Determinante und Resultante Azadeh Pasandi

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1 Determiate ud Resultate Azadeh Pasadi

2 Defiitio ud Grudeigeschafte: sei U, V, W ud Vektor-Raum über Körper F ud beachte eie Abbildug f ( u,v ) vo kartesische Produkt: f: U x V W Diese Abbildug ist biliear, we für alle v Є V die Abbildug u f ( u, v ) ud geauso für alle u ЄU die Abbildug v f ( u, v ) liear ist. Auf diese Weise beötige wir: f ( λu + λ ú, v ) = λf ( u, v ) + λ f ( u, v ) u, u Є U, v, v Є V f ( u, λ v + λ v ) = λ f ( u, v ) + λ f ( u, v ) λ, λ Є u, u Є U, v, v Є V λ, λ ЄF Gaz allgemei: für die Räume U₁,, U über F, die Abbildug f: U₁ x x U W ist multiliear, we sie liear i jedem Argumet sid (we die adere fixiert sid), d.h. für i = 1,, ud u i Є U i die Abbildug. x f ( u i,, u i-1, x, u i+1,, u ) Vo U i W ist liear Defiitio: Sei A eie x-matrix über eie kommutative Rig R, da wird eie d( A ) Fuktio vo Spalte vo A, mit 2 Eiträge Determiate der Ordug geat, we die folgede Bediguge erfüllt sid. D.1.) d ist eie lieare Fuktio i jede eizele Spalte vo A. D.2.) d ( A ) = 0, we zwei Spalte vo A gleich sid. D.3.) d ( I ) = 1 Zu D.1.) Seie die Spalte vo A: a 1,, a Für sie gilt: d(λ a 1 +λ a 1,.a ) =λ d(a 1,, a )+ λ d(a 1,, a ) ud es gilt ählich für die adere Spalte, d.h. die Fuktio d(a) ist liear i alle Spalte, Multiliearität. Aus D.1)- D.3.) folgt die folgede Eigeschafte für Determiate: E.1 ) We die Spalte vo A permutiert bzw. vertauscht werde, da wird d(a) mit dem etsprechede Vorzeiche multipliziert (mit (-1)). Seite 2

3 - d(a) ist eie alterierede Fuktio vo Spalte vo A, d.h. we z.b. zwei Spalte vo A mit eiader vertauscht werde, wird d(a) mit (-1) multipliziert.) Beweis: Seie die Spalte vo A: a 1,, a, seie weiterhi a i, a j zwei beliebige Spalte vo A, da gilt ach D.1.) ud D.2): Um de Ausdrück zu vereifache, betrachte wir zwei beliebige Spalte vo A : d(a i +a j, a i +a j )=0 d(a i, a j )+ d(a i,a i )+d(a j,a i )+d(a j,a j )= d(a i,a j )+ 0 +d(a j,a i )+ 0 = 0 d(a i,a j )= - d(a j,a i ) Behauptug - d(a) ist eideutig. Beweis: Um zu beweise, dass d eideutig bestimmt ist (durch D.1) D.3.) ), defiiere wir zu ächst eie Fuktio ε(i 1,, i ), wobei (i 1,, i ) über {1,,} permutiere. Also: 1 we (i 1,, i ), eie gerade Permutatio über {1,,} ε(i 1,, i )= -1 we (i 1,, i ), eie gerade Permutatio über {1,,} ist 0 sost Die j-te Spalte vo der Matrix A = (a ij ) ka wie folgt geschriebe werde: somit: a j = e i.a ij d(a 1,, a ) = d ( e i1 a i1 1,., e i a i ) * = i 1,..., i a i1 1,...,a i d( e i1,...,e i ) mit Liearität. We (i 1,, i ), eie Permutatio über {1,,} ist, da gilt wege E.1.): d( e i1,...,e i ) = ±d (e 1,, e ) + oder - je achdem, ob die Permutatio gerade oder ugerade ist. Aber wege D.3) gilt: d(e 1,, e ) = 1 Seite 3

4 Ud we (i 1,, i ), keie Permutatio über {1,,} ist, muss also eie Wiederholug sei ud somit verschwidet die like Seite vo wege D.2.) Daher gelte für alle Fälle: d e i1,...,e i = i 1,...,i Wir füge es i * ei: d (a 1,, a ) = i 1,...,i.( a i1 1,...,a i ) (**) Diese Formel zeigt, dass die Determiate eideutig bestimmt ist, we sie existiert. Um Existez vo Determiate zu überprüfe, muss die rechte Seite vo (**) utersucht werde, ob sie die D.1.)- D.3.) erfüllt. Kotrolle: D.1): ist erfüllt, da jeder Begriff auf der rechte Seite vo (**) ur eie Eitrag der erste Spalte a 1 ethält, somit ist der gesamte Ausdruck liear i a 1 ud ählich liear i adere Spalte. D.2): Sei a 1 = a 2 ud i 1 = i 2, da verschwidet die rechte Seite vo (**), we i 1 > i 2 da gibt es eie etsprechede Begriff mit i 1 ud i 2 vertauscht, d.h. wege Permutatio habe die etgegegesetztem Parität. Somit habe wir: d (a 1,, a ) = i 1,...,i a a a a a...a i1 1 i 2 1 i 2 1 i 1 1 i 3 3 i i 1 i 2 ud diese verschwidet, weil a i1 1 a i 2 1 =a i 2 1 a i 1 1 Mit ählicher Argumetatio gilt es für alle adere zwei Spalte vo A. Also D.2) ist erfüllt. D.3.): Trivial E.2 ) Die Determiate ist vielfache vo λ, we alle Elemete vo j-te Spalte vielfache vo λ sid. Es folgt aus Liearität. E.3. ) Die Determiate vo A bleibt uverädert, we mehrfache vo eier Spalte auf eier adere Spalte addiert wird. Erklärug: Wege D.1) ud D.2) gilt: d(a i, a j +λ a i )= d(a i, a j ) +λ d(a i, a i ) = d(a i, a j ) +λ. 0 = d(a i, a j ) Seite 4

5 D.1 )- D.3 ) ud E.1)- E.3.) gelte auch aalog für die Zeile. E.4 ) d(a T )=d(a) Es gilt och: E.5 ) Sei A=(a ij ) eie quadratische Matrix mit de Eiträge, die uter bzw. über seier Hauptdiagoale liege, gleich Null sid, d.h. a ij =0 für i > j. bzw. für i < j. Da gilt: d(a)= a 11. a 22.a Notatio: det(a), I A I Vadermode Matrix: (X, Y, Z)= X Y Z X 2 Y 2 Z 2 -te Ordug der Det. Vo Vadermodematrix: Satz: det( vadermodematrix)= Produkt vo der Variable-Differeze d.h.: X 1 X 2.X x 1,..., x =... = x i x j i j 1 X 1 X 2.. X Seite 5

6 Beweis: Es wird mit Iduktio bewiese. Sei deta= 1 X 1 X 12 X 1 1 X 2 X 22. X X X 2.. X Iduktiosafag: =2 1 X 1 det(a)= = X 1 X 2 = 2 i j 1 X i X j 1 X 2 Iduktiosvorraussetzug: det(a) = X j X i 1 i j Iduktisschritt: +1 deta= 1 X 1 X 12..X 1 X 1 1 X 2 X 22.. X 2 X X X 2... X X 1 X +1 2 X +1.X +1 X +1 Zu erst multipliziere die vorletzte Spalte mit X 1 ud ziehe sie vo der letzte ab, da multipliziere ()-te mit X 1 ud ziehe sie vo der -te Spalte ab. Ma macht so weiter bis i der erste Zeile außer bei a 11 = 1 überall Nulle stehe, da ist: Seite 6

7 X 2 - X 1 X 22 -X 2. X 1.. X 2 -X 2 X 1 deta= 1 X 3 -X 1 X 32 -X 3 X 1... X 3 -X 3 X X +1 -X 1 X +1 2 X +1.X 1....X +1 X +1 Nach Laplace gilt: X 2 - X 1 X 22 -X 2. X 1.. X 2 -X 2 X 1 deta= 1. X 3 -X 1 X 32 -X 3 X 1 X 3 -X 3 X 1.. X +1 -X 1 X +1 2 X +1.X 1..X +1 -X +1.X 1 Vo 1.Zeile ziehe de Faktor (X 2 - X 1 ) aus Vo 2.Zeile ziehe de Faktor (X 3 - X 1 ) aus Ud vo -te. Zeile ziehe de Faktor (X +1 - X 1 ) aus Da ist : deta=(x 2 - X 1 ).( X 3 - X 1 ). ( X +1 - X 1 ). 1 X 2 X 22.. X 2 1 X X 2... X 1 X +1 2 X +1.X +1 Nach I.V. gilt : det(a)= 1 i=2 X i X 1. 2 i j X j X i q.e.d. Seite 7

8 Etwicklug vo Determiate: Defiitio:.Defiiere i j als Determiate der Matrix, die ma durch wegstreiche vo i-te Zeile ud j-te Spalte erhäl A i j = 1 i j. i j heißt Kofaktor zu a ij vo A. Sei i {1,, }, da gilt: Satz 1: ( Laplace- Regel ) det A = a i j. A i j j =1 Defiitio vo Adjugte-Matrix: A 11 A A 1 adj A = A 12 A 22 A 2.. A 1 A 2 A Die gefudee Etwicklug für det(a) ka beutzt werde, um die iverse vo A (A -1 ) auszudrücke, falls diese ex. (d.h. es muss gelte det(a) 0) Satz 2 : We det(a) 0 ist, da existiert (A -1 ) ud dies ist: A -1 = (deta) -1. adj A Beweis: Ma betrachte das Produkt A.( (deta) -1. adj A) =(deta) -1. A adj A ud mit Hilfe vo Saz 1., erhalte sofort E. Seite 8

9 Resultate : Resultate utersucht zwei Polyome z.b. f ud g, ob die eie gemeisame Wurzel habe. Defiitio: Sei f = a 0 X + a 1 X +.+ a da ist: g = b 0 X m + b 1 X m b m a 0 0 b 0 0 a 1 a 0 b 1 b 0 Res(f,g)= a 2 a 1 a 0 b 2 b 1 b 0 a b m a b m (+m)x(+m) m Spalte Spalte Das Polyom Res mit Koeffiziete vo f ud g heißt Resultate vo f ud g. Seite 9

10 Die Eigeschafte vo Resultate: Theorem: Die Resultate Res(f, g) ist vo Polyome f, g bestimmt ud ist eie Polyom mit gazzahlige Koeffiziete (a i s, b i s) mit folgede Eigeschafte: 1) Es existiere F ud G Polyome i X, vo Gerade weiger als bzw. m mit Koeffiziete, welche wieder Polyome mit Abhägigkeit vo a i ud, b i sid, sodass : R = f.g + g. F Daraus folgt, we f ug g eie gemeisame Nullstelle habe, da ist: R=0 2) Res=0 f,g keie Kostate gemeisame Faktor habe oder a 0 =b 0 =0 3) R ist homoge vo Grad m i a i s ud m i b i s. 4) We f ud g als liear Faktore geschriebe werde f=a 0 П i (X-α i ) g=b 0 П i (X-β i ) Da gilt: Res(f,g)=a 0 m П i g(α i )=(-1) m b 0 П i f(β i ) = a 0m b 0 П i,j (α i - β j ) Beweis: Zu 1.) Nach Defiitio hat G höchstes de Grad ud somit f.g höchstes de Grad m+- 1 ud ählich hat gf höchstes de Grad m+. Multipliziere die i-te Zeile vo Res(f,g) mit X m+-i für i= 1,., m+ ud addiere dies auf der letzte Zeile. Dies lässt alle Zeile uverädert, außer der letzte Zeile : X m-1.f, X m-2.f,,xf,f,x g, X -2.g,...,xg, g Etwicklug ach Laplace Wir erhalte R = f(d 0 X m-1 + d 1 X m d m-1 )+ g (C 0 x + + C ) Seite 10

11 Wobei d o,, d m-1, C 0,,C Zahle sid, geauer heißt es, dass die Koeffiziete vo F ud G Kofaktore vo der letzte Zeile vo R sid, also die Polyome bestimmt. Da ist : R= fg + gf Sei eie gemeisame Nullstelle vo f ud g, da setze wir X i = ei, da ist: R= R( ) = f( ) G( )+ g( ).F( ) = 0 R = f. G + g. F Grad f = Grad g = m d.h. Grad G < m Grad F < Sei i eie gemeisame Nullstelle vo f ud g, da gilt: R i = f X G g X i F, X := i R i = f i G i g i i F i =0 Da f i =0 ud g i i =0 q.e.d. Zu 2.) Sei d=res(f,g) mit positive Grad, de ach Defiitio gilt: f=dg ud g=df weiter gilt, deg G< ud deg F< m ud we a 0 =b 0 =0, das erhält ma geauso we d=0 ist. Umkehrug: Behaupte dass Res(f,g)=1, de fig ud g I F, es gilt weiterhi, dass deg G< ud deg F< m, ud es ist ur möglich, we a 0 =b 0 =0. q.e.d. Seite 11

12 Zu 3.) We wir für f, tf eisetze, werde die a i s zu t a i s, also die erste m Spalte vo Res(tf, g) mit t multipliziert, da gilt: Res(tf, g)= t m Res(f,g). Dies zeigt, dass Resultate homoge vo Grad m i a i s ist ud aalog ist homoge vo Grad i b i s. q.e.d. Zu 4.) Zu überprüfe, beee die Resultate vo f ud g-y als R(y) ud setze g(α i )=ɤ i. Da ist R(y) ei Polyom ud ist gleich Res(f(x),g(x)-y) ud dieses Polyom ist abhägig vo y. Setze für y, g(α i )=ɤ i.ei. Da R(ɤ i ) die Resultate vo f(x) ud g(x)- ɤ i., wo die gemeisame Nullstelle x= α i habe, gilt R(ɤ i ) = 0 ach 1), also ɤ i ist eie Wurzel vo R(y), deshalb gilt für alle i. y- ɤ i I R(y) Nu hat R(y) de Grad (aus Defiitio vo Resultate) i y bei leitede Koeffiziet (-1) m.a 0.Folglich gilt: π(y- ɤ i ) I R(y) da π(y- g(α i )) I R(y). Folglich we ɤ 1, ɤ 2,, ɤ verschiede sid, da ist R(y) = a 0 m π(ɤ i - y). Dies bleibt tatsächlich über Erweiterug vo Körper Also für y=0 gilt: R(0)= Res(f,g)= a 0 m i=1 g i We ɤ 1, ɤ 2,, ɤ icht verschiede sid,da : Sei 1, 2,..., icht ubedigt Verschiede:da ersetze f X : f X, sodass i verschiede sid ud uterscheide sich vo i um (oder weig). Da : f X =a 0. X 1 X 2. X = a 0. X a 1. X 1... a f X =a0 X 1 X 2 X = a 0. X a 1. X 1... a für i j Seite 12

13 Sei i = i 1, d.h. i i Da sid durch Approximatio: a 1 a 1,, a a a 0 m g i = Res( f X, g X a 0 m g i a 0 m g i = Res ( f(x), g(x) ) Res(f,g)= a 0 m π g(α i ) für i= 1,,, da setze g= b 0 П i (X-β i ), da ist Res(f,g)= a 0 m π(b 0 П i (α i -β i )) = a 0m b 0 П i,j (α i - β j ) (-1) m b 0 П i f(β i ) da setze für f= a 0 П i (X-α i ) ei da ist (-1) m b 0 П i f(β i )= (-1) m b 0 П i (a 0 П i (β i -α i ))= a 0m b 0 П i,j (α i - β j ) q.e.d. Korollar: für die Polyome f, g, h gilt: Beweis: Res (fg, h)= Res(f, h). Res (g, h) Aus dem Theorem, Teil 1. Folgt aus: Res(fg,h)= (Koeff. Vo fg) grad h π h(wurzel vo fg) Wurzel vo fg ={ Wurzel vo f }U{Wurzel vo g}, also : (Koeff. Vo fg) grad h π h(wurzel vo fg) = (koeff. Vo f) Gradh π h(wurzel vo f).( koeff. Vo g) Gradh π h(wurzel vo g) = Res(f, h). Res (g, h) Seite 13

14 Es zeigt, dass jeder Polyom ka geschriebe werde als Produkt vo lieare Faktore über eie passede erweiterte Körper F. q.e.d. Beispiel: Diskrimiate: Defiitio: We i Resultate g = f ist, heißt es Diskrimiate. Für Grad 2 gilt: Dis(f) = a 12-4a 0 a 2 Allgemei gilt: Dis(f)= (-1) ()/2 a 0-1. Res(f, f ) Mit gleichem Begrüdug wie Resultate ist Diskrimiate auch homoge vo Grad 2() i a i s. Bsp. Sei f= a 0 x 2 +a 1 x+ a 2 da ist f = 2a 0 x +a 1 a 0 2a 0 0 Res(f, f ) = a 1 a 1 2a 0 = a 0 a 1 2 2a 0 ( a 1 2 2a 0 a 2 ) = - a 0 a 12 +4a 0 2 a 2 a 2 0 a 1 f f Dis(f)= (-1) 2(2-1)/2 a 0-1 (- a 0 a 12 +4a 0 2 a 2 ) = a 12-4a 0 a 2 Also stimmt!!!! f=a 0 П i (X-α i ) = a 0 (X α 1 ) (X α 2 ) (X α ) Seite 14

15 Dis(f) = (-1) ()/2-1 a 0. Res(f, f ) = (-1) ()/2-1 a 0. a 0. П i, f (α i ) für i= 1,, f = a 0. [(X α 2 ) (X α )+ (X α 1 ) (X α 3 ) (X α )+. +(X α 1 ) (X α 2 ) (X α )] Da ist : f (α i ) = a 0. [(α i α 1 ) (α i α i-1 ) (α i α i+1 ) (α i α )] Dis(f) = (-1) ()/2. a 0-2. a 0 П i, f (α i ) für i j = (-1) ()/2. a 0-2. a 0 П i, [(α i α 1 ) (α i α i-1 ) (α i α i+1 ) (α i α )] für i j = (-1) ()/2. a 0-2. a 0 (-1) ()/2 П i,j, [(α i α j ) 2 ] für i>j Also: Dis(f) = a 0 2() П i,j, [(α i α j ) 2 ] für i>j () = ( a 0 П i,j, [(α i α j )] ) 2 für i>j Daraus wird ersichtlich. Korollar: f hat eie vielfache NST Dis(f) = 0 Seite 15