Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt

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1 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dr. T. Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum 7. Übugsblatt Aufgabe Mittels vollstädiger Iduktio zeige wir zuächst a > 0 ud b > 0 für alle N. IA: Es sid a = a > 0 ud b = b > 0. IS: Sei N. Es gelte a > 0 ud b > 0 IV. Da ist a + = a b a + b IV > 0 ud b+ = a + b IV > 0. Hieraus folgt a + b > 0 für alle N. Damit ist sichergestellt, dass a + b 0 für alle N gilt ud die Folge a N wohldefiiert ist. a Um zu begrüde, dass die Folge der Itervalle [a, b ] N eie Itervallschachtelug bildet, müsse wir achweise: i a b für alle N; ii a N ist mooto wachsed ud b N ist mooto falled; iii lim b a = 0. Zu i: Wir zeige durch vollstädige Iduktio a < b für alle N. IA: Nach Voraussetzug ist a = a < b = b. IS: Sei N. Es gelte a < b IV. Da folgt Zu ii: Wege b + a + = a + b a b = a + b 4a b a + b a + b a + a = b a + b i b b + b = für alle N ist a N mooto wachsed. Die Folge b N fällt mooto, de = a b IV > 0. a + b b + b = a + b b = a b i 0 für alle N. Zu iii: Nach i ud ii gilt für jedes N a = a a... a b b... b = b. Also sid a N ud b N beschräkt mit a a b ud a b b für alle N. Da beide Folge überdies mooto sid, existiere ach dem Mootoiekriterium vgl. Satz 7 i 7.5 die Grezwerte g := lim a ud g := lim b. Durch de Grezübergag i der Rekursiosformel für b ergibt sich die Gleichug g = g + g g = g.

2 b Wir zeige per vollstädiger Iduktio, dass a b = ab für alle N gilt. IA: Für = ist ach Defiitio a b = ab erfüllt. IS: Sei N. Es gelte a b = ab IV. Da folgt mit de Rekursiosformel Wege a b = ab für alle N ergibt sich Adererseits ist ach de Grezwertsätze a + b + = a b IV a + b = a b = ab. a + b lim a b = ab. lim a b = lim a lim b a = g g = g, so dass g = ab folgt. Da aufgrud vo a 0 für alle N auch g 0 gilt, ist g = ab. Zusammefassed erhalte wir lim a = lim b = ab, so dass die Zahl ab durch die Itervallschachtelug bestimmt wird. Aufgabe a Die Beroullische Ugleichug liefert = + + für alle N, d. h. es ist stets. Somit ergibt sich für alle N!! =: b. Bekatlich kovergiert =0! mit Reihewert e, also ist auch b koverget, ud die absolute Kovergez der Reihe! folgt mit dem Majoratekriterium. Isbesodere kovergiert die Reihe. b Es gilt + = = = 3 =: c 0, ud da die Reihe über c divergiert, gilt dies ach dem Mioratekriterium auch für die zu utersuchede Reihe. Isbesodere ist die Reihe icht absolut koverget. c Für alle 3 gilt = 5 6 ud daher Die geometrische Reihe =0 5 6 ist also eie kovergete Majorate vo +. Nach dem Majoratekriterium ist + absolut koverget. Isbesodere kovergiert die Reihe. d Ist a :=!! gesetzt, so gilt für alle N a + a = +!!! +! = = + / + / + / = 4. Ifolgedesse ist a + a für fast alle N. Daher liefert das Quotietekriterium die absolute Kovergez vo =0 a. Isbesodere kovergiert die Reihe.

3 e Für N schreibe wir a := 3+ = b mit b := 3+. Die Folge b kovergiert gege 0. Ferer ist b mooto falled, de für alle N gilt b b ud die letzte Ugleichug ist offekudig wahr. Nach dem Leibizkriterium kovergiert b. Wege a = = 4 ud der Divergez vo ist ist a icht absolut koverget. 4 eie divergete Miorate für a. Deshalb f Wir wisse, dass gilt. Daher ist die Folge beschräkt, d.h. es gibt eie Kostate C so, dass C für alle N gilt. Hiermit erhalte wir = C. Da die harmoische Reihe diverget ist, folgt die Divergez der zu utersuchede Reihe aus dem Mioratekriterium. Isbesodere ist die Reihe icht absolut koverget. Aufgabe 3 a Offebar ist a = > 0. Für jedes > gilt wege > a = + + > = 0. Die Kovergez vo a gege 0 ist klar wege / 0 ud / 0. b Für jedes N N gilt s N := a = + =., die ach dem Leibizkri- Die erste Summe ist die N-te Partialsumme der Reihe terium kovergiert; isbesodere ist die Folge ihrer Partialsumme N obe beschräkt, d. h. es gibt eie Kostate C mit N N N ach C für alle N N. Es folgt s N C für jedes N N. Aufgrud vo N für N folgt s N N, d.h. die gegebee Reihe a ist tatsächlich diverget. c Das Leibizkriterium ist icht awedbar, weil die Folge a icht mooto ist. Aufgabe 4 a Offebar gilt a > 0 für alle N. Zuächst zum Quotietekriterium: Für ugerades N gilt a + a = = =

4 Folglich gibt es kei ϑ 0, mit a + a ϑ für fast alle N. Ferer ist a + a für fast alle N icht erfüllt, de für gerade N ergibt sich a + a = = = Das Quotietekriterium liefert somit keie Etscheidug. b Das Wurzelkriterium ka deoch eie Etscheidug brige, ud so ist es i diesem Falle tatsächlich. Für gerades N gilt ämlich a = + 3 = 3, d. h. es gilt a für uedlich viele, ud dies impliziert die Divergez der Reihe. Aufgabe 5 Wege i 4 = = gilt für alle m N Folglich erhalte wir für jedes N N 4 i = = i N m= m= i 4m 3 = i, i 4m =, i 4m = i, i 4m =. i 4m 3 4m 3 + i4m 4m + i4m 4m + i4m 4m 4m 3 + 4m m= 4m = i N 3 4N = i k= k+ N k + k k. k= 4m N 4N Da k k bzw. k k mooto fallede Nullfolge sid, kovergiere diese Summe für N ach dem Leibizkriterium. Damit wisse wir: We wir mit s N die N-te Partialsumme der zu utersuchede Reihe bezeiche, da kovergiert s 4N für N. Für m {,, 3} gilt s 4N+m = s 4N + 4N+m =4N+ i N lim N s 4N wege i / = /. Folglich vergleiche Blatt 5, Aufgabe 6 kovergiert s N für N, d.h. die Reihe i kovergiert. Sie ist aber icht absolut koverget, weil die harmoische Reihe i = divergiert. Aufgabe 6 a Sei a N eie reelle Folge mit a + a ud a 0 für alle N. Da gilt: a kovergiert k a k kovergiert. Beweis: 4

5 : Sei a koverget. Wir setze b := a. Um die Kovergez vo k a k zu zeige, müsse wir begrüde, dass die Folge s K K N := K k a k K N für K kovergiert. Da a mooto falled ist, gilt für jedes K N b a +a +a 3 +a 4 +a a a K a K a +a +a K a K. Also ist s K = a +a +4a K a K b für jedes K N, d.h. s K K N ist beschräkt. Wege a 0 für alle N ist s K K N mooto wachsed. Nach dem Mootoiekriterium ist s K K N koverget, d.h. k a k kovergiert. : Nu kovergiere k a k. Wir schreibe wie zuvor s K K N := K k a k K N. Nach Voraussetzug ist s K koverget, etwa s K s K. Ist b N := N a für N N gesetzt, so gilt für K N mit K N b N = a + a a N a + a + a 3 + a a a K a K+ a + a + 4a K a K = s K s. Also ist b N ach obe durch s beschräkt. Da b N überdies mooto wachsed ist, liefert das Mootoiekriterium die Kovergez vo b N, d.h. a kovergiert. Setzt ma statt der Mootoie ur a 0 für alle N voraus, so ist die Aussage i.a. falsch. Ist beispielsweise die Folge a N gegebe durch { / falls = a = k für ei k N {0}, 0 sost also a =,, 0, 4, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6,..., da kovergiert a = k geometrische Reihe mit Wert =, jedoch ist k a k = diverget. b Sei α Q. Im Fall α < 0 divergiert die Reihe, weil α α N keie Nullfolge ist. Sei u α 0. Setze a :=. Da sid a α > 0 ud a + a = + α = + α für alle N. Also geügt a de Voraussetzuge vo Teil a. Dieser liefert α = a koverget k k a k = k α = k α koverget Aufgabe 7 Die Reihe geom. Reihe = < α > 0 α >. α + = kovergiert ach dem Leibizkriterium, weil / eie mooto fallede Nullfolge ist. Ageomme, kovergiert. Da kovergiert auch die Folge der Partialsumme der zweite Reihe sid eie Teilfolge der Partialsumme der erste. Für jedes N ist = = Da divergiert vgl. Aufgabe 4 b, ist die Reihe i. eie divergete Miorate für Das ist ei Widerspruch zur Kovergez dieser Reihe. 5

6 Aufgabe 8 a Wir ziehe das Wurzelkriterium zu Rate: z / = z z. Damit wisse wir: Für z < liegt Kovergez vor, für z > jedoch Divergez. Utersuche wir och de Fall z = : Da gilt z =, d. h. die Kovergez folgt mit dem Majoratekriterium. Isgesamt ergibt sich: Die Reihe kovergiert geau da, we z. b Diesmal verwede wir das Quotietekriterium: Für a :=! z gilt a + +! z + a =! z = + z. Dieser Ausdruck strebt für z 0 gege, für z = 0 gege 0. Also kovergiert die Reihe ur für z = 0. c Zuächst müsse wir die z vo der Kokurrez ausschließe, für die z = für ei vorkommt. Alle derartige z habe Betrag ; für alle adere z mit z = gilt z + z = z + z = + z + z =. Die Reiheglieder bilde also keie Nullfolge, d. h. die Reihe ka für z = icht kovergiere. Nu sei r := z <. Wir habe + z z = r wege der umgekehrte Dreiecksugleichug. Also ist z + z r r r r ud mit dem Majoratekriterium folgt Kovergez. Im Falle r > verwede wir + z z = r. Wege r für gibt es ei N N mit r für alle N. Für solche ist da r ud wir erhalte z + z r r r r = r r =: c für N. Da =N c kovergiert, gilt dies wege des Majoratekriteriums auch für =N a, wobei a := z / + z. Da kovergiert aber auch =0 a. Isgesamt: Die Reihe kovergiert geau da, we z. Aufgabe 9 P a Seie a N ud b N Folge i R sowie a ud b koverget. Nach der Cauchy-Schwarzsche Ugleichug gilt für alle N N N / N / a b b. a Wege der Kovergez vo a ud b ist die rechte Seite beschräkt durch a / b /. Deshalb ist die Folge N a b N N koverget bzw. die Reihe a b absolut koverget. Hieraus ergibt sich die Kovergez vo a b. b Aus der Kovergez vo a ud folgt laut a die Kovergez vo a. 6

7 Aufgabe 0 P Die Reihe a ist koverget, also gilt a 0; da die Folge a zudem mooto fällt, ist a 0 für alle. Nu sei ε > 0 beliebig. Da die Reihe a kovergiert, gibt es ei N 0 N mit =N 0 + N 0 a = a a < ε. Wege a 0 gilt auch N 0 a 0 für. Somit existiert ei N N mit N 0 a < ε/ für alle N. Damit ergibt sich für jedes N N mit N > max{n 0, N } N a N = N 0 a N + =N 0 + a N N 0 a N + =N 0 + a < ε + =N 0 + Bei der erste Abschätzug beutze wir, dass die Folge a mooto fällt. Da ε > 0 beliebig war, ist damit N a N 0 für N bewiese. a < ε + ε = ε. Die Voraussetzug a 0 statt der Mootoie geügt icht: Ma betrachte das Beispiel { /, falls eie Zweierpotez ist, a = 0, sost. Die Reihe a ist koverget, weil k kovergiert. We eie Zweierpotez ist, gilt jedoch a = ; die Folge a kovergiert also icht gege 0. 7