Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

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1 Karlsruher Istitut für Techologie KIT) Istitut für Aalysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patric Breuig SS Klausur Höhere Mathemati I für die Fachrichtug Physi Aufgabe 4+3+3) Pute) a) Sei a ) N eie reelle Zahlefolge mit a für alle N. Die Reihe = a sei overget. Welche der folgede Aussage sid wahr, welche icht? Gebe Sie für wahre Aussage eie urze Begrüdug, für falsche ei Gegebeispiel. i) Die Folge a ) N ist diverget. Die Reihe = a ist overget. i Die Reihe = a ist overget. iv) Die Reihe = ) a ist overget. b) Sei P ) = = b ei reelles Polyom, wobei b = ud ugerade ist. Etscheide Sie wieder, welche der folgede Aussage wahr ud welche icht wahr sid, ud gebe Sie für wahre Aussage eie urze Begrüdug, für falsche ei Gegebeispiel. i) P hat midestes eie Nullstelle auf R. Es gibt ei y R mit P y) = y. i Das Itegral e P ) d ist overget. c) Bestimme Sie sämtliche omplee Lösuge der Gleichug z 6 = i). Lösug: a) i) Die Aussage ist wahr: Da = a overget ist, ist a ) N eie Nullfolge. Damit ist a ) N ubeschrät ud damit diverget. Die Aussage ist falsch: Sei a = ). Da eie mooto fallede Nullfolge ist, overgiert = a ach dem Leibiz-Kriterium. Jedoch ist = a = = diverget. i Die Aussage ist falsch: Sei a =. Die Reihe = overgiert ach Vorlesug. Jedoch ist = a = = diverget. iv) Die Aussage ist falsch: Sei a = ). Die alterierede harmoische Reihe = a overgiert. Jedoch ist = ) a = = diverget. b) i) Die Aussage ist wahr: Wege P ) = + ) = b gilt lim P ) =, lim P ) =. Da P stetig ist, hat P ach dem Zwischewertsatz eie Nullstelle. i Die Aussage ist falsch: Für das Polyom P ) = + gibt es ei solches y, da sost y + = y gelte würde. Die Aussage ist wahr: Wege = b für, gibt es ach b) i) ei, so dass P ) für. Mit eier Kostate C < folgt e P ) d e P ) d + e d = C [e ] = C + e <. c) Wir setze z = re iφ mit r, φ R. Es folgt r 6 e 6iφ = z 6 = i) = 3 i) = 64 e i 7 4.

2 Es folgt r 6 = 64, also r =, ud 6φ = mit Z, also φ = für Z. Dies führt auf die sechs verschiedee Lösuge z = e i ) für =,,..., 5. Die Lösuge sid also e i 7 4, e i 5 4, e i 3 4, e i 3 4, e i 39 4, e i Aufgabe 5+5) Pute) a) Utersuche Sie die Reihe i i) ud auf Kovergez ud auf absolute Kovergez: i) = + ) + ) = ) + b) i) Zeige Sie für alle N mit 4 die Ugleichug 3 4! Lösug: Für jedes N sei a R mit a. Zeige Sie für alle N die Ugleichug a) i) Für gilt a + a a ) a a... a ). + ) + ) = = )+) Wege 3 + für 4, folgt für 4. Da die harmoische Reihe = divergiert, ist also auch die gegebee Reihe diverget; damit ist sie weder overget, och absolut overget. Wir beutze das Wurzelriterium. Für gilt ) ) + = = ) + + e für. Da e < gilt, ist die gegebee Reihe ach dem Wurzelriterium absolut overget ud damit auch overget. b) i) Wir zeige die Ugleichug per Idutio über. Für = 4 gilt 3 4 = 8 96 = 4 4!. Sei u die Aussage für ei N mit 4 bereits bewiese. Da gilt 3 + = ! ach Id.vor.) + ) 4! da 4 ) = 4 + )!. Damit ist der Idutiosschritt vollzoge ud die Ugleichug gezeigt.

3 Wir zeige die Aussage wieder mittels Idutio über. Für = gilt: a a = =. Sei die Aussage u für ei N bereits gezeigt. Für =,..., + seie a mit a gegebe. Wege a a + gilt ach Idutiosvoraussetzug a a + a a + a... a a a + ). ) Es gilt a + a + = a a + a ) a + ), mit a, a + a + a + a a +. Zusamme mit ) erhalte wir also a a + a... a + + ), womit der Idutiosschritt vollbracht ist. Aufgabe 3 5+5) Pute) a) Für R \ { : Z} ist der Kotages defiiert durch cot := cos si. Sei f :, ) R, f) = cot. i) Bereche Sie die Ableitug vo f. Folger Sie, dass f bijetiv ist. Die Umehrfutio vo f ist der Arusotages: f = arccot : R, ). Begrüde Sie, dass arccot differezierbar ist ud zeige Sie arccot = +. b) i) Sei < a < b. Bereche Sie b Lösug: Hiweis: Substituiere Sie y = cot ). a log cot )) si ) d. d auf Kovergez ud berech- Utersuche Sie das ueigetliche Itegral 4 e Sie gegebeefalls de Wert des Itegrals. a) i) Wir bereche mit der Quotieteregel logcot )) si ) f ) = si cos si = si. Es gilt si > für alle, ), also < für alle, ). Also ist f streg si cos mooto falled ud damit ijetiv. Ferer gilt lim cot = lim si = ud cos cos lim cot = lim si =. Da cot = si stetig ist, gibt es also ach dem Zwischewertsatz für jedes y R ei, ) mit cot = y. Also ist f surjetiv. Da f ijetiv ud surjetiv ist, ist f bijetiv. Die Futio f ist auf, ) differezierbar ud es gilt f y) für jedes y, ). Nach dem Satz über die Differezierbareit der Umehrfutio ist damit f = arccot differezierbar. Für die Ableitug gilt arccot = f ) ) = f f )) = si arccot ). Aus si + cos = folgt + cot = si für, ), also arccot = + cot arccot ) = +.

4 b) i) Wir substituiere y = cot ). Mit Teil a) i) gilt dy d =. Mit dieser Substitutio si ) ud aschließeder partieller Itegratio folgt b a log cot )) si ) d = cot b ) cot a) log y dy b ) = [y log y] cot b ) cot cot a) cot a) y y dy = [y log y y] cot b ) cot a) = cot ) log b cot b ) cot ) log cot ) cot a a b + cot a. Gilt a, so gilt a ud weiterhi cot a). Nach Vorlesug oder mit der Regel vo de L Hospital) gilt lim t t log t) =, also cot a) ) log cot a für a. Damit ist das ueigetliche Itegral 4 logcot )) d overget ud der Wert berechet si ) sich zu 4 log cot )) ) )) ) si ) d = cot log cot cot = log) =. Aufgabe ) Pute) a) Utersuche Sie die Folge a = e auf Kovergez ud bestimme Sie gegebeefalls de Grezwert. b) Sei I =, ) R ud f : I R, f) =. Fide Sie eie Folge vo Futioe f C I), so dass f ) N gleichmäßig gege f overgiert. Weise Sie ach, dass f ) N tatsächlich die geforderte Eigeschafte erfüllt. c) Sei J =, ) R. Bestimme Sie alle a R, so dass die Futio g : J R, g) = a Lipschitzstetig ist. Lösug: a) Es gilt a = e. Für > setze wir h) := e ud utersuche lim h). Es gilt lim e ) =, lim =, sowie ) = auf, ). Damit sid die Voraussetzuge zur Regel vo de L Hospital erfüllt ud es gilt e lim = lim log + e = log +. Wege für ist also a overget ud es gilt a + log für. { b) Setze bspw. f ) = + für < für. Die Futio f ist offesichtlich für < ud > stetig differezierbar. Für = gilt = ud + = + =. Mit g) := + gilt also lim = g ) = =, lim = f ) f ) f ) f )

5 f ) =. Damit ist f a der Stelle differezierbar. Dasselbe Argumet liefert die Differezierbareit a der Stelle. Damit ist f differezierbar ud es gilt f für ) = für < für. Es gilt = für = ud = für = ; isbesodere ist f stetig ud damit f stetig differezierbar. Für die Kovergez bereche wir sup f ) f) = sup f ) f) = sup I, ), ) + sup, ) + ) + = + + für. Also overgiert f gleichmäßig gege f. c) Die Abbildug g C J) ist geau da Lipschitzstetig, we g auf J beschrät ist. Es gilt g) = a+, also g ) = a + ) a = a + ) ) ) ep a log. Ist a, so ist < a ) ) log für, ), also ep a ) log ud damit g ) a +. Damit ist g Lipschitzstetig mit Lipschitzostate a +. Ist a =, so ist g, also Lipschitzstetig mit Lipschitzostate. Ist < a <, so gilt a ) log für, also g ) für. Ist schließlich a <, so gilt auch a ) log für, hier also g ) für. Also ist g geau da Lipschitzstetig, we a { } [, ).