Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen

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1 Fchbereich Mthemtik Algebr ud Zhletheorie Christi Curill Grudlge der Mthemtik LPSI/LS-M) Lösuge Bltt WiSe 00/ - Curill/Koch/Ziegehge Präsezufgbe P3)-d) Für jede der vier Mege gilt, dss die dri ethltee Elemete x sowohl x ls uch x b erfülle. Folglich ist i jedem der Fälle eie utere Schrke, b ist stets eie obere Schrke. Adererseits fide wir sowohl für geschlossee ls uch für offee Itervllgreze immer Pukte i der Mege, die beziehugsweise b beliebig h komme: Beispielsweise ethält jede der vier Mege die Zhl +, we wir N geüged groß wähle. Wir fide lso keie utere Schrke, die größer ls ist, ud keie obere Schrke, die kleier ls b ist. Folglich ist i jedem der vier Fälle ds Ifimum, b ist stets ds Supremum. Ds Ifimum eier Mege ist ei Miimum, we es selbst i der Mege liegt. Demetspreched ist i de Fälle b) ud c) ds Miimum, für ) ud d) existiert keies. Alog dzu ist b für die Mege us b) ud d) ds Mximum, die Mege us ) ud c) besitze kei Mximum. P3) P36) ) Wähle wir x us dem Defiitiosbereich sehr he, so ist x + positiv, ber sehr klei. D ist ber fx) sehr groß: Beispielsweise ist f + ) für beliebiges N i der Mege ethlte. Folglich ist ds Bild vo f icht ch obe beschräkt, es existiert lso keie obere Schrke ud dmit kei Supremum ud kei Mximum. Wähle wir sehr große x ], [, so kommt der Fuktioswert der 0 beliebig he: Wird x sehr groß, so wird uch x + sehr groß, ud dmit wird x+ sehr klei im positive Bereich. Folglich ist 0 ds Ifimum vo f], [). D der Wert 0 ber ie ls Fuktiowert vo f geomme wird, existiert kei Miimum. b) Wie i Teil ) erhlte wir, dss fn) ds Ifimum 0 ud kei Miimum besitzt. Die Mege fn) besitzt ber ei Mximum: Setze wir ei, so erhlte wir f). Setze wir ei deres N i f ei, so ist <, lso uch < + ud dmit > ch Stz 8.. us der Vorlesug Stz im Kiechle-Skript) ud Aordugsxiom A3). Jede dere türliche Zhl liefert lso eie kleiere Fuktioswert, f) ist dmit ds Supremum ud Mximum der Mege. ) Ds Ifimum ud Miimum der Mege ist, ds Supremum ud Mximum ist. b) Die Zhl wird beliebig klei llerdigs icht betrgsmäßig), we wir immer größere N eisetze, es existiert lso kei Ifimum ud dmit kei Miimum. Adererseits ist die größte Zhl, die i der Mege ethlte ist, lso ist ds Supremum ud Mximum. Uiversität Hmburg Christi Curill Geom. 33 Tel. 00)

2 c) Mit Aufgbe P3c) erhlte wir, dss ds Ifimum der Mege 3 ist ud ds Supremum. D 3 i der Mege ethlte ist, ist 3 ds Miimum. Es existiert kei Mximum, d icht i der Mege liegt. d) Die Bedigug r < 9 ist gleichbedeuted mit r < 3, lso r ] 3, 3[. Nch Aufgbe P3) ist ds Ifimum 3, ds Supremum gleich 3. D weder 3 och 3 i der Mege ethlte sid, existiert kei Miimum ud kei Mximum. e) Setze wir, so erhlte wir, dss i der Mege ethlte ist. Jede dere türliche Zhl ist größer ls, setze wir lso ei ei, so ist kleier ls ch Stz 8.. us der Vorlesug Stz 6.3. im Kiechle Skript), lso uch <. Folglich besitzt die Mege ds Supremum ud Mximum. Die Zhl kommt der 0 beliebig he, we wir immer größere eisetze. Adererseits ist stets größer ls. Ds Ifimum der Mege ist lso gleich, ei Miimum existiert icht.

3 Husufgbe H) ) D wir eie bzählbre Mege kostruiere wolle, ist es pssed, die Elemete mithilfe vo N zu kostruiere. Ei Vergleich mit P3b) brigt us uf die folgede Idee: Wir betrchte die Elemete 3. Diese Zhl kommt für große der 0 beliebig he, ist ber immer kleier ls 0. Folglich ist ds Supremum der Mege { 3 : N} gleich 0, ei Mximum existiert icht. Setze wir die kleiste türlich Zhl, lso ei, so erhlte wir die betrgsmässig größte Zhl der Mege, 3. D 3 egtiv ist ud vom Betrg her die größte Zhl i der Mege, ist sie Ifimum ud Miimum. b) i. Je größer wir wähle, desto kleier wird geu geomme müsse wir ds türlich uch och zeige). Folglich muss die größte Zhl i der Mege sei, lso Supremum ud Mximum. Ds Ifimum der Mege ist 0: ist stets positiv, kommt ber der 0 beliebig he. Wir wolle us dies eiml gz geu überlege: Ist ɛ > 0, ber kleier ls, so ist 3 > 0, wir köe lso die Wurzel us dieser Zhl ziehe. Wähle m N ɛ so groß, dss 3 < m gilt dies ist möglich mit Stz 8../Kiechleɛ Skript 6.7.)). Eifches Umforme der Ugleichug liefert, dss d m < ɛ ist bechte sie, dss für positive reelle Zhle x, y mit m +3 x < y, wege des Aordugsxioms A3), uch x < xy,xy < y ud somit x < y gilt). Wir fide lso für och so kleie positive Zhle ei m, ds kleier ist. Folglich ist 0 ds Ifimum vo M. D 0 kei Folgeglied ist, ist dies kei Miimum. ii. Für x R gilt: Je kleier x ist, desto kleier ist x, lso uch x +. Wege Stz 8.. der Vorlesug 6.3. im Kiechle-Skript) ist der Kehrwert eier positive Zhl umso größer, je kleier die Zhl selbst ist. Ds Supremum vo M wird lso für x 0 geomme ud beträgt. D dieser Wert i der Mege M liegt, ist dies uch ds Mximum. Wiederum wege Stz 8.. wird umso kleier, je größer der Betrg x + vo x ist. Drus wird scho klr, dss M kei Miimum besitzt, d wir stets ei x mit beliebig großem Betrg fide köe. Eie ähliche Überlegug wie i i Teil i) liefert, dss ds Ifimum vom M gleich 0 ist. H3) Die Formel us dem Hiweis folgt durch eimliges Awede der pssede biomische Formel uf de rechte Term. 3

4 ) Wir reche mithilfe des Hiweises: Es ist ), 3 + ) 3 ) ), 3 + ) + ) 3 ) ) ) 8 + ) 8 ) ), 3 + ) 3 ) ) + 6 ) 6 ) ) 3 b) Wieder mithilfe des Hiweises bereche wir: ) ) ) ) + ) ) ) + + ) + ) ) ) ) + + )) ) + ) )) + + ) 3 + ) ) 3 ) ) + + ) + ) ) ) ) + + ) + ) ) + +. c) Wir hbe bewiese, dss die erste beide Folgeglieder ud türliche Zhle sid, ud wir hbe bewiese, dss sich lle dere Folgeglieder ls Summe ihrer beide Vorgäger bereche lsse. D die erste beide Folgeglieder i N liege ud die Summe zweier türlicher Zhle wieder eie türliche Zhl ist, köe i diesem Prozess ur türliche Zhle etstehe. Hiweis: Diese Begrüdug ist bei geuerer Betrchtug ei Beweis durch Iduktio. H) Wir zeige durch Iduktio ch, dss die behuptete Ugleichug gilt. Iduktiosfg: Wege gilt die Behuptug für. Iduktiosvorussetzug: Sei m i i m i i für lle,,..., m K ud ei

5 beliebiges, ber fest gewähltes m N. Iduktiosschluss: Wir wolle zeige, dss uter der Iduktiosvorussetzug uch m+ i i m+ i i gilt für lle,,..., m+ K. Wir wede dzu erst die Dreiecksugleichug uf die zwei Summde m K ud m+ K ud beutze d die Iduktiovorussetzug für,,..., m : m+ m m m m+ i i + m+ i + m+ i + m+ i. i i i i i H) ) Zur Ijektivität: Seie, x, y Z mit ϕ x) ϕ y), lso x y. D muss x y) 0 sei. Ds Produkt zweier gzer Zhle ist ber ur 0, we eier der Fktore 0 ist Z ist ullteilerfrei). D 0 ist, muss x y 0, lso x y gewese sei. Folglich ist ϕ ijektiv. Zur Surjektivität: Sei y Z. Es gibt lso ei x Z mit y x. D ist ber gerde ϕx) x y. Folglich ist ϕ surjektiv. b) Nch Defiitio. us der Vorlesug.0 im Kiechle-Skript) schreibe wir A B für zwei Mege A ud B, we es eie Bijektio zwische A ud B gibt. Nch Stz 8.8 us der Vorlesug 6.3 im Kiechle-Skript) ist Z N, es gibt lso eie Bijktio f : Z N. Aus Aufgbeteil ) wisse wir, dss die Umkehrbbildug ϕ zu ϕ eie Bijektio vo Z ch Z ist. Folglich ist f ϕ eie Bijektio zwische Z ud N, lso gilt Z N. c) Sei x Z mit x ker ϕ. Es ist lso ϕx) e Z. D Z eie Utergruppe vo Z ist, ist e Z e Z 0. Also muss ϕx) x 0 sei. D 0 ist, muss x 0 sei. Folglich ist ker ϕ {0}. d) Wir zeige: Die Abbildug ϕ ist geu d icht ijektiv, we ker ϕ {e G } ist. Zuerst setze wir vorus, dss ϕ icht ijektiv ist, ud zeige, dss uter dieser Vorussetzug ker ϕ {e G } ist: Ist ϕ icht ijektiv, so gibt es voeider verschiedee g, g G mit ϕg) ϕg ), lso ϕg) ϕg )) e H. Wege P9b) bedeutet dies, dss ϕg) ϕg ) e H ist. D ϕ ei Gruppehomomorphismus ist, ist dies wiederum äquivlet zu ϕg g ) e H, ws gerde g g ker ϕ bedeutet. Wege g g ist g g e G, lso ker ϕ {e G }. Nu ehme wir, dss ker ϕ {e G } ist, ud zeige, dss d ϕ icht ijektiv ist: Sei dzu g e G mit g ker ϕ. D ds Elemet g im Ker liegt, muss ϕg) e H sei. Nch P9) gilt dies ber uch für e G. D g e G vorusgesetzt wurde, ist ϕ icht ijektiv.