TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
|
|
- Hartmut Albert
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Prof. Dr. R. Köig Dr. M. Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Z8.. Kriterie für strege Mootoie Mathematik für Physiker 2 (Aalysis ) MA9202 Witersem. 207/8 Lösugsblatt W ( ) Jede stetige, ijektive Fuktio f : [a, b] R ist streg mooto (wachsed oder falled). Wege der Ijektivität gilt f(a) f(b). Ohe Eischräkug ehme wir f(a) < f(b) a ud zeige streg mootoes Wachstum vo f. Aahme: f ist icht streg mooto wachsed. Da gibt es, y [a, b] mit < y ud f() f(y). I jedem der folgede Fälle wird ei Widerspruch zur Ijektivität kostruiert:. Fall. f() f(a) ud f(y) f(a). Da ist f(y) [f(a), f()]. Nach dem Zwischewertsatz gibt es da ei z [a, ] mit f(z) = f(y). 2. Fall. f() f(a) ud f(y) < f(a). Da ist f(a) [f(y), f()]. Nach dem Zwischewertsatz gibt es da ei z [, y] mit f(z) = f(a). 3. Fall. f() < f(a). Da ist f() [f(y), f(b)]. Nach dem Zwischewertsatz gibt es da ei z [y, b] mit f(z) = f(). Z8.2. Stetigkeit ud Limes Sei D R, ξ D ei Häufugspukt vo D ud f : D R eie beliebige Fuktio. Da gilt: f ist stetig bei ξ f() = f(ξ). = : Sei f stetig i ξ. Da gilt also für jede Folge ( ) D mit ξ, dass f( ) = f(ξ) ist. Da ξ ei Häufugspukt vo D ist ud isbesodere auch für jede Folge ( ) D \ {ξ} mit ξ gilt, dass f( ) = f(ξ) ist, folgt scho, dass f() = f(ξ) ist. = : Gelte f() = f(ξ). Sei ( ) D eie beliebige Folge mit ξ. Zu zeige ist f( ) = f(ξ). Wäre ξ für alle N so köte wir dies sofort folger. Etwas umstädlich köe wir das so erreiche: Sei ( ) D \ {ξ} mit ξ. Setze u {, falls ξ, := falls = ξ. Da gilt also f( ) = f(ξ). Da per Kostruktio f( ) f(ξ) f( ) f(ξ) immer erfüllt ist, folgt auch f( ) = f(ξ). Z8.3. Stetigkeit der Umkehrfuktio Sei f : [a, b] R stetig ud streg mooto wachsed. (a) f : [a, b] [c, d] mit c := f(a) ud d := f(b) ist bijektiv. (b) Die Umkehrfuktio f : [c, d] [a, b] ist streg mooto wachsed ud stetig.
2 (a) Aus streg mooto wachsed folgt ijektiv. Zur Surjektivität. Sei z [c, d]. Wege f(a) z f(b) gibt es ach dem Zwischewertsatz ei [a, b] mit f() = z. Also ist f auch surjektiv. (b) Die Umkehrfuktio f : [c, d] [a, b] ist bijektiv. Sei, y [c, d], da sid u = f (), v = f (y) i [a, b]. Aus < y folgt sofort, dass u < v, aderfalls, ämlich u v, wäre = f(u) f(v) = y, also ist f streg mooto wachsed. Für die Stetigkeit sei ( ) eie beliebige Folge i [c, d] mit [c, d]. Zu zeige ist f ( ) f (). Mit = sup{ k k } ud = if{ k k } gilt: ( ) ist mooto falled, ( ) ist mooto wachsed, ud beide Folge kovergiere gege. Also ist (f ( )) mooto wachsed ud beschräkt durch f () ud somit koverget, f ( ) =: y f (). Wäre u y < f (), so hätte wir = f(f ( )) f(y) < f(f ()) = im Widerspruch zu. Also gilt f ( ) f (). Geauso zeigt ma, dass f ( ) = f (). Wege f ( ) f ( ) f ( ) folgt, dass f ( ) = f (), d.h. f ist stetig auf [c, d]. Präsezaufgabe P8.. Isolierte Pukte Sei M ei metrischer Raum ud D M. M heißt isolierter Pukt vo D, we es ei δ > 0 gibt, so dass B δ () D = {} ist. Zeige sie: M ist geau da ei isolierter Pukt vo D, we ei Berührpukt, aber kei Häufugspukt vo D ist. = : Sei ei isolierter Pukt vo D. Wähle also δ > 0, so dass B δ () D = {}, also ist D, ist also Berührpukt vo D, da die kostate Folge = trivialerweise gege kovergiert. ist kei Häufugspukt vo D, sost würde für jede Umgebug U vo gelte, dass (U \ {}) D ist. Nu ist aber B δ () eie Umgebug vo ud wir habe (B δ () \ {}) D =. = : Sei ei Berührpukt, aber kei Häufugspukt vo D. Weil kei Häufugspukt ist, gibt es ach Defiitio eie Umgebug U vo, so dass (U \ {}) D = ist. Da U eie Umgebug vo ist, gibt es ei ɛ > 0, so dass B ɛ () U ist. Daher gilt auch (B ɛ () \ {}) D =, bzw., B ɛ () D {}. Es bleibt D zu zeige: Da ei Berührpukt vo D ist, gibt es eie Folge ( ) D mit. Es gibt also ei N N, so dass N : d(, ) < ɛ. Wege (B ɛ () \ {}) D = folgt = für alle N, ud damit D. P8.2. Grezwertkalkül (a) Seie D R, ξ R ei Häufugspukt vo D, f : D R eie Fuktio mit Grezwert f() = η ud g : R R stetig i η. Da gilt: g(f()) = g(η). (b) Seie D R ach obe ubeschräkt, f : D R eie Fuktio mit dem Grezwert f() = η R ud g : R R stetig i η. Da ist g(f()) = g(η). (c) Gilt f() = für ξ R oder ξ = ±, so ist g(f()) = g(y), falls die y rechte Seite im eigetliche oder ueigetliche Sie eistiert. (d) Awedug: Bereche sie für k N die Grezwerte k e, log() k, 0 k log().
3 (a) Sei ( ) D \ {ξ} mit ξ beliebig. Nach Voraussetzug gilt also f( ) = η. Wege der Stetigkeit vo g i η gilt da auch g(f( )) = g ( f( ) ) = g(η). Also folgt die Behauptug, g(f()) = g(η) (b) Sei u ( ) D eie beliebige Folge mit. Nach Voraussetzug ist wieder f( ) = η. Wie i (a) erhält ma g(f( ) ) = g ( }{{} f( ) ) = g(η). η (c) Wir köe die Fälle ξ R ud ξ = ± gemeisam behadel. Dazu wähle wir eie beliebige Folge ( ) D \ {ξ} mit ξ (eigetlich oder ueigetlich). Nach Voraussetzug ist da die Folge (f( )) N ueigetlich koverget gege.. Fall: g(y) = z R. D.h. für jede Folge (y ) R mit y gilt g(y ) z. y Isbesodere also auch g(f( )) z. Somit gilt g(f()) z. 2. Fall: g(y) =. D.h. für jede Folge (y ) R mit y gilt g(y ). y Isbesodere also auch g(f( )). Somit gilt g(f()). (d) k e = e k e = y y = 0, da k log() k = k k log() = k y e k log y e y k log() = e k log log = 0 0 da 0 log =. P8.3. Zwischewertsatz = ist, = 0, da k log = ist. e k y y = y z e k z z = z z e k z, Jedes reelle Polyom vo ugeradem Grade hat midestes eie Nullstelle i R. Sei p() = a k k, a 0,..., a R, a 0 ud ugerade. O.E. sei a > 0. Als Polyom k=0 ist p stetig. Für 0 gilt p() = ( a + a + a a 0 ). Der Ausdruck i der Klammer kovergiert für ± gege a > 0. Somit gilt p() = ±. Es gibt also ei mit p( ) < 0 ud ei + mit p( + ) > 0. Nach ± dem Zwischewertsatz gibt es ei 0 (, + ) mit p( 0 ) = 0.
4 Hausaufgabe H8.. Ustetigkeit der Umkehrfuktio (a) Sei D R beliebig, f : D [a, b] stetig ud bijektiv. Gebe Sie ei Beispiel dafür a, dass f icht streg mooto sei muss. (b) Sei D R beliebig, f : D [a, b] streg mooto steiged ud stetig. Gebe Sie ei Beispiel dafür a, dass die Umkehrfuktio vo f icht stetig sei muss. (a) D := [, ) \ {0} { 3 2, 2}. Die Fuktio, für [, 0), +, für (0, ), f() =, für = 3 2,, für = 2. erfüllt alle geforderte Eigeschafte, wie ma sofort a Had des Graphe erkee ka:.0 f() (b) f : (, [0, ) [2, 3] [0, 2] mit f() = {, für [0, ),, für [2, 3], ist stetig. Die Umkehrfuktio ist f : [0, 2] [0, ) [2, 3] mit { f, für [0, ), () = +, für [, 2]. Sie ist offebar ustetig bei =. f() 2 f (-) ()
5 H8.2. Grezwerte ud Stetigkeit Bereche Sie die folgede Grezwerte mit Hilfe der Stetigkeit ud der Asymptotike vo ep ud log oder mit adere Mittel. (a) (, (b) ) (, (c) ) (!, (d) + ) 2. (a) (b) ( = e log ( ) log = ep( log ) = ep(0) =, da ) = e log 0 für. ( ) = ep( log ) = ep( log ) = ep(0) =. (c) Wir erier us das der Kovergezradius der Epoetialreihe! gleich ist =0 (mit Quotietekriterium). Nach dem Wurzelkriterium muss daher sup! = 0 ud wege! > 0 ud dem Eischließugskriterium auch! = 0 gelte. (d) Für a = + 2, b = gilt a 2, b. Nu ist ( ) ( ) ab = e b log a = e b log a = e log 2 = 2, wege der Stetigkeit vo ep ud log. ( ) ep ist stetig. H8.3. Zwischewertsatz Zeige Sie: (a) Die Gleichug = besitzt eie Lösug i R. (b) Jedes stetige f : [0, ] [0, ] besitzt eie Fipukt, d.h. es gibt ei [0, ] mit f() =. (a) Wir betrachte die Fuktio f() = , die auf gaz R defiiert ud 4 + stetig ist, da die Wurzelfuktio auf R + stetig ist. Nu ist f(0) = 2 > 0 ud 0 f(2) = 7 2 < 0. Nach dem Zwischewertsatz besitzt f eie Nullstelle 0 i (0, 2), 0 ist also eie Lösug der Gleichug.
6 (b) Sei g() = f(), da ist auch g stetig. Weiter ist g(0) [0, ] ud g() [, 0], also g(0) g(). Nach dem Zwischewertsatz gibt es also ei 0 [0, ] mit g( 0 ) = 0, bzw. f( 0 ) = 0. H8.4. ( ) Mootoe Fuktioe ud Stetigkeit Eie mooto steigede Fuktio f : (a, b) R besitzt i jedem Pukt ihres Defiitiosbereichs rechts- ud liksseitige Grezwerte. Sei (a, b), ( ) eie Folge i (a, ) mit. Da ist = if{ k : k } eie mooto steigede Folge, mit = if =. Nu ist auch f( ) mooto steiged ud beschräkt durch f(), also koverget, y := f( ). Für die ursprügliche Folge ( ) kovergiert f( ) auch gege y, de zu jedem ist <, es gibt also ei N N, so dass < N. Wege der Mootoie gilt somit auch f( ) f( ) f( N ) y. Sei u ( ) eie weitere Folge i (a, ) mit. Mit dem Argumet vo obe erhält ma, dass ỹ := f( ) f(). We wir zeige köe, dass y = ỹ, da ka die Eistez des Limes f( ) = y gefolgert werde. Ohe Eischräkug köe wir aehme, dass die beide Folge ( ) ud ( ) beide mooto wachse, z.b. durch Übergag zu ( ) ud ( ) Für jedes N N gilt N < ud wege gibt es ei M N mit N < M <. Es gilt also auch f( N ) f( M ) ỹ. Das bedeutet y ỹ. Die Ugleichug ỹ y erhält ma aalog. Isgesamt wurde gezeigt: Es gibt ei y f(), so dass für alle Folge ( ) i (a, ) mit auch f( ) y gilt. Die Eistez des rechtsseitige Limes f( ) f() wird aalog gezeigt.
n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)
Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik für Physiker (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugsblatt 4 http://www-m5matumde/allgemeies/ma90 07W (007)
MehrGrenzwertberechnungen
Katosschule Solothur Grezwertberechuge Grezwertberechuge Grezwertberechuge bei Folge ud Reihe Folge sid Fuktioe; die Begriffe beschräkt ud mooto trete daher auch bei Folge auf. Isbesodere habe sie eie
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 2008/09 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum 4. Übugsblatt
Mehr1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch
Ma zeige, daß IR, d i ), i,, metrische Räume sid, we für x x,, x ), y y,, y ) IR die Abstadsfuktioe durch d x, y) x y, d x, y) x y ), d x, y) max x y gegebe sid Lösug: Ma muß für alle drei Fuktio d i x,
Mehr6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung
6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez
MehrAufgaben zur Analysis I
Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.
MehrMusterlösungen zur Klausur Analysis I Verständnisteil
WS 2008/2009 Prof. Dr. Scheider Musterlösuge zur Klausur Aalysis I Verstädisteil 04.02.2009. a A ist ach Defiitio abzählbar, falls A edlich ist, oder falls carda = cardn gilt. b Ei Pukt x A ist ei ierer
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. D. Castrigiao Dr. M. Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik 3 für Physik (Aalysis 2) http://www-hm.ma.tum.de/ss10/ph2/ 23. Charakterisierug vo Cauchy-Folge
Mehrn (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =
Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:
Mehr4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
4. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 6: Bestimme Sie alle Häufugspukte der Folge mit de Folgeglieder a) a 2 + cosπ), b) b i) i j, ud gebe Sie jeweils eie Teilfolge a, die gege diese Häufugspukte kovergiert.
MehrKapitel 6 Differenzierbarkeit
Kapitel 6 Differezierbarkeit Ihalt 6.1 6.1Die Defiitio 6.2 6.2Die Eigeschafte 6.3 6.3Extremwerte Seite 2 Was heißt differezierbar? Differezierbare Fuktioe sid sid glatte Fuktioe. Wir Wir beschreibe diese
Mehr2 Konvergenz von Folgen
Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge
MehrReelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37
Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.
Mehrn=1 b n, deren Summe n=1 (a n + b n ) eine konvergente Reihe ist. Die Aussage ist WAHR, ein mögliches Beispiel sind die divergenten Reihen 1
ANALYSIS WS 08/09 Vorlesug: Prof. Dr. P. Ullrich Übuge: Dr. I. Kharif/ Dr. M. Steihauer 9. ÜBUNGSBLATT- LÖSUNGSHINWEISE/Ergebisse Die folgede Bearbeituge sid - zum Teil - keie ausführliche Musterlösuge,
MehrAnalysis I - Zweite Klausur
Aalysis I - Zweite Klausur Witersemester 2004-2005 Vorame: Name: Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 Aufgabe 8 Aufgabe 9 Summe Aufgabe 4 Pukte Bestimme Sie (mit Beweis)
Mehr5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge
MehrÜbungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w
Prof. Dr. Moritz Kaßma Fakultät für Mathematik Witersemester 04/05 Uiversität Bielefeld Übugsaufgabe zu Aalysis Lösuge vo Blatt XII vom 5.0.5 Aufgabe XII. 3 Pukte) Beweise Sie, dass für alle R ud N die
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dr. T. Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 2012/13 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Istitut für Techologie KIT) WS 0/3 Istitut für Aalysis 030 Prof Dr Tobias Lamm Dr Patrick Breuig Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik 8 Übugsblatt Aufgabe Bereche Sie die Ableituge
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe
MehrAnalysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt
Aalysis I für M, LaG/M, Ph 8Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr Robert Haller-Ditelma 0206200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergezkriterie/Kovergezradie) (a)
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7
MehrÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT/MAT3 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 00 PROF. DR. AMILLO DE LELLIS Aufgabe. Etscheide Sie für folgede Folge (wobei N \ {0}), ob diese koverget sid, ud bereche sie gegebeefalls ihre
MehrNachklausur - Analysis 1 - Lösungen
Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:
Mehr4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
Mehr8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium
MehrÜbungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8
Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Prof Dr Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 8 032203 Übuge zur Aalysis für Iformatiker ud Statistiker Lösug zu Blatt 8 Aufgabe 8 [8 Pukte] (a) Für alle N sei = (+) Wir
MehrTechnische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung
Feriekurs Seite Techische Uiversität Müche Feriekurs Aalysis Haah Schamoi Folge, Reihe, Potezreihe, Expoetialfuktio Musterlösug 0.0.0. Folge I Utersuche Sie die Folge a N auf Kovergez bzw. Divergez ud
MehrDann ist die Zahl auf der linken Seite gerade und die auf der rechten Seite ungerade. Also sind sie nicht gleich.
Lösuge. Es gibt drei Lösuge.. Lösug: Ato ist traurig ud er trikt keie Likör. Bruo isst Torte ud ist besorgt. Christa ist icht übel ud sie macht Purzelbäume.. Lösug: Ato ist traurig ud trikt keie Likör.
MehrD-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 8. b n := 1 n. a k. k=1
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Aalysis I HS 2017 Prof. Mafred Eisiedler Übugsblatt 8 1. Bereche Sie de Grezwert lim a für die Folge (a ) gegebe durch a) a = (2 1/ ) 10 (1 + 1/ 2 ) 10 1 1/ 2 1/, b) a = + 1, c)
MehrAnalysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Aalysis I 5. Übugsstude Steve Battilaa steveb@studet.ethz.ch battilaa.uk/teachig March 9, 07 Erierug Satz. Quotietekriterium (bei!,,...) Das Quotietekriterium zeigt absolute Kovergez. lim a +
MehrProbeklausur zur Analysis I WS 11/12 Prof. Dr. G. Wang Dr. A. Magni. Beginn: 8:15 Uhr. Name:...Vorname:... Matr.Nr.:...Studiengang:...
Probeklausur zur Aalysis I WS / Prof. Dr. G. Wag 3.. Dr. A. Magi Begi: 8:5 Uhr Ede: Name:..........................Vorame:............................ Matr.Nr.:........................Studiegag:.........................
MehrAnalysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt
Aalysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr. Robert Haller-Ditelma 05.05.200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergez vo Folge) Beweise Sie:
MehrKleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,
Musterlo suge zu Blatt 0 Kleigruppe zur Service-Verastaltug Mathematik I fu r Igeieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 9.. Theme: Kovergez vo Folge Aufgabe P (i) Sei a : k kk.
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker Folgen
Vorkurs Mathematik für Iformatiker -- 9 Folge -- 6.1.215 1 Folge: Defiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reihefolge wichtig,
MehrModulabschlussprüfung Analysis Musterlösung
Bergische Uiversität Wuppertal Fachbereich C Mathematik ud Naturwisseschafte Prof. Dr. N. Shcherbia SoSe 204 Modulabschlussprüfug Aalysis 2.07.204 Musterlösug. Utersuche Sie folgede Reihe auf Kovergez
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 04/05 0..04 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 4. Übugsblatt
MehrLösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015
Lösuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 04/05 Fabia Hafer, Thomas Baldauf I Richtig oder Falsch Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie
MehrAnalysis 1 für Informatiker und Statistiker Beispielslösungen, Woche 13
Mathematisches Istitut der LMU WS 016/17 Prof. Dr. S. Morozov Olie am: Dr. H. Hogreve 1. 01. 017 Aalysis 1 für Iformatiker ud Statistiker Beispielslösuge, Woche 1 1.1 (a Um festzustelle, ob die utestehede
MehrÜbungen zur Analysis I WS 2008/2009
Mathematisches Istitut der Uiversität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorste Heidersdorf Übuge zur Aalysis I WS 008/009 Blatt 3, Lösugshiweise Die folgede Hiweise sollte auf keie Fall als Musterlösuge
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr Christoph Schmoeger Dipl-Math Sebastia Schwarz WS 4/5 45 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Übugsklausur Aufgabe
MehrZahlenfolgen und Konvergenzkriterien
www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes
MehrKapitel 6. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben
Kapitel 6 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 6. Gegebe sei die Folge (x ) 2 mit x ( 2)/( + ) für 2. Bestimme Sie eie Zahl N N so, dass x ε für alle N gilt, we (a) ε 0, (b) ε 00 ist. Aufgabe 6.2 Stelle Sie
Mehr3.3 Grenzwert und Stetigkeit
50 KAPITEL 3. FUNKTIONEN 3.3 Grezwert ud Stetigkeit Wichtige Eigeschafte eier Fuktio f a eier Stelle 0 sid mit ihrem Verhalte bei beliebiger Aäherug a 0 verbude. Eier dieser Eigeschafte ist die Stetigkeit
MehrAnalysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum. Übugsblatt
MehrAufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I
Aufgabe ud Lösuge Weihachtsgescheke zur Vorlesug Aalysis I Der Witersemester 008/009 Übug am 4.., 5..008 sowie 0.0.009 Aufgabe. Folge Aufgabe Ma bestimme, ob die Folge (a ) mit a = + 3 + 4 kovergiert ud
MehrKAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...
KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4
MehrInhaltsverzeichnis. 3 Stetigkeit. 3.1 Reelle und komplexe Funktionen
Ihaltsverzeichis 3 Stetigkeit 1 3.1 Reelle ud komplexe Fuktioe........................ 1 3. Grezwerte vo Fuktioe.......................... 3.3 Eiseitige oder ueigetliche Grezwerte................... 3
MehrKlausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie KIT) Istitut für Aalysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patric Breuig SS 3.9.3 Klausur Höhere Mathemati I für die Fachrichtug Physi Aufgabe 4+3+3) Pute) a) Sei a ) N eie reelle
MehrScheinklausur Analysis 1 WS 2007 /
Scheiklausur Aalysis 1 WS 2007 / 2008 08.02.2008 Es gibt 11 Aufgabe ud 1 Zusatzaufgabe. Die jeweilige Puktzahl steht am like Rad. Die Gesamtpuktzahl ist 40 Pukte plus 4 Zusatzpukte. Zum Bestehe der Klausur
MehrAufgrund der Körperaxiome ist jedoch
Hiweise: Der Doppelstrich // steht für eie Kommetarzeile. Tipp- ud Rechtschreibfehler köe trotz mehrfacher Kotrolle icht hudertprozetig vermiede werde. Die selbst erstellte Lösugsasätze orietiere sich
MehrDie erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.
Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.
MehrMathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen
Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 3 (aus: K. Hefft, Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 3.1: Graphische Darstellug
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 7..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 5. Übugsblatt Aufgabe
MehrAufgaben zu Kapitel 6
Aufgabe zu Kapitel 6 Aufgabe zu Kapitel 6 Verstädisfrage Aufgabe 6. Gegebe sei die Folge x ) 2 mit x 2)/ + ) für 2. Bestimme Sie eie Zahl N N so, dass x ε für alle N gilt, we a) ε 0, b) ε 00 ist. Aufgabe
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr A Müller-Rettkowski Dr T Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum
Mehr8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8.1 Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: lim 1 w k 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k 2 3
Mehr5 Folgen. 5.1 Konvergenz von Folgen. Definition: Zu jedem 0 existiert ein N so, daß. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt
Prof. Dr. Berd Dreseler 5 Folge 5.1 Kovergez vo Folge Defiitio: Eie Folge a heißt koverge t, we es eie Zahl a mit folgeder Eigeschaft gibt: Zu jedem 0 existiert ei N so, daß a a für alle > N Die Zahl a
Mehr4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
Mehr3. Taylorformel und Taylorreihen
Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 3 Taylorformel ud Taylorreihe Sei I R ei Itervall ud sei f : I R eie Fuktio Ziel: Wolle utersuche, wa sich die Fuktio f i eier Umgebug vo eiem Pukt I
MehrZusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
Mehr3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.
3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie
MehrKapitel 3 Folgen von reellen Zahlen
Wolter/Dah: Aalysis Idividuell 4 Kapitel 3 Folge vo reelle Zahle Wir befasse us i diesem Abschitt mit Zahlefolge, die u.a. zur Eiführug ud 3/0/0 Behadlug des für die Aalysis äußerst wichtige Grezwertbegriffes
MehrMonotonie einer Folge
Mootoie eier Folge 1 E Mootoe Folge We jedes Folgeglied eier Folge größer oder gleich dem vorhergehede Folgeglied ist a 1 a ℕ so et ma die Folge mooto steiged (oder mooto wachsed). Die geometrische Folge
MehrÜbungen zu Einführung in die Analysis, WS 2014
Übuge zu Eiführug i die Aalysis, WS 2014 Ulisse Stefaelli 19. Jauar 2015 1 Wiederholug 1. Seie p, q ud r Aussage. Zeige Sie, dass dei Aussage Tautologie sid. p ( p q), (b) ( p q) ( p q), [ ((p ) ( ) ]
Mehr3 2n = 1 6 (( 2)3 ) n. < 1 ist sie konvergent und hat den Wert = = 1 (n + 1)! 0! 1. und hat den Wert 1. (mit Reihenwert e), also ist auch
Karlsruher Istitut für Techologie KIT Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. P. C. Kustma Dr. D. Frey WS 20/2 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 5. Übugsblatt Aufgabe 23 a
MehrEs gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden
Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem
MehrD-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2
D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösug 2 1. a) Per Defiitio ist A = {x : x berührt A}. I der Vorlesug wurde die Formel (X A) = ( A ) c gezeigt, also A = ( X A ) c. Daher ist A = A A = A (A ) c
MehrKompaktheit und gleichgradige Stetigkeit. 1 Einführung in die Kompaktheit in C 0
Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit Vortrag zum Prosemiar zur Aalysis, 14.06.2010 Mao Wiescherma Matthias Klupsch Dieser Vortrag beschäftigt sich mit Kompaktheit vo Teilräume vom Raum der stetige Abbilduge
Mehr8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. 8.1 Definition der Exponentialfunktion
8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8. Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: w lim + = k = 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2
F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche Übuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 06/07. Richtig oder Falsch? Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche
Mehr1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung
Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt
MehrKAPITEL 2. Zahlenfolgen
KAPITEL Zahlefolge. Kovergete Zahlefolge...................... 35. Grezwertbestimmug....................... 38.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug............. 4.4 Mootoe Folge..........................
Mehr3. Anwendungen der Differentialrechnung
Talorsche Formel ud Mittelwertsatz 4 Aweduge der Differetialrechug Talorsche Formel ud Mittelwertsatz Die Gleichug der Tagete = f ( ( a die Kurve = f( im Pukt (, liefert eie grobe Näherug für die Fuktio
Mehrvon solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:
Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes
Mehr( 1) n 1 n n n + 1. n=1
Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst Fakultät Mathematik TU Dortmud Musterlösug zum 6. Übugsblatt zur Höhere Mathematik I P/ET/AI/IT/IKT/MP) WS 20/2 Aufgabe mittels Zeige Sie die Kovergez der Reihe )
MehrÜbungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx
Übuge zur Ifiitesimalrechug, H.-C. Im Hof 9. März Blatt 4 Abgabe: 6. März, Nachmittag Aufgabe. Zeige e x dx π. Beweis. Wir bemerke als erstes, dass e x dx e x dx + e x dx e x dx formal sieht ma dies per
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz SS 5 7.9.5 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug
MehrZusammenfassung: Folgen und Konvergenz
Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 8 Defiitioe ud Beispiele für Folge Defiitio Eie
MehrLösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 2
Aalysis I Ei Lerbuch für de safte Wechsel vo der Schule zur Ui Lösuge der Übugsaufgabe vo Kapitel zu... Ma zeige: Jede Teilfolge eier Umordug eier Folge ka als Umordug eier Teilfolge geschriebe werde.
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1
Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für
MehrAufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I
Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur
MehrKurvendiskussion. Sei c R. Skizzieren Sie den Graphen von f(x) = 1 + x e 2x.
Kurvediskussio Vorzeigeaufgabe: Sei c R. Skizziere Sie de Graphe vo fx) = + x e x. HS4 Probeprüfug Aufgabe 5 Bestimme Sie das Miimum ud das Maximum der Fuktio fx) = x 3 + 3x x + 0 auf dem Itervall [ 3,
MehrAnalysis Übungen Hausaufgaben für 4. April
Aalysis Übuge Hausaufgabe für 4. April Reihe sg 1. AN 8.2. c), AN 8.9. a). 2. Beweise die otwedige Bedigug für die Kovergez eier Reihe: we a koverget ist, da lim a = 0. (I der Praxis: we lim a 0, da ist
MehrMusterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09
Musterlösug zu Blatt 8 der Vorlesug Aalysis I WS08/09 Schriftliche Aufgabe Aufgabe. Voraussetzuge: Für alle N setze a : +2 ud b : ( 2. [Amerkug: I der Aufgabestellug heiÿe die Reihe beide gleich. Es steht
MehrKAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen
KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 04/05 5..04 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 9. Übugsblatt
MehrLösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 1. Übung
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Patrizio Neff Christia Thiel 4.04.04 Lösugsvorschlag zu de Hausaufgabe der. Übug Aufgabe : (6 Pukte Bereche Sie für die Fuktio f : R R, f( : ep( a der Stelle 0 0 das Taylorpolyom
Mehr6 Grenzwerte von Zahlenfolgen
6 Grezwerte vo Zahlefolge Ei zetraler Begriff der Aalysis ist der des Grezwertes. Wir begie mit der Betrachtug vo Grezwerte vo Zahlefolge. 6. Zahlefolge 6.. Grudbegriffe Defiitio 6... Eie Fuktio f : Z
MehrAnalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie
Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik
MehrTutorial zum Grenzwert reeller Zahlenfolgen
MAE Mathematik: Aalysis für Igeieure Herbstsemester 206 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Witerthur Tutorial zum Grezwert reeller Zahlefolge I diesem Tutorial lere Sie, die logische Aussage i der Defiitio des
MehrNennenswertes zur Stetigkeit
Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit
MehrAnalysis I. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015. Vorlesung 20. Konvexe Funktionen
Prof. Dr. H. Breer Osabrück WS 2014/2015 Aalysis I Vorlesug 20 Kovexe Fuktioe Eie kovexe Teilmege. Eie ichtkovexe Teilmege. Defiitio 20.1. Eie Teilmege T R heißt kovex, we mit je zwei Pukte P, Q T auch
MehrLösungen 7.Übungsblatt
Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) WS 20/202 Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math.tech. Raier Madel Lösuge 7.Übugsblatt Aufgabe 25 (K) Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede
MehrLösungen zur Übungsserie 10
Aalysis Herbstsemester 08 Prof Peter Josse Motag, 3 Dezember Lösuge zur Übugsserie 0 Aufgabe,,4,,6,8,9,,,3,4 Aufgabe Sei V der R-Vektorraum der stetige Fuktioe auf dem Itervall [0, ], ud sei d 0 eie gaze
Mehr$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,
Mehr