6. AufdemRaumder stetigdifferenzierbaren FunktionenC 1 ([a,b],r n ) kannman auch folgende Norm betrachten:

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1 2 Kapitel. Gewöhliche Differetialgleichuge.2 Baachräume Um de Satz vo Picard ud Lidelöf auf höhere Dimesioe übertrage zu köe, wird hier zuächst der Begriff des Baachraums bereitgestellt ud da der Baachsche Fixpuktsatz formuliert. Erier wir zuächst och eimal a de Begriff der Norm..9 Defiitio Sei V ei Vektorraum über dem Körper K = R oder C. Eie Abbildug :V R heisst Norm auf V, falls die folgede drei Eigeschafte für alle v,w V, λ K gelte: v + w v + w (Dreiecksugleichug). λv = λ v. v 0 ud Gleichheit gilt ur für v = 0..0 Beispiele. Der Prototyp eier Norm ist die euklidische Lägefuktio, defiiert auf V = R durch v = v v 2, wobei v = (v,...,v ). Für = stimmt diese Fuktio mit der Betragsfuktio überei. 2. Eie adere Norm auf R ist gegebe durch v = k= v k. 3. Sei V = C, aufgefasst als komplexer Vektorraum. Die Stadardorm ist hier (z,...,z ) := z z Sei I R ei (halb)offees oder abgeschlossees Itervall ud bezeiche B(I,R) die Mege der auf I beschräkte Fuktioe vo I ach R. Die Mege B = B(I,R) ist ei Uterraum des Vektorraums aller Fuktioe vo I ach R, ud auf B gibt es die sogeate Supremumsorm, defiiert durch f 0 := sup{ f(x) x I}. 5. Da stetige Fuktioe auf abgeschlossee Itervall immer beschräkt sid ud sowohl Maximum als auch Miimum aehme, köe wir auf dem Raum C 0 ([a,b],r ) etspreched die Maximumsorm verwede: f 0 := max{ f(x) x [a,b]}. (Hier bezeichet f(x) die euklidische Läge des Vektors f(x) R.) 6. AufdemRaumder stetigdifferezierbare FuktioeC ([a,b],r ) kama auch folgede Norm betrachte: f := max{ f 0, f 0 }. Etspreched ka ma de Raum der -mal stetig differezierbare Fuktioe C ([a,b],r ) mit folgeder Norm versehe: f := max{ f (k) 0 k = 0,...,}.

2 .2. Baachräume 3 7. Auch mithilfe des Itegrals lasse sich Norme auf dem Raum der stetige Fuktioe auf [a,b] R erkläre. Für jede atürliche Zahl p N liefert die folgede Vorschrift eie Norm (oder die sogeate L p -Norm): b f L p := p f(x) p dx. Eiebesoders wichtige Rollespielt diel 2 -Norm, dassogeate quadratische Mittel. Ma beachte, dass diese Vorschrifte auf dem grössere Raum der itegrierbare Fuktioe zwar ausgewertet werde köe, dort aber jeweils keie Norm liefer. De es gibt ustetige Fuktioe, die icht überall Null sid, dere Itegralmittel aber verschwidet. Jede Norm auf V liefert eie Abstadsbegriff auf V, idem wir für v,w V setze dist(v,w) := v w.. Beispiel Die Fuktioe f, g:[0, ] R, defiiert durch f(x) = x bzw. g(x) = x 2, sid stetig differezierbar. Wir köe also die drei obe agegebee Norme verwede, um de Abstad zwische f ud g zu messe, ud erhalte dabei folgede Ergebisse: a. f g 0 = sup{ x x 2 0 x } = 4, weil der Ausdruck x x2 bei x = 2 maximal wird. 2. f g = max{ f g 0, f g 0 } =, weil f g 0 = sup{ 2x x [0,]} =. 3. f g L 2 = 0 (f(x) g(x))2 dx = 0 (x4 2x 3 +x 2 )dx = Bemerkug Sei V ei Vektorraum mit Norm. Der durch die Norm defiierte Abstadsbegriff auf V ist eie Metrik, das heisst, es gelte folgede Eigeschafte für alle u,v,w V. dist(u, w) dist(u, v) + dist(v, w) (Dreiecksugleichug). dist(u, v) = dist(v, u). dist(u,v) 0 ud Gleichheit gilt ur für u = v. Jede Metrik wiederum führt zu eiem Kovergezbegriff..3 Defiitio Sei V ei Vektorraum mit fest gewählter Norm, ud sei (f ) N eie Folge i V. Ma sagt, die Folge (f ) kovergiere gege f V im Sie der Norm, we die Folge der Abstäde f f eie Nullfolge bildet, das heisst lim f f = 0.

3 4 Kapitel. Gewöhliche Differetialgleichuge Ist V ei edlichdimesioaler Vektorraum, so führe sämtliche mögliche Norme auf deselbe Kovergezbegriff. Geauer gilt folgedes:.4 Satz Ist dim V <, so sid sämtliche Norme auf V zueiader äquivalet. Das heisst, bezeiche ud 2 zwei Norme auf V, so gilt für jede Folge (v ) N i V ud alle v V: lim v v = 0 lim v v 2 = 0. Bei uedlichdimesioale Vektorräume wie zum Beispiel Fuktioeräume sieht das gaz aders aus. Ob eie Folge vo Fuktioe gege eie Grezwert kovergiert oder icht, ka sehr wohl vo der gewählte Norm abhäge, mit der die Kovergez gemesse wird. Dazu werde wir gleich eiige Beispiele sehe. Es gibt also wesetlich verschiedee Kovergezbegriffe. Die Kovergez im Sie der Supremumsorm auf B(I, R) wird als gleichmässige Kovergez bezeichet. Dies Kozept lässt sich ahad der Fuktiosgraphe geometrisch beschreibe. Dazu schaue wir us de durch die Supremumsorm defiierte Abstadsbegriff och eimal geauer a: Fürf,g B(I,R) gilt f g 0 < ǫ geauda,we f(x) g(x) < ǫfürallex I.Dazuäquivalet ist diebedigug: f(x) ǫ < g(x) < f(x)+ǫ für alle x I. Das bedeutet, der Graph vo g liegt gaz i dem ǫ-streife, de wir erhalte, idem wir de Graphe vo f i R 2 um ǫ ach obe bzw. ach ute verschiebe. Eie Folge vo Fuktioe (f ) kovergiert geau da gleichmässig gege f, we zu jedem ǫ > 0 ei N N existiert mit f f 0 < ǫ. Das bedeutet, der ǫ-streife um de Graphe vo f ethält die Graphe der Fuktioe f für alle atürliche Zahle bis auf höchstes edlich viele Ausahme. Ob eie vorgelegte Folge vo Fuktioe kovergiert, ka wie bereits erwäht vo der Wahl des Kovergezbegriffs abhäge. Dazu hier ei erstes Beispiel:.5 Beispiel Für Nseif :[ π,π] Rdefiiertdurchf (x) = x 2 + si(x). Die Folge (f ) kovergiert im Si der Supremumsorm gege die Fuktio f:[ π,π] R, x x 2. De f (x) f(x) = si(x) für alle x, ud daraus folgt lim f (x) f(x) 0 = lim = 0. Verwede wir aber dedurch die Norm erklärte feiere Abstadsbegriff, der auch die erste Ableitug mitberücksichtigt, so stelle wir fest, dass i diesem Si die Folge der f icht kovergiert. Der Kadidat f kommt als Grezwert icht i Frage, de: f f 0 = sup{ cos(x) x [ π,π]} =. Die Folge der f kovergiert also gleichmässig gege f, aber die Folge der Ableitugef kovergiert icht gegef.esgilt f f =,dasheisst, diefuktioef

4 .2. Baachräume 5 bleibe auf kostatem Abstad zu f, we ma de Abstad mit der -Norm misst. Aber die Folge der f kovergiert im Si der -Norm auch icht gege irgedeie adere Fuktio g. De ageomme doch, da müsste es zu ǫ = 4 ei N N gebe mit: f g < für alle N. Daraus würde folge: 4 Adererseits gilt für ugerade : f f 2 0 f g 0 + g f 2 0 < 2. f (π) f 2 (π) = cos(π) cos(2π) = ( ) = 2. Dies ist offebar ei Widerspruch. Im Zusammehag mit Fuktioefolge spricht ma auch häufig vo puktweiser Kovergez. Dieser Begriff ka aber icht mithilfe eier Norm erklärt werde. Ausserdem wird der Begriff der Kovergez im quadratische Mittel auch für Folge beliebiger itegrierbarer Fuktioe beutzt, obwohl das quadratische Mittel hier keie Norm defiiert..6 Defiitio Ist (f ) N eie Folge beschräkter Fuktioe auf eiem Itervall I R, so sagt ma, die Folge (f ) kovergiere puktweise gege die Fuktio f:i R, falls lim f (x) = f(x) für alle x I. Ist I = [a,b] abgeschlosse ud sid die Fuktioe f sogar itegrierbar, so sagt ma, die Folge (f ) kovergiere im quadratische Mittel gege f, falls b (f (x) f(x)) 2 dx = 0. lim Schaue wir us hierzu wieder ei Beispiel a..7 Beispiel Für N sei jetzt f :[,] R defiiert durch { 0 für x 0 f (x) = x für 0 < x. sost a Diese Fuktioe habe Kickstelle bei x = 0 ud bei x =, sid aber überall stetig. Im quadratische Mittel kovergiert die Folge der f gege die Heaviside- Fuktio h:[,] R, gegebe durch { 0 für x 0 h(x) = für x > 0. De (f(x) f (x)) 2 dx = 0 ( x) 2 dx = 3 ( x)3 0 = 3,

5 6 Kapitel. Gewöhliche Differetialgleichuge ud dies ist offesichtlich eie Nullfolge. Auchpuktweise kovergiert diefolgeder f gegeh.defürx 0istf (x) = 0 für alle ud daher lim f (x) = 0 = h(x). Falls x > 0 ist, gibt es eie atürliche Zahl m mit m < x. Daraus folgt f (x) = für alle m ud damit lim f (x) = = h(x). Aber gleichmässige Kovergez gege h liegt hier icht vor. De der Abstad jeder der Fuktioe f zu h, gemesse mit der Supremumsorm, beträgt : sup{ x x (0, ]} =. Die Folge der f kovergiert sogar gege keie eizige Fuktio gleichmässig. Wäre ämlich f der gleichmässige Grezwert, so müsste es zu ǫ = ei N N gebe mit 4 f f 0 < für alle N. Daraus würde folge 4 f f 2 0 = (f f)+(f f 2 ) 0 f f 0 + f f 2 0 < 2 für alle N. Adererseits gilt aber: { f f 2 0 = sup f 2 (x) f (x) 0 < x } = ({ sup 2x x 0 < x < } { x 2 Dies ist ei Widerspruch. 2 x }) = 2..8 Bemerkug Zwische de Kovergezbegriffe gibt es folgede Hierarchie:. Kovergiert eie Folge (f ) N beschräkter Fuktioe gleichmässig gege f, so kovergiert die Folge auch puktweise gege f. 2. Aus gleichmässiger Kovergez eier Folge stetiger Fuktioe auf eiem abgeschlossee Itervall folgt auch Kovergez im quadratische Mittel, aber icht umgekehrt. 3. Kovergiert eie Folge -mal stetig differezierbarer Fuktioe im Sie der obe erklärte Norm, so auch im Si der Norm. (Dies gilt für alle N, >.) Beweis. Zu.: Ageomme lim f f 0 = 0. Das bedeutet, lim sup{ f (x) f(x) x I} = 0. Weil fürjede festgewählte Pukt x 0 I gilt f (x 0 ) f(x 0 ) sup{ f (x) f(x) x I}, folgt mit dem Vergleichssatz u auch lim f (x 0 ) f(x 0 ) = 0, ud das heisst lim f (x 0 ) = f(x 0 ) für alle x 0 I.

6 .2. Baachräume 7 Zu 2.: Ist (f ) N eie Folge stetiger Fuktioe auf [a,b], die gleichmässig gege f kovergiert, so ist f ebefalls stetig ud damit itegrierbar. Ausserdem gilt: b (f (x) f(x)) 2 dx max{ f (x) f(x) 2 x [a,b]} (b a) = f f 2 (b a). a Aus lim f f 0 = 0 folgt also auch lim f f L 2 = 0. Zu 3.: Übugsaufgabe. q.e.d. Um zu zeige, dass die Folge i Beispiel.7 icht gleichmässig kovergiert, habe wir die Abstäde der Folgeglieder utereiader vergliche. Das führt us auf de folgede Begriff..9 Defiitio Eie Folge (f ) N i eiem ormierte Vektorraum V heisst Cauchyfolge (im Si der Norm), we es zu jedem ǫ > 0 ei N N gibt mit f f m < ǫ für alle,m N..20 Bemerkug Jede kovergete Folge ist eie Cauchyfolge (bezoge auf dieselbe Norm). Beweis. Nehme wir a, die Folge (f ) kovergiere gege f. Sei weiter ǫ > 0 vorgegebe. Da gibt es ei N N mit f f < ǫ für alle N. Daraus folgt mit 2 der Dreiecksugleichug für alle,m N f f m f f + f f m < ǫ, wie behauptet. q.e.d..2 Beispiel Betrachte wir wieder die Folge der f :[,] R, defiiert durch f (x) = { 0 für x 0 x für 0 < x sost Diese Folge ist keie Cauchyfolge im Sie der Supremumsorm. De wie obe gezeigt, gilt für alle N: f f 2 0 = f ( 2 ) = 2. Das bedeutet, dass zum Beispiel zu ǫ = 4 kei N N existiert mit f N f m 0 < ǫ für alle m N. Aber die Folge ist eie Cauchyfolge im Sie der L 2 -Norm. De für m < gilt: f f m 2 L = (f 2 (x) f m (x)) 2 dx = 0 (x mx) 2 dx+. m ( mx) 2 dx =

7 8 Kapitel. Gewöhliche Differetialgleichuge ( m) m ( m )3 = 3m ( m )2 < 3m. Wählt ma also zu ǫ > 0 eie atürliche Zahl N mit > m N die Abschätzug f f m L 2 < Also ist die Defiitio der Cauchyfolge erfüllt. 3N 3m 3N < ǫ. < ǫ, da gilt für alle.22 Defiitio Sei V ei Vektorraum mit fest gewählter Norm. Wir bezeiche V als Baachraum, we V bezüglich der Norm vollstädig ist, das heisst, we i V jede Cauchyfolge eie Grezwert hat. Hier eiige wichtige Beispiele:.23 Beispiele. Jede Cauchyfolge reeller Zahle hat i R (mit der Betragsfuktio als Norm) eie Grezwert. (Über Q ist die etsprechede Aussage icht richtig.) Das folgt aus dem Supremumsaxiom der reelle Zahle. 2. Der Vektorraum R mit der euklidische Norm ist vollstädig. Ebeso ist C mit der i.0 agegebee Stadardorm vollstädig. 3. Ei edlichdimesioaler reeller oder komplexer Vektorraum V ist automatisch bezüglich jeder Norm vollstädig. Beweis. De V ist da isomorph zu R (oder C ) für ei N, ud jede Norm auf V etspricht eier Norm auf R (oder C ). Wie bereits erwäht, sid alle Norme auf R (oder C ) zueiader äquivalet. Weil R (oder C ) bezüglich der Stadardorm vollstädig ist, gilt dasselbe auch für alle adere Norme auf R (oder C ). q.e.d. 4. Der Raum der stetige Fuktioe auf [a, b] bildet mit der Supremumsorm eie Baachraum. Beweis. Sid f :[a,b] R stetige Fuktioe, ud ist die Folge der f eie Cauchyfolge bezoge auf die Supremumsorm, so gibt es zu jedem ǫ > 0 ei 0 N mit f (x) f m (x) < ǫ für alle,m 0 ud alle x [a,b]. Also ist auch die Zahlefolge (f (x)) N für jedes x [a,b] eie Cauchyfolge ud hat daher eie Grezwert i R. Wir defiiere f(x) := lim f (x), ud erhalte so eie Fuktio f:[a,b] R. Wir behaupte, dass die Folge der f gleichmässig gege f kovergiert ud daher die Fuktio f stetig ist.

8 .2. Baachräume 9 Die Behauptug ka ma folgedermasse eisehe: Sei ǫ > 0 ud dazu 0 N so gewählt, dass f (x) f m (x) < ǫ/2 für alle,m 0 ud alle x [a,b]. Da erhalte wir für m = 0 : Durch Grezübergag folgt daraus: f 0 (x) ǫ/2 < f (x) < f 0 (x) ǫ/2. f 0 (x) ǫ/2 lim f (x) = f(x) f 0 (x) ǫ/2, das heisst: f(x) f 0 (x) < ǫ/2 x. Nu köe wir schliesse: f(x) f (x) f(x) f 0 (x) + f 0 (x) f (x) < ǫ x, 0. q.e.d. 5. Der Raum C ([a,b],r) bildet mit der -Norm ebefalls eie Baachraum (für jedes N). Beweis. Wir zeige dies ur für =. Für > ergibt sich die Behauptug da durch vollstädige Iduktio. Nehme wir a, die Folge vo Fuktioe (f j ) i C ([a,b],r) sei eie Cauchyfolge bezüglich der -Norm. Das bedeutet, dass sowohl (f j ) als auch (f j ) i C0 ([a,b],r) bezüglich der Supremumsorm Cauchyfolge sid. Wie ebe gezeigt, kovergiere da die Fuktioe f j gleichmässig gege eie stetige Fuktio f ud die Folge der Ableituge f j kovergiert gleichmässig gege eie stetige Fuktio g. Da ist f sogar differezierbar ud es gilt g = f. Also ist f C ([a,b],r) der gesuchte Grezwert. q.e.d. 6. Bezüglich der L 2 -Norm ist C 0 ([a,b],r) icht vollstädig. De zum Beispiel die Folge aus Beispiel.7 ist zwar eie Cauchyfolge bezüglich der L 2 -Norm, aber ihr Grezwert, die Heaviside-Fuktio ist icht stetig ud daher icht im Raum C 0 ([a,b],r) ethalte. 7. Der Raum C 0 ([a,b],r ) der stetige Wege ist ei Baachraum mit der folgede Norm: γ 0 := sup{ γ(t) t [a,b]}. Beweis. De habe wir eie Cauchyfolge vo Wege bezüglich dieser Norm, so bilde die Kompoetefuktioe dieser Wege jeweils Cauchyfolge bezüglich der Supremumsorm i C 0 ([a,b],r). Sie kovergiere also jeweils gleichmässig gege eie stetige Fuktio. Der aus diese Kompoete zusammegesetzte Weg ist der gesuchte Grezwert für die Folge vo Wege. q.e.d.

9 20 Kapitel. Gewöhliche Differetialgleichuge 8. Der Raum C ([a,b],r ) der stetig differezierbare Wege ist ei Baachraum bezüglich der Norm, defiiert durch γ := max{ γ 0, γ 0 }..24 Defiitio Uter eiem Operator zwische zwei Baachräume V ud W versteht ma eie Abbildug T: D W, wobei D V der Defiitiosbereich ist. Der Operator T heisst liear, we D ei liearer Uterraum vo V ist ud T(λu + µv) = λt(u) + µt(v) für alle λ,µ R (bzw. C) ud u,v D gilt. Der Operator heisst stetig a der Stelle v 0 D, we für jede Folge v D, die gege v 0 kovergiert, gilt lim T(v ) = T(v 0 ). Schliesslich ist T Lipschitz-stetig, we es eie Kostate L gibt mit T(u) T(v) L u v für alle u,v D. Wie im edlichdimesioale Fall ist auch hier die Lipschitz-Stetigkeit eie Verschärfug der Stetigkeit, das heisst jeder Lipschitz-stetige Operator ist stetig, aber icht umgekehrt. Aber währed im edlichdimesioale Fall jede lieare Abbildug automatisch stetig ist, gilt das für Operatore auf uedlichdimesioale Baachräume icht. Dazu hier ei Beispiel..25 Beispiel Der Vektorraum P der Polyome mit reelle Koeffiziete wird zu eiem Baachraum mit der Norm, defiiert durch a k x k = max{ a k k = 0,...,}. k=0 Weil die Moome x ( N 0 ) eie Basis bilde, gibt es eie lieare Operator T:P R mit T(x ) = für alle N 0. Dieser Operator ist aber icht stetig, de die Folge v := x ( N) kovergiert gege 0, aber T(v ) = für alle..26 Defiitio Sei jetzt T ei liearer, Lipschitz-stetiger Operator zwische Baachräume V ud W mit Defiitiosbereich D V. Die optimale (das heisst kleiste) Lipschitzkostate vo T wird als Operatororm T vo T bezeichet ud es gilt: T = sup{ T(v) v =,v D}. Ma ka zeige, dass auf dem Vektorraum aller lieare Lipschitz-stetige Operatore vo D ach W dadurch tatsächlich eie Norm festgelegt wird..27 Beispiel Sei V = C 0 ([a,b],r mit der Maximumsorm, W = R mit dem Absolutbetrag ud D = V. Durch die Vorschrift T(f) := b a f(t)dt wird ei liearer Operator T:V R defiiert. Die Operatororm beträgt hier T = b a.

10 .2. Baachräume 2 Nu habe wir alle Begriffe zusamme, um de Baachsche Fixpuktsatz formuliere zu köe..28 Satz Sei V ei Baachraum, D V eie abgeschlossee Teilmege ud T:D V ei Lipschitz-stetiger Operator mit T(D) D ud T = q <. Da hat T eie Fixpukt i D, das heisst, es gibt eie Pukt ṽ D mit T(ṽ) = ṽ. Dieser Fixpukt ist ausserdem eideutig bestimmt. Beweis. Weil der Operator de Defiitiosbereich D i sich abbildet, köe wir ausgehed vo eiem beliebig gewählte Startwert v 0 D rekursiv eie Folge defiiere durch v + := T(v ) für alle N 0. Mithilfe der Lipschitzbedigug ka ma iduktiv zeige: Ausserdem gilt für alle k N: v + v q v v 0. v +k v v +k v +k+ + v +k+ v + + v + v, woraus wiederum mit der Lipschitzbedigug folgt: v +k v ( q) v +k+ v +k + v + v (q +k +q ) v v 0. Also bilde die v eie Cauchyfolge ud habe i D eie Grezwert ṽ, weil V ei Baachraum ud D eie abgeschlossee Teilmege ist. Aus der Rekursio zusamme mit der Stetigkeit vo T ergibt sich u, dass der Grezwert bereits ei Fixpukt sei muss. Nehme wir u a, es gäbe zwei Fixpukte ṽ ud v. Da folgte aus der Lipschitz-Bedigug Dies ist ei Widerspruch. ṽ v = T(ṽ) T(v) q ṽ v < ṽ v. q.e.d. Stelle wir u de Zusammehag zu de Differetialgleichuge erster Ordug her. Betrachte wir wieder das Afagswertproblem y = f(x,y), y(x 0 ) = y 0, wobei g bezüglich y auf dem Rechteck [x 0 δ,x 0 + δ] [y 0 ǫ,y 0 + ǫ] R 2 die Lipschitz-Bedigug f(x,y ) f(x,y 2 ) L y y 2 erfülle. Wir wähle ausserdem δ < /L. Sei jetzt V = C 0 ([x 0 δ,x 0 +δ],r) mit der Maximumsorm. Wir defiiere de Operator T: V V durch T(ϕ) := y 0 + Da ist auch T Lipschitz-stetig ud x x 0 f(x,ϕ(x))dx. T = Lδ <. Also ist der Fixpuktsatz hier awedbar, ud T hat im Fuktioeraum geau eie Fixpukt.