3 Konvergenz, Folgen und Reihen

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1 3 Kovergez, Folge ud Reihe Für die Eiführug der reelle Zahle ware Cauchy-Folge vo ratioale Zahle vo großer Bedeutug. Gaz Allgemei lasse sich Folge vo Elemete i eier beliebige Mege A betrachte. Defiitio 3. (Folge) Uter eier Folge (a ) N (a 0,a,a,...) i eier Mege A versteht ma eie Abbildug N! A. JederatürlicheZahl N wird dabei ei Folgelied a A zugeordet. Beispiele 3. (a) Mit der Vorschrift a ( N) erhält ma die Folge (a ) N (0,,, 3,...) ud es gilt a N ( N). (b) Für a ( N) erhält ma die Folge (a + ) N (,,,...) ud es gilt 3 a Q ( N). (c) Es sei eie Populatio gegebe, die i jedem Jahr um eie feste Faktor wächst (z.b. um 0%). Ausgehed vo eier Afagspopulatio a 0 R ist somit die Größe ach Jahr a 0 q (q, für 0%), ach Jahr beträgt sie a 0 q q, usw... Dies defiiert die sogeate geometrische Folge a a 0 q ( N). (d) Ei Guthabe G 0 sei jährlich um eie Zissatz p verzist, d.h. ach eiem Jahr erhält ma das Geld G G 0 (+p) zurück (z.b. p 0, 05 bei 5% Zise). Addiert ma die Zise bereits ach eiem halbe Jahr (mit halbem Zissatz) ud verzist diese am Ede des Jahres mit, so erhält ma G G 0 ( + p ).Teiltmadas Jahr i drei Teile, so ergibt sich eie Verzisug vo G 3 G 0 ( + p 3 )3.Allgemei strebt die Folge a (+ p ) gege de Faktor für kotiuerliche Verzisug (d.h. beliebig kleie Verzisugsitervalle). 3. Kovergez Vo der Kovergez eier Folge gege eie Grezwert (Limes) sprichtma,wedie Folgeglieder diesem Grezwert ab eiem Folgeglied beliebig ahe komme. Dazu beötigt ma eie Möglichkeit de Abstad zwische dem Grezwert ud de Folgeglieder messe zu köe. Für die Körper Q, R ud C ka ma de Betrag defiiere ud der Abstad zwische zwei Elemete dieser Körper z,z 0 lässt sich über die Abstadsfuktio z z 0 ermittel. Daher macht die Defiitio der Kovergez für alle dieser 47

2 3 Kovergez, Folge ud Reihe Körper K Q, R, C Si. Im Folgede wird der wichtige Spezialfall des Körpers K R betrachtet. Fast alle dieser Aussage lasse sich jedoch direkt auf die adere Körper übertrage, z.b. idem ma R durch C ersetzt. Ma sagt, dass eie Eigeschaft für fast alle Elemete eier Folge gilt, sofer die Eigeschaft auf alle bis auf höchstes edlich viele Elemete zutrifft. I diesem Sie kovergiert eie Folge gege eie Grezwert, falls fast alle Folgeglieder beliebig ahe a dem Grezwert liege, oder formal: Defiitio 3.3 (Kovergez) Eie Folge (a )N i R heißt koverget gege de Grezwert (Limes) a R, falls zu jeder (beliebig kleie) reelle Zahl > 0 ei N existiert, so dass gilt: a a < für alle. Es ist zu beachte, dass die Zahl vom jeweils gewählte abhägt. Etscheided ist dabei icht der geaue Wert vo, soder lediglich die Existez eies Wertes, ab dem die obige Bedigug bei vorgegebeem gilt. Kovergiert (a )N gege a so schreibt ma lim a a! oder a! a (! ). Kovergiert eie Folge für! icht gege eie Grezwert so et ma die Folge diverget. Beispiele 3.4 (a) Für jedes a R kovergiert die kostate Folge a a ( N) gege de Grezwert lim! a a. (b) Die Folge a + ( N) kovergiert gege Null, de: Zu jedem > 0 gibt es ei N N mit N >. Somit gilt für alle N : a 0 + < < N <. (c) Die Folge a ( ) ( N) divergiert, de der Abstad zwische zwei Folgeglieder ist a a+. Somit ka der Abstad zwische zu eiem Grezwert icht beliebig klei werde. Eigeschafte kovergeter Folge Defiitio 3.5 (Beschräkte Folge) Eie Folge (a )N reeller Zahle heißt (i) beschräkt, falls alle a M ( N) für ei M R, (ii) vo obe beschräkt, falls alle a M ( N) für ei M R, (iii) vo ute beschräkt, falls alle a 48 M ( N) für ei M R.

3 3. Kovergez Zudem sei a die Cauchy-Folge eriert. Diese diet dazu Kovergez zu defiiere, ohe dass ma de Grezwert explizit kee muss. Defiitio 3.6 (Cauchy-Folge) Eie Folge (a ) N heißt Cauchy-Folge, fallszujedem > 0 ei N existiert, so dass a a m < für alle, m. Für kovergete Folge besitze die folgede Eigeschafte. Satz 3.7 (i) Der Grezwert eier kovergete Folge ist eideutig. (ii) Der Grezwert eier kovergete Folge bleibt gleich, we ma edlich viele Folgeglieder ädert. (iii) Eie kovergete Folge ist beschräkt. (iv) Jede kovergete Folge ist eie Cauchy-Folge. Beweis. (i) Sei (a ) N eie kovergete Folge mit de Grezwerte a ud b. Dagiltjedoch a b a a + a b! 0(!) ud die Grezwerte müsse gleich sei. (ii) Für die kovergete Folge (a ) N gibt es zu jedem ei mit a a <,. Die Folge wird u a edlich viele Stelle abgeädert. Das letzte geäderte Folgeglied sei a r,r N. DawähltmafürdieAbschätzug a a < die Schrake max(,r) ud erhält ereut kovergez gege deselbe Grezwert. (iii) Mit gilt für N: a apple a a + a apple + a.dauredlichviele Folgeglieder a,< existiere gilt: a < max( a 0, a,..., a, + a ) für alle N. (iv) Sei (a ) N eie kovergete Folge mit Grezwert a R. Daexistiertzujedem > 0 ei N mit a a < für alle.isbesoderegiltfür, m N,, m N : a a m a a + a a m apple a a + a m a < + <. Bemerkug 3.8 Umgekehrt müsse beschräkte Folge icht otwedigerweise kovergiere. Ei Beispiel ist die Folge (( ) ) N. Bemerkug 3.9 Für Folge im vollstädige Körper R gilt die Umkehrug: Jede Cauchy-Folge i R kovergiert (mit Grezwert a R). De gemäß Kostruktio ist R so gewählt, dass jede Cauchy-Folge i R eie Grezwert hat. 49

4 3 Kovergez, Folge ud Reihe 3. Bestimmug vo Kovergez ud Grezwerte Machmal möchte ma zeige, dass eie Folge koverget ist, ohe dass ma de Grezwert explizit ket. Zum eie ka ma zeige, dass es sich um eie CauchyFolge hadelt. Für spezielle Type vo Folge gibt es eie direktere Schluss. Mootoe Folge Defiitio 3.0 (Mootoe Folge) Eie Folge (a )N heißt mooto wachsed, streg mooto wachsed, mooto f alled, streg mooto f alled, falls falls falls falls a a+ a < a+ a a+ a > a+ für für für für alle alle alle alle N, N, N, N. Satz 3. Eie mooto wachsede ud vo obe beschräkt Folge i R ist koverget. Eie mooto fallede ud vo ute beschräkt Folge i R ist koverget. Beweis. (Skizze) Da (a )N vo obe beschräkt ist, existiert aufgrud der Vollstädigkeit vo R eie kleiste obere Schrake (das sogeate Supremum) a : sup a : mi{m R a M für alle N}. N Das Supremum a R ist der gesuchte Grezwert, de die Folgeglieder werde immer größer, dürfe aber diese Schrake icht überschreite. Für mooto fallede Folge schließt ma aalog mit der größte obere Schrake (das sogeate Ifimum) a : if a : max{m R a N M für alle N}. Beispiel 3. Für a R, a 0 kovergiert die rekursiv defiierte Folge a x+ : x +, x mit jedem Startwert x0 > 0. Dies sieht ma wie folgt. Mit x0 > 0 sid auch alle Folgeglieder x > 0, N. Es gilt sogar a x+ a x + a 4 x! a a x + a + 4a x 4 x 4 x 50 0

5 3. Bestimmug vo Kovergez ud Grezwerte ud daher x a für (d.h. die Folge ist ach ute beschräkt). Zudem fidet ma ud daher x + apple x für x x + x x + ax a x x a 0 x x (d.h. die Folge ist mooto falled). Die mooto fallede, ach ute beschräkte Folge ist damit koverget. Da die Folge koverget ist, besitzt sie i R de Grezwert x. Fürx,x +! x muss für diese gelte: x x + a bzw. x a. x Grezwerte ud Aordug Eie Eigeschaft vo Grezwerte ist, dass sie die Aordug icht äder. Satz 3.3 Sei (a ) N ud (b ) N kovergete Folge i R mit da gilt für die Grezwerte ebefalls a apple b, für alle N, lim a apple lim b.!! Beweis. (Skizze) Widerspruchsbeweis mit der Aahme lim! a > lim! b. Damit lässt sich der Grezwerte eier Folge bestimme, idem ma eie utere ud eier obere Folge fidet, die deselbe Grezwert besitzt. De aus a apple b apple c, für alle N folgt aus obigem Satz lim a apple lim b apple lim c!!! ud gilt lim! a b lim! c,sofolgt b apple lim! b apple b. Dies lässt sich utze, um eie Grezwert ausgehed vo bekate Grezwerte zu zeige. 5

6 3Kovergez,FolgeudReihe Beispiele 3.4 (i) Sei b, ( N + ). Als Eischachtelug wird u die Nullfolge a 0, ( N + ) ud die Folge c, ( N+ ) verwedet. Wege <,, gilt a! 0(!) ud c! 0(!). Damitfolgertmab! 0(!). Aalog zeigt ma lim! k 0, für alle Poteze k N+. (ii) Die Folge a : 0 ( N) kovergiert gege 0.! De für gilt: 0! apple 0 0 ( )! apple ( ) ( ) apple 0 0 0! 0 (!) Recheregel für Grezwerte Satz 3.5 Seie (a ) N ud (b ) N kovergete Folge mit Grezwerte lim a a ud lim b b.!! Da sid auch die Summefolge (a + b ) N ud Produktfolge (a b ) N koverget ud für die Grezwerte gilt (i) lim {a + b } a + b,! (ii) lim {a b } a b,! Ist zudem b 6 0,b 60(N), soistdiequotietefolge( a b ) N koverget mit (iii) lim { a! b } a. b Beweis. Exemplarisch wird (ii) gezeigt. Da beide Folge koverget sid, gibt es mit a a < ud b b <, für, sowie eie Kostate M (kovergete Folge sid beschräkt) mit a apple M ud b apple M für N. 5

7 3.3 Häufugspukte ud Teilfolge Durch das Eischiebe des Terms a b a b + a b 0 folgert ma: a b a b a b + a b a b a (b b) + (a a) b a (b b) + (a a) b M + M M. Beispiele 3.6 (i) Für die Multiplikatio mit der kostate Folge (c)n gilt lim {c a } c a ud! Allgemei für beliebige c, d R: lim {c a + d b } c lim a + d lim b c a + d b.!!! (ii) lim lim! +! + lim!! + lim 0 (iii) lim! lim! lim {5 + }! lim {3! 0 } (iv) p p lim ( +! p p o p + ) lim p lim p p p!! < q lim! : ; Bemerkug 3.7 Für das Reche mit de Grezwerte ist es essetiell, dass die Folge koverget sid. Für icht-kovergete Folge (z.b. lim! ) lässt sich durch obige Recheregel keie Aussage treffe. So lässt sich icht ermittel, de lim! 0, lim! ud lim!. Vor der Verwedug obiger Recheregel muss zuächst die Kovergez der Folge a ud b gezeigt werde. 3.3 Häufugspukte ud Teilfolge Defiitio 3.8 (Häufugspukt) Ei Pukt a R heißt Häufugspukt eier Folge (a )N, falls zu jedem > 0 immer 53

8 3 Kovergez, Folge ud Reihe uedlich viele Folgeglieder a mit eiem Abstad vo höchstes zu a gibt, d.h. für jedes N N gibt es ei a, N mit a a <. Beispiel 3.9 Die reelle Folge a ( ) hat zwei Häufugspukte a ud a. Beispiel 3.0 Jede kovergete Folge hat geau eie Häufugspukt, ämlich de Grezwert der Folge. Besitzt eie Folge mehr als eie Häufugspukt, da ka ma sich auch die Folgeglieder beschräke, die i der Nähe eies Häufugspuktes liege. Ma wählt also die Folgeglieder etspreched aus. Dies ee ma das bilde eier Teilfolge. Defiitio 3. (Teilfolge) Sei (a )N eie Folge. Eie Folge (bm )mn heißt Teilfolge vo (a )N, falls es eie streg mootoe Folge vo Idizes < < 3 <... gibt, so dass bm am für alle m N. Zu eier Folge mit mehr als eiem Häufugspukt ka ma somit eie Teilfolge auswähle, die da gege de Häufugspukt kovergiert. Defiitio 3. (Limes superior/iferior) Zu eier Folge reeller Zahle (a )N mit midestes eiem Häufugspukt. De größte Häufugspukt bezeichet ma als Limes superior lim sup a. De kleiste Häufugspukt bezeichet ma als Limes iferior lim if a.!! Für beschräkte Folge i R gilt folgeder Satz, der hier ohe Beweis agegebe wird. Satz 3.3 (Bolzao-Weierstraß) Jede beschräkte Folge reeller Zahle besitzt eie größte ud eie kleiste Häufugswert. Jede beschräkte Folge reeller Zahle besitzt daher eie kovergete Teilfolge. 3.4 Reihe Ei berühmtes Paradoxo der atike Grieche stammt vom Zeo: Der schelle Achilles versucht eie lagsame Schildkröte zu erreiche. Doch obwohl Achilles doppelt so schell ist wie die Schildkröte, scheit es ihm icht zu gelige. De jedes Mal, we Achilles de Pukt erreicht, a dem sich die Schildkröte aktuell befidet, ist diese ebefalls ei Stück weiter gekomme. Daher muss Achilles ereut versuche, die Schildkröte auf dieser u halb so lage Strecke zu erreiche. Dieses Spiel scheit sich uedlich oft zu wiederhole ud Achilles erreicht die Schildkröte folglich icht. 54

9 3.4 Reihe t 0 mi A S t mi A t mi S t t+ mi mi A t t+ + mi 4... S mi 4 AS t mi 8... Abbildug 3.: Paradoxo vo Zeo: Der doppelt so schelle Achilles (A) scheit die Schildkröte (S) iemals zu erreiche, de diese ist immer bereits ei (we auch kleieres) Stück weiter, we Achilles de Pukt erreicht, a dem sich die Schildkröte aktuell befidet. Der Trugschluss i diesem Paradoxo liegt dari, dass uedliche Summe durchaus edliche Werte aehme köe. So beträgt die vo Achilles beötigte Zeit T k ud diese Summe hat eie edliche Wert. Vo der mathematische Behadlug solcher uedliche Summe hadelt dieses Kapitel. Zu jeder Folge (a )N lasse sich edlich viele der Folgeglieder aufsummiere. Eie solche Teilsumme et ma die Partialsumme s : ak. So etsteht eie eue Folge (s )N, dere Kovergez ma utersuche ka. Defiitio 3.4 (Reihe) Eie Reihe mit de Glieder ak ist die uedliche Summe ak, 55

10 3Kovergez,FolgeudReihe die verstade wird als die Folge der Partialsumme s : a k mit!. Existiert der Grezwert lim! s,soheißtdiereihekoverget, aderfallsdiverget. Beispiel 3.5 (Geometrische Reihe) Die sogeate geometrische Reihe ist gegebe durch +q + q + q 3 + q q k. Diese Reihe ist für q < koverget. Betrachtet ma ämlich die Partialsumme, so fidet ma durch!!! + ( q) q k q k q q k q k q k q + zuächst die geometrische Summeformel q k q q+ für alle N. Somit folgt für de Grezwert der Reihe q k lim q k q + lim!! q Beispiel 3.6 (Harmoische Reihe) Die sogeat harmoische Reihe ist gegebe durch k q. Diese Reihe divergiert. De betrachtet ma die Partialsumme für k,sofidetma die Abschätzug k. k s k k k k k k k +k! (k!). 56

11 3.5 Kovergezkriterie für Reihe 3.5 Kovergezkriterie für Reihe Ei Kovergezkriterium für Reihe erhält ma, idem ma das Cauchy-Kriterium für die Folge der Partialsumme awedet. Satz 3.7 (Cauchy-Kriterium für Reihe) Eie Reihe ist geau da koverget, we es für jedes > 0 ei gibt, so dass gilt: s sm km+ für alle ak < m. Beweis. Dies ist das Cauchy-Kriterium für die Folge der Partialsumme (s )N. Damit eie Reihe überhaupt kovergierte ka, müsse die Reiheglieder eie Nullfolge bilde. De mit s! s gilt immer a s s! s s 0. Sid alle Elemete der Summe positiv, so ist die Folge der Partialsumme mooto wachsed. Ist sie zudem beschräkt, da muss die Reihe kovergiere. Satz 3.8 (Kovergez für icht-egative Reihe) P Eie Reihe ak mit icht-egative Glieder ak 0 kovergiert geau da, we die Folge der Partialsumme beschräkt ist, d.h. es gibt ei M R, mit für alle. ak M Aalog zu Folge lasse sich die Reihe auch gege adere Reihe abschätze. Satz 3.9 (Majorate-Kriterium) Gilt ak bk für alle k N ud kovergiert die Reihe P ak mit P bk, da kovergiert auch ak bk. Beweis. Folgerug aus dem Aordugssatz für Grezwerte agewedet auf die Partialsummefolge. Defiitio 3.30 (Absolut kovergete Reihe) Eie Reihe heißt absolut koverget, falls die Summe der Beträge kovergiert. ak 57

12 3Kovergez,FolgeudReihe Eie absolut kovergete Reihe ist immer auch koverget, wie ma aufgrud der Dreiecksugleichug direkt sieht: a k apple a k. Durch Abschätzug gege die geometrische Reihe fidet ma zwei weitere Kritierie. Satz 3.3 (Wurzel-Kriterium) Gilt mit 0 <q<, dassfürfastalle(d.h.allebisaufedlichviele)summegliedergilt apple p p k k ak apple q<, d.h. lim sup ak < k! da kovergiert die Reihe absolut. Gilt divergiert die Reihe. k p a k > für uedlich viele k N, so Beweis. Aus a k apple q k folgt, dass die geometrische Reihe eie Majorate ist ud diese kovergiert für q <. Gilt kp a k >, soauch a k > ud die Glieder bilde icht eimal eie Nullfolge. Satz 3.3 (Quotiete-Kriterium) Gilt mit 0 <q<, dassfürfastalle(d.h.allebisaufedlichviele)summegliedergilt apple a k+ a k+ apple q<, d.h. lim sup < a k k! a k da kovergiert die Reihe absolut. Beweis. Aus a k+ /a k apple q für alle k Somit hat die Reihe mit eie kovergete Majorate für q <. Beispiel 3.33 (Eulersche Zahl) Die Reihe N folgt a k apple q a k apple q a k apple...apple q k N a N. a N q N e : kn kovergiert. Ihr Wert e, heißt Eulersche Zahl. Die Kovergez sieht ma mit dem Quotietekriterium. Für k a k+ a k (k+)! k! k! q k k! (k +)! k + apple <. ud damit ist der größte Häufugswert echt kleier eis. gilt 58

13 3.6 Potezreihe 3.6 Potezreihe Defiitio 3.34 (Potezreihe) Eie Reihe der Form P (x) : ak (x x0 ) a0 + a (x x0 ) + a (x x0 ) +... heißt Potezreihe mit Koeffiziete ak R, Etwicklugspukt x0 R ud Argumet x R. Satz 3.35 (Kovergezradius vo Potezreihe) Eie Potezreihe P (x) x0 ) ak (x kovergiert absolut für alle Argumete x R, die ierhalb des sogeate Kovergezradius liege, p x x0 < : mit formal: : ud : 0 k 0 lim sup ak k! ud divergiert für x x0 >. Existiert der Grezwert : ak+ k! ak, lim so etspricht dies ebefalls dem Kovergezradius. Beweis. Gemäß Wurzelkriterium gilt: p lim sup k ak (x x0 )k x k! p x0 lim sup k ak k! ( <, für x x x0 >, für x x0 <, x0 >. Aalog folgert ma mit dem Quotietekriterium. Die wohl wichtigste Potezreihe ist die Expoetialfuktio. Defiitio 3.36 Die Expoetialfuktio ist gegebe durch exp(x) : x!. 59

14 3Kovergez,FolgeudReihe Die Expoetialfuktio ist überall koverget, wie das Quotietekriterium zeigt: a k+ xk+ a k (k +)! k! x x k k + apple < für alle k x. Absolut kovergete Reihe lasse sich multipliziere. Satz 3.37 (Cauchy-Produkt) P Seie P a k ud b k zwei absolut kovergete Reihe. Da gilt Ma et!!! k a k b k a j b k j. j0 k a j b k j0 j das Cauchy-Produkt. Beweis. (Skizze) Ausmultipliziere der edliche Summe, Dreiecksugleichug ud Grezübergag für!. Für die Expoetialfuktio ergibt sich damit folgedes Resultat. Satz 3.38 (Fuktioalgleichug für die Expoetialfuktio) Es gilt exp(x) exp(y) exp(x + y). Beweis. (Übug) 60