Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. A. Mentzendorff Geändert: August 2008

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1 A. Metzedorff Geädert: August 008 Folge ud Reihe Ihaltsverzeichis Folge. Der Folgebegriff Arithmetische ud geometrische Folge Mootoe ud beschräkte Folge Grezwerte Häufugspukte Grezwertsätze ud weitere Sätze Reihe 3. Das Summezeiche Der Begriff der Reihe Kovergez vo Reihe

2 Folge. Der Folgebegriff Defiitio.: a Es sei N N. Eie Zuordug (a 0 N : {0,,..., N} R (oder (a : {,, 3..., N} R heißt edliche Folge. b Eie Zuordug (a N : N R bzw. (a N : N R heißt (uedliche Folge. Schreibweise: Für (a N bzw. (a N schreibt ma kurz (a. Beispiel.: a Durch a := 4, a := 7, a 3 :=, a 4 := ist eie edliche Folge gegebe. b Durch a := ( N ist die Folge der Quadratzahle mit de erste Folgeglieder 0,, 4, 9, 6,... gegebe. c Durch a := 5 ( N ist eie kostate Folge (5, 5, 5, 5,... gegebe (s. u.. d Durch a := ( N ist die Folge,, 4, 8, 6,... gegebe. e Durch a := ( ( N ist eie alterierede Folge (,,,,... gegebe. f Durch a := ( N ist die Folge,, 3, 4,... gegebe. Bemerkug. (rekursive Defiitio: Ma ka Folge rekursiv defiiere: Ma legt das erste Folgeglied (oder die erste Folgeglieder fest ud gibt da eie Bildugsvorschrift a, mit der sich die übrige Folgeglieder bereche lasse. Beispiel.: a a 0 :=, a + := a ( N: Es ergibt sich acheiader a = a 0 =, a = a = 4, a 3 = a = 8 usw. Das ist geau die Folge (a aus Beispiel. d. b Durch a 0 :=, a + := ( + a ( N wird eie Folge mit de erste Glieder,,, 3, 3 4,... defiiert. Schreibweise: a =:! ( Fakultät. c Durch a 0 :=, a :=, a + := a + a (jedes Folgeglied ist die Summe seier beide Vorgäger wird die so geate Fiboacci-Folge mit de erste Folgeglieder,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,... defiiert.. Arithmetische ud geometrische Folge Defiitio.: Eie Folge (a : N R heißt kostat, we es ei c R gibt mit a = c für alle N. Defiitio.3: Eie Folge (a : N R heißt arithmetisch, we es eie Zahl d R gibt, so dass gilt: a + = a + d für jedes N. Beispiel.3: Jede kostate Folge ist arithmetisch, de für jedes N gilt a + = a + 0. Beispiel.4: Die durch a 0 = 7 ud a + = a 4 gegebee Folge mit de erste Folgeglieder 7, 3,, 5, 9 ist arithmetisch. Satz.: Für eie Folge (a : N R ud für d R sid die folgede Aussage äquivalet: Leoardo vo Pisa, geat Fiboacci, italieischer Mathematiker, um

3 . (a ist arithmetisch mit a + = a + d.. Für alle N gilt a = a 0 + d. Beweis: : Nach Voraussetzug köe wir a + a = d für alle N setze. Wir beweise die Behauptug durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Offebar gilt a 0 = a Iduktiosschluss: Für ei N gelte a = a 0 + d. Wir zeige daraus a + = a 0 + d ( +. a + = a + d Id.-Vor. = a 0 + d + d = a 0 + d ( +, was zu beweise war. : a + = a 0 + d( + = (a 0 + d + d = a + d. Beispiel.4 (Fortsetzug: Für die besagte Folge gilt a = 7 4. Satz.: Für eie Folge (a : N R sid die folgede Aussage äquivalet:. (a ist arithmetisch.. Für ist jedes Folgeglied a das arithmetische Mittel vo Vorgäger ud Nachfolger, d. h. es gilt a = a + a +. Defiitio.4: Eie Folge (a : N R heißt geometrisch, we es eie Zahl q R gibt, so dass gilt: a + = q a für jedes N. Beispiel.5: a Jede kostate Folge ist geometrisch, de für jedes N gilt a + = a. b Die Folge 6, 0, 0, 0, 0,... ist geometrisch mit q = 0. Beispiel.6: a Die durch a 0 = 3 ud a + = a gegebee Folge mit de erste Folgeglieder 3, 6,, 4, 48 ist geometrisch mit q =. b Die durch a 0 = 0,4 ud a + = a 0 gegebee Folge mit de erste Folgeglieder 0,4, 0,04, 0,004, 0,0004 ist geometrisch mit q = 0. c Die durch a 0 = ud a + = a gegebee Folge mit de erste Folgeglieder,,, 4, 8 ist geometrisch mit q =. Satz.3: Für eie Folge (a : N R ud für q 0 sid die folgede Aussage äquivalet:. (a ist geometrisch mit a + = a q.. Für alle N gilt a = a 0 q. Beweis: : Vollstädige Iduktio: Iduktiosafag: a 0 = a 0 q 0. Iduktiosschluss: Zu zeige a = a 0 q a + = a 0 q +. a + = a q Id.-Vor. = a 0 q q = a 0 q +, was zu beweise war. : a + = a 0 q + = (a 0 q q = a q für alle N. 3

4 Beispiel.6 (Fortsetzug: a a = 3, b a = 0,4 0, = 0,4 0, c a = (. Beispiel.7 (Ziseszis: Ei am. Jauar agelegtes Kapital vo K 0 = 000 (i wird mit dem feste Zissatz vo 3 % verzist. Nach eiem Jahr ist es auf K = , = 030, ach zwei Jahre auf K = , = 060,90. Vo Rudugsfehler abgesehe ist die Folge (K geometrisch, de es gilt K + = K + 0, 03 K = ( + 0, 03K =, 03K. Nach Satz 3 gilt folglich K = 000,03. Beispiel.8 (radioaktiver Zerfall: Plutoium 43 ist radioaktiv, d. h. städig zerfalle Atome des Elemets. Ageomme, zu Begi der Beobachtugszeit läge eie Probe vo 0 mg vor. Köte ma i de folgede Tage die Masse des och übrige Plutoiums bestimme, so ergäbe sich folgede Tabelle: Zahl der vergagee Tage Masse m (i mg 0 8,69 7,56 6,57 5,7 4,97 4,3 3,76 Ma stellt fest, dass der Ateil der Masse im Vergleich zur Vortagesmasse (im Rahme der Rudugsgeauigkeit immer dieselbe ist, d. h. es gilt 8,69 0 7,56 8,69 6,57 7,56 0, 87. Es zerfalle damit jede Tag 3 % des Stoffes, währed 87 % übrig bleibe. (m ist somit eie geometrische Folge, ud es gilt m = 0 0,87. Satz.4: Für eie Folge (a : N R mit a > 0 ( N sid die folgede Aussage äquivalet:. (a ist geometrisch mit q > 0.. Für ist jedes Folgeglied a das geometrische Mittel vo Vorgäger ud Nachfolger, d. h. es gilt a = a a +..3 Mootoe ud beschräkte Folge Defiitio.5: a Eie Folge (a heißt mooto wachsed (falled, we für alle N gilt a + a (a + a. b Eie Folge (a heißt streg mooto wachsed (falled, we für alle N gilt a + > a (a + < a. c Eie Folge heißt (streg mooto, we sie (streg mooto wachsed oder falled ist. Beispiel.9: Die Folge (a mit a := wird auf Mootoie utersucht. Wir betrachte die Differez aufeiader folgeder Folgeglieder: a + a = 0 + 5( + (0 + 5 = = 5 > 0, die Folge ist damit streg mooto wachsed. 4

5 Beispiel.0: Für die Folge (a mit a := ( gilt: a + a = ( + ( = = = < 0, die Folge ist damit streg mooto falled. Beispiel.: Die Folge (a mit a := ( (vgl. Beispiel.6 c ist wege a 0 > a ud a < a icht mooto. Defiitio.6: a K R heißt obere Schrake eier Folge (a, falls für alle gilt a K. Eie uedliche Folge heißt ach obe beschräkt, we sie eie obere Schrake besitzt. b k R heißt utere Schrake eier Folge (a, falls für alle gilt a k. Eie uedliche Folge heißt ach ute beschräkt, we sie eie utere Schrake besitzt. c Eie uedliche Folge heißt beschräkt, we sie ach obe ud ach ute beschräkt ist. Beispiel.: (a mit a := ( N ist beschräkt wege 0 (ach Skript Zahlebereiche, Satz.7 e. für alle N Beispiel.3: Die Folge ( ist icht beschräkt. Begrüdug: Mit vollstädiger Iduktio zeigt ma >. Sei K R. Nach dem Satz des Archimedes gibt es ei 0 N mit 0 > K, also isbesodere 0 > K. Also ka K icht obere Schrake vo ( sei..4 Grezwerte Beispiel.4: Gegebe ist die Folge (a mit a = ( (. Zeichet ma die erste Folgeglieder auf eier Zahlegerade ei, so stellt ma fest, dass sich die Werte immer mehr der Null äher: 0... a a 3 a 5 a 7 a 6 a 4 a a 9 a 8 Trägt ma die Pukte P ( a i ei Koordiatesystem ei, so stellt ma fest, dass sie sich mit größer werdedem der x-achse äher: y 0 Die Null wird jedoch ie erreicht, de ( = 0 trifft für kei N zu. Defiitio.7: Gegebe sid Zahle g R ud ε R >0. Das Itervall U ε (g := [g ε; g + ε] x x 5

6 heißt ε-umgebug vo g. Beispiel.5: [6,8; 7,] ist die 0,-Umgebug vo 7. Bemerkug.: Nach Skript Zahlebereiche, Satz.9 gilt x U ε (g x g ε. Beispiel.5 (Fortsetzug: Es ist [ 0,; 0,] = U 0, (0. I dieser Umgebug vo 0 liege geau alle Folgeglieder vo (a ab dem 0. Glied, de es gilt a 0 0, ( 0, 0, 0 0. Wir zeige darüber hiaus, dass es für jedes (och so kleie ε > 0 eie Idexzahl 0 gibt, ab der jedes Folgeglied i der ε-umgebug vo 0 liegt. Ählich wie obe reche wir: a 0 ε ( ε ε ε ε. Wähle wir 0 ε (ach dem Satz des Archimedes existiert so ei 0, so gilt für alle 0, dass a i der ε-umgebug vo 0 liegt. (Für ε = 0,003 ist etwa ε 333, 33. Ab dem 334. Folgeglied liege also alle a i U 0,003 (0. Defiitio.8: a Gegebe sid g R ud eie Folge (a. g heißt Grezwert vo (a, we es für jedes ε > 0 ei 0 N gibt, so dass für alle 0 gilt a g ε (bzw. a U ε (g, was dasselbe bedeutet. Schreibweise: g = lim a ( Limes vo a für gege uedlich ; a g ( ( a geht gege g für gege uedlich. b Eie Folge, die eie Grezwert g besitzt, heißt (gege g koverget. Eie icht kovergete Folge heißt diverget. c Eie gege 0 kovergete Folge heißt Nullfolge. Bemerkug.3: Die Defiitio des Grezwertes ka ma auch so formuliere: g ist Grezwert eier Folge (a, we für jedes (och so kleie ε > 0 gilt, dass alle bis auf edlich viele Folgeglieder (kurz: fast alle Folgeglieder i der ε-umgebug vo g liege. Je kleier ε, desto mehr Folgeglieder werde i der Regel außerhalb der ε-umgebug liege. Es dürfe aber stets ur edlich viele sei. Beispiel.6: Die Folge ( ( ist ebeso wie ( (vgl. Beispiel.4 eie Nullfolge. Beispiel.7: Jede kostate Folge ist koverget, ud es gilt lim c = c. Beispiel.8: I der Regel ka ma durch das Bereche vo Folgeglieder zu Vermutuge über das Kovergezverhalte komme. Für a := ( erhalte wir äherugsweise: a 0,5 0,5 0,5 0,065 0,033 0,056 0,0078 0,0039 limes (lat. = Greze, Grezwall. 6

7 Da sich die positive Werte immer mehr der 0 aäher, lässt sich vermute lim a = 0. Wir zeige dies ute i Satz.0. ( 5 0 Für b := ergibt die Tabelle: b 0,5 0,9 0,074 0,0450 0,073 0,0060 0,009 0,0005 Auch bei (b scheit es sich um eie Nullfolge zu hadel. Beim Eisetze größerer Idexwerte erhalte wir jedoch: a 30 =, a 40 65, 38, a , 74. Es hadelt sich um eie divergete Folge, die ab = 5 mooto steigt. Die Kovergez eier Folge ka also icht durch das Eisetze vo Werte, soder ur durch mathematische Beweise gezeigt werde. Beispiel.9: Wir zeige lim = 4. 8 Es sei ε > 0. Wir zeige, dass es ei 0 N gibt, so dass für alle 0 gilt +7 4 ε. Asatz: ε 8 4( ε ε ε ε 8 ε( ε 8 ε 7 4 ε 7. Wähle wir ei 0 mit 0 4 ε 7, so gilt für alle 0 die letzte Ugleichug ud somit auch die erste Ugleichug der Äquivalezkette. Bemerkug.4: Kovergiert (a gege g, so kovergiert auch die um ei Glied verschobee Folge (a + gege g. Beispiel.0: Wege lim = 0 gilt auch lim Satz.5: Jede kovergete Folge ist beschräkt. + = 0, lim + = 0 usw. Beweis: Es sei g Grezwert der Folge (a. Da gibt es ei 0, so dass für alle 0 gilt a [g ; g + ]. Für alle N gilt da (mit Skript Zahlebereiche, Satz.9 mi{a 0,..., a 0, g } a max{a 0,..., a 0, g + }. Satz.6: Jede mootoe ud beschräkte Folge ist koverget. Beweis: Die Folge (a sei mooto steiged. Die Mege aller Folgeglieder M := {a N} ist beschräkt ud besitzt ach dem Vollstädigkeitsaxiom ei Supremum g := sup M. Es sei ε > 0. Da gibt es ei 0 mit a 0 > g ε, de sost wäre g ε auch obere Schrake ud g icht Supremum vo M. Da die Folge mooto steigt, gilt a > g ε für alle 0. Ferer gilt a g für alle N, also isbesodere a U ε (g für alle 0. Damit ist g Grezwert vo (a. Etspreched wird der Beweis für mooto fallede Folge geführt. 7

8 .5 Häufugspukte Beispiel.: Die Folge (( (vgl. Beispiel. e ist icht koverget. Ageomme, sei Grezwert der Folge. Da müsste fast alle Folgeglieder etwa i der 0,5-Umgebug vo ([0,5;,5] liege. i der Tat liege dort auch alle gerade Folgeglieder a 0, a, a 4,..., da diese de Wert aehme. Dies sid zwar uedlich viele Folgeglieder, aber es liege auch uedlich viele Folgeglieder die ugerade außerhalb des Itervalls, da sie de Wert aehme. Das widerspricht aber der Defiitio des Grezwertes, ach der ur edlich viele Folgeglieder außerhalb eier ε-umgebug eies Grezwerts liege dürfe. Aus demselbe Grud ist auch (ud erst recht jede adere Zahl icht Grezwert der Folge. Satz.7: Eie Folge ka höchstes eie Grezwert habe. Beweis: Ageomme, eie Folge (a habe zwei Grezwerte g ud g mit g < g. Wir wähle ε > 0 so klei, dass sich die ε-umgebuge vo g ud g icht überlappe (mit ε = g g 3 ist etwa g + ε = g +g 3 < g +g 3 = g ε. Da g Grezwert vo (a ist, liege ab 0 alle Folgeglieder i U ε (g. Wege U ε (g U ε (g = liege diese Folgeglieder aber alle außerhalb vo U ε (g. Das steht im Widerspruch dazu, dass auch g Grezwert der Folge ist. Defiitio.9: Gegebe sid h R ud eie Folge (a. h heißt Häufugspukt vo (a, we es zu jedem ε > 0 ud zu jedem 0 N ei 0 gibt mit h a ε. Bemerkug.5: Aschaulich bedeutet dies: I jeder ε-umgebug vo h liege uedlich viele Folgeglieder. Aders als beim Grezwert dürfe aber auch uedlich viele Folgeglieder außerhalb liege. Daher ka eie Folge mehrere Häufugspukte habe. Da die Aforderuge a eie Häufugspukt schwächer sid als a eie Grezwert, gilt: Ei Grezwert eier Folge ist zugleich ihr (eiziger Häufugspukt. Beispiel. (Fortsetzug: ud sid die Häufugspukte der Folge ((. Satz.8 (Bolzao-Weierstraß 3 : Häufugspukt. Jede beschräkte Folge besitzt (midestes eie Beweisskizze: Zu eier beschräkte Folge (a defiiere wir die Folge b := sup{a, a +, a +,... }, die ach dem Vollstädigkeitsaxio existiert. Ma zeigt, dass die Folge (b mooto falled ud beschräkt ist. Nach.4 Satz ist (b koverget. Ma zeigt da, dass lim b ei Häufugspukt (der größte der Folge (a ist. Beispiel.: Gegebe ist die Folge (a mit a = ( + ( ( mit de erste Folgeglieder, 3, 4 3, 5 4, 6 5. Es gilt a = +, also a. Die Folge ist also beschräkt. Für die Folge (b aus Satz würde also gelte: b = sup{, 3, 4 3,... } = 3, b = sup{ 3, 4 3, 5 4,... } = 3, b 3 = sup{ 4 3, 5 4, 6 5,... } = 5 4 usw., die erste Glieder wäre also 3, 3, 5 4, 5 4, 7 6, 7 6. Es gilt lim Häufugspukt vo (a (der adere ist. b =. ist der größere Bemerkug.6: Es gibt Folge mit uedlich viele Häufugspukte. Es gibt sogar Folge, die jede reelle Zahl als Häufugspukt besitze. 3 Berhard Bolzao, , ud Karl Weierstraß,

9 .6 Grezwertsätze ud weitere Sätze Defiitio.0: Sid (a ud (b Folge ( N, so heißt (a + b, (a b bzw. (a b die Summe-, Differeze- bzw. Produktfolge vo (a ud (b. Gilt b 0 für alle N, so heißt ( a b Quotietefolge vo (a ud (b. Satz.9 (Grezwertsätze für Folge: Es seie (a ud (b zwei kovergete Folge ud c R. a Da sid auch (a + b ud (a b koverget, ud es gilt lim (a ± b = lim a ± lim b. b Ferer ist auch (a b koverget mit lim (a b = lim a lim b. c Es ist (ca koverget mit lim (ca = c lim a. d Gilt außerdem b 0 ( N ud lim b 0, so ist ( a b koverget mit a lim a lim = b lim b. Beweis: Es seie a = lim a ud b = lim b. Zu a: Es sei ε > 0. Da ist auch ε > 0. Folglich gilt: ˆ Es gibt ei a N, so dass für alle a gilt a a ε, ud ˆ es gibt ei b N, so dass für alle b gilt b b ε. Es sei u 0 := max{ a, b }. Da gelte die beide Ugleichuge für alle 0. Additio der beide Ugleichuge ergibt: a a + b b ε + ε = ε ( 0. Nach der Dreiecksugleichug (Skript Zahlebereiche, Satz.8 c gilt (a + b (a + b = a a + b b a a + b b, woraus folgt (a + b (a + b ε ( 0. Damit ist die Summefolge gege a + b koverget. Aus der Dreiecksugleichug folgt ferer (a b (a b = a a + b b a a + b b = a a + b b, woraus folgt (a b (a b ε ( 0. Damit ist die Differezefolge gege a b koverget. Zu b (Beweisskizze: Nach Satz.5 ist b beschräkt, es gibt also ei K > 0 mit a K ud b K für alle N. Da gibt es zu ε K > 0 ei 0 N mit a a ε K ud b b ε K 9

10 ud damit a b ab = a(b b + (a ab a(b b + (a ab = a b b + a a b ε K K + ε K K = ε. Zu c Für b = c ( N ergibt sich aus b die Behauptug. Zu d (Beweisskizze Ma zeigt zuächst lim folgt ach b die Kovergez vo ( a b = (a b mit b ( a lim = lim a = lim b b a lim = b, worauf hier verzichtet wird. Da b = lim a lim b. Beispiel.3: Für jedes k N gilt lim = 0. k Beweis: Formal mit vollstädiger Iduktio, aschaulich: lim k = lim (... }{{} k Faktore Satz.9 b = lim... lim = = 0. Beispiel.4: Die Folge a = + wird auf Kovergez utersucht. Usiig wäre, die + Gleichug lim lim aufzustelle, da die Folge ( + ud ( diverget sid. Ma ka aber aus dem Quotiete eie Summe bilde: + = lim (+ = + = + + lim = lim + lim = + 0 =. Beispiel.5: Es sei a = +4. Um zu zeige, dass die Folge koverget ist, wird der + Bruch mit dem Term erweitert: a = ( + 4 ( + = Nu sid Zähler ud Neer koverget, ud es gilt lim ( + 4 = lim + lim = 0+0 = 0 ud lim (+ = lim + lim Damit ist auch (a koverget, ud es gilt lim a = 0 = 0. Beispiel.6: Es sei a = Es folgt: + = +0 =. ud damit a = lim a = ( ( 3 + = lim ( lim ( + = 7. 0

11 Beispiel.7: Für a = 3 + gilt a = (3 + ( = + Beim letzte Bruch ist der Neer koverget, aber icht der Zähler. Wäre (a koverget, so würde gelte lim ( + = lim a lim (, was icht sei ka. Also ist (a diverget. Bemerkug.7: Allgemei folgt: Ist a = rk +... s l ei Bruch zweier Polyome mit de +... Grade k ud l ud de Hauptkoeffiziete r 0 ud s 0, so ka ma de Bruch mit l erweiter. Ma erhält dabei als Ergebis: = 0, falls k < l, lim a = r s, falls k = l, existiert icht, falls k > l.. Satz.0: Ist < q <, so ist die geometrische Folge (q gege 0 koverget. Beweis:. Wir zeige, dass (q für 0 q < koverget ist. Durch vollstädige Iduktio zeigt ma 0 < q < ( N, (q ist also beschräkt. Ferer gilt q + q = q (q < 0 }{{}}{{} >0 <0 ud damit ist (q mooto falled. Nach Satz.6 ist (q koverget.. Es gibt also für q > 0 eie Grezwert g := lim q. Für diese gilt g = lim q Bem..6 = lim q+ = lim (qq Satz.9 c = q lim q = q g; aus g = qg ud q < folgt jedoch g qg = 0 g( q = 0 g = 0. }{{} >0 3. Es bleibt der Fall < q < 0. Es sei ε > 0. Nach. gilt lim ( q = 0, es gibt also ei 0 N mit ( q ε. Wege q = ( q ist damit auch lim q = 0. Beispiel.8: Wir utersuche die Folge a := Es gilt a = (3 + 4 = = (3 + 4 (. Damit ist lim a = lim (3 + lim (( = 3 0 = 0. Satz.: Gilt lim a = g mit a 0 ( N ud ist k N, so folgt g 0 ud lim k a = k g. Beweis für k = : Wäre g < 0, so wäre a g ε mit ε = g im Widerspruch zur Kovergez. Es gilt also g > 0 oder g = 0.

12 . Fall: g > 0. Es sei ε > 0. Da ist auch ε g > 0, ud daher gibt es ei 0 N mit a g ε g für alle 0. Damit folgt: a g = ( a g( a + g a + g = a g a + g ε g a + g ε g = ε. g. Fall: g = 0. Für 0 gelte a 0 ε ud damit a ε. Da ist auch a ε (Skript Zahlebereiche, Satz.6 ud damit a 0 ε, woraus die Behauptug folgt. Satz. (Eischachtelugssatz für Folge: Es seie (a, (b ud c Folge mit a b c für alle 0 (für ei 0 N. Ferer seie (a ud (c koverget gege dem gemeisame Grezwert g. Da ist auch (b gege g koverget. Beweis: Es sei ε > 0. Für hireiched großes gilt Aus der Ugleichugskette folgt Damit ist a b c, a g ε, c g ε. a g b g c g. b g c g c g ε ud g b g a a g ε. Auf jede Fall ist aber b g = b g oder b g = g b. I beide Fälle ist also b g ε, was zu beweise war.

13 Reihe. Das Summezeiche Defiitio.: a Für m, N mit m < sei eie edliche Folge a m,..., a gegebe. Da heißt a k := a m + a m+ + + a die Summe über a k vo i gleich m bis. b Wir setze ferer a k := a ud k= a k := 0 für m > (leere Summe. j=3 Beispiel.: 5 k = = 55, 4 j = = 7, (6s +s = 6 + = 6, s= 8 k = 6k + 7k + 8k = k, =6 00 ( r = + ±... = 0. r= Satz.: Es gilt ( + a k = a k + a + ud p p a k + a k = k=+ a k (m p. Beweis: Die erste Gleichug folgt umittelbar aus der Defiitio.. Die zweite Gleichug ist klar für p = ud wird für p > mit vollstädiger Iduktio über p bewiese (Iduktiosafag bei p = +. Satz.: (a k + b k = a k + b k, c a k = c a k, c = c (m + (m. Beweis: Vollstädige Iduktio über, am Beispiel der erste Gleichug gezeigt: m Iduktiosafag: = m: (a k + b k = a m + b m = m a k + m b k. Iduktiosschluss: Es gelte (a k + b k = a k + b k für ei m. Da folgt: + (a k + b k = = = (a k + b k + (a + + b + ach Satz ( ( a k + a + + b k + b + + ach Kommutativ- ud Assoziativgesetz a k + + b k. Für die zweite Formel wird das Distributivgesetz beötigt. 3

14 . Der Begriff der Reihe Defiitio.: a Ist (a k : N R eie Folge, so heißt s := a k die -te Partialsumme oder Teilsumme vo (a k. ( b Die Folge der Partialsumme (s := a heißt Reihe. ( Defiitio.3: Eie Reihe der Form (dk + a 0 heißt arithmetische Reihe. ( Beispiel.: Gegebe ist die arithmetische Reihe (3k 7. Die erste Partialsumme laute s 0 = 7, s = 7 + ( 4 =, s = 7 + ( 4 + ( =, s 3 = 7 + ( 4 + ( + = 0, s 4 = 7 + ( 4 + ( = 5. Allgemei erhält ma (3k 7 = ( (3 7 + ( (3 7 = 3 ( (7 } {{ + 7 }. + Summade Satz.3: Es gilt k = (+. Beweis: Vollstädige Iduktio über : 0 Iduktiosafag: = 0: k = 0 = 0(0+. Iduktiosschluss: Zu zeige: Aus = (+ folgt + k = (+(+. Der Iduktiosbeweis lautet: + k = = = k + ( + = was zu beweise war. ( + ( + ( + + = ( + ( +, + ( + (Iduktiosvoraussetzug ( + + ( + Beispiel. (Fortsetzug: Mit de Sätze.3 ud. folgt (3k 7 = 3 k 7(+ = 3 (+ 7( + = = 3 7. Wie obe ergibt sich etwa s 4 = = 5. Satz.4: Für eie arithmetische Reihe s = a gilt s = + (a 0 + a. Beweis: Es sei a k = dk + a 0. Vollstädige Iduktio über : 0 0+ Iduktiosafag: = 0: (dk + a 0 = d 0 + a 0 = a 0 ; (a 0 + a 0 = a 0. 4

15 Iduktiosschluss: Zu zeige: Aus s = + (a 0 + a folgt s + = + (a 0 + a +. s + = was zu beweise war. + (dk + a 0 = (dk + a 0 + d( + + a 0 = + (a 0 + a + d( + + a 0 (Iduktiosvoraussetzug = ( + (a 0 + (d + a 0 + (d + d + a 0 = ( + (a 0 + d + d( + + a 0 = a 0(( d((( + + ( + = a 0 ( + + d( + ( + Beispiel. (Fortsetzug: s 4 = 4 (3k 7 Defiitio.4: Eie Reihe der Gestalt Reihe. Satz.5: Für q gilt = + (a 0 + d( + + a 0, }{{} a + Satz.3 = 5 ( = 5 ( = 5. ( a 0 q k (a 0, q R heißt geometrische q k = q+. q Beweis: Vollstädige Iduktio über : 0 Iduktiosafag: = 0: q k = q 0 = = q q. Iduktiosschluss: Zu zeige: Aus + q k = q k = q+ q k + q + = q+ q = q+ + ( qq + q q folgt + q k = q+ q. + q + (Iduktiosvoraussetzug = q+ + q + q + q = q+. q Beispiel.3: Für q = ergibt sich speziell k = + etwa für = 7: 7 = = 55 = 8. 5

16 3 Beispiel.4: = k = 3 ( k k=3 k=3 ( 9 Satz. = 3 ( k ( k Satz.5 = 3 ( ( 0 = 3 ( ( ( 0 ( ( 3 = 3 = ( 3 ( Kovergez vo Reihe Beispiel.5: Eie Schecke kriecht eie sekrechte Mauer empor. Am erste Tag schafft sie eie Höhe vo Meter ud bleibt auf der Höhe über Nacht. Am zweite Tag schafft sie ur och die Hälfte, also Meter, am dritte 4 Meter ud so fort, jeweils die Hälfte des Pesums vom vorige Tag. Die Höhe, die die Schecke ach + Tage erreicht hat, wird durch die Partialsummefolge s mit s 0 =, s = +, s = + + 4,..., s = beschriebe. Klar ist, dass die Schecke immer höher kommt. Die Frage ist, ob sie irgedwa jede beliebige Höhe erreicht oder ob sie auch ach lager Zeit eie bestimmte Höhe icht überschreitet. Im letztere Fall wäre die Partialsummefolge (ud damit die Reihe koverget, da sie mooto ud beschräkt ist. Bemerkug.: Defiitiosgemäß ist eie Reihe mooto, beschräkt, koverget bzw. diverget, we die Folge der Partialsumme mooto, beschräkt, koverget bzw. diverget ist. ( Defiitio.5: Ist eie Reihe a k koverget, so setze wir a k := lim a k. Der Grezwert wird auch Summe der Reihe geat. ( ( Satz.6 (Grezwertsätze für Reihe: Sid die Reihe a k ud b k ( ( koverget ud ist c R, so sid auch die Reihe (a k + b k ud ca k koverget, ud es ist (a k + b k = a k + ud ca k = c a k. b k Beweis: Nach Satz. ud de Grezwertsätze für Folge. ( Satz.7 (geometrische Reihe: Gilt < q <, so ist die geometrische Reihe q k koverget, ud es gilt q = q. 6

17 Beweis: Nach Satz.0 gilt lim q = 0 für < q <. Mit 3. Satz 3 ud de Grezwertsätze für Folge schließt ma: lim q k q q = lim q = q lim q q = q 0 q = q. Beispiel.5 (Fortsetzug: Nach Satz.7 gilt lim s = ( = =. Die Schecke wird sich immer weiter der -Meter-Marke äher, diese aber erst i uedlicher Zeit (also ie erreiche, geschweige de überschreite. Beispiel.6: Für de periodische Dezimalbruch 0, 3 = 0, gilt 0, 3 = = 3 ( = ( k Satz.7 = wie ma auch mit dem Tascherecher überprüfe ka. = = = 4 333, Bemerkug.: Allgemei gilt: Ist... r eie edliche Zifferfolge, so gilt 0,... r =... r 0 r, wobei im Zähler die r-stellige Zahl gemeit ist. Damit ist auch gezeigt, dass jeder periodische Dezimalbruch eie ratioale Zahl ist. Satz.8: Für zwei Folge (a ud ( (b gelte 0 a b ( N. Da folgt: ( a (Majoratekriterium Ist b k koverget, so auch a k, ud es gilt a k b k. ( ( b (Mioratekriterium Ist a k diverget, so auch ( Beispiel.7 (harmoische Reihe: Die Reihe diverget, wie folgede Überlegug zeigt: Falls k= k= k k= b k. k = ( ist existiert, so folgt k = + + ( ( ( ( }{{} + ( ( 6 }{{} (Majoratekriterium }{{} Summade 4 Summade 8 Summade = = Die letzte Reihe ist aber offebar icht koverget, da die kostate Folge ( keie Nullfolge ist (vgl. ute Satz.9. Damit ka auch die harmoische Reihe icht koverget sei. 7

18 ( Satz.9: Ist die Reihe a k koverget, so ist (a eie Nullfolge. ( Beweisskizze: Es sei ε > 0. Wege der Kovergez vo a k a k ε ud + a k a k folgt: Für 0 gilt a k ε. Additio der Ugleichuge ud Awedug der Dreiecksugleichug (vgl. Beweis vo Satz.9 a ergibt + a k a k ε a + ε. Nach der Defiitio des Grezwertes folgt lim a = 0, was zu beweise war. Bemerkug.3: Die Umkehrug dieses Satzes gilt icht, wie das Beispiel.7 mit der harmoische Reihe zeigt. ( Defiitio.6: Ist (a eie Folge mit a 0, so et ma ( k a k eie alterierede Reihe. Satz.0 (Leibiz-Kriterium ( 4 : Es sei (a eie mooto fallede Folge, die gege 0 kovergiert. Da ist die Reihe ( k a k koverget. Beweisskizze: Wege der Mootoie der Folge ud wege a 0 ka ma die Reiheglieder s := ( k a k durch iduktives Vorgehe wie folgt orde : s s 3 s 5 s s + s s s 4 s s 0 ( N. Die beide Teilfolge der gerade ud ugerade Reiheglieder, (s ud (s +, sid mooto ud beschräkt, also koverget. Es gilt lim s + lim s = lim (s + s = lim a + = 0, also lim s + = lim s =: g. Nach der Grezwertdefiitio ist da auch (s koverget mit lim s = g. Beispiel.8: Wir betrachte die beide alterierede Reihe ( k s : = k + = ± +, t : = ( k k + = ± +. Da ( + ud ( + mooto fallede Nulfolge sid, sid (s ud (t ach dem Leibiz-Kriterium koverget. Wir gebe i eier Tabelle eiige Partialsumme ud ohe weitere Erklärug die Grezwerte a: s 0,5 0,833 0,583 0,783 0,67 0,703 0,6906 0,6956 l 0,693 5 t 0,667 0,867 0,74 0,835 0,744 0,808 0,784 0,7866 π 4 0, Gottfried Wilhelm Leibiz, dt. Philosoph ud Mathematiker ( l = atürlicher Logarithmus vo (vgl. Skript Expoetialfuktio ud Logarithmus. 8

19 ( ( Beispiel.9: k ist sowohl ach dem Leibiz-Kriterium als auch als geometrische Reihe (q = k koverget. Es gilt ( k k = Satz = + = 3. 9