In jeder noch so kleinen Umgebung von 2 liegen fast alle Folgenglieder. Die Folge hat den Grenzwert 2 und wir schreiben dafür: lim a = 2

Transkript

1 0. Kovergez vo Folge ud Reihe Der i de Aschitte geometrische Folge ud Reihe eigeführte Grezwertegriff ist für die Alysis (Ifiitesimlrechug) grudleged. Im Folgede werde Grezwerte ei elieige Folge ud Fuktioe utersucht. Beispiele: ) Fst lle Glieder der Folge liege i eier Umgeug vo 0, woei Fst lle edeute soll lle is uf edlich viele. Wir sge i diesem Fll, die Folge ht de Grezwert 0 ud schreie dfür lim 0. Folge mit dem Grezwert 0 heisse Nullfolge. 3 ): I jeder och so kleie Umgeug vo liege fst lle Folgeglieder. Die Folge ht de Grezwert ud wir schreie dfür: lim Ht eie Folge eie Grezwert, so heisst sie koverget, derflls diverget. c) Beispiel eier divergete Folge: Defiitio : Eie Zhl heisst Grezwert der Folge, we i eier elieig gewählte Umgeug vo fst lle Folgeglieder liege ud wir schreie dfür: lim. Um zu zeige, dss eie Folge kovergiert, ist lso für ei vorgegeees ε 0 zu zeige, dss fst lle Folgeglieder i der ε-umgeug vo liege. Wählt m etw im Beispiel ) ε, d liege lle Folgeglieder mit Nummer 0 i der ε-umgeug vo 0. 3 I Beispiel ) ist zu zeige, dss < ε für ei geeigetes ist. 3 3 < ε ist erfüllt für >. Wählt m z.b. ε, d ergit sich ε 9. Bemerkug: Mit der Worte liegt i der ε-umgeug vo für. koverget.docx /ul Defiitio (Formulierugsvrite) Eie Zhlefolge heisst koverget mit dem Grezwert, we es zu jedem ε > 0 ei git, so dss gilt: < ε sold.

2 c koverget.docx /ul

3 3 Zhlefolge Will m Alysis etreie Gz llgemei schreit Folge m muss m gelegetlich ws schreie; i folgeder Gestlt ger : wir schreie dher zu Begi Us ei pr schlichte Zhle hi:,,,..,,.,,,,,. () wie uch uf etws kürz re Art Wie rechts es immer weiter geht,, sich sicherlich vo selst versteht: woei m gleich Ppier eisprt. Ei Sechstel steht sechster Stell. A sieter d ei Sieetel, Die Folge () is (4) erhlte ud ws u iemd mehr verwudert: uf diese Weise die Gestlte ei Hudertstel steht uf Pltz hudert.,,, Kurzum -ter Positio, dieweil die füfte Folge m ds wisse wir jetzt lle scho, z.b. so eschreie k muss stets die Zhl ei -tel steh,,!",!" Wie schö, wie schö, wie schö! Wie ich mir eie Folge ml ist letzte Edes gz egl, Ds ws soee hier eschriee, sofer m ur dei egreift, wo ihr gefolgt seid mir, ihr Liee, wie diese läuft ud läuft ud läuft, wird eie Folge kurz get,,,..,,. vo Byer is zur Wterkt. d.h. wie jedem dei ei zugeordet sei. Auch ei de ächste Folge hier Ds durchläuft vergügt ud heiter reicht wieder rechts icht ds Ppier: dei die gze Zhleleiter,. (),,3,4,5, ).,, $, %,4,6,8,. (3) Nu sid wir scho ei Stück gescheiter.,,,,,. (4),,,, %,,. (5) Die Zhlefolge lufe, lufe, (M füg jeder we m k, fst wie eim Sommerschlussverkufe. zum Spss sechs weit re Zhle!) Ws ht ds ur für eie Si? Wo lufe de die Folge hi? # Gr mche mche wilde Sprüge ud d re usgeflippte Dige. Doch eiige, i stiller Ruh sie stree eiem Grezwert zu. koverget.docx /ul

4 4 Sie kovergiere sgt m uch (ds ist scho lge Zeit so Bruch). Ws er heisst sie kovergiere? Ds will ich kurz euch defiiere: So eifch lles dies gesgt; So schwer sich dmit mcher plgt. Drum lieer Leser, sei recht pfiffig, ud mch dir s Exempel griffig. Zum Beispiel Folge () ud (), sie stree muter, eis, zwei, drei, zum Grezwert 0, ds sieht m scho. Prüf s ch mit N ud ε. M sgt, es kovergiert zum Grezwert, welche ich e, we, wie skizziert im o ge Bild, die folgede Bedigug gilt: Zu jeder positive Zhl - ich e sie ε eiml - git es ei positives N, für ds ich folgedes erke :.: ε I Formelzeiche, wie durchtriee, wird dies erstulich kurz eschriee: lim 6 Auch wird dies so symolisiert: für wie uch i Kurzform ufotiert:. Bei (3), (4) ist m geschmiert, weil üerhupt ichts kovergiert. Guckt m sich uch die Auge us, kei Grezwert sprigt dei herus. M möchte fst de Mut verliere, de diese Folge divergiere. Die Folge (5) dgege stret, ws us re Stimmug merklich het zum Grezwert, ihr sei s gedkt, owohl sie dei etws schwkt. Der Leser such sich weit re Fälle jogliere sie wir Zirkusälle, hol N ud ε herei, vermische dies zu eiem Brei, der klumpefrei ist, schlk ud gltt, is lles er verstde ht. Der juge Mth mtik-studet, der dies egriffe ht ud ket, der ht ei sich res Fudmet, We frohgemut er weiter ret. koverget.docx /ul

5 5 Grezwertsätze Mit zwei kovergete Folge ud 8 sid uch die Summe-, Differez-, Produktud Quotietefolge koverget ud es gelte die i Formel ud Tfel (FuT) ufgeführte Grezwertsätze, illustriert de folgede Beispiele: Beispiele: ) lim lim lim lim Zähler ud Neer werde durch die höchste Potez vo dividiert. ) ( ) lim 3 lim ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) lim lim lim ( 3 ) lim Üugsufge: Utersuche Sie i de folgede Fälle ds Kovergezverhlte der gegeee Folge: ) 9 #, 9 #, d) #<, ) c),,,,, % e) ) si? Lösug: ) lim, die Folge ist koverget 6, ), die Folge ist (estimmt) diverget c) diverget, die Folgeglieder komme - ud elieig he. ud - sid sogete Häufugspukte der Folge. d) <, lim,, die Folge ist koverget 6 e) die Folge ist periodisch mit de Folgeglieder, 0, -, 0,.die Folge ist diverget. koverget.docx /ul

6 6 Die Eulersche Zhl e Stz: Die Folge ist koverget. Beweis: Der Stz wird ewiese, idem m chweist, dss die Folge ud eie sogete Itervllschchtelug ilde. Dzu ist zu zeige:. die Folge ist mooto wchsed. die Folge 8 ist mooto flled 8 für lle lim 4. ( ) 0 Gemäss der Vollstädigkeitseigeschft der reelle Zhle ist durch diese Itervllschchtelug eie eideutig estimmte Zhl e festgelegt; e heisst Eulersche Zhl. e koverget.docx /ul

7 koverget.docx /ul 7 Beweis vo : Dzu wird der folgede Quotiet geschätzt: ) ( > worus die Behuptug folgt, de es gilt ch der sogete Beroullische Ugleichug ( Vollstädige Iduktio) ämlich: > () Beweis vo : Alog zu. erhält m () > Der Beweis vo 3. folgt umittelr us > Beweis vo 4: Wege 4 < gilt: 0 4 lim Ei zweiter Beweis ergit sich us dem folgede wichtige Es k ämlich gezeigt werde, dss die Folge mooto wchsed ud eschräkt ist. (siehe die folgede Beilge us dem Skript der Vorlesug vo H. Huer ETHZ oder i der Litertur). Stz: Eie mootoe ud eschräkte Zhlefolge ist koverget.

8 koverget.docx /ul 8