Zusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 4

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1 Mathemati I für E-Techier C. Erdma WS 0/, Uiversität Rostoc, 4. Vorlesugswoche Zusatzmaterial zur Mathemati I für E-Techier Übug 4 Wiederholug - Theorie: Reihe Zu jeder Folge {a } b Die Reihe eier zugehörige Folge {a } der N -te Partialsumme. bezeichet S N : N a die N -te Partialsumme der Folge {a }. ist die Folge { S N } N { N Eie Reihe heißt overget, we für die Folge { } S N N S S existiert. Bezeichug: S a. ACHTUNG: Häufig ist mit oder icht. d Eie Reihe a e Kovergezriterie für Reihe: a a } N der Partialsumme eie Zahl S R mit auch die Reihe selbst gemeit, uabhägig davo, ob sie overget ist heißt absolut overget, we die Reihe Cauchy sches Kovergezriterium: Die Reihe Zu jedem ε > 0 existiert ei ε N, so dass Majorateriterium: Sei m a a overgiert. overgiert geau da, we gilt: a < ε für alle m ε. c eie overgete Reihe mit c 0 für alle N. Weiter sei {a } eie Folge mit a c für alle N. Da overgiert die Reihe a absolut. Leibizriterium: Sei {a } eie mooto fallede Folge icht-egativer reeller Zahle mit 0. Da overgiert die Reihe a. a Quotieteriterium: Sei a eie Reihe mit a 0 für alle 0. Weiterhi gebe es eie reelle Zahl θ mit 0 < θ <, so dass a + a θ für alle 0. Da overgiert die Reihe a absolut. Wurzelriterium: Sei 0 < q < eie feste Zahl ud 0. Da overgiert die Reihe a absolut. a eie Reihe mit a q für alle Bemeruge: a Das Quotiete- ud Wurzelriterium sid Aweduge des Majorateriteriums. b Das Cauchy sche Kovergezriterium ist außerdem eie otwedige Bedigug für die Kovergez eier Reihe. c Eie weitere otwedige Bedigug für die Kovergez eier Reihe Bedigug ist aber icht hireiched Beispiel: a ist a ist bestimmt diverget gege. 0, diese Zusatzaufgabe mit Lösuge Aufgabe 4.. Ma utersuche folgede Reihe auf Kovergez: e b a! e + d!

2 Lösug zu Aufgabe 4.. Die Reihe b Die Reihe e divergiert, de die otwedige Voraussetzug, dass e eie Nullfolge ist, ist icht erfüllt. a! a R overgiert ach dem Quotieteriterium absolut, de es gilt a+ +! a!! +! a a + a+ 0 <. Die Reihe e + overgiert ach dem Quotieteriterium absolut, de es gilt e + + e + e e <. Dabei sieht ma die letzte Kovergez wie folgt d Die Reihe! overgiert ach dem Wurzelriterium absolut, de es gilt!! <. Aufgabe 4.. Ma bereche folgede Reihesumme! + e b log + Lösug zu Aufgabe 4.. Wir beutze, dass q q für q <. + e + + e + e e. e b Wir beutze usere Ergebisse aus der erste Übugsstude, dort hatte wir bewiese, dass we a

3 da a. Nu ist log + log + log log 6 log... 6 log log a Aufgabe 4.. Ma utersuche folgede Reihe auf Kovergez ud absolute Kovergez: + b + + log d cos! Lösug zu Aufgabe 4.. Die Reihe overgiert absolut ach dem Majorateriterium, de es gilt b Die Reihe + + overgiert icht, da das otwedige Kriterium, dass + eie Null- + + folge sei muss icht erfüllt ist. Die Reihe log <. overgiert ach dem Leibiz-Kriterium, de log ist eie mooto fallede Nullfolge aufgrud der Mootoie des Logarithmus. Jedoch overgiert die Reihe ach dem Miorateriterium icht absolut, da log. d Die Reihe cos! overgiert absolut ach dem Majorateriterium, de es gilt cos! <. Aufgabe 4.4. Utersuche die folgede Reihe auf Kovergez: b +! cosπ 5 + d e f a, mit a 0, g { 0 mod, wobei a : a mod.

4 Lösug zu Aufgabe 4.4. Es gilt, ud die Reihe overgiert de ma a zeige, dass die zugehörige Folge der Partialsumme mooto wachsed ist ud ach obe beschrät bleibt, also overgiert ach dem Majorateriterium auch. Bemere: Mit dem Quotieteriterium wäre ma wege zu eier Aussage gelagt. b Es gilt + +! +! + + Es gilt cosπ, also ist < für, also overgiert die Reihe ach dem Quotieteriterium. overgiert, liefert das Leibiz-Kriterium die Kovergez. d Die Reihe overgiert ach dem Leibizriterium: cosπ 5+ eie alterierede Reihe, ud da ist eie Nullfolge, de 0 5+ mooto gege Null ud sie ist mooto falled, de + + <. + + e Die Reihe divergiert, de es gilt Somit ist. eie Nullfolge, was für die Kovergez otwedig ist. f Die Reihe divergiert, de es gilt a 0. Somit ist a eie Nullfolge, was für die Kovergez otwedig ist. g Es gilt a, somit overgiert die Reihe ach dem Wurzelriterium. Aufgabe 4.5. Prüfe Sie, ob die folgede Reihe overgiere: + b 7 4 d e + + Lösug zu Aufgabe 4.5. Bei a ud wege + hadelt es sich wege a + a < um eie mooto fallede Nullfolge. Nach dem Leibizriterium ist die Reihe b Die Reihe 7 4 divergiert, da ud somit das otwedige Kriterium für die Kovergez eier Reihe verletzt ist. + overget. 4

5 Die Reihe overgiert ach dem Quotiete- ud ach dem Wurzelriterium absolut, de es gilt bzw. sup a + a sup sup + + sup < a <. d Die Reihe overgiert ach dem Wurzelriterium, de es gilt sup a 0 0 <. e Die Reihe + + divergiert ach dem Miorateriterium, de es gilt Aufgabe 4.6. Prüfe Sie, ob die folgede Reihe overgiere: 4 b! + Lösug zu Aufgabe 4.6. Die Reihe 4 overgiert absolut ach dem Quotieteriterium, de es gilt a+ a <. b Die Reihe! overgiert ach dem Quotieteriterium, de es gilt a+ a +! + +! +! + +! + + <. Wobei die letzte Gleicheit umittelbar aus der Beroulli-Ugleichug folgt, de es gilt + +. Die Reihe + overgiert absolut ach dem Wurzelriterium, de es gilt a <. Aufgabe 4.7. Utersuche Sie mit Hilfe der Ihe beate Kovergezriterie die folgede Reihe auf Kovergez!! b! cosπ d 4 e + 5

6 Lösug zu Aufgabe 4.7. ist absolut overget ach dem Quotiete-Kriterium mit q, de!! +! +!!! < für alle N. b!. Die sogar absolute Kovergez dieser Reihe a gezeigt werde mittels Variate : Awedug des Leibiz-Kriteriums wege 0.! Variate : Awedug des Quotieteriteriums mit q, de a+ a + +!! + < für alle. cosπ. Wege cosπ ud erhalte wir gerade die harmoische Reihe ud diese divergiert beatermaße. d 4. Wege a + a < de es gilt + + N ist hier das Quotieteriterium awedbar, womit die Reihe sogar absolut overgiert. e Offesichtlich divergiert die Reihe eie Nullfolge sei muss, verletzt ist. für alle +, da bereits das otwedige Kriterium, dass + Aufgabe 4.8. Ma utersuche folgede Reihe auf Kovergez 0 b + 0 +! d e f! Lösug zu Aufgabe 4.8. Hierbei hadelt es sich um ei Vielfaches der Harmoische Reihe, also diverget. 0 0 >. b Hierbei hadelt es sich um eie absolut overget Reihe, da wir eie overgete Majorate fide öe. + < 0 <. Hierbei stimmt die Reihe ab dem elfte Glied mit der Reiheetwiclug vo exp überei, also ist die Reihe absolut overget. 0 + c + exp c <.! d Die Reihe overgiert ach dem Quotieteriterium absolut, da a + a + <. 6

7 e Die Reihe overgiert ach dem Quotieteriterium absolut, da a + + a + + <. f Die Reihe! divergiert ach dem Quotieteriterium absolut, da a + +! a! + +. Aufgabe 4.9. Ma utersuche folgede Reihe auf Kovergez ud absolute Kovergez! + b Lösug zu Aufgabe 4.9. Die Reihe overgiert ach dem Leibizriterium, da a eie mooto fallede Nullfolge ist. Jedoch + overgiert die Reihe icht absolut, da wir sie wie folgt mit der harmoische Reihe abschätze öe. + + > 0 b Die Reihe overgiert ach dem Leibizriterium, da a Weiterhi overgiert sie auch absolut, da < Die Reihe overgiert ach dem Leibizriterium, da a +. eie mooto fallede Nullfolge ist. <. ++ eie mooto fallede Nullfolge ist. Jedoch overgiert sie icht absolut, da wir sie wie folgt mit der harmoische Reihe abschätze öe > 0. Aufgabe 4.0. Ma bereche die folgede Reihesumme: + 0 b + d log Lösug zu Aufgabe b Zuerst erhalte wir mittels Partialbruchzerlegug, dass

8 Damit folgt }{{} 0. Wir beutze, dass Somit gilt q d q d dq dq q q d Wir beutze usere Ergebisse aus der erste Aufgabeserie, dort hatte wir bewiese, dass we a... da a. Nu ist log log + log log log log log a. Aufgabe 4.. Bestimme Sie mittels geometrischer Reihe ud Expoetialreihe die folgede Grezwerte b ! 0 +! d e 0 Lösug zu Aufgabe 4.. b d ! ! ! + 0 5! 8 +! exp + exp5 8 +! 8 8 exp

9 e Aufgabe 4.. Bereche Sie de Wert der folgede Reihe uter Verwedug der Reiheetwiclug der geometrische ud der Expoetialreihe! π 4! b! d + + Lösug zu Aufgabe 4.. π π 4 4 exp π!! 4, 9 b d! + +! exp 4,