Spezielle Themen der Mathematik: Reelle Zahlen, Folgen, Reihen, Funktionen

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1 Folge ud Reihe Spezielle Theme der Mthemtik: Reelle Zhle, Folge, Reihe, Fuktioe Folge ud Reihe I diesem Kpitel befsse wir us mit Folge, welche ls spezielle Fuktioe, ämlich solche mit ls Defiitiosbereich, defiiert werde Isbesodere betrchte wir die Approximtio reeller Zhle durch Folge reeller Zhle, ud ferer die Möglichkeit zuächst ubekte reelle Zhle ls Grezwert eier Folge zu defiiere ud ihre Wert zu ermittel, wobei die Vollstädigkeit vo vo zetrler Bedeutug ist Im Abschitt wird der Begriff der Folge usführlich diskutiert Spezielle Folge (wie rithmetische Folge, geometrische Folge ud Differezefolge) werde vorgestellt ud es wird uf die Eigeschfte Mootoie ud Beschräktheit vo Folge eigegge Abschitt behdelt kovergete Folge Der Begriff der Kovergez ist zetrl für Approximtioe Es werde Recheregel für Folge hergeleitet ud Kovergezkriterie vorgestellt Im Abschitt 3 geht es um besodere icht kovergete Folge, de bestimmt divergete Folge Abschitt 4 schließlich behdelt Reihe Diese sid ls Folge besoderer Burt defiiert

2 Folge ud Reihe Folge Defiitio, Eigeschfte Uter eier Folge verstehe wir eie Aeiderreihug vo (edlich oder uedlich viele) Objekte, die ummeriert sid,, 3, Die Objekte etstmme dbei gewöhlich eier gegebee Mege M We icht ders gegebe, wird im Folgede M sei Wir werde ber z B uch Fuktioefolge betrchte, wo die Elemete vo M Fuktioe sid Mthemtisch lsse sich Folge ls spezielle Fuktioe defiiere Defiitio (Folge) Sei M eie icht-leere Mege Eie (uedliche) Folge ist eie Fuktio : M Der Fuktioswert ( ) wird gewöhlich mit bezeichet ud heißt -tes Glied der Folge Übliche Schreibweise für die Folge sid:,,, oder oder 3 Eie edliche Folge ist eie Fuktio :,,, M Übliche Schreibweise für eie edliche Folge mit Glieder sid:,,, oder,,, i i Bemerkuge We wir im Folgede eifch ur vo Folge spreche, meie wir i d R uedliche Folge Oft ist es sivoll, Folge ls Fuktioe, die uf defiiert sid, ufzufsse D schreibt m:,,, oder I eier Folge k ei ud dsselbe Objekt uch mehrfch uftrete Beispiele Zhlefolge ( M ): ),,, b),, 3,,,,,, c)

3 Folge ud Reihe d),,,, 3 4 hrmoische Folge 3 4 e) q q, q, q, q, mit q q q i 3 f) q q, q q, q q q, i für q \ (vgl Übuge) Folge vo Größe ( M ist eie Mege vo Größe eier Größert): g) Messug der Mittgstempertur: := Tempertur vo heute, die Wiederholug der Messug morge ud jedem folgede Tg ergibt eie Folge vo Messwerte,,, Folge vo Gleichuge: h)

4 Folge ud Reihe Folge vo Fuktioe: i) Für sei f :, f ( x) x D ist f die Folge der Potezfuktioe Die Abbildug zeigt die Grphe der Folgeglieder f (blu), f (rot) ud f 3 (grü) Folge vo (geometrische) Figure: j) k) usw l) Schrittweise Kostruktio eier frktle Struktur, z B Sierpiski-Dreieck: usw usw 4

5 Folge ud Reihe Die grphische Drstellug eier Zhlefolge k i Form diskreter Pukte i eiem Koorditesystem oder uf der Zhlegerde erfolge, z B: Defiitio (explizite Folgedrstellug, rekursive Folge) Eie reellwertige Folge ist explizit gegebe, we m jedes Folgeglied mit Hilfe eier Formel us dem Idex bereche k Eie Folge ist rekursiv defiiert, we eie Formel zur Berechug vo mittels Folgeglieder mit Idizes gegebe ist Beispiele ) I de obige Beispiele ) bis f) zu Zhlefolge sid die Folge explizit gegebe b) Beispiele für rekursive Folge: (i) 3,, 3,6,, 4, (ii), 3, für,, 3,,, 3,,, 3, 5

6 Folge ud Reihe (iii),, für,,,, 3, 5, 8,3, Fiboccifolge Amerkug Bet ist die Folge ch Leordo vo Pis, besser bekt uter dem Nme Fibocci (Kurzform vo filius Bocci), der dmit im Jhr ds Wchstum eier Kichepopultio beschrieb Die Folge wr ber scho i der Atike sowohl de Grieche ls uch de Ider bekt Die berühmte Kiche-Aufgbe fidet m i Fiboccis Buch Liber bci: Ei Kichepr wirft vom zweite Mot ei juges Pr ud i jedem weitere Mot ei weiteres Pr Die Nchkomme verhlte sich ebeso (iv) Ei Arzt verbreicht eiem Ptiete täglich die Dosis d eies Medikmets Im Körper wird pro Tg der Ateil q ( q ) bgebut Am Tge sei die Mege der Medizi im Körper des Ptiete vorhde D gilt:, q d q d für Defiitio (rithmetische Folge, geometrische Folge) Eie Folge heißt rithmetische Folge (uch: rithmetische Progressio), we die Differez zweier bechbrter Folgeglieder kostt ist, lso d mit eiem feste d Eie Folge heißt geometrische Folge, we der Quotiet zweier bechbrter Folge- glieder kostt ist, lso q mit eiem feste q ( für lle muss vorusgesetzt werde) Bemerkuge Aus der Defiitio eier geometrische Folge folgt, dss der kostte Fktor q ugleich ist, lso q (de für lle ) 6

7 Folge ud Reihe Die Nmesherkuft liegt dri begrüdet, dss bei rithmetische Folge jedes Folgeglied ds rithmetische Mittel seies Vorgägers ud seies Nchfolgers ist für, ud bei geometrische Folge jedes Folgeglied ds geometrische Mittel seier Nchbrfolgeglieder ist (sofer diese positiv sid) für Übug - Weise Sie dies ch Aus der Defiitio folgt, dss sich für eie rithmetische Zhlefolge immer eie Rekursiosformel der Form d gebe lässt Die explizite Drstellug ht die Form d Für eie geometrische Zhlefolge ergibt sich us der Defiitio eie Rekursiosformel der Form q ud eie explizite Drstellug der Form q A de explizite Drstelluge erket m, dss eie rithmetische Zhlefolge eie liere Fuktio (mit Defiitiosbereich ud Steigug d ) ist ud eie geometrische Zhlefolge mit q, q eie Expoetilfuktio (mit Defiitiosbereich ) ist 7

8 Folge ud Reihe Beispiele ) Die Folge der ugerde Zhle,3,5, ist d 3 4 b) Die Folge q q, q, q, q, ist eie rithmetische Folge Hier ist eie geometrische Folge Defiitio (Differezefolge) Die Differezefolge eier gegebee Zhlefolge ist die Folge der Differeze vo je zwei bechbrte Folgeglieder der Folge, lso Die Differezefolge eier Differezefolge heißt Differezefolge zweiter Ordug ud wird mit bezeichet Es gilt lso Etspreched werde Differezefolge der Ordug defiiert Beispiele ud Amerkuge ) Die Differezefolge eier rithmetische Folge ist die kostte Folge d Umgekehrt gilt: Ist die Differezefolge eier Folge eie kostte Folge, so ist eie rithmetische Folge (Dies folgt direkt us der Defiitio rithmetischer Folge) b) Für die geometrische Folge mit erhält m:, 4,8,6, ud, 4,8,6, Allgemei:, die Folge ud lso gleich c) Für die geometrische Folge mit 3 erhält m: 3,9, 7,8, ud 6,8,54, sid 8

9 Folge ud Reihe Übug - ) Bestimme Sie die Differezefolge Ordug für die Folge der Qudrtzhle, 4,9,6, 5, b) Die Differezefolge eier Folge ist, es gelte lso: b mit b,, d eie qudrtische Fuktio ist sei eie liere Fuktio, die icht kostt Zeige Sie, dss Defiitio (mootoe Folge) Eie Folge i heißt mooto wchsed (bzw streg mooto wchsed), we (bzw ) für lle gilt Sie heißt mooto flled (bzw streg mooto flled), we (bzw ) für lle gilt Sie heißt mooto (bzw streg mooto), we sie mooto wchsed oder mooto flled (bzw streg mooto wchsed oder streg mooto flled) ist Übug -3 Gebe Sie für die weiter vore gete Beispiele ) bis f) für Zhlefolge jeweils ds Mootoie-Verhlte ),,, b),, 3,,,,,, c) d),,,, e) q q, q, q, q, mit q q q i 3 f) q q, q q, q q q, i für q \ 9

10 Folge ud Reihe Bemerkug Die Bedigug für mootoes Wchstum ist äquivlet zu ud zu mit bzw mit Etsprechedes gilt für mootoes Flle ud für strege Mootoie Deshlb ist ei Astz, um Mootoie chzuweise, die Betrchtug des Terms oder des Terms Beispiele Folge uter b): für lle Drus folgt: Folge uter d): ist streg mooto wchsed für lle ist dher streg mooto flled Oder: ist streg mo- oto flled für lle Wege folgt: Defiitio (beschräkte Folge) Eie Folge i heißt beschräkt, we es eie Kostte K gibt, so dss K für lle Eie Folge, die icht beschräkt ist, heißt ubeschräkt (Für eie ubeschräkte Folge gilt lso: Für jede Kostte K gibt es ei, so dss K)

11 Folge ud Reihe Beispiele für beschräkte Folge ),,, Beweis: : K für lle b),,,,, Beweis: : K für lle c),,,, 3 4 Beweis: : K für lle 3 4 d) q q, q, q, q, mit q Beweis: : K für lle i e) q q, qq, qq q 3, i mit q Beweis Es gilt i q q (vgl Übuge) q i ud q q q q (wege x y x y, vgl Übuge) q q q q q = (wege q ) q q Somit gilt : K q

12 Folge ud Reihe Beispiele für ubeschräkte Folge ),, 3, Beweis Sei K beliebig vorgegebe D gibt es ch dem Archimedische Axiom ei mit K, lso K 3 4 b) q q, q, q, q, für q Beweis Aus der Vorussetzug q folgt x: q Für dieses x lässt sich die Beroullische Ugleichug wede ud es folgt q x x x (*) Nch dem Archimedische Axiom gibt es ei mit K, lso x K x Mit (*) folgt q q x K

13 Folge ud Reihe Kovergete Folge Der Begriff der Kovergez eier Folge ist ei Schlüsselbegriff i der Alysis; er wird u für die Defiitio vo Stetigkeit, Differezierbrkeit ud Itegrierbrkeit verwedet Kovergete Folge lsse sich ls solche Folge beschreibe, dere Glieder für wchsedes eier bestimmte Zhl (dem Grezwert der Folge) beliebig he komme Betrchte wir z B die hrmoische Folge,,,,, 3 4 so stelle wir fest, dss für sehr große die Folgeglieder sehr he bei der liege Geuer, zu jeder vorgegebee och so kleie positive Zhl sid immer och fst lle (d h lle bis uf edlich viele) Folgeglieder kleier ls ud liege dmit äher der ls M sgt die Folge strebt gege oder die Folge kovergiert gege Als weiteres Beispiel betrchte wir die Folge,,,,, Hier äher sich die Folgeglieder der Zhl ; sie komme der Zhl beliebig he Geuer, zu jeder vorgegebee och so kleie positive Zhl hbe immer och fst lle (lso lle bis uf edlich viele) Folgeglieder eie kleiere Abstd zur ls, d h, ud liege dmit i der sogete -Umgebug vo, lso dem Itervll, M sgt die Folge kovergiert gege 3

14 Folge ud Reihe Defiitio ( -Umgebug) Für eie reelle Zhl ud ei heißt die Mege :, U x x -Umgebug vo Skizze: Defiitio (Kovergez, Kriterium) Eie Folge heißt koverget mit dem Grezwert (uch Limes get), flls es für jedes eie Folgeidex gibt, so dss für lle gilt M schreibt: für oder lim Skizze zur Verschulichug 3 oder Bildquelle: Wikipedi: Vo Mtthis Vogelgesg (Youtheergy) - Eigees Werk, CC BY-SA 3, 4

15 Folge ud Reihe Erläuterug der Kovergez eier Zhlefolge mit dem Grezwert mittels eier Bilderserie Folge (i eiem Koorditesystem drgestellt): Ei beliebiges wird vorgegebe, ds Itervll, wird uf der y-achse mrkiert (hier im Beispiel ist ) ud ei -breiter Streife wird wie im chfolgede Bild eigezeichet: 5

16 Folge ud Reihe Es gibt ei, so dss b diesem lle Pukte, die Folgeglieder repräsetiere, im -Streife liege, d h, dss ihr Abstd zur Horizotle durch kleier ls ist, lso für lle Folgeglieder mit gilt: : Wir gebe u eie dere -Wert vor, de wir ee: 6

17 Folge ud Reihe Es lässt sich uch zu diesem wieder eie türliche Zhl fide, die wir ee, so dss b diesem lle Pukte, die Folgeglieder repräsetiere, im -Streife liege: Dsselbe gilt für jedes dere, och so kleie, ds wir vorgebe 7

18 Folge ud Reihe Defiitio (Divergez) Eie Folge heißt diverget, we sie icht koverget ist Defiitio (Nullfolge) Eie Folge heißt Nullfolge, we sie gege kovergiert, we es lso zu jedem eie Folgeidex gibt, so dss für lle gilt Beispiel ) Die Folge mit ist eie Nullfolge Beweis Vorüberlegug: Wir müsse zu jedem beliebig (ber fest) vorgegebee ei gebe, so dss für lle gilt D, wähle wir ls eie türliche Zhl, die größer ls (Nch dem Archimedische Axiom gibt es solch eie Zhl) ist Beweis: Sei mit D gilt: für lle b) Die Folge q mit q ud q ist eie Nullfolge Beweis Fll: q D ist q für lle : 8

19 Folge ud Reihe Fll: q D ist q, lso Es gibt demch ei q x mit x q Es ist (mit der Beroullische Ugleichug): x x x, q q q worus q folgt Wähle dher zu eiem gegebee so, dss x x D gilt: q x für lle x x x x Bemerkug Eie Folge ist ist geu d koverget gege, we die Folge Stz (Beschräktheit ud Kovergez) eie Nullfolge Jede kovergete Zhlefolge ist beschräkt (Aus der Kovergez eier Folge folgt lso ihre Beschräktheit) Beweis I jeder -Umgebug des Grezwertes liege fst lle Glieder der Folge, ußerhlb dieser Umgebug lso edlich viele Flls es oberhlb vo U Folgeglieder gibt, so ist eies vo ihe ds größte, etw k ; d ist k eie obere Schrke der Folge Aderflls ist jede Zhl oberhlb vo U eie obere Schrke S o Alog gilt, flls es uterhlb vo U Folgeglieder gibt, so ist eies vo ihe ds kleiste, etw m ; d ist m eie utere Schrke der Folge Aderflls ist jede Zhl uterhlb vo U eie utere Schrke S u Aus dem letzte Stz ergibt sich direkt der folgede: Stz (Divergezkriterium) Jede ubeschräkte Zhlefolge ist diverget 9

20 Folge ud Reihe Defiitio (Häufugswert) Eie Zhl h heißt Häufugswert eier Folge geu d, we i jeder -Umgebug vo h uedlich viele Folgeglieder liege Stz (Eideutigkeit des Grezwertes) Jede kovergete Zhlefolge ht geu eie Häufugswert, de Grezwert Beweis Existez eies Häufugspuktes: I jeder -Umgebug des Grezwertes liege fst lle Folgeglieder, lso sicher uedlich viele Dher ist ei Häufugspukt Eideutigkeit: Eie weitere Häufugspukt ußer k eie kovergete Zhlefolge icht hbe, weil es zu jeder dere Zhl h eie -Umgebug gibt, die höchstes edlich viele Glieder der Folge ethält Stz (Recheregel für Folge, Grezwertsätze) Seie ud b kovergete Folge mit dem Grezwert bzw b, lso lim ud lim b b ud es sei c D gilt: ) b b ud lim b) lim c c) b lim d) lim b Soderfll: c, b, lim b b,, flls b ud b für lle, b lim, flls b ud b für lle, b b Beweis Nch Vorussetzug sid ud ud jedem ei bzw, so dss b kovergete Folge Also existiert zu jedem für lle ud b b für lle

21 Folge ud Reihe ) Sei mit ud D gilt mit Awedug der Dreiecksugleichuge: : b b b b b b für lle ud : b) Es ist b b b b b b für lle : c c c c c für lle c) Sei mit ud Wir schreibe b b i der Form: b b b bb bb D gilt mit Awedug der Dreiecksugleichuge: b b b b b b b b b b b b b b b b b b für lle d) Wir zeige zuächst de Soderfll lim, flls b ud b für lle : b b D ch Vorussetzug lle Folgeglieder b ud uch der Grezwert b vo verschiede sid, gibt es eie positive Zhl S, so dss für lle gilt: b S, lso Nu ist S b b b b b b b : b b bb b b b S b S lso Mit lim b b lim ud c) folgt: b b lim lim lim lim b b b b b für lle,

22 Folge ud Reihe Beispiele ) Die Folge,,, kovergiert gege ; llgemei kovergiert für ei c die kostte Folge c c, c, c, gege c b) Es ist 3 4 lim 3 Beweis Es ist ud lim 3 3 (ch ), kostte Folge), lim (siehe Beispiel zu Nullfolge) Mit de Grezwertsätze folgt u: lim 4 4 (ch ), kostte Folge) ud 3 4 lim lim 3 4 lim 3 lim 4 lim lim lim c) Es ist k lim q für q q k Beweis Es gilt k q q (vgl Übuge) k q ud q q q q q q Die Folge q mit q ud q ist eie Nullfolge (siehe Beispiele zu Nullfolge) Mit de Grezwertsätze folgt dher: q q q q k lim q lim q q lim k

23 Folge ud Reihe Bei de bisherige Kovergezbetrchtuge wr der (mögliche) Grezwert eier Folge vo vorherei bekt oder kote berechet werde I Fälle, i dee dies icht mehr ohe weiteres möglich ist, köe sogete Kovergezkriterie weiter helfe Ei solches Kovergezkriterium ist im chfolgede Stz exemplrisch formuliert Stz (Mootoie-Kriterium) Sei eie Folge i Ist mooto ud beschräkt, so ist sie koverget Bemerkuge - Aus der Mootoie ud Beschräktheit eier Folge folgt lso ihre Kovergez; die Umkehrug gilt ber icht Jede kovergete Folge ist zwr beschräkt, muss ber keieswegs immer mooto sei Dmit ist ds Mootoie-Kriterium ur ei hireichedes Kovergezkriterium, ud icht ei otwediges Kriterium - Mit dem Mootoie-Kriterium k die Kovergez eier reellwertige Folge chgewiese werde, ohe dss ihr geuer Grezwert bekt ist Auf eie Beweis des Mootoie-Kriteriums wird hier verzichtet, es werde ber eiige Beispiele geführt Beispiele ) Die Folge mit ist mooto wchsed ud beschräkt, lso koverget k k Beweis (i) Mootoie vo :, lso (ii) Beschräktheit vo : Für lle gilt ud dmit mooto wchsed Wege k k k k k gilt ferer (für ): für k 3

24 Folge ud Reihe 3 (Teleskopsumme) 3 b) Die Folge mit ist mooto wchsed ud beschräkt, lso koverget Die Folge b mit b ist mooto flled ud beschräkt, lso koverget Beweis (i) Mootoie vo : Es gilt Mit Hilfe der Beroullische Ugleichug x x für ud x ud x : erhält m die Abschätzug ud dmit (M bechte, dss für dieses x gilt: x ) 4

25 Folge ud Reihe, 3 lso für lle, d h, ist (streg) mooto wchsed (ii) Die Mootoie vo b wird ählich gezeigt (uf de Nchweis verzichte wir hier) (iii) Beschräktheit vo ud b : D mooto wchsed ist, ist eie utere Schrke vo D b mooto flled ist, ist b eie obere Schrke vo b Wege b b ist uch ch obe ud b ch ute beschräkt Bemerkug Die Folge Übug - Weise Sie dies ch b ist eie Nullfolge Dmit folgt, dss die Folge ud Es gilt (ohe Beweis dieser Stelle): b deselbe Grezwert hbe lim lim e ud lim b lim e, wobei e die Eulersche Zhl ist Die Folge ud b eige sich lso zur Berechug eies Näherugswertes vo e Ist die Zhl e och icht bekt, k sie ls der (gemäß obige Ausführuge existierede) Grezwert vo defiiert werde ud d ebe mittels äherugsweise berechet werde Die Vollstädigkeit vo stellt sicher, dss e eie reelle Zhl ist ( Lückelosigkeit der Zhlegerde, oder: Supremum eier beschräkte Mege reeller Zhle liegt i ) 5

26 Folge ud Reihe Defiitio (Itervllschchtelug) Sei eie mooto wchsede Folge, lle ud b I b eie mooto fllede Folge, eie Nullfolge D heißt die Folge b für I der Itervlle : ; b Itervllschchtelug c) Die Folge mit k Die Folge mit ud b mit b bilde eie Itervllschchtelug, mit der der Wert vo e vo obe ud vo ute bgeschätzt wird ist mooto ud beschräkt, lso koverget Ihr Grez- k! wert ist die Eulersche Zhl e (Hier ohe Beweis) 6

27 Folge ud Reihe 3 Bestimmte Divergez gege oder I diesem Abschitt befsse wir us mit spezielle icht beschräkte Folge Defiitio (bestimmt divergete Folge) Eie reelle Folge heißt bestimmt diverget gege (bzw gege ), we für jedes K gilt K für fst lle (bzw K für fst lle ), d h, we es zu jedem K ei gibt mit K für lle (bzw K für lle ) Gegebeeflls heißt (bzw ) der ueigetliche Grezwert oder eifch ur der Grezwert vo, i Zeiche lim (bzw lim ) oder für (bzw für ) Bemerkug M bechte, dss eie Folge, die de Grezwert oder ht, icht koverget ist (och icht eiml beschräkt ist), ber sie divergiert i eier gz bestimmte Weise Beispiele ) Die Folge,, 3, b) Etspreched gilt lim c) Die Folge ist bestimmt diverget gege, lso lim,, 3,4, ist weder koverget, och bestimmt diverget 7

28 Folge ud Reihe Für ds Reche mit bestimmt divergete Folge k m eiige Recheregel ufstelle, die umittelbr eileuchte, weswege wir hier uf de Beweis verzichte Stz (Reche mit bestimmt divergete Folge) Seie D gilt: ud d reelle Folge, d sei bestimmt diverget ) Ist beschräkt, so sid d ud d lim d lim d ud lim d lim d, wobei : zu setze ist bestimmt diverget mit b) Gilt lim mit (lso oder oder ), so ist d bestimmt diverget mit lim d lim d, wobei für oder : für oder ud für oder : für oder gesetzt wird c) Ist beschräkt, so ist d Isbesodere gilt: lim d eie Nullfolge d) Ist eie Nullfolge mit (bzw ) für jedes, so ist diverget mit lim (bzw lim ) bestimmt 8

29 Folge ud Reihe 4 Reihe Bereits bei der Eiführug des Summezeiches hbe wir eiige Beispiele für edliche Reihe keegelert; hier wird der Begriff präzisiert Sod defiiere wir (uedliche) Reihe ls Folge besoderer Burt Auch vo diese Reihe hbe wir bereits eiige i frühere Abschitte keegelert Wir befsse us weiterhi isbesodere mit kovergete Reihe Defiitio (edliche Reihe, Prtilsumme) Uter eier edliche Reihe Folge s versteht m die Summe der erste Glieder der i s et m uch -te Prtilsumme vo i Beispiele ) b) s s i 3 4 i i i i 3 4 c) s i 4 9 i d) s i i 4 9 Defiitio (spezielle edliche Reihe) Ist eie rithmetische Folge, so heißt die edliche Reihe edliche rithmetische Reihe Ist eie geometrische Folge, so heißt die edliche Reihe edliche geometrische Reihe s s i i i i 9

30 Folge ud Reihe Bemerkug Für eie edliche rithmetische Reihe i d i i mit i d, d, gilt: Übug 3- Weise Sie dies ch Defiitio (uedliche Reihe) Eie Folge s heißt uedliche Reihe oder eifch Reihe geu d, we sie die Folge der Prtilsumme eier Folge ist, we lso gilt oder s Für s schreibt m i i Die heiße i diesem Zusmmehg Glieder der Reihe, die s Teilsumme oder Prtilsumme der Reihe Die Reihe derflls diverget heißt koverget, we die Folge s der Teilsumme koverget ist, Flls vorhde, heißt der Grezwert lim s be- zeichet der Wert der Reihe ud wird mit Bemerkuge - Ds Symbol wird je ch Kotext uterschiedlich iterpretiert, zum eie ls Folge vo Prtilsumme, zum dere im Flle der Kovergez ls Grezwert der Teilsummefolge - Oft betrchtet m uch Reihe, die beim Idex strte (geschriebe ); druter versteht m die Folge s mit s k für k 3

31 Folge ud Reihe Beispiele ) Die Reihe ist die Folge s mit s i i 3 4 Sie heißt hrmoische Reihe ud ist diverget (hier ohe Beweis) Eie grphische Verschulichug der Divergez der hrmoische Reihe mit uterer Abschätzug durch die Fläche uter dem Grphe der Fuktio f mit f x, x, x x ist durch folgede Abbildug gegebe M bechte hierbei: dt l( x), lso ist l( x ) t der Wert der Fläche uter der Hyperbel vo bis x, ud es gilt: lim l( x) x Bildquelle:Wikipedi: Vo Jimbelk - Eigees Werk, Gemeifrei, ist die Folge i b) Die Reihe s mit s i i 3 4 Sie heißt lterierede hrmoische Reihe ud ist koverget (hier ohe Beweis) c) Die Reihe Sie ist koverget Übug 4- ist die Folge s mit s i 4 9 Weise Sie dies ch, idem Sie zeige, dss s mooto ud beschräkt ist i Tipp: i i i i i für i 3

32 Folge ud Reihe d) Die Reihe q ist die Folge Sie heißt geometrische Reihe s mit i 3 s q qq q q i Es gilt q q i q für \ i q (siehe Übuge) Für q ist die geometrische Reihe q koverget ud es gilt q q Für q ist die geometrische Reihe Übug 4- q diverget (hier ohe Beweis) Zeige Sie, dss q für q q Grphische Verschulichug der Kovergez der geometrische Reihe für q : Bildquelle: Wikipedi: Vo Toby - Eigees Werk, CC BY-SA 3, Auf der Zhlegerde: Bildquelle: Wikipedi: Vo Jimbelk - Eigees Werk, Gemeifrei, 3

33 Folge ud Reihe e) Die Reihe ist die Folge k k! s mit s k! Sie heißt e-reihe Sie ist koverget ud ihr Reihewert ist die Eulersche Zhl e, lso k e k! k Bemerkug D Reihe ichts deres ls spezielle Folge sid, lsse sich die i Abschitt formulierte Kovergezkriterie für Folge speziell uf Reihe umschreibe Es lsse sich dbei Kovergezkriterie für Reihe herleite, mit dee Kovergezutersuchuge vo Reihe hdlicher werde Auf diese Kovergezkriterie für Reihe gehe wir hier icht weiter ei 33