Repetitorium Analysis 1 für Physiker WS08/09 Montag - Folgen und Reihen Musterlösung

Transkript

1 Repetitorium Aalysis für Physier WS08/09 Motag - Folge ud Reihe Musterlösug. Verstädisfrage Thomas Blasi a Sid folgede Aussage richtig oder falsch: Jede overgete Folge hat eie Grezwert. Richtig. i Der Grezwert eier Folge a sich äder, we ma edlich viele Folgeglieder abädert. Falsch. Sei π eie Permutatio, die edlich viele Folgeglieder vertauscht, a eie overgete Folge mit Grezwert a. Sei b die abgeäderte Folge. Da die ursprügliche Folge overgiert gibt es ei Nɛ derart, dass für alle Nɛ gilt a a < ɛ. Wähle also u N π ɛ : max{π, π,..., πnɛ } +. Da gilt für alle N π ɛ dass b a < ɛ. D.h. die abgeäderte Folge hat de gleiche Grezwert. ii Jede Nullfolge ist eie overgete Folge. Richtig. Jede Nullfolge overgiert gege Null. iv. Jede overgete Folge ist beschrät. Richtig. Vgl. Satz 6 aus der Vorlesug. v. Seie a, b zwei Folge, da gilt lim a +b lim a +lim b. Falsch. Die Aussage stimmt jedoch für zwei overgete Folge. v Die Summe zweier divergeter Folge ist diverget. Falsch. Sei a, b. Da gilt für die Summe a + b 0. vi Es gibt Cauchyfolge i R die icht overgiere. Falsch. Vollstädigeitsaxiom. vii Teilfolge vo Teilfolge eier Folge sid Teilfolge der ursprügliche Folge. Richtig. ix. Jede Folge hat eie Häufugsput. Falsch. Z.B. hat die Folge a eie Häufugsput. x. Jede overgete Folge hat midestes eie Häufugsput. Falsch. Jede overgete Folge hat geau eie Häufugsput. x Der Wert eier Reihe ädert sich icht, we ma edlich viele Summade abädert. Falsch. Die Aussage wird jedoch für absolut overgete Reihe richtig. xi We 0 a overgiert, da ist a eie Cauchyfolge. Richtig. a ist da sogar eie Nullfolge. xii We a Cauchyfolge, da overgiert 0 a. Falsch. xiv. We a Nullfolge, da overgiert 0 a. Falsch. a Nullfolge ist ur eie otwedige Bedigug für die overgez der Reihe. xv. Sid 0 a ud 0 b overgete Reihe, da ist 0 a b 0 a 0 b. Falsch. Die Multipliatio zweier absolut overgeter Reihe erfolgt über das Cauchy-Produt. b Gebe Sie Beispiele a:

2 . Folge Für eie beschräte Folge die icht overgiert. Z.B. die Folge a N mit a. Es gilt a für alle N. Adererseits divergiert die Folge. Dies sieht ma wie folgt: Ageomme, die Folge a overgiere gege ei a R. Da gibt es ach Defiitio zu ɛ : ei N N mit a a < für alle N. Für alle N folgt da ach der Dreiecsugleichug: a + a a + a + a a a + a + a a < + Widerspruch. i Für eie ubeschräte Folge mit overgeter Teilfolge. Z.B. die Folge 0,,,,,,,, 4,, 5,... mit a ud a + für alle N ii Für eie overgete Reihe die icht absolut overgiert. Z.B. die alterierede harmoische Reihe. iv. Für eie divergete Reihe a, wobei a eie Nullfolge ist. Z.B. die harmoische Reihe. v. Für eie Reihe die overgiert, aber icht das Quotieteriterium erfüllt. Z.B die Reihe a Utersuche Sie folgede Folge auf Kovergez. Gebe Sie gegebeefalls de Grezwert a. a N mit a lim a 8 + lim lim i a N mit a lim 4 + lim 7 Es gilt: a Somit gilt: lim a lim + + lim lim ii a N mit a Es gilt: a α β }{{}}{{} α + β α β Somit gilt: lim a lim

3 iv. a mit a Es gilt: a Somit gilt: lim a + lim lim + 0 b Bestimme Sie die Grezwerte ud Häufugspute. Falls die Folge mehr als eie Häufugsput hat, gebe Sie overgete Teilfolge a. a + für Z Hiweis: Verwede Sie, dass für jede Nullfolge x mit x 0 ud x > für alle N, lim + x x e i a cos Es gilt: a Somit gilt: + lim a [ lim [ + + ] ] e Wir beutze de Eischürugssatz für a : ud b :. Da cos x für alle x R ergibt sich cos. Da 0 für folgt mit dem Eischürugssatz lim ii a si π Die Folge a hat drei Häufugspute {, 0, }. cos 0 c Ma zeige: Zu diese Häufugswerte overgete Teilfolge sid π a 4+ si + π a siπ 0 π a 4+ si + π lim Beweis. Sei a. Da a, ist b : a 0. Wir beutzte de Biomische Satz, + x x x R, N. 0 Dabei sid die Biomialoeffiziete defiiert durch!!!. Damit erhalte wir a + b 0 b + b + b

4 4 Daraus folgt 0 b 0 für Mit dem Eischürugssatz folgt die Behauptug. d Ma bereche: , d.h. de Limes der Folge a N mit a 0 ud a + + a für N. Hiweis: Um Aussage über reursiv defiierte Folge zu treffe beötigt ma das Prizip der vollstädige Idutio. Idee: Zeige zuächst die Folge ist mooto steiged ud beschrät. Daraus folgt die Kovergez. Dies geschieht beide Male durch vollstädige Idutio. Idutiosvoraussetzug: a a + für alle N. Idutiosafag: Es sei 0. Da ist a a 0 < a a +. Idutiosschritt: Es gelte a a + für ei N. Da ist auch + a + a +, ud da a 0 gilt, ist somit auch a + + a + a + a +. Also gilt die Aussage auch für +. Idutiosvoraussetzug: a für alle N. Idutiosafag: Es sei 0. Da ist a 0 <. Idutiosschritt: Es gelte a für ei N. So ist auch a + + a +. Also gilt die Aussage auch für +. Also ist a mooto wachsed ud beschrät. Folglich existiert der Grezwert a : lim a lim a +, ud es gilt: a lim a + lim + a + lim a + a a a 0 a / ± 4 + ± 5 Da 5 < 0 ist, aber a > 0 a 0 gilt, ist lim a a + 5 e Beweise Sie Satz 6 aus der Vorlesug: Jede overgete Folge ist beschrät.. Reihe Beweis. Sei lim a a. Da gibt es ei N N, so dass a a < für alle N. Daraus folgt mit der Dreiecsugleichug a a a a, dass a a a + a + a für N. Wir setzte M : max{ a 0, a,..., a N, a + }. Damit gilt a M für alle N. a Utersuche Sie die folgede Reihe auf absolute Kovergez: / 4

5 5 i Somit overgiert 0 0! x mit x R absolut. Nach dem Archimedische Axiom gibt es ei 0 N, sodass 0 x. Für alle 0 gilt somit: x x + + x 4 x : θ < +! x+! x Somit overgiert für alle x R. 0! x ach dem Qutieteriterium absolut, ud zwar ii iv. v. v + Für ist 0 < Da 5 6 als geometrische Reihe overgiert, overgiert folglich + ach dem Majorateriterium absolut Wir habe also eie divergierede Miorate. Somit divergiert auch si 5 Da < si x < für alle x R gilt: si. Da overgiert, overgiert also ach dem Majorateriterium si absolut Um die Divergez der harmoische Reihe zu zeige betrachte wir folgede Partialsumme: S i + + i+ i

6 6 Da die Summe jeder Klammer ist, folgt S Partialsumme ubeschrät, d.h. es gilt. b Bestimme Sie die Werte der folgede Reihe: 4 i ii iv. Für alle hat ma die Zerlegug Also ist Daher gilt +! 4 s : Also ist die Folge der. + 4 lim s. + + Ma verwede hier die Expoetialreihe: +!! e + Der Wert dieser Reihe beträgt. Die Lösug erfolgt völlig aalog zur Aufgabe Diese Reihe a auf die geometrische Reihe zurücgeführt werde: [ ] [ ] 0 c Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede Reihe: z Hier ist der Kovergezradius Da lim. R lim sup lim.

7 7 i ii + z Der Kovergezradius ist R z 0 Der Kovergezradius ist lim sup + lim. R lim sup lim wege lim lim /. iv. + z Hier berechet sich der Kovergezradius folgedermaße: R lim sup + lim sup + A dieser Stelle ist es wichtig, dass der Limes superior beutzt wird. Daher wird vo de beide Häufugspute vo + N, sprich ud, der größere beutzt.