10. Stetigkeit Definition (Stetigkeit) Beispiele. Wir übertragen den Stetigkeitsbegriff für reelle Funktionen auf metrische Räume.

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1 10 Stetigkeit Wir übertrge de Stetigkeitsbegriff für reelle Fuktioe uf metrische Räume 101 Defiitio (Stetigkeit) Seie (X, d x ), (Y,d y ) metrische Räume, f : X Y eie Abbildug Wir sge f ist stetig im Pukt x X geu d, flls für jede Folge (x j ) j J i X mit Grezwert lim j J x j =0gilt lim j J f(x j )=f(x) =f(lim j J x j ) f vertuscht mit Grezwertbildug We f i jedem Pukt x X stetig ist, d heißt f stetig Wir setze C(X, Y )={f : X Y f ist stetig} 102 Beispiele 1 X R, Y= R mit Stdrtmetrik uf R f : X Y ist stetige Fuktio Stetigkeit im Sie vo Alysis I 2 Sei (V, ) ei ormierter Vektorrum : V R ist stetig lim j Ju j = u u = u u j + u j u u j + u j u j = u j u + u u j u + u u j = u j u + u u j u u u u j u u j 0 ch V orrussetzug 3 Sei (X, d) ei metrischer Rum, p X, f(x) =d(p, x),f : X R ist stetig 13

2 KAPITEL 10 STETIGKEIT 103 Defiitio (Lipschitz-Stetigkeit) Seie (X, d x ), (Y,d y ) metrische Räume Eie Abbildug f : X Y heißt Lipschitz- Stetig we gilt: L 0: u, v X : d x (f(u),f(u)) L d x (u, v) 104 Stz Seie X, Y, Z metrische Räume Sei f : X Y ud g : Y Z stetig D ist g f stetig 105 Beobchtug Ist X metrischer Rum, so bildet C(X, R) ={f : X R f stetig} eie reelle Vektorrum ud eie Rig (eie reelle Algebr, vgl Beobchtug 43) f + g : x f(x)+g(x) f,g C(X, R),v R f r : x f(x) r sid stetig (101) f g : x f(x) g(x) 106 Stz (ε δ-kriterium der Stetigkeit) Seie X, Y metrische Räume ud f : X Y eie Abbildug D ist f stetig im Pukt x X, wegilt forllε > 0 δ >0, so dssd X (x, u) δ d Y (f(x),f(u)) ε 107 Beispiele X = Y = R, f(x) =x 2 ist stetig, ber icht L-Stetig für ei L 0 (x +1) 2 x 2 = 2x +1 L(x +1 x) =L 1 X = R mit l 1 -, l 2 -oderl -Norm Sei (t 1,,t ) R,seif(v) = f k v k,(f : k=1 14 getext: Juli Wolters

3 Vorlesug SS 2010 Alysis 2 Prof Dr Lius Krmer X R Lierform ) ) I der l 2 -Norm: f(u) f(v) = = (u k v k )t k k=1 (u k v k )t k k=1 (u k v k ) t k k=1 f(u) f(v) u v 2 t 2 (CSU) b) I der l 1 -Norm: f(u) f(v) u v 1 t c) I der l -Norm I lle Norme ist f Lipschitzstetig 2 X = C([, b], ), ϕ : X R ϕ(f) = ϕ(f) ϕ(g) = f(u) f(v) u v t 1 (f(x) g(x))dx b b f(x)dx = lso ist ϕ eie (b )-L-stetige Abbildug 3 X = Y = C([, b], R) mit der -Norm ψ(f) :=x x f(t)dt ψ(f)(x) ψ(g)(x) = x f(x) g(x) dx b f(t) g(t)dt (x )f g ψ(f) ψ(g) (b )f g_ Also sid uch diese Abbilduge (b )-L-Stetig Bechte: f ud ψ sid liere Abbilduge! f g dx = f g (b ) getext: Juli Wolters 15

4 KAPITEL 10 STETIGKEIT 108 Stz Es seie (V, V ) ud (W, W ) ormierte Vektorräume Sei f : V W lier D sid äquivlet: i) f ist stetig ii) f ist L-Lipschitzstetig für ei L 0 iii) Es gibt L 0, sodssfürllev V gilt f(v) W L v V 109 Stz ud Defiitio Sei f : V W stetige liere Abbildug zwische zwei ormierte Vektorräume Defiiere f := sup{f(v) W v V,v 1} (Nch Stz (108) wohldefiiert, de flls v 1 f(v) L v L) heißtopertororm D gilt v V : f(v) W f v V L(V,W) ={f : V W f : V W lier ud stetig} Opertororm f =sup{f(w) W v V,v V =1} Beispiel V = R, W = R, f(v) = t i v i i=1 L(R, R) = R Wie sieht die Opertororm us? (R, 1 ), f = sup t i v i v v i=1 t i v i t v i 1 f t i=1 = t, d Adere Abschätzug: Sei t 1 = t, v =(0,,0, 1, 0,,0) f(v) = t 1 = t ud V 1 =1 f f,lsof = t (R, ) Opertororm vo f ist f = t 1 (R, 1 ) Opertororm vo f ist f = t 2 t i v i i= Stz Seie (V, V ) ud (W, W ) ormierte Räume We W vollstädig ist, d ist L(V,W) vollstädig bzgl der Opertororm 16 getext: Juli Wolters

5 Vorlesug SS 2010 Alysis 2 Prof Dr Lius Krmer 1011 Korollr (Spezilfll W = R) Der Rum L(V,R) der stetige Lierforme uf V (stetiger Dulrum vo V )ist immer vollstädig, we V ei ormierter Vektorrum ist 1012 Beispiel Eie uvollstädige liere Abbildug, V = {f :[0, 1] R f ist Polyomfuktio} mit -Norm Betrchte D : V D, f f DieseAbbildugistlierudustetig Betrchte f (x) =x f =1 D(f) =f = x 1 f 1 D(f ) = AlsokeskeiL 0 gebe mit D(f ) L f = L D ist ustetig bzgl -Norm 1013 Drei Lmmt Lemm A Sei (V, V ) ormierter Vektorrum, sei f : R C lier D ist f stetig bzgl der 1 -Norm uf R Lemm B Sei eie beliebige Norm uf R Dgibtesr>0, sodssgilt:fürllev R mit v 1 =1gilt v r Lemm C Sei eie beliebige Norm uf R Dist(R, ) id (R, 1 ) stetig 1014 Theorem ( Huptstz über edlichdimesiole ormierte Räume ) Seie (V, V ) ud (W, W ) zwei ormierte Vektorräume Sei f : V W lier Flls V edliche Dimesio ht, d ist f utomtisch stetig Isbesodere sid lle liere Abbilduge zwische edlich dimesiole ormierte Vektorräume stetig getext: Juli Wolters 17

6 1015 Defiitio ud Stz KAPITEL 10 STETIGKEIT Sei V ei Vektorrum mit zwei Norme ud b DieNormeheißeäquivlet, we es Kostruktore r, s > 0 gibt, so dss für lle v V gilt v v b r ud v b v s Beispiel Wir hbe im BSP (920) i R gezeigt, u 1 u 2 u 1 u 1 Diese drei Norme uf R sid prweise äquivlet Stz Sei V ei edlichdimesioler Vektorrum D sid lle Norme uf V äquivlet Folgerug Alle Norme uf R liefer de gleiche Kovergezbegriff, die gleiche Cuchy-Folge etc Isbesodere ist jeder edlicher dimesioler Vektorrum vollstädig, dh ei Bchrum ist 1016 Defiitio Sei (X, d) ei metrischer Rum We jede Folge i X eie kovergete Teilfolge ht, so heißt X koverget (oder: X ht die Bolzo-Weierstrß-Eigeschft) Beispiel Sei X =[, b] R, d(u, v) = u v Nch221istlso[, b] kompkt X =[0, 1] Q, d(u, v) = u v IstichtkompktZBgiibteseieFolgeiX, die gege 1 kovergiert ud 1 / X 2 2 X = R, d(u, v) = u v ist icht kompkt ZB (x ) N, x = JedeTeilfolge (x j ) j J ist ubeschräkt, de jede uedliche Teilmege J N ist ubeschräkt Also k keie Teilfolge dieser Folge kovergiere 18 getext: Juli Wolters

7 Vorlesug SS 2010 Alysis 2 Prof Dr Lius Krmer 1017 Stz Sei (X, d) metrischer Rum, sei A X Teilmege We (A, d) kompkt ist, d ist A bgeschlosse i X ud vollstädig Isbesodere ist jeder kompkt metrische Rum vollstädig 1018 Stz Seie X, Y metrische Räume, sei f : X Y stetig We A X eie kompkte Teilmegt ist, d ist f(a) kompkt Stetige Bilder kompkter Mege sid kompkt 1019 Stz (Bolzo-Weierstrß i mehrere Vrible) Sei V ei edlich dimesioler ormierter Vektorrum D ist A V kompkt, geu d we A bgeschlosse i V ist ud beschräkt (A ist beschräkt, fllsesr>0 gibt, mit B R (0) A) Korollr Sei (X, d) metrischer Rum, A X sei kompkt, f : X R sei stetig D immt f uf A ei Miimum ud ei Mximum, dh es gibt, b A, sodssfürllec A gilt f() f(c) f(b) Beispiele für kompkte Mege i R Die ( 1)-Späre $ 1 = {x R x 2 =1} $ 0 = {±1} R $ 1 = {(x, y) x 2 + y 2 =1} $ 2 = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 =1} Die Sphäre $ sid lle kompkt, weil bgeschlosse ud beschräkt im R m+1 1 Umformulierug: Sei V eidlich dimesioler Vektorrum D ist A V geu d kompkt, we A bgeschlosse ud beschräkt getext: Juli Wolters 19

8 KAPITEL 10 STETIGKEIT D = {x R x 2 1} -dimesiole Vollkugel (-Bll oder -Scheibe) llgemeier: v R, r>0 Vollkugel vom Rdius r mit Mittelpukt v B r (v) ={w R v w 2 r} Sid ds ebeflls kompkte Mege? Der -Würfel I = {x R 0 x i 1, i=1,,} ist ebeflls kompkt Nicht kompkt i R :zbistjederutervektorrumv R mit v = {0} icht kompkt De: wähle v V, v = 0, die Mege {v, 2v, 3v, } ist ubeschräkt Fzit: liere Abbilduge zwische edlich dimesiole ormierte Vektorräume sid immer stetig stetige liere Abbilduge sid sogr Lipschitz-stetig Auf R sid lle Norme äquivlet, lle liefer de gleiche Kovergezbegriff bschlosse ud beschräkte Mege im R hbe die Bolzo-Weierstrß-Eigeschft Im uedlich Dimesiole gilt dies icht 1021 Defiitio ud Stz Sei X eie Mege, f : X X Ei Pukt x X heißt Fixpukt vo f, wegilt f(x) =x Viele Gleichuge lsse sich ls Fixpuktgleichuge umschreibe M iteressiert sich d für die Existez, Eideutigkeit ud die Berechug vo Fixpukte Beispiel (Brouwers-Fixpuktstz) Ist f : D m D m stetig, d ht f midestes eie Fixpukt Spezilfll m =1: f :[ 1, 1] [ 1, 1] Zwischewertstz liefert eie Pukt x [ 1, 1] mit f(x)x Beispiel X = R f(x) =x 2,zweiFixpukte:0,1 g(x) =x +1ht keie Fixpukt 20 getext: Juli Wolters

9 Vorlesug SS 2010 Alysis 2 Prof Dr Lius Krmer Stz (Bchs Fixpuktstz) Sei (X, d) vollstädiger metrischer Rum, sei f : X X Lipschitz-Stetig mit L<1 (dh für lle u, v X gilt d(f(u),f(v)) L d(u, v)) D ht f geu eie Fixpukt Bemerkug Der Beweis liefert eie Algorithmus, defixpuktäherugsweisezubereche,mit Kotrolle über de Fehler Wähle x 0 X, iterieref(x )=x +1 DieseFolgekovergiert gege de Fixpukt x ud es gilt d(x,x) L R 1 DbeiistLdie Lipschitz-Kostte 1 L ud R = d(x 0,f(x 0 )) (Gege-)Beispiele: X = R f(x) =x 2 ist icht Lipschitz-stetig g(x) =x +1ist 1-Lipschitz-stetig g(u) g(v) = (u +1) (v +1) = u v, ber icht L-Lipschitz-stetig für ei L<1 getext: Juli Wolters 21