Beweis. Es sei Ordnung und < die zugehörige strikte Ordnung. Dann ist 0 < i 2 = 1 und 0 < 1 2 = 1. Es folgt 0 < = 0. Widerspruch!

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1 30 FOLGEN UND REIHEN Allgemeier zeigt ma durch quadratische Ergäzug), dass für beliebige a, b C die Gleichug z +az +b 0 eie Lösug hat. Noch allgemeier gilt der folgede Satz. Satz.9. Fudametalsatz der Algebra) Sei N ud sei p ei Polyom vom Grad, das heißt, es existiere a 0, a,..., a C mit a 0, so dass pz) a z +a z + +a z +a 0 für z C gilt. Da existiert z C mit pz ) 0. Eie Beweis dieses Satzes lert ma z. B. i eier Eiführug i die Fuktioetheorie kee, wie sie i. a. i der Aalysis IV gebote wird. Sid p ud z wie i Satz.9., so existiert ei Polyom vom Grad, so dass pz) z z )p z) für z C. Ist, so ka Satz.9. auf p agewedet werde, ud iduktiv erhält ma, dass z, z,..., z C existiere, so dass pz) a z z ) z z )... z z ). Satz.9.3 Der Körper C, +, ) ka icht ageordet werde. Beweis. Es sei Ordug ud < die zugehörige strikte Ordug. Da ist 0 < i ud 0 <. Es folgt 0 < + 0. Widerspruch! Folge ud Reihe. Folge Defiitio.. Eie Fuktio mit Defiitiosbereich N heißt Folge. Falls außerdem der Zielbereich R oder C ist, heißt sie reelle bzw. komplexe) Zahlefolge. Sei M Mege ud f : N M Folge. Für N schreibe wir statt f) im allgemeie f. Wir bezeiche die Folge f mit f ) N oder kurz auch eifach mit f ). Gelegetlich schreibe wir auch f, f, f 3,... ). Jede reelle Zahlefolge ka auch als komplexe Zahlefolge betrachtet werde. Machmal werde wir für ei N Z ud eie Mege M auch Fuktioe f : { Z : N} M betrachte. Wir werde auch diese Zahle)folge ee ud mit f ) N bezeiche. Begriffe wie ijektiv sid, da sie für Fuktioe defiiert sid, isbesodere auch für Folge erklärt. Begriffe wie ach obe/ute) beschräkt oder streg) mooto falled/steiged defiiert ma für reelle Zahlefolge, idem ma auf N ud R die Ordug zugrude legt. Eie komplexe Zahlefolge a ) heißt beschräkt, falls die reelle Zahlefolge a ) beschräkt ist. Dabei kommt es atürlich ur darauf a, dass a ) ach obe beschräkt ist, de ach ute ist diese Folge immer durch 0 beschräkt). Beispiel. Wir betrachte die reelle Zahlefolge a ) wobei a + ist also a ), 3, 4, 5,... ). 3 4 Behauptug. a ) ist mooto falled. für N. Es

2 . Folge 3 Beweis. Seie m, N mit m. Zu zeige ist, dass a a m. Nu gilt aber a a m + m + m + )m m + ) m + m m + m. Geauso sieht ma, dass a ) sogar streg mooto falled ist. Behauptug. a ) ist beschräkt. Beweis. i) Da a ) mooto falled ist, gilt a a für alle N. Also ist obere Schrake vo a ) ud damit ist a ) ach obe beschräkt. ii) Sei N. Da ist + >, also a + >. Also ist utere Schrake vo a ) ud damit ist a ) ach ute beschräkt. Aus i) ud ii) folgt, dass a ) beschräkt ist. Im obige Beispiel ist a ahe dem Wert, we groß ist. Wir präzisiere diese Gedake i der folgede Defiitio. Defiitio.. Sei a ) komplexe) Zahlefolge. Da heißt a ) koverget, falls a C mit folgeder Eigeschaft existiert: Zu jedem ε > 0 existiert ei N N, so dass a a < ε für alle N mit N. Wir schreibe i diesem Falle a lim a oder a a für ) ud sage, dass a ) gege a kovergiert. Wir ee a de Grezwert der Folge a ). Eie Zahlefolge, die icht koverget ist, heißt diverget. Es ist ützlich, die Defiitio der Kovergez och eimal mit Quatore zu schreibe. Es ist a ) koverget, falls gilt: a C ε R + N N N : N a a < ε. Die Idee bei der Defiitio der Kovergez ist, a a als Abstad vo a zu a zu iterpretiere. Dieser Abstad ka da im Kovergezfall beliebig klei gemacht werde, idem ma groß wählt. Dieser Gedake ka wesetlich verallgemeiert werde. So werde wir später i recht allgemeiem Rahme eie Abstadsbegriff Metrik) defiiere, ud Kovergez vo Folge i mit diesem Abstadsbegriff versehee Mege metrische Räume) utersuche. Beispiel Fortsetzug). Sei wieder a +. Behauptug. a ) ist koverget ud lim a. Beweis. Sei ε > 0. Zu zeige ist, dass ei N N existiert, so dass a < ε für alle N mit N. Wir behaupte, dass N : [/ε]+ die verlagte Eigeschaft hat. Es sei dara eriert, dass für eie reelle Zahl x mit der Gaußklammer [x] die größte gaze Zahl bezeichet wird, die icht größer als x ist.) Zuächst ist da N > /ε ud damit /N < ε. Sei u N, N. Da ist a + + N < ε.

3 3 FOLGEN UND REIHEN Im folgede werde wir statt a ) ist koverget ud lim a a oft ur kurz lim a a schreibe. We wir also de Grezwert agebe, wird damit seie Existez also die Kovergez) impliziert. Eie adere Beschreibug des Kovergezbegriffs erhält ma wie folgt. Sei X R oder X C, a X ud ε R +. Da heißt {x X : x a < ε} die ε- Umgebug vo a i X). Geometrisch ist die ε-umgebug vo a im Falle X C eie Kreisscheibe vom Radius ε um a ud im Falle X R eie offees Itervall der Läge ε um a. Eie Teilmege U vo X heißt Umgebug vo a, we ε > 0 existiert, so dass die ε-umgebug vo a i U ethalte ist. Es zeigt sich, dass a ) geau da gege a kovergiert, we für jede Umgebug U vo a ei N N existiert, so dass a U für N. Der Begriff der Umgebug lässt sich i och allgemeiere Zusammehäge erkläre als der der Metrik. Isofer ist die Beschreibug der Kovergez über Umgebuge stärker verallgemeierugsfähig als die i Defiitio.. gegebee. Solche Frage werde i der Topologie behadelt. Wir habe bei eier kovergete Folge bereits vo dem Grezwert ud icht ur vo eiem Grezwert gesproche. Dies wird durch de folgede Satz gerechtfertigt. Satz.. Eie kovergete Zahlefolge hat geau eie Grezwert. Beweis. Die Existez eies Grezwertes folgt aus der Defiitio. Wir habe also ur die Eideutigkeit des Grezwertes zu zeige. Dazu ehme wir a, dass a ud b Grezwerte der kovergete Zahlefolge a ) seie, mit a b. Da ist a b > 0 ud mit ε : a b auch ε > 0. Nach Defiitio.. existiert u N a N mit a a < ε für N a ud es existiert N b N mit a b < ε für N b. Mit N : max{n a, N b } folgt da a b a a N ) + a N b) a a N + a N b < ε + ε ε a b. Dies ist ei Widerspruch. Zur Übug führe wir deselbe Beweis i der Termiologie der Umgebuge: Seie a, b, ε wie vorher. Da sid die ε-umgebuge vo a ud b disjukt, de ist x aus beide Umgebuge, so gilt a b a x) + x b) a x + x b < ε + ε ε a b. Damit ka jedes a ur i höchstes eier dieser Umgebuge liege, womit ur eie der Zahle a ud b Grezwert vo a ) sei ka. Satz.. Eie kovergete Zahlefolge ist beschräkt. Beweis. Sei a ) eie kovergete Folge ud sei a : lim a. Da existiert N N mit a a < für N. Wir habe i Defiitio.. ε : gewählt.) Damit folgt für N, dass a a a) + a a a + a < + a. Mit M : max{ a, a,..., a N, + a } folgt da a M für alle N.

4 . Recheregel 33 Beispiel. Es sei q C ud die komplexe Zahlefolge a ) sei gegebe durch a q. Fall. q >. Wir zeige, dass a ) ubeschräkt ud damit wege Satz.. diverget ist. Sei dazu M R +. Wir habe zu zeige, dass N mit q > M existiert. Dazu setze wir h : q. Da ist h > 0 ud q + h. Es folgt q q + h) k ) h k k ) h k + h h. Für > M/h folgt also a h > M. Fall. q <. Wir zeige, dass lim a 0. Sei dazu ε R +. Wir habe zu zeige, dass N N mit q 0 < ε für N existiert. Dies ist klar falls q 0. Sei also q 0. Wir setze h :. Es ist q da q. Wege > ist h > 0. Wählt ma N >, so folgt für N, +h q εh dass q 0 q + h ) + h) h Nh < ε. Fall 3. q. Hier zeigt sich, dass für q Kovergez gege vorliegt, währed die Folge für q diverget ist. Wir verzichte hier auf die Details. Bemerkug. Die i Fall beutzte Ugleichug +h) +h heißt Beroullische Ugleichug. Sie gilt icht ur für h > 0 soder sogar für h > ud N). Der Beweis sei als Übug überlasse. Beispiel. lim. Beweis. Sei ε > 0. Zu zeige ist, dass ei N N mit < ε für N existiert. Dazu otiere wir zuächst, dass offesichtlich für alle N gilt. Wir setze h : für N. Da gilt also h 0. Für folgt ) + h ) k Es gilt also h ud damit h max{, + }, so folgt für N, dass ε h h. Recheregel ) ) h k h N < ) h. für. Wählt ma also N > ε + ) ε. Satz.. Seie a ), b ) kovergete Zahlefolge mit a a, b b. Sei c C. Da gilt i) a + b ) ist koverget ud a + b a + b, ii) a b ) ist koverget ud a b a b,

5 34 FOLGEN UND REIHEN iii) c a ) ist koverget ud c a c a, iv) Ist b 0, so existiert N N mit der Eigeschaft, dass b 0 für N, ud es ist a b ) N koverget mit a b a b. Beweis. i). Sei ε > 0. Da existiere N a, N b N mit a a < ε für N a ud b b < ε für N b. Mit N : max{n a, N b } folgt da für N, dass a + b ) a + b) a a) + b b) a a + b b < ε + ε ε. ii). Es ist a b ab a b ab + ab ab a a)b + ab b). Nach Satz.. ist b ) beschräkt, d. h., es existiert M R + mit b M für alle N. Sei u ε > 0. Da existiere N a, N b N mit a a < ε für N M a ud b b < ε für N a +) b. Mit N : max{n a, N b } folgt da für N, dass a b ab a a)b + ab b) a a)b + ab b) a a b + a b b < ε M M + a ε a + ) < ε + ε ε. iii). Dies folgt aus ii) mit b c für alle N. iv). Sei b 0. Da gilt b > 0 ud damit existiert N N, so dass b b < b für N. Es folgt b > b b ud damit b > b für N. Isbesodere gilt also b 0 für N. Wir zeige jetzt, dass dass für N b ) N gege kovergiert. Dazu otiere wir zuächst, b b b b b b b b b b b b b b gilt. Sei u ε > 0. Da existiert N N mit b b < b ε für N. Mit N : max{n, N } folgt da für N N, dass b b b b < ε. b Damit gilt b a. Aus ii) folgt jetzt b b a. b Satz.. Eie komplexe Zahlefolge a ) kovergiert geau da, we die reelle Zahlefolge Re a ) ud Im a ) kovergiere. Es gilt da lim Re a Relim a ) ud lim Im a Imlim a ).

6 . Recheregel 35 Beweis.. Dies folgt aus Satz.., i) ud iii).. Sei a lim a. Die Behauptug folgt da aus Re a Re a Rea a) a a ud Im a Im a Ima a) a a. Satz..3 We die komplexe Zahlefolge a ) gege a kovergiert, so kovergiere a ) gege a ud a ) gege a. Beweis. Die Behauptug folgt aus a a a a ud a a a a a a. Wir betrachte och eimal das Beispiel der durch a : q defiierte komplexe Zahlefolge a ), wobei q C, q. Gilt da a a, so folgt a a. Wege a q q für alle N impliziert dies a. Weiter gilt auch a + a. Adererseits gilt aber auch a + qa qa. Es folgt a qa. Wege a ist aber a 0. Damit folgt q. Für q C, q, kovergiert also die komplexe Zahlefolge q ) geau da, we q. Satz..4 Seie a ), b ) kovergete reelle Zahlefolge. Es existiere N N mit a b für alle N. Da gilt lim a lim b. Beweis. Sei a : lim a ud b : lim b. Wir ehme a, dass a > b gilt. Da ist a b > 0 ud damit auch ε : a b > 0. Also existiere N a, N b N mit a a < ε für N a ud b b < ε für N b. Sei N : max{n a, N b }. Für N gilt da b b < ε ud a a < ε. Es folgt b b) + a a ) < ε ud damit b a < ε + b a 0 für N. Es folgt b < a für N. Dies ist ei Widerspruch. Ma beachte, dass aus a < b für N icht lim a < lim b gefolgert werde ka. Ei Gegebeispiel ist etwa durch a ud b gegebe. Hier sid beide Grezwerte 0. Eie wichtiger Spezialfall vo Satz..4 ist der Fall, dass eie der Folge a ), b ) kostat ist. So folgt etwa aus a a ud a b für N, dass a b gilt. Satz..5 Seie a ), b ), c ) reelle Zahlefolge. Es existiere N N mit a b c für alle N. Sid da a ) ud c ) koverget mit lim a lim c, so ist auch b ) koverget ud hat de gleiche Grezwert wie a ) ud c ). Beweis. Sei a : lim a lim c ud sei ε > 0. Da existiere N a, N c N mit a a < ε für N a ud c a < ε für N c. Mit N b : max{n, N a, N c } folgt da für N b, dass a b a a a a < ε ud b a c a c a < ε, also b a < ε. Beispiel. Sei b R +. Für max{b, } ist da b ud damit b b. Wege folgt b.

7 36 FOLGEN UND REIHEN.3 Kovergezkriterie Satz.3. Sei a ) eie mooto steigede bzw. fallede) ud ach obe bzw. ute) beschräkte reelle Zahlefolge. Da ist a ) koverget. Ist A : {a : N}, so gilt lim a sup A bzw. lim a if A). Beweis. Wir betrachte ur de Fall, dass a ) moto steiged ud ach obe beschräkt ist. Der adere Fall ka darauf zurückgeführt werde.) Sei a : sup A. Zu zeige ist, dass a a. Sei dazu ε > 0. Nach Satz.7.4 existiert N N mit a N > a ε. Wege der Mootoie vo a ) folgt a > a ε für alle N. Adererseits gilt a a für alle N wege a sup A. Es folgt a a a a < ε für alle N. Beispiel. Wir betrachte die rekursiv defiierte Folge a ) mit a ud a + ) a + a für N. Offesichtlich gilt a > 0 für alle N. Formaler Beweis durch vollstädige Iduktio.) Geauer gilt sogar, dass a für alle N. Dies ist klar für ud folgt für wege a a + ) 4 a a ) a a ) 4 a a ) 4 a 0 ud a > 0. Desweitere gilt für alle N, dass a + a, de a + + ) a + ). a a Hieraus folgt umittelbar durch vollstädige Iduktio), dass a m a für m gilt, d. h., die Folge a ) ist mooto falled. Nach Satz.3. kovergiert a ) also gege a if{a : N}. Um de Grezwert a zu bestimme, otiere wir zuächst, dass wege a ach Satz..4 auch a gilt. Außerdem gilt auch ) a + a, ud aus der Rekursiosformel ud Satz.. folgt damit a a + a. Dies ergibt aber a a ud damit a, wege a also a. Allgemeier ka ma wie obe zeige, dass für c > 0, a > 0 ud a + a + c ) a

8 .3 Kovergezkriterie 37 folgt, dass a c. Mit diesem Verfahre ka ma die Quadratwurzel eier atürliche Zahl beliebig geau durch ratioale Zahle approximiere. Das Verfahre ist ach Hero vo Alexadria. Jhdt.. Chr.) beat, war aber de Babyloier bereits 000 Jahre vorher bekat. Heute wird es im Schuluterricht i. a. i der 9. Klasse behadelt. Beispiel. Für N sei a + ) ) + ud b ) ) + + ) a. Da ist a ) mooto steiged, de für ist ) ) a + a Beroulli. + ) ) ) ) ) ) Ählich zeigt ma, dass b ) mooto falled ist. Damit gilt a a < a + ) b b für alle N. Nach Satz.3. existiere damit a, b R mit a a ad b b. Wege a + ) b folgt a b ach Satz.., ii). Der gemeisame Grezwert vo a ) ud b ) heißt Eulersche Zahl ud wird mit e bezeichet. Es gilt e, Defiitio.3. Sei a ) Zahlefolge ud a C. Da heißt a Häufugswert vo a ), falls für jedes ε R + uedlich viele N mit a a < ε existiere. Die Bedigug, dass uedlich viele N mit a a < ε existiere, ist äquivalet dazu, dass zu vorgegebeem N N ei N mit N ud a a < ε existiert. I Quatoreschreibweise lautet die letzte Bedigug wie folgt: ε R + N N N : N a a < ε. Als Beispiel betrachte wir die durch a ) gegebee Folge a ). Hier sid ud Häufugswerte. Defiitio.3. Sei X Mege, a : N X Folge ud ν : N N streg mooto steigede Folge. Da heißt die Folge a ν : N X eie Teilfolge vo a. Sie wird mit a νk) ) k N oder a νk ) k N bezeichet. Satz.3. Sei a ) Zahlefolge ud a C. Da gilt:

9 38 FOLGEN UND REIHEN i) a ist Häufugswert vo a ) Es existiert eie Teilfolge vo a ), die gege a kovergiert. ii) a ist Grezwert vo a ) Alle Teilfolge vo a ) kovergiere gege a. Der Beweis sei als Übug überlasse. Satz.3.3 Satz vo Bolzao-Weierstraß) Jede beschräkte Zahlefolge besitzt eie kovergete Teilfolge. Im Beweis des Satzes vo Bolzao-Weierstraß werde wir folgede Satz beutze. Satz.3.4 Jede reelle Zahlefolge besitzt eie mootoe Teilfolge. Hierbei bedeutet mooto atürlich mooto steiged oder mooto falled. Beweis vo Satz.3.4. Sei a ) reelle Zahlefolge. Wir ee m N Gipfel vo a ), falls a < a m für alle > m. Fall. Es existiere uedlich viele Gipfel. Seie m, m, m 3,... Gipfel mit m < m < m 3 <.... Da ist a mk ) mooto fallede Teilfolge vo a ). Fall. Es existiere höchstes edlich viele Gipfel. Da existiert N, so dass alle N mit keie Gipfel sid. Isbesodere ist kei Gipfel ud damit existiert > mit a a. Auch ist kei Gipfel, also existiert 3 > mit a 3 a, ud 3 ist kei Gipfel. Iduktiv erhält ma so eie mooto steigede Teilfolge a k ) vo a ). Beweis des Satzes vo Bolzao-Weierstraß. Sei a ) beschräkte Zahlefolge. Wir betrachte zuächst de Fall, dass a ) reelle Zahlefolge ist. Da besitzt a ) ach Satz.3.4 eie mootoe Teilfolge besitzt. Diese Teilfolge ist atürlich auch beschräkt, ud damit koverget ach Satz.3.. Wir betrachte jetzt de Fall, dass a ) beschräkte) komplexe Zahlefolge ist. Da sid die Folge Re a ) ud Im a ) reell ud beschräkt. Nach dem bereits bewiesee besitzt Re a ) eie kovergete Teilfolge Re ) a k ) k N, ud die Folge Im a k ) k N besitzt eie kovergete Teilfolge Im a kj. Es folgt, dass ) j N a kj eie kovergete Teilfolge vo a ) N ist. j N Defiitio.3.3 Eie Zahlefolge a ) heißt Cauchyfolge, falls für jedes ε R + ei N N existiert, so dass a a m < ε für alle m, N. I Quatoreschreibweise lautet die Defiitio wie folgt: a ) ist Cauchyfolge ε R + N N m, N : m N N) a a m < ε. Satz.3.5 Cauchykriterium für Folge) Eie Zahlefolge kovergiert geau da, we sie Cauchyfolge ist.

10 .3 Kovergezkriterie 39 Beweis. Sei a lim a ad ε > 0. Da existiert N N mit a a < ε für alle N. Gilt da m N ud N, so folgt a a m a a) + a a m ) a a + a a m < ε + ε ε. : Sei a ) Cauchyfolge. Zu zeige ist, dass a ) kovergiert. Wir zeige zuächst ählich wie im Beweis vo Satz..), dass a ) beschräkt ist. Dazu otiere wir, dass ei N N existiert mit a a m < für m, N. Es folgt a a a N + a N a a N + a N < + a N für N, ud damit a max{ a, a,..., a N, + a N } für alle N. Nach dem Satz vo Bolzao-Weierstraß existiert also eie kovergete Teilfolge vo a ), etwa a k a. Wir zeige jetzt, dass a a gilt. Sei dazu ε > 0. Da existiert K N mit a k a < ε für k K. Außerdem existiert N N mit a a m < ε für m, N. Sei u N. Da existiert l N mit l K ud l N. Es folgt a a a a l + a l a < ε + ε ε. Wichtig bei obigem Satz sowie de Sätze.3. ud.3. ist, dass sie erlaube, die Kovergez eier Folge achzuweise, ohe de Grezwert zu kee. Das Etscheidede dabei ist die Vollstädigkeit vo R. Umgekehrt köte ma auch wieder die Vollstädigkeit dadurch defiiere, dass ma die Kovergez jeder Cauchyfolge verlagt. Da müsste ma aber, um dem Vollstädigkeitsbegriff vo Defiitio.7.3 zu erhalte, och zusätzlich das Archimedische Axiom verlage; vgl. die Diskussio ach Satz.8.9. Wir werde aber später i metrische Räume Vollstädigkeit auf diesem Wege defiiere.) Exkurs: Kostruktio der reelle Zahle. Wir wolle de Körper Q, +, ) der ratioale Zahle zum Körper R, +, ) der reelle Zahle vervollstädige. Dazu sei C die Mege der Cauchyfolge ratioaler Zahle. Wir betrachte die auf C durch x ) y ) : lim x y ) 0 defiierte Relatio. Ma zeigt leicht, dass Äquivalezrelatio ist. Um etwa die Trasivität zu zeige, seie x ), y ), z ) C mit x ) y ) ud y ) z ). Da gilt x y ) 0 ud y z ) 0 ud damit x z ) x y ) + y z ) 0, also x ) z ). Auf der Mege C/ der Äquivalezklasse defiiere wir eie Additio ud eie Multiplikatio durch ud [x )] + [y )] : [x + y )] [x )] [y )] : [x y )]. Zuächst muss ma zeige, dass diese Additio ud Multiplikatio vo Äquivalezklasse wohldefiiert sid. Dazu muss ma zum eie zeige, dass mit x ), y ) C auch x + y ) C ud x y ) C gilt, ud zum ader, dass für x ) x )

11 40 FOLGEN UND REIHEN ud y ) y ) auch x + y ) x + y ) ud x y ) x y ) gilt. Wir verzichte hier auf de Beweis dieser Aussage. Es gilt da, dass C/, +, ) Körper ist. Auf eie Nachweis der eizele Körperaxiome verzichte wir. Das Nullelemet des Körpers ist [0, 0, 0,... )] ud das Eiselemet ist [,,,... )]. Wir defiiere eie Ordug auf C/ wie folgt: [x )] [y )] : ε > 0 N N : N x y + ε. Ma beachte hier, dass die aive Setzug [x )] [y )] : N : x y hier icht zum Erfolg führt. Diese ist och icht eimal wohldefiiert. Beispielsweise ist ja [ )] [ )].) Zuächst muss ma wieder zeige, dass wohldefiiert ist. Sei dazu x ) x ) ud y ) y ) ud es gelte Zu zeige ist ε > 0 N N : N x y + ε. ε > 0 N N : N x y + ε. Sei dazu ε > 0. Da existiert M mit x y + ε für M. Weiter existiere 3 N x, N y N mit x x < ε 3 für N x ud y y < ε 3 für N y. Für max{m, N x, N y } folgt da x < x + ε 3 < y + ε 3 < y + 3ε 3 y + ε. Es ist leicht zu sehe, dass tatsächlich Ordug ist. Ebeso ka ma achreche, dass die Ordugsaxiome O) ud O) erfüllt sid. Damit erhält ma, dass C/, +, ) ei ageordeter Körper ist. Ma ka r Q mit der Äquivalezklasse [r, r, r,... )] idetifiziere. I diesem Sie ist Q Teilkörper vo C/. Formal betrachtet ma wieder die ijektive Abbildug i : Q C/, r [r, r, r,... )]. Es gilt für r, s Q da, dass ir + s) ir) + is), ir s) ir) is) ud r s ir) is). Schließlich zeigt ma da, dass C/, +, ) vollstädig ist. Dies ka ma beispielsweise tu, idem ma Folgedes zeigt: Jede Cauchyfolge i C/, +, ) ist koverget. I C/, +, ) gilt das Archimedische Axiom. Ei ageordeter Körper, i dem das Archimedische Axiom gilt ud i dem jede Cauchyfolge kovergiert, ist vollstädig. Wir verzichte hier auf die Eizelheite..4 Limes superior ud iferior sowie ueigetliche Grezwerte Sei a ) eie beschräkte reelle Zahlefolge. Für N sei A : {a k : k }. Da ist A beschräkt ud damit existiert sup A. Ist m, so gilt A

12 .4 Limes superior ud iferior sowie ueigetliche Grezwerte 4 A m ud damit sup A sup A m. Die Folge sup A ) ist also mooto falled. Außerdem ist sie beschräkt. Deshalb ist sie ach Satz.3. koverget ud es gilt lim sup A if N sup A if N sup k a k. Defiitio.4. Sei a k ) reelle Zahlefolge. Da heiße Limes superior ud lim sup a : if lim if sup a k N k a : sup if a k N k Limes iferior vo a ), falls die Suprema ud Ifima rechts existiere. Statt lim sup schreibt ma auch lim ud statt lim if schreibt ma auch lim. Aus de obige Überleguge folgt, dass Limes superior ud iferior immer existiere, we a ) beschräkt ist. Umgekehrt sieht ma sofort, dass aus der Existez des Limes superior die Beschräktheit vo a ) ach obe ud aus der des Limes iferior die Beschräktheit ach ute folgt. Wege lim sup a lim sup A, lim if a lim if A ud if A sup A für alle N folgt mit Satz..4, dass gilt. lim if a lim sup a Satz.4. Eie reelle Zahlefolge a ) ist geau da koverget, we der Limes superior ud iferior beide existiere ud de gleiche Wert habe. Beweis.. Sei a : lim a ud ε > 0. Da existiert N N mit a a < ε für N. Es folgt a ε < a < a + ε für N ud damit a ε < if k N a k sup k N a k < a + ε. Damit gilt a ε < sup N if k a k lim if a lim sup a if N sup k a k < a + ε.. Sei lim if a lim sup a a ud ε > 0. Da existiert N N mit a ε < if k a k sup k a k < a + ε für N. Es folgt a ε < a < a + ε ud damit a a < ε für N. Satz.4. Sei a ) eie beschräkte reelle Zahlefolge ud sei H die Mege der Häufugswerte vo a ). Da ist H ud es gilt lim sup a max H ud lim if a mi H. Beweis. Es geügt, lim sup a max H zu zeige. Sei wieder A : {a k : k } ud damit a : lim sup a lim sup A. Wir zeige zuächst, dass a H. Aufgrud der Bemerkug ach Defiitio.3. habe wir Folgedes zu zeige: ε > 0 N N k N : k N a k a < ε. Sei also ε > 0 ud N N. Zuächst existiert N N mit sup A a < ε für N. Sei u max{n, N }. Nach Satz.7.4 existiert x A mit

13 4 FOLGEN UND REIHEN x > sup A ε, das heißt, es existiert k N mit a k > sup A ε. Wege a k sup A ist also sup A a k < ε. Es folgt a k a a k sup A + sup A a < ε + ε ε. Also gilt a H. Wir zeige u, dass a max H. Sei dazu b H. Wir habe zu zeige, dass b a gilt. Wir ehme a, dass b > a gilt. Da ist ε : b a > 0. Wieder existiert N N mit sup A a < ε für N. Außerdem existiert k N mit k N ud a k b < ε. Es folgt ε b a b a k + a k a b a k + sup A k a < ε + ε ε, was ei Widerspruch ist. Wir erweiter u R durch hizufüge zweier Elemete gelegetlich auch mit + bezeichet) ud zu eier Mege R, also R R {, }. Die Ordug auf R erweiter wir zu eier Ordug auf R, idem wir < x ud x < für x R ud außerdem < setze. Ma rechet leicht ach, dass R, ) geordete Mege ist. Es ist dabei jede Teilmege vo R beschräkt, de ist immer obere ud ist immer utere Schrake. Außerdem ist die geordete Mege R, ) ordugsvollstädig. Um dies eizusehe, bezeiche wir vorübergehed) das Supremum i R, ) mit sup R ud das i R, ) mit sup R. Sei u A R. Es zeigt sich da, dass sup R A falls A oder falls A R icht ach obe beschräkt ist, ud dass sup R A sup R A R) falls / A ud A R icht leer ud ach obe beschräkt ist. Im verbleibede Fall ist / A ud A R, also A { } oder A, ud es folgt sup A. Aalog lässt sich auch das Ifimum vo Teilmege vo R kezeiche. Wir halte also fest, dass jede Teilmege vo R ei Supremum ud ei Ifimum bzgl. der geordete Mege R, )) besitzt. Nach Defiitio.4. ud Satz.4. sid Limes superior, Limes iferior ud Grezwert eier reelle Zahlefolge Suprema ud Ifima gewisser Teilmege vo R. Wir ehme u diese Suprema ud Ifima bzgl. der geordete Mege R, ). Es folgt, dass Limes superior ud Limes iferior da für jede reelle Zahlefolge ud sogar für jede Folge ach R) existiere, möglicherweise aber de Wert oder habe. Gilt für eie reelle Zahlefolge a ), dass lim if a ud damit auch lim sup a ), so schreibe wir auch lim a ud ee a ) bestimmt diverget gege. Aalog defiiert ma bestimmte Divergez gege. Ma bezeichet ud auch als ueigetliche Grezwerte. Beispiel. Sei a. Da ist lim a, de mit A : {a k : k } ist if R A if R A ud folglich lim if a sup R {if R A : N} sup R N. Beispiel. Sei a ). Da ist A : {, } für alle N. Hieraus folgt, dass lim sup a ud lim if a.

14 .5 Die allgemeie Potez 43.5 Die allgemeie Potez I Defiitio.8. hatte wir die Potez a r für a R + ud r Q erklärt. Wir wolle dies jetzt für r R tu. Eie Möglichkeit dafür wurde bereits im Aschluss a Satz.8.6 agegebe, aber wir beschreite jetzt eie adere Weg. Hilfssatz.5. Sei r ) eie Folge ratioaler Zahle mit r 0 ud sei a R +. Da gilt a r. Beweis. Ohe Eischräkug der Allgemeiheit ka ma a > aehme. Sei ε R +.Wege a /k für k vgl. Beispiel ach Satz..5) existiert K N mit a /k < ε ud a /k /k a) < ε für k K. Weiter existiert N N mit r < für N. Es folgt ε < K a /K < a r < a /K < ε, also a r < ε, für N. Hilfssatz.5. Sei r ) eie Folge ratioaler Zahle ud sei a R +. Kovergiert r ), so kovergiert auch a r ). Dabei hägt lim a r ur vo r : lim r ab ud es gilt lim a r a r falls r Q Beweis. Ohe Eischräkug der Allgemeiheit ka ma wieder a > aehme. Sei s ) eie mooto fallede Folge mit s r. Die Existez eier solche Folge ka ma aus Satz.8.4 ableite, welcher besagt, dass Q dicht i R ist.) Sei m Z mit m r. Da gilt s r m für alle N ud damit a s a m ach Satz.8.6. Folglich ist a s ) ach ute beschräkt. Außerdem ist a s ) ach Satz.8.6 mooto falled, ud damit ach Satz.3. koverget. Sei u r ) eie Folge ratioaler Zahle mit r r. Da gilt r s 0, ach Hilfssatz.5. also a r s. Wege a r a s+r s a s a r s ist da auch a r ) koverget ud hat de gleiche Grezwert wie a s ). Ist r Q, so ka ma s r für alle N wähle, ud damit ist a r der gemeisame Grezwert vo a r ) ud a s ). Defiitio.5. Sei a R + ud r R. Da setze wir a r : lim a r, wobei r ) eie ratioale Zahlefolge mit r r ist. Hilfssatz.5. zeigt, dass a r wohldefiiert ist ud im Beweis wurde bemerkt, dass eie Folge r ) mit de gewüschte Eigeschafte für jedes r R existiert). Aus dieser Defiitio folgt umittelbar, dass die i Satz.8.6 formulierte Potezgesetze auch für reelle Expoete richtig bleibe. Ebeso bleibe auch die Behauptuge der obige Hilfssätze richtig, we ma r, r R zulässt..6 Reihe Defiitio.6. Sei N N ud a ) N Zahlefolge. Die durch s : kn a k defiierte Folge s ) N heißt die zu a ) gehörige uedliche) Reihe. Sie wird mit N a oder auch a bezeichet. Die Reihe heißt koverget, we die Folge s ) kovergiert. I diesem Fall heißt der Grezwert vo s ) die Summe der Reihe a. Gilt lim s s, so schreibt ma N a s. Reihe, die icht kovergiere, heiße diverget ud bei Existez des ueigetliche Grezwertes oder auch bestimmt diverget). Die Folge s ) heißt auch Folge der Partialsumme oder Teilsumme) der Reihe a.

15 44 FOLGEN UND REIHEN Wir bezeiche mit N a bzw. a also sowohl die Reihe selbst, wie auch im Kovergezfall ihre Summe. Das sollte im allgemeie aber icht zu Verwechsluge führe. Beispiel. Sei q C. Wir betrachte die Reihe 0 q. Es ist also a q. Diese Reihe heißt geometrische Reihe. Fall. q. Da gilt a ud s +. Die Reihe ist bestimmt) diverget. Fall. q. Es gilt s, de q) q k qk q+ q q)q k q k q k+ q + q q + q q q q + q +. Wege q + 0 für q < folgt, dass q k q für q <, d. h., die Reihe kovergiert für q < ud ihre Summe ist q. Für q divergiert die Reihe. Da Reihe ach Defiitio also ichts aderes als Folge sid, habe Sätze über Folge Aaloga für Reihe. Aus Satz.., i), erhält ma z. B., dass aus der Kovergez vo a ud b die vo a +b ) folgt, ud dass für die Summe a + b ) a + b gilt. Aalog überträgt sich Satz.., iii). Satz.6. Sei a eie Reihe ichtegativer reeller Zahle, d. h., es gelte a 0 für alle. Da kovergiert a geau da, we die Folge der Partialsumme beschräkt ist. Beweis. folgt aus Satz.. Kovergete Folge sid beschräkt ), ud folgt aus Satz.3., da die Folge der Partialsumme wege a 0 mooto steiged ist. Satz.6. Cauchyscher Verdichtugssatz) Sei a k ) k N eie mooto fallede Folge ichtegativer reeller Zahle. Da kovergiert k a k geau da, we k a k kovergiert.

16 .6 Reihe 45 Beweis. Mit s k a k ist s + a + a + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 + a a + a + a + a + a 4 + a 4 + a 4 + a 4 + a 8 + a a k a k a + a + a + a 3 + a 3 + a 4 + a 4 + a 5 + a a s a s. Die Behauptug folgt mit Satz.6.. Beispiel. Sei α > 0 ud a. Da sid die Voraussetzuge vo Satz.6. α erfüllt ud damit ist geau da koverget, we α k k ) α k α) ) α k kovergiert. Dies ist aber die geometrische Reihe, ud diese kovergiert geau da, we α <, also we α > gilt. Isgesamt kovergiert also für α >, ud divergiert für 0 < α. α Isbesodere divergiert die sogeate harmoische Reihe Satz.6.3 Leibizkriterium) Sei a k ) k N eie mooto fallede Folge positiver reeller Zahle mit lim k a k 0. Da kovergiert k )k+ a k. Für die Folge s ) der Partialsumme gilt dabei für N. s ) k+ a k s k Beweis. Es ist s + s ) + a + + ) + a a + a 0 für N, also ist s ) mooto falled. Aalog ist s ) mooto steiged. Außerdem gilt s s ) + a a < 0 ud damit s s < s s. Nach Satz.3. kovergiere damit die Folge s ) ud s ), ud wege s s a 0 habe sie de gleiche Grezwert. Daraus folgt die Behauptug. Beispiel. ) ist koverget. Für die Summe s gilt 3 s s s. Tatsächlich gilt e s, ud es ist s 0, ) Satz.6.4 Cauchykriterium für Reihe) Eie Reihe kk a k kovergiert geau da, we für alle ε R + ei N N mit N K existiert, so dass für alle m, N mit > m N die Ugleichug km+ a k < ε gilt, d. h., falls ε R + N K m, N : > m N a k < ε. km+.

17 46 FOLGEN UND REIHEN Beweis. Wege s s m km+ a k folgt die Behauptug aus Satz.3.5. Satz.6.5 Kovergiert kk a k, so gilt lim k a k 0. Beweis. Ma wähle m + im Cauchykriterium. Die harmoische Reihe zeigt, dass i Satz.6.5 icht die Umkehrug gilt..7 Absolute ud bedigte Kovergez Defiitio.7. Eie Reihe a heißt absolut koverget, we a kovergiert. Satz.7. Absolut kovergete Reihe sid koverget. km+ a k umittelbar aus dem Cauchy- Der Beweis folgt wege kriterium. km+ a k Die Umkehrug des Satzes gilt icht. So ist ) + absolut koverget. Wir betrachte dieses Beispiel geauer: koverget, aber icht s s s Es zeigt sich, dass i der Reihe für 3s dieselbe Folgeglieder auftrete wie i der Reihe für s, aber i aderer Reihefolge. Defiitio.7. Sei ν : N N bijektiv ud sei k a k eie Reihe. Da heißt die Reihe k a νk) eie Umordug der Reihe k a k. Eie Reihe heißt ubedigt koverget, we jede ihrer Umorduge kovergiert, ud zwar zur selbe Summe. Eie kovergete, aber icht ubedigt kovergete Reihe heißt bedigt koverget. Satz.7. Absolut kovergete Reihe sid ubedigt koverget. Bemerkug. Es gilt auch die Umkehrug. Beweis vo Satz.7.. Sei k a k absolut kovergete Reihe ud sei k a νk) eie Umordug der Reihe. Sei s k a k ud sei t k a νk). Da ist s ) koverget, ud wir müsse zeige, dass t ) ebefalls koverget ist ud deselbe Grezwert hat. Dazu reicht es zu zeige, dass t s 0.

18 .7 Absolute ud bedigte Kovergez 47 Sei ε R +.Wege der absolute Kovergez ud aufgrud des Cauchykriteriums existiert N N mit m+ a k < ε für > m N. Weiter existiert M N mit M > N ud ν{,,..., M}) {,,..., N}. Für M folgt da t s a νk) a k k k a k a k k ν{,,...,}) k a k k ν{,,...,})\{,,...,n} max ν{,,...,}) < ε. kn+ a k kn+ a k Satz.7.3 Seie a k ud b k absolut kovergete Reihe mit Summe a ud b. Da ist die aus alle Produkte a j b k, j, k N 0, gebildete Reihe absolut koverget ud ihre Summe ist ab. Eie etwas formalere Fassug der Behauptug des Satzes ist folgede: ist φ : N 0 N 0 N 0 eie Bijektio ud ist p : a j b k falls φ) j, k), so ist 0 p koverget mit 0 p ab. Beweis vo Satz.7.3. Seie φ ud p wie obe, mit φ) φ ), φ )) für N. Für i {, } ud N sei M i, : max φ i {,,..., }). Da ist p l l0 a φ l) b φ l) l0 M, M, j0 M, j0 a j b k ) M, ) a j b k ) ) a j b k. j0 Also kovergiert 0 p ach Satz.7.. Es reicht u, 0 p ab für eie Summatiosreihefolge d. h., für eie Fuktio φ) zu zeige. Dazu betrachte wir die im folgede Diagramm agedeutete Summatiosreihefolge:

19 48 FOLGEN UND REIHEN Es gilt da a 0 b 0 a 0 b a 0 b a 0 b 3 a 0 b4 a b 0 a b a b a b 3 a b 4 a b 0 a b a b a b 3 a b 4 a 3 b 0 a 3 b a 3 b a 3 b 3 a 3 b 4 a 4 b 0 a 4 b a 4 b a 4 b 3 a 4 b 4 +) ud damit p k ab. ) ) p k a j b k ab j0 Eie adere wichtige Summatiosreihefolge wird durch die folgede Defiitio gegebe. Defiitio.7.3 Seie a k ud b k Reihe. Für N 0 sei c : a kb k. Da heißt 0 c Cauchyprodukt der Reihe a k ud b k. Nach Satz.7.3 ist das Cauchyprodukt zweier absolut kovergeter Reihe ebefalls absolut koverget. Darüberhiaus ka ma zeige, daß das Cauchyprodukt auch da kovergiert, ud zwar zur richtige Summe, we ur eie der beide beteiligte Reihe absolut kovergiert ud die adere ur im gewöhliche Sie kovergiert..8 Kriterie für absolute Kovergez Satz.8. Vergleichskriterium) Seie N a ud N b Reihe. i) Existiert M N mit a b für M ud ist N b koverget, so ist N a absolut koverget. ii) Existiert M N mit 0 b a für M ud ist N b diverget, so ist N a diverget. I i) ka a komplex sei, i ii) muss a reell sei. Sowohl i i) wie i ii) ist b reell. Ma et i) Majoratekriterium ud ii) Mioratekriterium. Beweis. i). Mit s km a ud t km b ist s t für M. Kovergiert N b, so ist auch t ) k M koverget ud folglich beschräkt. Damit ist s ) k M beschräkt, also koverget, ud damit auch N a koverget. Der Beweis vo ii) ist aalog. Beispiel. Sei a : i 5 )

20 .8 Kriterie für absolute Kovergez 49 für N. Da gilt a Da + 3/ ) 3 + 4i 5 + ) kovergiert, ist auch a absolut koverget. Satz.8. Wurzelkriterium) Sei N a Reihe. 3/. i) Existiert q [0, ) ud M N mit a q für M, so ist N a absolut koverget. ii) Ist a für uedlich viele, so ist N a diverget. Bemerkug. Die Voraussetzug i i) ist äquivalet zu lim sup a <, ud die Voraussetzug i ii) ist erfüllt, falls lim sup a >. Beweis vo Satz.8.. i). Aus a q folgt a q, ud damit folgt die Behauptug aus dem Vergleichskriterium, da die geometrische Reihe q für 0 q < kovergiert. ii). Aus a folgt a. Gilt dies für uedlich viele, so ist a ) keie Nullfolge, ud damit die Reihe a diverget ach Satz.6.5. Beispiel. Sei für N. Da gilt a i + a : +) ) i ) +) + ) + + Wege e < folgt, dass N a absolut koverget ist. + ) + e. Satz.8.3 Quotietekriterium) Sei N a Reihe. i) Existiert q [0, ) ud M N mit a 0 ud a + a q für M, so ist N a absolut koverget. ii) Existiert M N mit a 0 ud diverget. a + a für M, so ist N a Bemerkug. Es gelte a 0 für M. Die Voraussetzug i i) ist da äquivalet zu lim sup + a a <, ud die Voraussetzug i ii) ist erfüllt, falls lim if a + a >. Beweis vo Satz.8.3. i). Es ist a q a q a q M a M q q M a M für M. Die Behauptug folgt aus dem Vergleichskriterium.

21 50 FOLGEN UND REIHEN ii) Aalog zu i) folgt a a M für M. Damit ist a ) keie Nullfolge, also a diverget. Beispiel. Sei a : 7 3 ) 7 )!! 3)! für N. Da gilt a + a 7+ + )! + )! 3)! 3 + 3)! 7 )!! ) + ))! + )! 3 + 3)3 + )3 + )3)! 7 + ) + ) + ) 3 + 3)3 + )3 + ) 7 + ) + ) + ) 3 + 3)3 + )3 + ) 7 ) ) ) ) ) ) Wege 8 7 > divergiert die Reihe a..9 Potezreihe 3)! 7 )!! Defiitio.9. Eie Reihe der Form 0 a z z 0 ), mit z, z 0 C ud eier Folge a ) komplexer Zahle, heißt Potezreihe. Ist z 0 ud a ) gegebe, so stellt sich die Frage, für welche z C die Reihe kovergiert. Dies wird weitgehed durch de folgede Satz geklärt. Satz.9. Sei 0 a z z 0 ) Potezreihe. Es sei l : lim sup a ud r : falls l R l +, r : 0 falls l ud r : falls l 0. Da kovergiert die Potezreihe absolut falls z z 0 < r ud sie divergiert falls z z 0 > r Beweis. Sei b : a z z 0 ). Da ist b a z z 0. Hieraus ergibt sich lim sup b l z z 0. Die Behauptug folgt jetzt aus dem Wurzelkriterium. Bemerkug. Ist 0 < r <, so kovergiert die Potezreihe ierhalb eies Kreises vom Radius r um z 0, ud sie divergiert außerhalb dieses Kreises. Daher et ma das i Satz.9. defiierte r de Kovergezradius der Potezreihe. Bemerkug. Satz.9. macht keie Aussage für de Fall, dass z z 0 r. Hier ist i der Tat alles möglich, wie die folgede Beispiele belege:

22 .9 Potezreihe 5 i) z, also z 0 0, a für N ud a 0 0. Es gilt l lim sup a lim sup ud damit r. Damit liegt absolute) Kovergez für z < ud Divergez für z > vor. Für z liegt Divergez vor, für z Kovergez. ii) z. Wieder gilt r, aber diesmal liegt Kovergez für alle z C mit z vor. iii) z. Wieder gilt r, aber jetzt liegt Divergez für alle z C mit z vor. Satz.9. Sei 0 a z z 0 ) Potezreihe mit Kovergezradius r. Existiert der a möglicherweise ueigetliche) Grezwert lim, a + so gilt r a lim. a + Der Beweis ist aalog zum Beweis vo Satz.9., wobei ma statt des Wurzelkriteriums aber jetzt das Quotietekriterium verwedet. Beispiel. Sei a : a für N! 0. Da gilt lim a + +)! lim! lim +. Es folgt, dass die Potezreihe 0! z für alle z C kovergiert. Ei Nebeergebis ist, dass lim!. Defiitio.9. Die durch expz) : 0! z defiierte Fuktio exp : C C heißt Expoetialfuktio. Gemäß obigem Beispiel kovergiert die Reihe für alle z C. Statt expz) schreibt ma auch exp z. Satz.9.3 Für z, w C gilt expz + w) expz) expw). Beweis. Es gilt expz) expw) Cauchy Prod.! z 0 0 ) 0 )! w ) k! zk k)! w k 0 ) )z k w k! k 0 z + w)! expz + w). Folgerug.9. Sei z C ud Z. Da gilt: i) exp z), isbesodere also exp z 0. exp z ii) expz) exp z).

23 5 FOLGEN UND REIHEN Ma erhält hier i) wege exp z) exp z exp z + z) exp0), ud auch ii) folgt leicht. Satz.9.4 Für z C gilt exp z lim + z ). Beweis. Es reicht zu zeige, dass für. Nu gilt für, dass k! zk + ) z k! k k! Beroulli Hieraus folgt die Behauptug. k! zk + ) z 0 k k k k k k! zk k! k! k! k! k ) z k! k)! k ) k ) z k ) k + ) k ) ) k k + z k k ) ) k z k k k )) z k kk ) z k k )! z k z j! z j j0 z exp z. ) z k Abbildug 3 zeigt de Graphe der auf ei Itervall eigeschräkte) Expoetialfuktio sowie die Graphe vo x k! xk ud x + ) x für 3. Statt exp R schreibe wir ur exp ud ee auch die eigeschräkte Fuktio wieder Expoetialfuktio. Eie etsprechede Kovetio wird auch für i spätere Abschitte eigeführte Fuktioe wie Sius ud Cosius gelte.) Folgerug.9. exp e.

24 .9 Potezreihe Abbildug 3: Die Expoetialfuktio ud approximierede Polyome. Dabei ist e lim + ), die i.3 defiierte Eulersche Zahl. Satz.9.5 Für x R gilt exp x e x. Aufgrud dieses Satzes setzt ma e z : exp z für z C. ) q ) Beweis vo Satz.9.5. Für p Z ud q N ist exp q exp q q exp e, also exp q e/q ud damit exp p q exp q) p e /q ) p e p/q. Daraus folgt die Behauptug für alle r Q. Ist u r R, so wähle ma eie Folge r ) ratioaler Zahle mit r r. Es gilt da ach Defiitio vo e r, dass e r e r. Ählich ka ma ud werde wir später) zeige, dass auch exp r exp r gilt. Hieraus folgt da die Behauptug. Wir verzichte jetzt auf die Details. Satz.9.6 e ist irratioal. Beweis. Wir ehme a, dass e ratioal ist, etwa e p q mit p, q N. Da ist also q )!p q!e q! S : kq+ Dies steht im Widerspruch zu S < k! q! q k! q! k! + q! q k! q )!p q! k! N. q + + q + )q + ) + q + + q + ) + q + ) j q + j0 q + kq+ q! k!, q + )q + )q + 3) +... )

25 54 3 STETIGKEIT UND GRENZWERTE VON FUNKTIONEN q + q+ q. 3 Stetigkeit ud Grezwerte vo Fuktioe 3. Stetigkeit Defiitio 3.. Seie M, N C ud sei f : M N eie Fuktio. Sei ξ M. Da heißt f stetig eglisch: cotiuous) i ξ, falls für jede Folge x ) i M mit x ξ gilt, dass fx ) fξ). Für A M heißt f stetig i A, falls f stetig i jedem Pukt vo A ist. Schließlich heißt f stetig, we f stetig i M ist. Es geügt atürlich im folgede, de Fall N C zu betrachte. Aus de Sätze aus. erhält ma umittelbar die folgede Regel: Sid f, g : M C stetig i ξ M), so sid auch f + g, f g ud mit c C auch c f stetig i ξ). Falls gξ) 0, so ist auch die i M\g 0) defiierte) Fuktio f stetig i ξ. g f ist stetig i ξ) geau da, we Re f ud Im f stetig i ξ) sid. Die durch z z ud z z defiierte Fuktioe sid stetig. I.5 wurde gezeigt, dass für a R + die durch x a x defiierte Fuktio vo R ach R + stetig ist. Offesichtlich ist für M C auch die Fuktio id M stetig. Satz 3.. Seie M, N, P, Q C mit N P ud seie g : M N stetig i ξ M) ud f : P Q stetig i gξ) gm) N P ). Da ist f g stetig i ξ). Beweis. Sei x ) Folge i M mit x ξ. Da g stetig, folgt gx ) gξ). Nu ist aber gx )) Folge i P ud damit folgt aus der Stetigkeit vo f i gξ), dass fgx )) fgξ)), also f g)x ) f g)ξ). Beispiele.. Die Fuktio f : C C, z z + z ist stetig. De die Fuktioe f : id C, f : C C, f z) z, ud f 3 : C C, f 3 z) z, sid alle stetig ud damit auch f f, f f + f ud f f 3 f f + f ).. Die Fuktio f : R + R, fx) x 3 x 4 7 e x 9x) +, ist stetig, da sie durch Verküpfuge wie +,,,... aus stetige Fuktioe aufgebaut ist. Ma beachte, dass der Neer keie Nullstelle hat.)