Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen

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1 7. Vorlesug im Brückekurs Mathematik 2017 Hilfsmittel aus der Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Reelle Zahlefolge Dr. Markus Herrich Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 1 Hilfsmittel aus der Kombiatorik Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 2

2 Problemstelluge i der Kombiatorik Gegebe seie Objekte (z.b. Kugel, Geräte, Persoe). I der (abzählede) Kombiatorik werde uter aderem folgede Problemstelluge utersucht: 1. Wie viele verschiedee Möglichkeite gibt es, diese Objekte azuorde? Zur Beatwortug dieser Frage kommt es uter aderem darauf a, ob alle Objekte voeiader verschiede oder ob eiige Objekte utereiader gleich sid. 2. Wie viele verschiedee Möglichkeite gibt es, vo de Objekte acheiader k Objekte zu etehme? Hier kommt es uter aderem darauf a, ob die Reihefolge, i der die k Objekte etomme werde, relevat ist oder icht. Außerdem kommt es i beide Fälle auch och darauf a, ob die Objekte jeweils mit Zurücklege oder ohe Zurücklege etomme werde. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 3 Problemstelluge i der Kombiatorik Drei Fälle/Probleme werde wir im Folgede etwas geauer diskutiere. Azahl der Möglichkeite, Objekte azuorde, we diese alle voeiader verschiede sid Azahl der Permutatioe ohe Wiederholug Azahl der Möglichkeite, Objekte azuorde, we vo diese eiige utereiader gleich sid Azahl der Permutatioe mit Wiederholug Azahl der Möglichkeite, vo Objekte k Objekte ohe Zurücklege zu etehme, we die Reihefolge der etommee Objekte bedeutugslos ist Azahl der Kombiatioe k-ter Ordug ohe Wiederholug Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 4

3 Permutatioe ohe Wiederholug Gegebe seie Objekte. Auf wie viele verschiedee Arte lasse sie sich aorde, we alle Objekte voeiader verschiede sid? Atwort: Die Azahl aller mögliche Aorduge ist! = ( 1) (! wird als Fakultät gesproche). Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 5 Permutatioe ohe Wiederholug Beispiel: Bei eier Leichtathletik-EM starte im Fiale des 100-Meter-Laufs acht Läufer. Wie viele verschiedee Reihefolge für de Zieleilauf gibt es? I diesem Beispiel ist = 8, es gibt also 8! =40320 mögliche Reihefolge für de Zieleilauf. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 6

4 Permutatioe mit Wiederholug Gegebe seie wiederum Objekte. Auf wie viele verschiedee Arte lasse sie sich aorde, we uter de Objekte eiige utereiader gleich sid? Eiführedes Beispiel: Gegebe seie sechs Kugel: drei rote, zwei blaue ud eie gelbe. Um diese 6 Kugel auf 6 Plätze zu verteile, gibt es zuächst 6! Möglichkeite. We aber bei eier gewisse Aordug die beide blaue Kugel miteiader vertauscht werde, da etsteht i Wirklichkeit keie eue Aordug. Halbierug der Azahl der Aorduge Etspreched etsteht keie eue Aordug, we die 3 rote Kugel utereiader vertauscht werde. weitere Reduzierug der Azahl um de Faktor 3! 6! Isgesamt gibt es also ur 3! 2! = 60 mögliche Aorduge. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 7 Permutatioe mit Wiederholug Zurück zum allgemeie Fall. Ageomme, uter de Objekte gibt es k Sorte, wobei 1 Objekte zur erste Sorte gehöre, 2 Objekte zur zweite usw. Im eiführede Beispiel gab es uter de = 6 Kugel drei Sorte: drei rote ( 1 = 3), zwei blaue ( 2 = 2) ud eie gelbe ( 3 = 1). Die Azahl aller mögliche Aorduge ist da! 1! 2!... k! Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 8

5 Permutatioe mit Wiederholug Beispiel: Bei eier Leichtathletik-EM starte im Fiale des 100-Meter-Laufs acht Läufer. Davo komme drei aus Großbritaie, zwei aus Deutschlad, zwei aus Frakreich ud eier aus Pole. Wie viele verschiedee Reihefolge für de Zieleilauf gibt es, we ma sich icht für die Läufer selbst, soder ur für die Natioe iteressiert? I diesem Beispiel ist = 8 (acht Läufer) ud außerdem 1 = 3 (drei aus Großbritaie), 2 = 2 (zwei aus Deutschlad), 3 = 2 (zwei aus Frakreich) ud 4 = 1 (eier aus Pole). Hisichtlich der Natioe gibt es demach 8! 3! 2! 2! 1! = 1680 mögliche Reihefolge für de Zieleilauf. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 9 Kombiatioe ohe Wiederholug Gegebe seie wiederum Objekte. Wie viele verschiedee Möglichkeite gibt es, vo diese acheiader k Objekte zu etehme, we die Reihefolge der etommee Objekte keie Rolle spielt, ohe Zurücklege gezoge wird, das heißt, ei Objekt icht wieder zurückgelegt wird, achdem es eimal etomme wurde? Eiführedes Beispiel: Gegebe seie füf Kugel ( = 5), ud zwar i de Farbe rot, blau, gelb, weiß ud schwarz. Es werde u acheiader ud ohe Zurücklege zwei Kugel gezoge ( k = 2). Auf wie viele verschiedee Arte ist das möglich, we die Reihefolge der gezogee Kugel keie Rolle spielt? Dieses Problem lässt sich auf das us mittlerweile bekate Problem Permutatioe mit Wiederholug zurückführe. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 10

6 Kombiatioe ohe Wiederholug Die isgesamt füf Kugel lasse sich i zwei Sorte eiteile: gezogee Kugel (1. Sorte, dazu gehöre zwei Kugel) ud icht gezogee Kugel (2. Sorte, dazu gehöre drei Kugel). Usere Ausgagsfrage köte wir auch wie folgt formuliere: Wie viele verschiedee Möglichkeite gibt es, die füf Kugel azuorde, wobei es uerheblich ist, i welcher Reihefolge die gezogee Kugel ageordet werde ud i welcher Reihefolge die icht gezogee Kugel ageordet werde. Nach userer Überlegug bei de Permutatioe mit Wiederholug ergebe sich 5! 2! 3! = 10 Möglichkeite. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 11 Kombiatioe ohe Wiederholug Zurück zum allgemeie Fall. Um aus Objekte acheiader ud ohe Zurücklege k Objekte zu etehme, gibt es ( ) k =! k!( k)! Möglichkeite, we die Reihefolge der etommee Objekte keie Rolle spielt. ( ) k ist dabei der sogeate Biomialkoeffiziet. Gesproche wird dieser Ausdruck als über k. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 12

7 Kombiatioe ohe Wiederholug Beispiel: Beim Lotto 6 aus 49 werde aus 49 Kugel (durchummeriert vo 1 bis 49) acheiader ud ohe Zurücklege sechs Kugel gezoge. Die Reihefolge, i der die Kugel gezoge werde, spielt für das Ergebis keie Rolle. Wie viele Möglichkeite gibt es? I diesem Beispiel ist = 49 ud k = 6. Demzufolge gibt es ( ) 49 = 49! = ! 43! Möglichkeite. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 13 Ausblick: Awedug i der Wahrscheilichkeitsrechug Gegebe sei ei Zufallsexperimet mit ur edlich viele Ergebisse (mögliche Ausgäge). Falls jedes Ergebis mit der gleiche Wahrscheilichkeit eitritt, spricht ma vo eiem Laplace-Experimet. Ei Ereigis eies Zufallsexperimetes ist eie Teilmege der Ergebismege, das heißt, eie Mege vo Ergebisse. Bei eiem Laplace-Experimet lässt sich die Wahrscheilichkeit für das Eitrete eies Ereigisses ach der folgede Formel bereche: Azahl der Ergebisse, die zum Ereigis gehöre Azahl aller Ergebisse des Zufallsexperimetes. Die Azahle i Zähler ud Neer lasse sich häufig mit Hilfsmittel aus der Kombiatorik bereche. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 14

8 Ausblick: Awedug i der Wahrscheilichkeitsrechug Beispiel: Bei eier Lotto-Ziehug 6 aus 49 hadelt es sich um ei Laplace-Experimet, de jede Ziehug ist gleichwahrscheilich. Die ( Azahl aller Ergebisse dieses Zufallsexperimets beträgt 49 ) 6 = Mit welcher Wahrscheilichkeit erzielt ma mit eiem Tipp sechs Richtige? Zum Ereigis sechs Richtige gehört ur ei Ergebis (de ur eie mögliche Ziehug stimmt mit dem abgegebee Tipp überei). Die gesuchte Wahrscheilichkeit beträgt somit 1 ( 49 6 ) 7, = 0, %. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 15 Ausblick: Awedug i der Wahrscheilichkeitsrechug Mit welcher Wahrscheilichkeit erzielt ma mit eiem Tipp geau vier Richtige? Wir überlege, wie viele Ergebisse zum Ereigis geau vier Richtige gehöre. D.h., wie viele der mögliche Ziehuge bestehe aus geau 4 der getippte ud aus geau 2 der icht getippte Zahle? Zuächst gibt es ( 6 4) Möglichkeite dafür, dass eie Ziehug geau 4 der 6 getippte Zahle ethält. Für jede dieser Möglichkeite gibt es ( ) 43 2 Möglichkeite für die zwei übrige, icht getippte Zahle. Die gesuchte Azahl beträgt somit ( ( 6 4) 43 ) 2 = Die Wahrscheilichkeit ( dafür, geau vier Richtige zu erziele, 6 ) ( 4 43 ) 2 beträgt somit ( 49 ) 9, = 0,0969%. 6 Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 16

9 Kurzer Eischub: Das Summezeiche Es seie a 0, a 1,...,a reelle Zahle. Da ist a k ichts weiter k=0 als die Kurzschreibweise für die Summe a 0 + a a. Statt k ka auch eie adere Bezeichug für de Summatiosidex verwedet werde. Dieser muss außerdem icht bei 0, er ka auch bei eier adere atürliche Zahl begie. Beispiele: 4 3 k = = 121 k=0 5 k = = 15 k=1 4 ( 2) i =( 2) 1 +( 2) 2 +( 2) 3 +( 2) 4 = 10 i=1 Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 17 Beweisprizip der vollstädige Iduktio Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 18

10 Problemstellug Gegebe sei eie Aussageform A(), die vo eier atürliche Zahl abhägt. Als Beispiele ka ma sich vorstelle: die Ugleichug 2 > 2, ( + 1) die Gleichug k =, 2 k=1 die Äußerug Eie Mege mit Elemete besitzt 2 Teilmege. Für jede kokrete atürliche Zahl wird A() zur Aussage, das heißt, für jedes kokrete N lässt sich etscheide, ob A() wahr oder falsch ist. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 19 Problemstellug Ageomme, es soll bewiese werde, dass eie Aussage A() für alle atürliche Zahle ab eier gewisse Zahl 0 wahr ist. Da ka dafür das Beweisverfahre der vollstädige Iduktio hilfreich sei. Wie geht ma dabei vor? Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 20

11 Vorgehe Schritt 1: Ma weist die Gültigkeit der Aussage für die Zahl 0 ach (Iduktiosafag). Schritt 2: Ma immt a, die Gültigkeit der Aussage wurde bereits für alle atürliche Zahle = 0, 0 + 1,...,N achgewiese (Iduktiosvoraussetzug), ud zeigt mit Hilfe dieser Voraussetzug, dass die Aussage auch für = N + 1wahr ist (Iduktiosschritt). Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 21 Beispiel 1 Mittels vollstädiger Iduktio wolle wir achweise, dass für alle 5 die Ugleichug 2 > 2 erfüllt ist. Iduktiosafag: Wir weise ach, dass die Ugleichug für = 5 erfüllt ist (der Startwert, der immer mit 0 bezeichet wurde, ist hier 5). Das geht durch eifaches Nachreche: 2 5 = 32, 5 2 = 25, also i der Tat 2 5 > 5 2. Iduktiosvoraussetzug (IV): Wir ehme a, die Gültigkeit der Ugleichug wurde bereits für alle = 5, 6, 7,...,N achgewiese. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 22

12 Beispiel 1 Iduktiosschritt: Uter Verwedug der IV weise wir ach, dass die Ugleichug auch für = N + 1 richtig ist, dass also gilt: 2 N+1 > (N + 1) 2. Zuächst gilt 2 N+1 = 2 2 N. Aus der IV köe wir schlussfolger, dass 2 N > N 2 ist (de wir habe ja ageomme, dass die Ugleichug bereits für = N achgewiese wurde). Damit ud uter Beachtug vo N 5 folgt 2 N+1 = 2 2 N > 2 N 2 = N 2 + N N N 2 + 5N N 2 + 2N + 1 =(N + 1) 2. Damit sid die Schritte abgearbeitet ud die Gültigkeit der Ugleichug 2 > 2 ist für alle 5 bewiese. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 23 Beispiel 2 Mittels vollstädiger Iduktio wolle wir achweise, dass für alle 1 die Idetität ( + 1) k = (1) 2 k=1 erfüllt ist, dass also die Summe aller atürliche Zahle vo 1 bis gleich (+1) 2 ist. Iduktiosafag: Wir weise ach, dass die Gleichug für = 1 erfüllt ist. Für = 1 steht auf der like Seite vo (1) eifach 1. Auf der rechte Seite ergibt sich 1 (1+1) 2 = 2 2 = 1. I der Tat stimme also beide Seite der Gleichug (1) für = 1 überei. Iduktiosvoraussetzug (IV): Wir ehme a, die Gültigkeit der Gleichug (1) wurde bereits für alle = 1, 2, 3,...,N achgewiese. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 24

13 Beispiel 2 Iduktiosschritt: Uter Verwedug der IV weise wir ach, dass die Gleichug auch für = N + 1 richtig ist, dass also gilt: N+1 k=1 k = (N + 1)(N + 2). 2 Zuächst gilt N+1 k=1 k = N k=1 k +(N + 1). Aus der IV köe wir schlussfolger, dass N k=1 k = N(N+1) 2 ist (de wir habe ja ageomme, dass (1) bereits für = N achgewiese wurde). Damit folgt N+1 k=1 k = ( ) N(N + 1) N +(N+1) =(N+1) = (N + 1)(N + 2). 2 Damit sid die Schritte abgearbeitet ud die Gültigkeit der Idetität k=1 k = (+1) 2 ist für alle 1 bewiese. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 25 Reelle Zahlefolge Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 26

14 Defiitio Eie reelle Zahlefolge (a ) ist eie Zuordug, die jeder atürliche Zahl N geau eie reelle Zahl a R zuordet. Die Zahle a 0, a 1, a 2,... heiße Glieder der Folge, a wird als das -te Folgeglied bezeichet. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 27 Bemerkuge Astelle vo reelle Zahlefolge werde wir oft auch eifach ur Folge sage. Zu beachte ist der Uterschied zwische de Ausdrücke (a ) ud a :mita wird ei eizeles Folgeglied bezeichet, wohigege mit (a ) die gesamte Folge gemeit ist. Astelle vo (a ) fidet ma i der Literatur machmal auch adere Notatioe für Folge, etwa {a } oder a. Laut userer obige Defiitio begit die Nummerierug der Folgeglieder jeweils bei = 0. Tatsächlich ka aber die Nummerierug auch bei jeder adere atürliche Zahl begie, siehe etwa Beispiel 3. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 28

15 Beispiel 1 Folge der Quadratzahle, d.h. Folge mit der Bildugsvorschrift a = 2 ( N). erste Folgeglieder: a 0 = 0, a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9, a 4 = 16,... Veraschaulichug: a Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 29 Beispiel 2 Folge mit der Bildugsvorschrift erste Folgeglieder: a = + 1 ( N) a 0 = 0, a 1 = 1 2, a 2 = 2 3, a 3 = 3 4, a 4 = 4 5,... Veraschaulichug: 1 a Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 30

16 Beispiel 3 Folge mit der Bildugsvorschrift a = ( 1) 2 erste Folgeglieder: ( N, 1) a 1 = 1 2, a 2 = 1 4, a 3 = 1 6, a 4 = 1 8, a 5 = 1 16,... Veraschaulichug: 1 2 a Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 31 Beispiel 4 Die Abkühlug vo 90 C heißem Tee bei Zimmertemperatur (20 C) geüge dem folgede Abkühlugsgesetz: T = ( N). Dabei bezeiche T die Temperatur i C ach Miute. Die erste Glieder der dadurch defiierte Folge (T ) sid: T 0 = 90, T 1 = 83, T 2 = 76,7, T 3 = 71,03, T 4 = 65,927,... (Werte i C). Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 32

17 Beispiel 4 Veraschaulichug des Abkühlugsprozesses: T Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 33 Mootoie Eie Folge (a ) heißt mooto wachsed, we für jedes N gilt: a +1 a, streg mooto wachsed, we für jedes N gilt: a +1 > a, mooto falled, we für jedes N gilt: a +1 a, streg mooto falled, we für jedes N gilt: a +1 < a. Zur Utersuchug vo Mootoieeigeschafte ist es empfehleswert, die Differez a +1 a zu betrachte bzw. zu utersuche, ob diese Differez stets dasselbe Vorzeiche hat (ggf. zumidest ab eiem gewisse ). Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 34

18 Mootoie: Beispiel 1 Folge der Quadratzahle, d.h. Folge mit der Bildugsvorschrift a = 2 ( N). Für jedes N gilt a +1 a =( + 1) 2 2 = = > 0. Demach ist die Folge (a ) streg mooto wachsed. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 35 Mootoie: Beispiel 2 Folge mit der Bildugsvorschrift a = ( 1) 2 ( N, 1). Für jedes gerade gilt a +1 a = ( 1)+1 2( + 1) ( 1) 2 = < 0. Für jedes ugerade gilt a +1 a = ( 1)+1 2( + 1) ( 1) 2 = > 0. Die Differez a +1 a ist also immer abwechseld positiv ud egativ. Demach ist die Folge (a ) weder mooto wachsed och mooto falled. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 36

19 Beschräktheit Eie Folge (a ) heißt ach ute beschräkt, we eie Zahl S u R existiert, sodass für jedes N gilt: a S u (eie solche Zahl S u heißt da utere Schrake der Folge (a )), ach obe beschräkt, we eie Zahl S o R existiert, sodass für jedes N gilt: a S o (eie solche Zahl S o heißt da obere Schrake der Folge (a )), beschräkt, we die Folge sowohl ach ute als auch ach obe beschräkt ist, das heißt, we Zahle S u R ud S o R existiere, sodass für jedes N gilt: S u a S o. Äquivalet dazu ka ma auch sage: die Folge (a ) ist beschräkt, we eie Zahl S R existiert, sodass für alle N gilt: a S. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 37 Beschräktheit: Beispiel 1 Folge der Quadratzahle, d.h. Folge mit der Bildugsvorschrift a = 2 ( N). Diese Folge ist offesichtlich ach ute beschräkt, de es gilt a = 2 0 für alle N. S u = 0 ist also eie mögliche utere Schrake (auch jede egative Zahl ist eie utere Schrake der Folge). Aber die Folge (a ) ist icht ach obe beschräkt, de für jede Zahl S o existiert ei N, für das gilt: a = 2 > S o. Somit ist die Folge (a ) auch icht beschräkt. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 38

20 Beschräktheit: Beispiel 2 Folge mit der Bildugsvorschrift a = ( 1) ( N, 1). 2 Wir betrachte die Beträge der Folgeglieder a : a = für alle N mit 1. Die Beträge der Folgeglieder a lasse sich also durch eie (vo uabhägige) Kostate ach obe abschätze, woraus die Beschräktheit der Folge (a ) folgt. a S = S = 1 2 Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 39 Kovergez Eie Folge (a ) heißt koverget gege eie Zahl a R, wees zu jeder Zahl ε>0eie(voε abhägige) Zahl N N gibt, sodass für alle N gilt: a a ε. (I Worte: Zu jeder och so kleie Zahl ε muss eie Zahl N N existiere, sodass der Abstad sämtlicher Folgeglieder ab dem N-te Folgeglied zur Zahl a höchstes ε beträgt.) Die Zahl a heißt da Grezwert der Folge (a ). Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 40

21 Kovergez Veraschaulichug der Kovergez: a a + ε a a ε 0 N Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 41 Beispiel für eie kovergete Zahlefolge Die Folge (a ) mit der Vorschrift a = + 1 ( N) ist koverget, ihr Grezwert beträgt lim a = 1. I der Tat fide wir zu jeder och so kleie Zahl ε>0eie atürliche Zahl N N, sodass für alle atürliche Zahle N gilt: a 1 ε. a 1+ε 1 1 ε N Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 42

22 Bemerkuge Charakterisierug der Kovergez: Eie Folge (a ) kovergiert geau da gege eie Zahl a, we für jede Zahl ε>0 höchstes edlich viele Folgeglieder außerhalb des Itervalls [a ε, a + ε] liege. Eideutigkeit des Grezwertes: Ist eie Folge koverget, da ist ihr Grezwert eideutig bestimmt. Zusammehäge zur Mootoie ud Beschräktheit: Ist eie Folge (a ) mooto wachsed oder mooto falled ud außerdem beschräkt, da ist die Folge auch koverget. Allei aus der Mootoie oder allei aus der Beschräktheit lässt sich im Allgemeie aber icht die Kovergez eier Folge schlussfolger (siehe auch achfolgede Beispiele). Ist eie Folge (a ) koverget, da ist sie auch beschräkt. Die Mootoie higege folgt icht zwagsläufig aus der Kovergez. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 43 Beispiele für icht kovergete Zahlefolge Die Folge (a ) mit der Vorschrift a =( 1) ( N) ist icht koverget. I der Tat lässt sich kei Wert a R fide, sodass für jedes ε>0 höchstes edlich viele Folgeglieder außerhalb des Itervalls [a ε, a + ε] liege. Zum Beispiel liege stets uedlich viele Folgeglieder außerhalb des Itervalls [a 1 2, a ], egal welche Wert a hat. a Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 44

23 Beispiele für icht kovergete Zahlefolge Die Folge (a ) mit der Vorschrift a =( 1) ( N) ist icht koverget. I der Tat lässt sich kei Wert a R fide, sodass für jedes ε>0 höchstes edlich viele Folgeglieder außerhalb des Itervalls [a ε, a + ε] liege. Zum Beispiel liege stets uedlich viele Folgeglieder außerhalb des Itervalls [a 1 2, a ], egal welche Wert a hat. a Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 45 Beispiele für icht kovergete Zahlefolge Die Folge (a ) mit der Vorschrift a =( 1) ( N) ist icht koverget. I der Tat lässt sich kei Wert a R fide, sodass für jedes ε>0 höchstes edlich viele Folgeglieder außerhalb des Itervalls [a ε, a + ε] liege. Zum Beispiel liege stets uedlich viele Folgeglieder außerhalb des Itervalls [a 1 2, a ], egal welche Wert a hat. a Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 46

24 Beispiele für icht kovergete Zahlefolge Die Folge (a ) mit der Vorschrift a = 2 ( N) ist icht koverget. I der Tat lässt sich auch für diese Folge kei Wert a R fide, sodass für jedes ε>0 höchstes edlich viele Folgeglieder außerhalb des Itervalls [a ε, a + ε] liege a Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 47 Divergez Ist eie Folge (a ) icht koverget, so heißt sie diverget. Ma uterscheidet och zwische bestimmter ud ubestimmter Divergez. Eie Folge (a ) heißt bestimmt diverget gege +, falls zu jeder Zahl C R eie (vo C abhägige) Zahl N N existiert, sodass für alle N gilt: a C. Eie Folge (a ) heißt bestimmt diverget gege, falls zu jeder Zahl C R eie (vo C abhägige) Zahl N N existiert, sodass für alle N gilt: a C. Eie Folge (a ) heißt ubestimmt diverget, falls sie weder koverget och bestimmt diverget gege + oder ist. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 48

25 Divergez Die Folge (a ) mit der Vorschrift a =( 1) ist ubestimmt diverget. Die Folge (a ) mit der Vorschrift a = 2 ist bestimmt diverget gege +. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 49 Praktische Berechug vo Grezwerte Die praktische Utersuchug eier Folge auf Kovergez sowie die Berechug des Grezwertes erfolgt meist icht durch Verwedug der Defiitio, soder mit Hilfe bekater Grezwerte ud durch Ausutzug vo Gesetzmäßigkeite. Bekate Grezwerte (Auswahl): 1 lim = 0 für jede Zahl p > 0 p lim q = 0 für jede Zahl 1 < q < 1 lim ( 1 + x ) = e x für jede Zahl x R Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 50

26 Eiige Grezwertsätze Es seie (a ) eie kovergete Folge mit dem Grezwert a ud (b ) eie kovergete Folge mit dem Grezwert b. Da gelte die folgede Aussage. Kostate Faktore: Für jede Zahl c R gilt lim c a = c lim a = c a. Summe: Es gilt lim (a + b )= lim a + lim b = a + b. Differez: Es gilt lim (a b )= lim a lim b = a b. Produkt: Es gilt lim (a b )= ( lim a ) ( a lim b ) = a b. Quotiet: Es gilt lim = lim a = a b lim b b (Voraussetzug: b 0 ud b 0 für alle N). Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 51 Eiige Grezwertsätze Es seie (a ) eie kovergete Folge mit dem Grezwert a ud f : D f R R eie stetige Fuktio. Dabei gelte a D f ud a D f für alle N. Da ist auch die Folge (f (a )) koverget ud es gilt lim f (a )=f ( lim a ) = f (a). Isbesodere folge daraus die folgede Aussage: ( ) p Poteze: Für jede Zahl p gilt lim ap = lim a = a p (Vor.: a p ist defiiert ud a p ist für alle N defiiert). Betrag: Es gilt lim a = lim a = a. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 52

27 Berechug vo Grezwerte: Beispiele 5 lim + 1 = 5 lim = 5 1 = 5 (hierbei habe wir + 1 user Ergebis für lim +1 vo Folie 42 geutzt) ( lim ) 7 [( = lim ) ] 7 [ = lim ( ) ] 7 = [ e 3] 7 = e 21 Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 53 Ubestimmte Ausdrücke Machmal liege ubestimmte Ausdrücke wie, 0 oder vor. I eiem solche Fall ka ma icht sofort etscheide, ob ud, we ja, wogege die Folge kovergiert. Machmal helfe aber Termumformuge weiter, um daach ahad des umgefromte Terms ud mit Hilfe vo Grezwertsätze eie Etscheidug zu treffe. Als Beispiel betrachte wir de Fall, dass a der Quotiet zweier Polyome i ist. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 54

28 Quotiet zweier Polyome Gegebe sei die Folge (a ) mit der Vorschrift a = Wir wolle utersuche, ob diese Folge kovergiert, ud ggf. de Grezwert bestimme. Sowohl Zähler als auch Neer gehe gege Uedlich für. Wir habe es also mit dem Fall zu tu ud köe daher icht auf Ahieb Aussage zur Kovergez der Folge mache. Wir forme de Quotiete etwas um, idem wir sowohl im Zähler als auch im Neer die höchste Potez des Neers ausklammer ud aschließed kürze: a = 2 ( ) 2 ( ) = Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 55 Quotiet zweier Polyome Nu folgt durch Awedug vo Grezwertsätze lim a 6 5 = lim = = 3. Merke: We a der Quotiet zweier Polyome i ist ud das Verhalte vo a für utersucht werde soll, ist es hilfreich, sowohl im Zähler als auch im Neer die höchste Potez des Neers auszuklammer. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 56

29 Quotiet zweier Polyome Ei weiteres Beispiel dieser Art: Gegebe sei die Folge (a ) mit der Vorschrift a = Wir wolle wiederum utersuche, ob diese Folge kovergiert, ud ggf. de Grezwert bestimme. Klammer wir sowohl im Zähler als auch im Neer die höchste Potez des Neers aus, ergibt sich a = 2 ( ) 2 ( ) = Der Neer dieses Ausdrucks kovergiert gege 2 für, währed der Zähler gege + geht. Daraus folgt, dass auch der Quotiet, also a selbst, gege + geht. Die Folge (a ) ist also icht koverget, soder bestimmt diverget gege +. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 57 Eischließugskriterium Machmal ist zur Utersuchug auf Kovergez die folgede Aussage hilfreich (sog. Eischließugskriterium oder auch Sadwich-Satz): Ageomme, zwei Folge (b ) ud (c ) kovergiere gege deselbe Grezwert g R, ud ageomme, (a ) ist eie weitere Folge mit der Eigeschaft b a c für alle N (oder zumidest für alle ab eiem gewisse Idex N). Da ist auch die Folge (a ) koverget ud es gilt lim a = g. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 58

30 Eischließugskriterium: Beispiel 1 Wir betrachte die Folge (a ) mit der Vorschrift a = ( 1) 2. Für alle N mit 1 gilt Wege lim a 1 2. = 0 ud lim folgt ach dem Eischließugskriterium auch 1 2 = 0 lim a ( 1) = lim 2 = 0. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 59 Eischließugskriterium: Beispiel 2 Wir betrachte die Folge (a ) mit der Vorschrift a = 2. Eierseits gilt offebar a 0 für alle N. Adererseits ist a = 2 = < 1 für alle 5. Dabei habe wir verwedet, dass für 5die Ugleichug 2 > 2 gilt (Beweis siehe Folie 22 23). Folglich gilt 0 a < 1 für alle 5. Wege lim 0 = 0 ud = 0 folgt ach dem Eischließugskriterium auch lim 1 lim a = lim 2 = 0. Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 60