mthemtischer Ausdruck wie B R q q (q ) oder (x + )(x ) x heißt eie Gleichug. Die Ausdrücke uf beide Seite des -Zeiches heiße Terme. Sie ethlte Zhle, Kostte (ds sid Symbole, die eie
MehrGrundlagen Mathematik 9. Jahrgangsstufe
Grudlge Mthetik 9. Jhrggsstufe ALGEBRA. Uter der (Qudrt-)Wurzel Zhl, die qudriert ergit : der positive Zhl versteht diejeige positive heißt dei der Rdikd.. Rtiole Zhle Q = lle Brüche zw. edliche oder uedlich
MehrKlasse 10 Graphen von ganzrationalen Funktionen skizzieren
Klsse 0 Grphe vo grtiole Fuktioe skiiere Nr.3-4.4.06 Ausggslge Vorwisse Die SuS kee Grudfuktioe ud ihre Grphe: f() = ²; ³; ⁴ f() = ; f() = Die SuS kee bei Grudfuktioe folgede Veräderuge: g() = f() Der
MehrKapitel VII: Der Körper der komplexen Zahlen
Lieare Algebra II SS 011 - Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle 3 Der Körper der komplexe Zahle A Die Mege der komplexe Zahle B Grudrechearte im Bereich der komplexe Zahle C Realteil Imagiärteil
MehrRepetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthemtik Repetitiosufge Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Voremerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufge Poteze mit Musterlösuge F) Aufge Potezgleichuge mit Musterlösuge
MehrAufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen
Techikerschule Aufge für Klusure ud Aschlussprüfuge Epoetilgleichuge, Logrithmusgleichuge Grudlgewisse: Recheregel zur Epoetil- ud Logrithmusrechug. Hiweise ud Formelsmmlug siehe Seite - 5. Bereche Sie.
MehrVektorrechnung. Ronny Harbich, 2003
Vektorrechug Ro Hrich, 2003 Eiführug Ihlt Defiitio Betrg Sklrmultipliktio Nullvektor Gegevektor Eiheitsvektor Additio Sutrktio Gesetze Defiitio Ei Vektor ist eie Mege vo Pfeile, die gleichlg (kogruet),
MehrAbleitungsregeln. Produkte- und Quotientenregel. Ableitung einiger wichtiger Funktionen. Kettenregel. Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik DIFFERENTIATION Ableitugsregel (f + g) = f + g (cf) = c f, c R ( ) = (c) =, c R Dmit köe wir Polyome bleite: Beispiel. ( 5 + 3 + ) = ( 5 ) + 3( ) + () = 5 4 + 3 = 5 4 + 6 Produkte- ud
MehrMathematik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösungen zu Serie 6
Mthemtik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösuge zu Serie 6 26 Utersuche die folgede Fuktioefolge uf puktweise beziehugsweise gleichmäßige Kovergez, d.h. bestimme jeweils ob diese vorliegt ud gebe
MehrTeilfolgen aus und fragen nach deren Rekursionsformel. Die Ideen gehen auf Édouard Lucas zurück.
Hs Wlser, [0090331] Teilfolge der Fibocci-Folge 1 Worum geht es? Wir wähle us der Fibocci-Folge 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 33 377 Teilfolge us ud frge ch dere Rekursiosformel.
MehrLGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018
LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
Mehr7 Ungleichungen und Intervalle
Mthemtik. Klsse 7 Ugleichuge ud Itervlle Aufgbe 0 Löse Sie folgede Ugleichuge > + 8 < 5 + + 7. Itervlle Um gze Bereiche vo reelle Zhle zugebe, wird die Schreibweise mit Itervlle verwedet. Beispiele [,
MehrDefinition einer Gruppe
Defiitio eier Gruppe Uter eier Gruppe versteht i der Mthetik eie Ahl vo Eleete, die durch Regel i Beiehug stehe. Bediguge für eie thetische Gruppe: I. Verküpfug weier beliebiger Eleete (ud dit uch ds Qudrt
MehrALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Grudlge Muskript zur Wiederholug Dtei Nr. Dezember 00 Friedrich W. Buckel Itertsgymsium Schloß Torgelow Ihlt Poteze mit türliche Expoete Potezgesetze Poteze mit egtive gze Expoete
Mehr8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
MehrPotenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze
R. Brik http://rik-du.de Seite 9.0.00 Poteze, Wurzel ud ihre Rechegesetze Der Potezegriff Defiitio: Eie Potez ist eie Multipliktio gleicher Fktore (Bsis), ei der der Epoet die Azhl der Fktore git. : =...
Mehr7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7. Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergit. x x für 0 9 9 * : Wurzelexpoet, N ud : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer t) Poteziere: Bsis ud Expoet sid gegee,
Mehr1. Grundlagen. 2. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 3. Vektorrechnung. 4. Trigonometrische Funktionen. 5. Differentialrechnung. 6.
Ihlte Brüceurs Mthemti Fchhochschule Hover SS 0 Dipl.-Mth. Coreli Reiterger. Grudlge. Poteze, Wurzel, Logrithme. Vetorrechug 4. Trigoometrische Futioe. Differetilrechug. Itegrlrechug 7. Mtrize, Liere Gleichugssysteme
MehrZusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud -ugleichuge 6 Für Eperte 9 Polyomgleichuge ud -ugleichuge Defiitio: Ei Term
Mehr- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
MehrEine Folge ist eine durchnummerierte (Index) Abfolge von Zahlen die eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine andere Zahlenmenge darstellt.
. Kovergez.. Eiführug i ds Prizip der Folge Eie Folge ist eie durchummerierte (Idex) Abfolge vo Zhle die eie Abbildug der türliche Zhle uf eie dere Zhlemege drstellt. Beispiel: : = k uch ls Abbildug: f
MehrKommutativgesetz 1.) a + b = b + a Entsprechende Umformungen gelten. Assoziativgesetz 3.) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
03.05.0 Elemetre Termumformuge Kommuttivgesetz. + + Etsprehede Umformuge gelte... für Sutrktio ud Divisio iht. Assozitivgesetz 3. ( + + + ( + + + 4. (... (... 5. ( + - + ( - + - 6. (. :. ( :. : Etsprehede
MehrKomplexe Zahlen. Lernziele dieses Abschnitts sind:
KAPITEL 1 Komplexe Zahle Lerziele dieses Abschitts sid: (1) Aalytische ud geometrische Darstellug komplexer Zahle, () Grudrechearte fur komplexe Zahle, (3) Kojugatio ud Betrag komplexer Zahle, (4) Losug
Mehr1. Übungsblatt zur Analysis II
Fchereich Mthemtik Prof Dr Steffe Roch Nd Sissouo WS 9/ 69 Üugsltt zur Alysis II Gruppeüug Aufge G Bestimme Sie für jede der folgede Fuktioe f : [, ] R ds utere ud oere Itegrl ud etscheide Sie, o die Fuktio
MehrGrundwissen Mathematik Klasse 9
Grudwisse Mthetik Klsse Reelle Zhle: Qudrtwurzel: ist die icht-egtive Lösug der Gleichug:. Merke: heißt Rdikd ud drf icht egtiv sei! Bsp.: 7 6, 7 7 Irrtiole Zhle: Jede Zhl, die sich icht ls Bruch drstelle
MehrZusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Eperte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
MehrZusammengesetzte Funktionen
Nr7-2204 Zusmmegesetzte Fuktioe Aus Fuktioe g ud h werde eue Fuktioe gebildet: ) f = gh, mit f() = g() h() ; Summe b) f = g-h, mit f() = g() - h() ; Differez c) f = g h, mit f() = g() h() ; Produkt d)
MehrGrundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen
Fchbereich Mthemtik Algebr ud Zhletheorie Christi Curill Grudlge der Mthemtik LPSI/LS-M) Lösuge Bltt WiSe 00/ - Curill/Koch/Ziegehge Präsezufgbe P3)-d) Für jede der vier Mege gilt, dss die dri ethltee
MehrTaylor Formel: f(x)p(x)dx = f(c)
Tylor Formel Die Tylorsche Formel liefert eie Approximtio eier Fuktio durch ei Polyom, gemeism mit eier Abschätzug des Fehlerterms. Zwischewertstz: Eie stetige Fuktio f : [, b] R immt jede Wert γ zwische
Mehrc) Wir betrachten alle möglichen Potenzen der natürlichen Zahlen. In welchen Fällen endet das Ergebnis einer Potenz immer auf eine 1?
Aufge : Poteze ) We die Zhl elieig oft mit sich selst multipliziert wird, d edet ds Ergeis immer uf eie. Git es och mehr Zhle, die diese Eigeschft esitze? ) Welche Edziffer esitzt die ute stehede Summe?
Mehr4 Andreas Gathmann. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2
4 Adreas Gathma 1. Komplexe Zahle Bevor wir mit der komplexe Aalysis begie, wolle wir uächst die grudlegede Defiitioe ud Eigeschafte der komplexe Zahle och eimal kur wiederhole. Defiitio 1.1. Die Mege
MehrA 2 Die Cramersche Regel
Die Crmersche egel Mtrixschreibweise eies liere Gleichugssystems Die Crmersche egel 5 Wir gehe vo der llgemei Gestlt eies liere Gleichugssystems us : Gegebe seie m (reelle oder komplexe) Zhle ik (i,,,
Mehr2. Zehnerpotenzen 2.1 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten 2.2 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten 2.3 Zusammenfassung von 2.
Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG -502- Zusmmefssug: Poteze / Wurzel Potez 1 Ws ist eie Potez? 2 Poteze mit positivem Expoete 3 Poteze mit egtivem Expoete 4 Zusmmefssug vo 2. Zeherpoteze
Mehrmultipliziert und der Ausdruck dann in Real- und Imaginärteil aufgespaltet: Zur Berechnung der Phase werden Zähler und Nenner zunächst mit 1 F F
8 requezgg lierer Sstee 9 t t t e e e Jede Differetitio etspricht lso eier Multipliktio it! Setze wir diese ere i die Differetilgleichug 87 ei, so erhlte wir ür de requezgg ergit sich lso 88 Beispiel:
MehrD-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis II FS 2018 Prof. Manfred Einsiedler. Lösung 2
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Alysis II FS 28 Prof. Mfred Eisiedler Lösug 2 Hiweise. Gehe Sie log zum Kochrezept zur Treug der Vrible i liere Differetilgleichuge vor (siehe Abschitt 7.5.3 im Skript). 2. Bemerke
MehrGlossar zum Brückenkurs "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" 1
Glossr zum Brückekurs "Mthemtik für Wirtschftswisseschftler" GLOSSAR Abbildug Eie eideutige Zuordug f zwische zwei Mege X ud Y heißt Abbildug oder Fuktio us X i Y. M schreibt: f: X Y. f heißt Abbildug
Mehrmathphys-online WURZELFUNKTIONEN Graphen der n-ten Wurzelfunktion y-achse
mthphys-olie WURZELFUNKTIONEN Grphe der -te Wurzelfuktio.5.5.5 0.5 0 0.5.5.5.5.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 = = = mthphys-olie Wurzelfuktioe Ihltsverzeichis Kpitel Ihlt Seite Die Wurzel ud Wurzelgesetze Die eifche
MehrÜbersicht Integralrechnung
Vorbemerkug Übersicht Itegrlrechug Diese Übersicht fßt wesetliche Pukte der Vorlesug zusmme. Sie ersetzt icht die usführliche Vorlesugsmitschrift, weil die dort behdelte Beispiele ud Erläuteruge für die
MehrAlso definieren wir: Die Definition ist damit unabhängig vom Kürzen oder Erweitern des Exponenten.
7. Poteze mit rtiole Expoete Eiführedes Beispiel: Wir versuche ls Potez vo zu schreie. Bei dieser Erweiterug solle die isherige Potezgesetze gültig leie. x mit poteziert x x ( ) ( ) log 8 Also defiiere
MehrSeminarstunden S-Std. (45 min) Nr. Modul Theorie Übungen. 14 Potenzieren und Radizieren 1 1
Mthemtik Grudlge Poteziere ud Rdiziere Mthemtik Grudlge für Idustriemeister Semirstude S-Std. (45 mi) Nr. Modul Theorie Üuge 4 Poteziere ud Rdiziere Ihlt 4 Poteziere ud Rdiziere... 4. Poteziere... 4..
MehrALGEBRA Potenzen Teil 2. Trainingsheft. Alle Regeln Musterbeispiele - Trainingsaufgaben. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
ALGEBRA Poteze Teil it egtive Expoete Triigsheft Alle Regel Musterbeispiele - Triigsufgbe Dtei Nr. 0 Std 9. Dezeber 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.the-cd.de 0 Potezreche
MehrKAPITEL 1. Komplexe Zahlen. 1.1 Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen Was sind komplexe Zahlen? Komplexe Zahlenebene...
KAPITEL 1 Komplexe Zahle 1.1 Lerziele im Abschitt: Komplexe Zahle...................... 1. Was sid komplexe Zahle?............................. 1. Komplexe Zahleebee............................... 1. Grudrechearte
Mehr1 Mengen, reelle Zahlen, Gleichungen
- - Mege, reelle Zhle, Gleichuge. Grudbegriffe der Megelehre.. Megebildugsprizip Def.: Uter eier Mege verstehe wir die Zusmmefssug gewisser, uterschiedlicher Objekte, Elemete get, zu eier Eiheit. Drstellugsforme:
MehrVorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2 1
Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 1 Reche mit Poteze N bezeichet die Mege der türliche Zhle, Q die Mege der rtiole Zhle ud R die Mege der reelle Zhle. N bedeutet: ist eie türliche Zhl.
MehrAnalysis I SS Zusammenfassung Stephan Weller, Juli 2002
Alysis I SS 2 Zusmmefssug Steph Weller, Juli 22 Ihlt. Vollstädige Idutio ud Ugleichuge 2. Folge ud Reihe 3. Kovergez ud Stetigeit 4. Differetitio, lole Extrem, Kovexität 5. Itegrtio, Sustitutiosregel ud
MehrFunktion: Grundbegriffe A 8_01
Fuktio: Grudegriffe A 8_ Eie Fuktio ist eie eideutige Zuordug: Jede Wert us der Defiitiosege wird geu ei Wert us der Werteege zugeordet. Ist f eie Fuktio ud sid ud y eider zugeordete Werte, d schreit kurz:
MehrWar Benjamin Franklin Magier?
Wr Bejmi Frkli Mgier? Zusmmefssug Es wird eie Methode etwickelt, ei (fst) mgisches Qudrt der Ordug 8 k ( k ) mit fsziierede Eigeschfte herzustelle. Eileitug I seiem überus leseswerte ud bwechslugsreiche
MehrMathematikaufgabe 79
Home Strtseite Impressum Kotkt Gästeuh Aufge: Betrhte wir wei sih sheiee Kreise mit utershielihe ie u gemeismer Tgete Berehe Sie s Verhältis er Bogeläge vom Shittpukt es jeweilige Kreises mit er Tgete
Mehr( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade
Aufgbe : ( Pute Zeige Sie mithilfe des Biomische Lehrstzes: ( 3 ( 3 ist für lle N eie türliche Zhl Lösug : Nch dem biomische Lehrstz gilt: ( 3 Somit ergibt sich ( 3 ( 3 ( ( 3 bzw ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3
MehrA. Bertrand sches Sehnenparadoxon, Modellierung V Zwei Punkte zufällig im Kreis (S. 212/213)
A. Bertrd sches Seheprdoxo, Modellierug V Zwei Pukte zufällig i Kreis (S. /) I Abb..58 sid 5 Sehe gezeichet, vo dee 7 kürzer ls die Dreiecksseite sid. Die reltive Häufigkeit ist,8. Bei große Versuchszhle
MehrKapitel I Zahlenfolgen und -reihen
Kpitel I Zhlefolge ud -reihe D (Zhlefolge) Ist jeder Zhl geu eie Zhl R,,,, eie (reelle) Zhlefolge bilde M schrieb: Die heiße Glieder der Zhlefolge zugeordet, so sgt m, dss die Zhle B Eie Zhlefolge ist
MehrJetzt ändert sich die dritte Stelle nach dem Komma nicht mehr, man hat also vier zählende Stellen
9. M setze = ud bereche mit Hilfe der Folge (9.5) die dritte Wurzel us uf vier zählede Stelle geu. = + + =,, =,, =.75, 4 =,48889, =,449, =,4478 Jetzt ädert sich die dritte Stelle ch dem Komm icht mehr,
MehrTerme und Formeln Potenzen II
Terme ud Formel Poteze II Die eizige schriftliche Überlieferug der Mthemtik der My stmmt us dem Dresder Kodex. Ds Zhlesystem der Mys beruht uf der Bsis 0. Als Grud dfür wird vermutet, dss die Vorfhre der
Mehr4.1 G sei Gruppe (mit multiplikativ geschriebener Verknüpfung) und a G. Dann heißt. falls a k 1 G k 1 ord(a) := k 1 a k = 1 G sonst
15 Wichtige Sätze ud Defiitioe zu 4: Ds qudrtische Rezirozitätsgesetz us der Vorlesug: LV-NR 150 39 Verstltug Diskrete Mthemtik II, 4.0 std Dozet Holtkm, R. 4.1 G sei Grue (mit multiliktiv geschriebeer
Mehr9. Jahrgangsstufe Mathematik Unterrichtsskript
. Jhrggsstufe Mthetik Uterrichtsskript. Die ioische Forel Beispiel: Auftrg: Bereche die Gestfläche der oe stehede Figur uf zwei verschiedee Arte!. Möglichkeit. Möglichkeit: Teilflächeerechug Mit Zhleeispiel
MehrLösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
Aufgbe : ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf: = kein Problem einfch die Wurel iehen und ds ± nicht vergessen.. = = ±, b) + 5 = 0 Hier hben wir bei jedem Ausdruck ein, lso können wir usklmmern:
MehrMathematik. Beträge und Ungleichungen. Absoluter Betrag. y < r ist also gleichwertig mit r < y < r
Mthemtik Beträge ud Ugleichuge Absoluter Betrg Es sei IR. Uter dem bsolute Betrg vo versteht m geometrisch de Abstd des der Zhl etsprechede Puktes vom Nullpukt. Für beliebiges reelles gilt Nch Defiitio
Mehr7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
MehrAnalysis I Probeklausur 2
WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik für Physiker (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugsblatt 4 http://www-m5matumde/allgemeies/ma90 07W (007)
MehrEinführung in das Mathematikstudium und dessen Umfeld
Eiführug i das Mathematikstudium ud desse Umfeld (Uterrichtsfach) LVA 05.700 C. Fuchs, K. Fuchs, C. Karolus Wiederholug Schulstoff II WS 2015/16 Die komplexe Zahle Wie wir bereits im erste Teil bemerkt
MehrThema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen
Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche
MehrBBS Nürnberg Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe
S Nürerg Grudwisse Mthetik 8. Jhrggsstufe Wisse ud Köe. Fuktioe eeihuge: D Defiitiosege f( Fuktiosvorshrift f( Fuktioster f( Fuktiosgleihug Fuktioswert vo ufge ud eispiele Eie Fuktio ist eie Zuordug, die
Mehr118 7 Potenzreihen. eine Folge von (reellen) Funktionen mit Definitionsgebieten D(f j), j N, und. = M D(f j ) R. j=1
8 7 Potezreihe 7 Potezreihe 7. Fuktioefolge ud -reihe Puktweise ud gleichmäßige Kovergez vo Fuktioefolge Sei f j ) j= eie Folge vo reelle) Fuktioe mit Defiitiosgebiete Df j), j N, ud = Df j ) R. j= D bilde
MehrBRÜCKENKURS MATHEMATIK
Brückekurs: Elemete der Differetil- ud Itegrlrechug - Prof. Dr. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK ELEMENTE DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG Schwerpukte: Begriff der Aleitug Aleitugsregel Uestimmtes
MehrEinheitswurzeln und Polynome
Eiheitswurzel ud Polyome Axel Schüler, Mathematisches Istitut, Uiv. Leipzig mailto:schueler@mathematik.ui-leipzig.de Grüheide, 1.3.2000 Kojugatio ud Betrag Spiegelt ma eie komplexe Zahl z = a+b i a der
MehrAnalysis II für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fchbereich Mthemtik der Uiversität Hmburg SoSe 2015 Dr. K. Rothe Alysis II für Studierede der Igeieurwisseschfte Hörslübug mit Beispielufgbe zu Bltt 3 Recheregel für Potezreihe Stz: Die Potezreihe g(z
MehrLeitfaden Bielefeld SS 2007 III-4
Leitfade Bielefeld SS 2007 III-4 8.2. Der allgemeie Fall. Satz. Sei N 1, sei ω eie primitive -te Eiheitswurzel ud K = Q[ω ]. Da gilt: (a) [K : Q] = φ(), (b) Φ ist irreduzibel, (c) O K = Z[ω ]. (d) Eie
MehrEinführung in das Mathematikstudium und dessen Umfeld
Eiführug i das Mathematikstudium ud desse Umfeld (Uterrichtsfach) LVA 05.700 C. Fuchs, K. Fuchs, C. Karolus Wiederholug Schulstoff II WS 2017/18 Die komplexe Zahle Wie wir bereits im erste Teil bemerkt
MehrKapitel VI. Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
Kpitel VI Eigeschfte differezierbrer Fuktioe S 6 (Fermt, 6-665) Die Fuktio f sei uf dem Itervll I defiiert ud ehme der iere Stelle ξ vo I eiem bsolute Extremum Ist f der Stelle ξ differezierbr, d gilt
Mehr8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium
MehrElementare Algebra. (Arithmetik, Schulmathematik) Seite
Ausgbe 2007-09 Eleetre Algebr (Arithetik, Schulthetik) Seite Betrg reeller Zhle 10 Bioe Itervlle 10 Liere Fuktioe 8 Liere Gleichuge 8 Mittelwerte Potezgesetze 6 Qudrtische Fuktioe 9 Qudrtische Gleichuge
Mehr5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen
5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralüug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathemati Z Archimedische Aordug i R Mathemati für Physier (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugslatt http://www-m5matumde/allgemeies/ma90
MehrVORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG. 1. Berechnen Sie von Hand und Beachten Sie dabei die Reihenfolge der Operationen:
Üuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG Block Die Musterlösuge werde Aed uf der Vorkurs-Hoepge ufgeschltet!. Bereche Sie vo Hd ud Bechte Sie dei die Reihefolge der Opertioe:
MehrFolgen, Reihen und Grenzwert. Vorlesung zur Didaktik der Analysis
Folge, Reihe ud Grezwert Vorlesug zur Didktik der Alysis Ihlt Motivtio Folge Spezielle Folge Grezwertdefiitio Wichtige Zusmmehäge ud Strtegie der Kovergezutersuchug Fuktioegrezwert Reihe Prdoxie ud Zusmmefssug
MehrDer Satz von Stone-Weierstraß. 1 Approximationssatz von Weierstraß
Der Satz vo Stoe-Weierstraß Vortrag zum Prosemiar Aalysis, 28.06.2010 Valetia Gerber, Sabria Kielma Aus der Vorlesug Aalysis I ud II kee wir das Kozept des Approximieres. Us wurde die Begriffe Taylor-
MehrAusbau der Funktionentheorie
Skript zum Ausbu der Fuktioetheorie I Skript zum Ausbu der Fuktioetheorie I Ausbu der Fuktioetheorie Potezfuktioe (PF) Bisher hbe wir us mit liere Fuktioe ud dere jeweiligem chrkteristische Verluf bzw
MehrZusammenfassung: Folgen und Konvergenz
Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 8 Defiitioe ud Beispiele für Folge Defiitio Eie
MehrFachschaft Mathematik der Staatlichen Fachoberschule und Berufsoberschule Augsburg
Fchschft Mthemtik der Sttliche Fchoberschule ud Berufsoberschule Augsburg Auf de folgede Seite sid i kurzer Form die Schverhlte der Algebr drgestellt, mit eiige relevte Übugsbeispiele, i der Regel ch Schwierigkeitsgrd
MehrPotenzen und Wurzeln
Poteze ud Wurzel.) Poteze mit türliche ud gze Epoete: Epoet Potez: Bsis Ei Produkt us gleiche Fktore lässt sich ls Potez schreie er: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 (
MehrWS 2005/06 Vorkurs: Mathematische Methoden der Physik Musterlösung von Blatt1. 2. Fall x < 2
WS 5/6 Vorkurs: Mtemtise Metode der Pysik Musterlösug vo Bltt Aufge : 6 < < 6 8 < > Lsg.: < 7 7. Fll > : < < < <
MehrASW Lösungen zu Übung 6, MB,
ASW Lösue u Übu MB Mthemtik I Geometrie vo Gerde ud bee rof DrBGrbowski Zu Aufbe Geebe sei eie Gerde im R : { } R Gebe Sie die Gerde i Normlform b R! b Gebe Sie die Gerde - R i ukt-richtusform! cliet der
MehrCarmichaelzahlen und andere Pseudoprimzahlen
Crmichelzhle ud dere Pseudoprimzhle Christi Glus 26.05.2008 1 Der fermtsche Primzhltest Erierug 1 (Kleier Stz vo Fermt). Für p prim, Z, ggt(, p) 1 gilt: p 1 1 (mod p) Algorithmus 2 (Fermtscher Primzhltest).
Mehr