6 Grenzwerte von Zahlenfolgen

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1 6 Grezwerte vo Zahlefolge Ei zetraler Begriff der Aalysis ist der des Grezwertes. Wir begie mit der Betrachtug vo Grezwerte vo Zahlefolge. 6. Zahlefolge 6.. Grudbegriffe Defiitio 6... Eie Fuktio f : Z 0 R heißt reelle Zahlefolge. Bemerkug Durch eie Folge f : Z 0 R wird jeder gaze Zahl 0 ei Folgeglied f R zugeordet. 2. Ma ka auch komplexe Zahlefolge betrachte. 3. I viele Fälle hat ma 0 = 0, d.h., ma betrachtet reelle Folge f : N R. 4. Astelle vo f schreibt ma auch f, d.h. f := f. Das Argumet wird auch Folge-Idex geat. 5. Astelle vo f : Z 0 R schreibt ma auch f 0 oder f Z Da Folge Fuktioe sid, köe Folge wie Fuktioe beschriebe werde, z.b. durch explizite Agabe aller Paare, f, Z 0. Hizu kommt hier och die rekursive Defiitio eier Folge. Beispiel Beachte die uterschiedliche Schreibweise! i f : N R oder f N mit f = +,... für 0. ii f : N R oder f N mit f 0 = ud f =,... für. iii f : N 2 R oder f N 2 mit f = 5 für 2. 2 iv f : N R oder f N mit f 0 =, f = ud f = f + f 2 für 2. 03

2 6 Grezwerte vo Zahlefolge Spezielle Folge: Arithmetische Folge f N sid Folge mit der Bildugsvorschrift f = a + d für N mit vorgegebee Startwert a R ud vorgegebeem Zuwachs d R. Rekursive Defiitio: f 0 = a, f + = f + d für N. Geometrische Folge f N sid Folge mit der Bildugsvorschrift f = a q für N mit vorgegebee Startwert a R ud vorgegebeem Faktor q R \ {0}. Rekursive Defiitio: f 0 = a, f + = a q x für N. Beispiel Verzisug eies Kapitals. Zum Afagszeitpukt sei das Kapital k 0 vorhade. Jährlich werde mit dem Zisatz p verzist. Nach eiem Jahr hat ma damit k = k 0 +k 0 p = k 0 + p, ach zwei Jahre k 2 = k +k p = k + p = k 0 + p 2, allgemei beträgt das Kapital ach Jahre k = k 0 + p. Bemerkug Folge ka ma, wie ja auch scho Fuktioe, mit beliebige Buchstabe bezeiche. Wir köe also zum Beispiel auch Folge a = a N oder x = x N betrachte. 2. Ohe Beschräkug der Allgemeiheit ka ma eie Folge a Z 0 stets auf eie Folge b N zurückführe: b := a 0 + für 0. Viele Eigeschafte werde daher ur für Folge a N formuliert Grezwerte Wir betrachte die Folge a N mit a = ud de Abstad a 0 der Folgeglieder zu 0. Es gilt a 0 = a = für. Damit wird dieser Abstad immer kleier. Er wird auch kleier als jede beliebige positive Zahl ε! Sei ämlich ε > 0 gegebe. Da gilt a < ε < ε > ε. 04

3 6. Zahlefolge Nu gibt es zu jeder reelle Zahl r stets eie atürliche Zahl > r. Agewadt auf user Problem, gibt es eie Zahl N N mit N > ε ud damit gilt hier auch > ε für N. Damit habe wir a = N < ε für N. Offesichtlich hägt N vo der Wahl vo ε ab. Diese Tatsache, daß der Betrag a beliebig klei wird, we wir ur Idizes ab eiem bestimmte Idex betrachte formuliere wir u allgemei: Defiitio Eie Folge a = a N strebt gege 0 oder kovergiert gege 0 oder ist eie Nullfolge, we es zu beliebiger Geauigkeitsgreze ε > 0 immer eie Folgeidex Nε gibt, so daß die Beträge der Folgeglieder kleier als ε sid für alle Idizes größer oder gleich Nε, ε > 0 N N N : a < ε. Beispiel Die Folge a N mit a = ist also eie spezielle Nullfolge. Durch de folgede Satz bekommt ma weitere Beispiele für Nullfolge. Satz 6..8 Vergleichskriterium. Seie a N, b N zwei Folge. Ist b eie reelle Nullfolge ud gibt es eie Idex N mit so ist auch a eie Nullfolge. Beispiel a b für N,. Die Folge a N mit a = 2 für ist eie Nullfolge, da 0 2 für. 2. Die Folge a N mit a = für ist eie Nullfolge, da 0 = für. 3. Die Folge a N mit a = 2 für 0 ist eie Nullfolge wege 0 2 für 3 achprüfe über vollstädige Iduktio! Es sid icht ur Nullfolge vo Iteresse. Defiitio Sei a eie reelle Zahl. Eie Folge a N strebt gege a oder kovergiert gege a, we die Folge b N mit b := a a eie Nullfolge ist, ε > 0 N N N : a a < ε. Die Zahl a heißt da Grezwert der Folge a. Besitzt eie Folge eie Grezwert so heißt sie koverget, aderfalls diverget. 05

4 6 Grezwerte vo Zahlefolge Bemerkug Um die Kovergez eier Folge etspreched der Defiitio achweise zu köe, braucht ma zuerst eie Zahl a, die Grezwert sei köte. 2. Eie Folge a N ka ur höchstes eie Grezwert habe: Seie a ã zwei Grezwerte. Für ε = 2 a ã gibt es u N ud Ñ mit a a < ε für N ud a ã < ε für Ñ. Damit gilt mit Hilfe der Dreiecksugleichug a ã a a + a ã < 2ε für max{n,ñ}. Wege 2ε = a ã ist dies aber ei Widerspruch zu a ã. 3. We ei Grezwert a eier Folge a = a N existiert, ist er also eideutig bestimmt. Wir schreibe daher auch a = lima = lim a oder a a für. Beispiel a = strebt gege a = : a = = = = für. 2. a = strebt gege a = 2: = = für. Weitere Kovergezkriterie vo Folge liefert der folgede Satz. Dafür brauche wir och eiige Bezeichuge. Defiitio Eie Folge a = a N heißt beschräkt, we ei K R existiert, so daß a K für alle N gilt. Eie reelle Folge a = a N heißt mooto, we a 0 a a 2... a... mooto wachsed oder a 0 a a 2... a... mooto falled. 06

5 6. Zahlefolge Satz i Notwediges Kriterium Eie kovergete Folge ist beschräkt. ii Eie beschräkte, mootoe reelle Folge kovergiert. iii Das Produkt eier beschräkte Folge mit eier Nullfolge ist eie Nullfolge. iv Cauchy-Kriterium Eie Folge a N kovergiert geau da, we ε > 0 N N,m N : a a m < ε. Beispiel Wir zeige die Kovergez der Folge y N mit y = + +. Wir zeige dazu zuerst, daß y mooto fällt: y = y + + = + + = = [ + ] + = = > = + =, = das heißt y < y für alle 2. Da y für alle, ist y beschräkt ud damit koverget gege eie reelle Zahl y Reche mit Grezwerte Aus der Defiitio des Grezwertes köe u folgede Rechegesetze abgeleitet werde, die das Reche mit Grezwerte bzw. mit kovergete Folge eorm erleichter. Satz Seie a N ud b N kovergete Folge ud sei c R. Da gilt: i a + b N kovergiert ud lim a ± b = lim a ± lim b. ii a b N kovergiert ud lim a b = lim a lim b. iii ca N kovergiert ud lim c a = c lim a. iv We lima 0 ud we a 0 für 0, so kovergiert die Folge c = a N 0 ud es gilt lim c =. lim a 07

6 6 Grezwerte vo Zahlefolge Bemerkug Es ka icht rückwärts auf die Kovergez vo a oder b beschlosse werde: Zum Beispiel folgt aus der Kovergez vo a +b N icht die Kovergez vo a oder b. Betrachte zum Beispiel eie divergete Folge a ud b = a. Beispiel lim + = lim + lim = + 0 =. 2. Wir betrachte die Folge x N mit x = +. Offesichtlich gilt x = y mit y + = + +. Der erste Faktor kovergiert gege ei y R Beispiel 6..5, der zweite gege. Damit kovergiert auch x auch gege y Achtug: Es gilt icht: lim + = lim + =. Defiitio Der Grezwert der Folge wird Eulersche Zahl geat ud mit e bezeichet: + e := lim +. N Satz Seie a N ud b N kovergete reelle Folge. Da gilt: i Es sei a b für alle 0. Da folgt lim a lim b. ii Satz vo de zwei Millizioäre Es seie a, b ud c reelle Folge mit a c b für alle 0. We lim a = lim b, da kovergiert auch c gege lim a. Bemerkug Regel i gilt im allgemeie icht für < astelle, zum Beispiel a = 0, b =. Als Awedug betrachte wir folgede Satz. Satz Ist a = a N eie Nullfolge mit a 0 ud a >, so gilt lim + a a = e. 08

7 6. Zahlefolge Beweis. Wir betrachte ur de Fall, daß a > 0 für 0. Da a 0 für gibt es ei N 0 mit a für N 0. Für jedes N 0 gibt es geau eie atürliche Zahl k mit k a < k +, also k + < a k, ud es gilt k für. Damit folgt die Abschätzug + k + + = + k < + a a < + k k +. k + k + k + Die rechte ud die like Seite strebe gege e für. Nach dem Satz vo de zwei Millizioäre Satz 6..20, ii muß auch der mittlere Term gege e strebe. Satz Sei a N eie kovergete Folge ud es seie b > 0, b ud ρ R. Da gilt:. i lim a = lim a ii lim a = lim a. ρ, iii lim log b a = log b lim a ud lim a ρ = lim a falls a > 0 für 0. Beispiel Es gilt lim =. Dazu zeige wir, daß b mit b := 0 eie Nullfolge ist! Es gilt Damit folgt = b + = + b + 0 b 2 b b = 2. b 2. 2 Nu ist 2 ach Satz 6..6, iii, eie Nullfolge, also auch b2 ach dem Vergleichskriterium, Satz Nach ii ist da auch b eie Nullfolge. Beispiel Es gilt lim + x = e x. O.B.d.A. sei x 0. Die Folge a mit a = x ist ach Satz 6..6, iii, eie Nullfolge. Nach Satz ud mit Satz 6..23, iii, folgt + x [ = + x ] /x x e x für. 09

8 6 Grezwerte vo Zahlefolge 6..4 Awedug: Wachstumsprozesse Heuristik: Zahlreiche Wachstums- oder Abahmeprozesse für eie zeitabhägige Größe ut köe ierhalb eier kurze Zeitspae t äherugsweise ach dem Gesetz ut + t ut α ut t, ut + t + α t ut Die Äderug ist i etwa propertial zur Größe ud zur Zeitdauer beschriebe werde. Der Äderugsprozeß ist dabei um so geauer, je kleier t ist. Wir ehme u a, der Prozess u begit zum Zeitpukt 0 mit dem Wert u 0. Gesucht ist der Wert zum Zeitpukt T > 0. Um zu kurze Zeititervalle zu komme, teile wir das Itervall [0,T ] i gleich lage Itervalle [t i,t i ] der Läge T mit Wir erhalte da äherugsweise ut + αt u 0, ut k t i = i T. + αt ut k = + αt k u 0 ud damit ut + αt u 0. Die rechte Seite sollte u de Wert ut um so besser beschreibe, je kleier die Zeitschritte T sid, das heißt je größer ist. Ma ka u vermute, daß ut = u 0 lim + αt, falls der Grezwert auf der rechte Seite existiert. Aalysis: Nach Beispiel 6..25, 2., gilt Damit erhalte wir lim + αt ut = u 0 e αt = e αt. für usere Wachstumsprozeß, wobei sich die Basis e i atürlicher Weise ergebe hat. Awedug: Wachstums- ud Abahmeprozesse komme i vielfältiger Art vor. Eiige eifache Prozesse köe i obiger Weise beschriebe werde: Alterugs- ud Zerfallprozesse z.b. Alterug vo Farbe, radioaktiver Zerfall Wachstum vo Populatioe ohe Ressourcemagel z.b. Wachstum vo Pilze Kapitalverzisug icht ur ach volle Jahre: Ist p der Jahreszissatz, so wähle α mit e α = p, d.h., α = l + p. Da köte das Kapital etspreched kt = e αt k0 kotiuierlich verzist werde. 0

9 6. Zahlefolge 6..5 Ueigetliche Kovergez Allgemei ee wir eie Folge diverget, we sie icht koverget ist. Es gibt aber spezielle divergete Folge, die i gewissem Sie gege + oder kovergiere. Defiitio Wir ee die reelle Folge a = a N ueigetlich koverget gege +, lim a = +, we ε > 0 N N N : a ε. Wir ee die reelle Folge a = a N ueigetlich koverget gege, we lim a =, ε > 0 N N N : a ε. Satz Die reelle Folge a N kovergiert geau da ueigetlich gege +, we ei 0 existiert mit a > 0 für 0 ud a N 0 eie Nullfolge ist. Die reelle Folge a N kovergiert geau da ueigetlich gege, we ei 0 existiert mit a < 0 für 0 ud a N 0 eie Nullfolge ist. Beispiel Wir betrachte die Folge a = a N mit a = x für festes x R. Diese Folge hat uterschiedliches Kovergezverhalte, je ach dem, welche Wert x hat: a Ist x <, so ist lim x = 0. Aus x < folgt ämlich p := x > 0 ud damit Folglich gilt x = + p, x = + p = + p + + p + p. 0 x + p p = p 0 für. b lim x =, falls x > folgt aus a. c lim =. d x ist sost diverget Beispiel: x =. Bemerkug Die Symbole ud + sid keie Zahle. Isbesodere ka ma mit ihe icht wie mit reelle Zahle reche!

10 6 Grezwerte vo Zahlefolge 6..6 Teilfolge Defiitio Ist k = k N eie mooto wachsede Folge atürlicher Zahle ud a = a N eie gegebee Folge, so ee wir die Folge b := a k, b = ak = a k, eie Teilfolge der Folge a. Bemerkug Kovergiert a N gege a, so kovergiert auch jede Teilfolge a k N gege a. Umgekehrt ka eie divergete Folge durchaus gege verschiedee Grezwerte kovergete Teilfolge habe. Beispiel Die Folge a = 0 divergiert ud hat die beide kostate also kovergete Teilfolge b = a 2 = 0, c = a 2+ = Zahlereihe 6.2. Bezeichuge Eie wichtige Spezialform vo Folge sid uedliche Zahle-Reihe. Defiitio Sei a N eie Zahlefolge. Da heißt s mit s = a i i=0 -te Partialsumme der Folge a, ud die Folge s N heißt Partialsummefolge der Folge a. Bezeichug: Die Partialsummefolge i=0 a i N zur Folge a N wird auch als uedliche Reihe zur Folge a N bezeichet: i=0 a i := i=0a i N Bemerkug i=0 a i ist also eie Bezeichug für die Folge der Partialsumme s. Bemerkug Jede Zahlefolge s N ist auch eie Partialsummefolge zu eier Folge a N : Setze a 0 = s 0 ud a = s s für. Wie bei Folge ka ma hier die Frage stelle, ob eie Partialsummefolge kovergiert. 2

11 6.2 Zahlereihe Bemerkug Eie uedliche Reihe i=0 a kovergiert also geau da we die Folge der Partialsumme i=0 a i N kovergiert da beides die gleiche Objekte sid!. Bezeichug: Falls die uedliche Reihe i=0 a i kovergiert, so wird ihr Grezwert auch Summe geat ud mit i=0 a i bezeichet: i=0 a i := lim i=0 a i Bemerkug Je ach Zusammehag bezeichet i=0 a i also die Folge der Partialsumme, wie i 6.2., oder ihre Grezwert, wie i So bezieht sich die Aufgabe Utersuche die Kovergez vo i=0 a i! auf die Folge der Partialsumme, die Aufgabe Bestimme i=0 a i! auf de Grezwert Allgemeie Kovergezkriterie Da Reihe Folge sid, ka ma die Kovergezkriterie vo Folge auf Reihe übertrage. Satz Cauchy-Kovergezkriterium für Reihe. Die Reihe i=0 a i geau da, we Beweis. Für die Partialsumme s gilt ε > 0 N N m N : s s m = m i=+ a i. m i= kovergiert a i < ε Folgerug Notwedige Bedigug. Ist i=0 a i koverget, da a 0. Beweis. Wähle m = i Bemerkug Die Kovergez a 0 ist icht hireiched für die Kovergez! Betrachte z.b. i=0 a i mit a 0 = 0, a = für > 0, d.h., i= i. Da gilt a 0, aber auch s = > =. 2 Satz Eie Reihe mit ichtegative Summade kovergiert geau da, we die Folge der Partialsumme beschräkt ist. 3

12 6 Grezwerte vo Zahlefolge Satz Seie i=0 a i ud i=0 b i kovergete Reihe mit de Grezwerte A ud B. Da gilt:. i=0 a i + b i ist eie kovergete Reihe mit dem Grezwert A + B. 2. Für jedes c R kovergiert i=0 ca i gege ca. Satz We ma i eier Reihe eie beliebige edliche Azahl vo Glieder wegläßt, ersetzt oder beifügt, da bleibt ihre Kovergez oder Divergez erhalte Spezielle Reihe Die folgede Reihe trete häufig auf ud sid vo spezieller Bedeutug für Vergleichskriterie. Defiitio Sei q R. Da heißt =0 q geometrische Reihe. Lemma Die geometrische Reihe =0 q kovergiert geau da, we q <. Für q < gilt =0 q = q. Beweis. a Sei q <. Da gilt für s = i=0 qi qs = q + q + q q = + q + q q q q 2 q + = q +, d.h., s = q+ q = q q+ q q für. b Sei q. Da ist q i = q i, d.h., q i i= ka die Reihe also icht kovergiere. ist keie Nullfolge. Nach Folgerug Defiitio Sei α > 0. Da heißt = α harmoische Reihe. Offebar ist die otwedige Bedigug wege α 0 stets erfüllt. Lemma Die harmoische Reihe = α kovergiert geau da, we α >. Astelle eies vollstädige Beweises betrachte wir ur die folgede Beispiele: 4

13 6.2 Zahlereihe Beispiel Wir betrachte de Spezialfall α =, d.h., Da gilt s 2 m = }{{} >2 4 = 2 > m 2 für m. + = }{{} >4 8 = Damit ist die Folge der Partialsumme bestimmt diverget. 2. Es gilt = 2 = lim N N = 2 m }{{ m } >2 m 2 m = 2 2 = π2 6. Defiitio Sei a: N R 0 eie Folge i R 0. Da heiße =0 a ud =0 + a alterierede Reihe. Satz Leibitz-Kriterium für alterierede Reihe. We a: N R 0 eie mooto fallede Nullfolge i R 0 ist, da kovergiere =0 a ud =0 + a ud für ihre Summe s gilt beziehugsweise 2+ i=0 i a i = s 2+ a 2+ s s 2 = 2 i=0 i a i 2 i=0 i+ a i = s 2 s s 2+ = 2+ i=0 i+ a i. Damit ist die Summe eier alterierde Reihe durch die -the Partialsumme bis auf eie Fehler vo höchstes a bestimmt. Beispiel Wir betrachte a 0 = 0 ud a = für N >0 ud damit die Reihe = +. 5

14 6 Grezwerte vo Zahlefolge Da a 0 kovergiert die Reihe ach dem Leibitzkriterium. Weiter habe wir die Abschätzuge 2 = = = = 5 6. Ma ka zeige: = + = l2. Bemerkug Wichtig für die Kovergez eier alterierede Reihe ist, daß die Summade eie mootoe Nullfolge bilde! Quotiete- ud Wurzelkriterium Auf de Vergleich mit der geometrische Reihe basiere die beide folgede Kriterie. Als Spezialfall ethalte sie Kovergezaussage für positive Reihe. Satz Cauchysches Wurzelkriterium. Sei a: N R eie reelle Folge.. We ei q < ud ei N N existiere mit a q für alle N, da kovergiere die Reihe = a ud = a. 2. Existiert ei N N mit a für alle N, da divergiert die Reihe = a. Beispiel Betrachte = 2. Da 2 = = + e <. Damit kovergiert die Reihe. Satz D Alambertsches Quotietekriterium. Sei a: N R eie reelle Folge mit a 0 für N. Da gilt: 6

15 6.2 Zahlereihe. We ei q < ud ei N N existiere mit a + a q für alle N, da kovergiere die Reihe = a ud = a. 2. Existiert ei N N mit da divergiert die Reihe = a. a + a für alle N, Beispiel Betrachte die Reihe =0 x! für fixiertes x R. Mit a = x! ud folgt die Kovergez. a + a = x + +! x! = x + 0 < 7

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