2. Gleichwertige Lösungen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "2. Gleichwertige Lösungen"

Transkript

1 8. Gleichwertige Lösuge Für die Lösug jeder lösbare Aufgabe gibt es eie uedliche Azahl vo (abstrakte ud kokrete) Algorithme. Das folgede Problem illustriert, dass eie Aufgabe eifacher oder kompliziert, aber auch schlechter oder besser gelöst werde ka... Maximale Teilsumme Wir habe de Kurs eier 000-Euro-Aktie der Firma MikroSofties verfolgt ud wisse vo jedem der letzte zeh Tage, wie viele Euro eie solche Aktie a diesem Tag a Wert gewoe bzw. verlore hat, z.b. so: Tag Gewi/Verlust Tabelle.: Veräderug des Aktiewerts Isgesamt hat eie Aktie i de zeh Tage ihre Wert um +4 Euro verädert (weil = +4 ist). Hätte ma solche Aktie umittelbar vor dem 3. Tag gekauft ud umittelbar ach dem 4. Tag verkauft, so hätte ma pro Aktie 6 Euro Gewi gemacht. Aufgabe.: Wie viel Gewi pro Aktie hätte ma (ierhalb der zeh Tage) maximal mache köe? Lösug: 8 Euro. Dazu hätte ma vor dem 3. Tag kaufe ud ach dem 6. Tag verkaufe oder aber vor dem 9. Tag kaufe ud ach dem 0. Tag verkaufe solle. We wir de Kurs eier Aktie icht ur 0 Tage, soder z.b. 365 Tage lag verfolgt habe, da ka es ziemlich mühevoll sei, eie güstigste Kauf- ud Verkaufstermi zu fide.... Summe ud Teilsumme Eie edliche Folge vo gaze Zahle hat auch eie edliche Summe. Beispielsweise hat die Folge (+5, -8, +3, +3, -5, +7, -, -7, +3, +5) die Summe +4. Als Defiitio köe wir festhalte: Eie Teilfolge eier Folge besteht aus eiem zusammehägede Teil der Folge. Jede Folge hat zwei extreme Teilfolge: die leere Teilfolge () ud die gesamte Folge (die auch als uechte Teilfolge bezeichet wird). A. Solymosi, U. Grude, Grudkurs Algorithme ud Datestrukture i JAVA, DOI 0.007/ _, Spriger Fachmedie Wiesbade 04

2 . Gleichwertige Lösuge 9 Als ei weiteres Beispiel betrachte wir die Folge = (+5, -8, +3, +3, -5, +7, -, -7, +3, +5), die uter adere folgede Teilfolge besitzt: teilfolge = (+5, -8, +3, +3) // echte Teilfolge mit vier Elemete teilfolge = (+3, -5, +7, -, -7) // echte Teilfolge mit füf Elemete teilfolge3 = (+5) // echte Teilfolge mit eiem Elemet teilfolge4 = () // echte Teilfolge mit ull Elemete teilfolge5 = (+5, -8, +3, +3, -5, +7, -, -7, +3, +5) // uechte Teilfolge mit alle Elemete teilfolge3 kommt sogar mehrmals als Teilfolge i der obige Folge vor. Ist folge eie Folge ud teilfolge eie Teilfolge vo folge, so heißt die Summe vo teilfolge auch Teilsumme vo folge. Die Folge teilfolge, teilfolge, teilfolge3, teilfolge4 ud teilfolge5 habe beispielsweise die Summe +3, -4, +5, 0 ud +4. Also sid die Zahle +3, -4, +5, 0 ud +4 Teilsumme der obige Folge. Die Teilsumme +4 ka ma auch als uechte Teilsumme der Folge bezeiche, da es sich dabei um die Summe der Folge hadelt.... Aufgabestellug Sei folge eie edliche Folge vo gaze Zahle (i Form eier Reihug) gegebe. Im folgede Abschitt utersuche wir, wie ma die maximale Teilsumme vo folge bereche ka...3. Ituitive Lösug Ma erzeugt der Reihe ach alle Teilfolge der gegebee Folge, berechet vo jeder Teilfolge die Summe ud liefert die größte Summe als Ergebis, etwa so: static it maxteilsumme3(fial it[] folge) { it maxsumme = 0; // maximale Teilsumme ist midestes 0 (Summe der leere Teilfolge) for (it vo = 0; vo < folge.legth; vo++) for (it bis = vo; bis < folge.legth; bis++) { // Summe bilde it summe = 0; for (it i = vo; i <= bis; i++) summe += folge[i]; maxsumme = Math.max(summe, maxsumme); // Summe überprüfe, ob größer ; retur maxsumme; Wir verwede für Referezparameter das reservierte Wort fial im Sie vo cost, wie es i C++ bekat ist: Damit wolle wir adeute, dass das Parameterobjekt icht verädert cost ist ei reserviertes Wort i Java, wird aber vo de derzeitige Compiler icht ausgewertet

3 0. Gleichwertige Lösuge wird; fial i Java sichert ur die Uveräderbarkeit der Parameterreferez ierhalb des Methoderumpfs. Parameter primitiver Type (z.b. it) werde typischerweise im Methoderumpf icht verädert, daher lasse wir dort fial weg...4. Zeitkomplexität der Lösug Um etwas über die Schelligkeit der Fuktio maxteilsumme3 herauszufide, köte wir sie i eier bestimmte Umgebug laufe lasse ud dabei Zeitmessuge vorehme. Eie solche Umgebug ka z.b. aus eiem Studete bestehe, der Java-Programme mit Papier ud Bleistift ausführe ka. Auf eiem Recher köe wir eie Umgebug fide, zu der folgede Dige gehöre: ei Java-Compiler, der de Programmtext vo maxteilsumme3 i Bytecode umwadelt der Java-Iterpreter, der de Bytecode ausführt das Betriebssystem, uter dem der Iterpreter abläuft die Hardware, auf der der Iterpreter ud das Betriebssystem ausgeführt werde. Solche Zeitmessuge köe us sehr kokrete Erketisse über die Schelligkeit der Fuktio i eier kokrete Umgebug liefer. Adererseits habe sie de Nachteil, ur für diese eie Umgebug zu gelte. Kokrete Zeitmessuge sage also direkt ur etwas über die Kombiatio userer Fuktio maxteilsumme3 mit eier Umgebug aus. Über usere Fuktio maxteilsumme3 (ud de abstrakte Algorithmus, de sie darstellt) sage sie direkt ichts aus. Wir iteressiere us hier aber i erster Liie icht für Umgebuge, soder für Eigeschafte der Fuktio maxteilsumme3. Umgebuge habe die uageehme Eigeschaft, sehr zahlreich ud sehr vergäglich zu sei. Heute scho gibt es uübersehbar viele verschiedee Hardwarechips, Betriebssysteme ud Compiler. Ud i ei paar Jahre wird es sicherlich och mehr ud gaz adere Hardwarechips, Betriebssysteme ud Compiler gebe. User Ziel soll es deshalb sei, etwas über die Schelligkeit der Fuktio maxteilsumme3 herauszufide, was möglichst uabhägig vo kokrete Umgebuge ist ud auch och i ei paar Jahre gilt. Wie lage die Fuktio maxteilsumme3 braucht, um die maximale Teilsumme eier Folge zu bereche, wird (vermutlich auch i de Umgebuge, die us i ei paar Jahre zur Verfügug stehe) vo der Läge der Folge abhäge. Aber wie hägt der Zeitbedarf der Fuktio maxteilsumme3 vo der Läge ihres Parameters ab? Oder: Wie verädert sich der Zeitbedarf vo maxteilsumme3, we wir die Läge vo folge verdoppel, verdreifache, vervierfache usw.? Utersuche wir dazu die folgede Frage: z.b. PC mit eiem 500 MHz Petium III-Prozessor uter MS-Widows NT Versio 4.0 ud dem jdk-compiler, Versio. (bei der. Auflage galt scho als veraltet)

4 . Gleichwertige Lösuge Aufgabe.3: Wie oft wird Math.max i der Fuktio maxteilsumme3 aufgerufe, we die Reihug folge geau Elemete umfasst? Aufgabe.4: Wie oft wird die Additio summe += folge[i] ausgeführt (we folge.legth gleich ist)? Lösug: Math.max wird auf die Summe jeder echte Teilfolge vo folge geau eimal agewedet. Wie viele echte Teilfolge hat eie Folge der Läge? Es ist offesichtlich, dass eie Folge der Läge Teilfolge der Läge -0 ud Teilfolge der Läge - ud 3 Teilfolge der Läge - ud - Teilfolge der Läge 3 ud - Teilfolge der Läge ud -0 Teilfolge der Läge. hat. Für die Azahl der echte Teilfolge eier Folge der Läge gilt also: 3... ( ) ( ) i i ( ) ( Diese Formel besagt, wie oft der Vergleich maxsumme < summe ausgeführt wird. ) Jedes Elemet vo jeder Teilfolge wird geau eimal auf die Summe addiert. Für die Azahl der Additioe gilt also: i ( i( i) i i i ) ( i i i i i ) ( )( ) 6 6 i 3 i Wir sehe: Die Azahl der Vergleiche wächst im Wesetliche mit. Die Azahl der Summieruge wächst im Wesetliche mit 3. We geüged groß ist, werde die Additioe de größte Teil der Laufzeit vo maxteilsumme3 verbrauche, selbst we ei Vergleich ei Vielfaches der Zeit eier Additio koste würde. Das Ergebis userer Utersuchug: Der Zeitbedarf der Fuktio maxteilsumme3 wird für große vermutlich mit der dritte Potez vo (der Läge des Parameters folge) wachse. Das heißt z.b.: We wir verdoppel (d.h. ver--fache), da steigt der Zeitbedarf auf das 8-fache (weil 3 =8 ist). Diese abstrakte Erketis ist uabhägig davo, ob wir die Fuktio maxteilsumme3 auf eiem PC oder eiem Supercomputer laufe lasse. Ud sie wird wahrscheilich och ei paar Jahre gültig bleibe. 3

5 . Gleichwertige Lösuge Etwas iformell ka die Komplexität am Programmtext erkat werde: Die dreifach geschachtelte Schleife deutet auf eie kubische Komplexität hi. Aufgabe.5: Ist es möglich, dass ma i Zukuft eie Umgebug (Compiler, Betriebssystem, Hardwarechip) etwickelt, i der die Fuktio maxteilsumme3 ausgeführt werde ka ud i der ihr Zeitbedarf icht mit der dritte Potez vo wächst? Wie köte ma das erreiche? Oder ist es umöglich, das zu erreiche? Aufgabe.6: Wie viel Speicherplatz beötigt die Fuktio maxteilsumme3? Versuche Sie, diese Frage icht zu kokret zu beatworte...5. Zeit für Raum We geüged Speicher zur Verfügug steht, ka die Zeitkomplexität auf O( ) reduziert werde, idem die Teilsumme i eier -Matrix gespeichert werde. Sie köe für die Berechug aderer Teilsumme gebraucht werde ud ihre ereute Berechug bleibt auf diese Weise erspart: Für die Berechug der Teilsumme vom Idex i bis zum Idex j brauche wir ur eie Additio, we die Teilsumme vom Idex i bis zum Idex j- aus der Matrix geholt werde ka. Im Gegesatz dazu hat die ituitive Lösug aus dem vorige Kapitel j-i Additioe gebraucht. Zu diesem Zweck wird i eier doppelt geschachtelte Schleife jede Teilsumme (vom Idex i bis zum Idex j) errechet ud im (i, j)-te Elemet der Matrix gespeichert. I eier zweite geschachtelte Schleife wird u das Maximum aller Summe ermittelt. Diese Vorgehesweise mit eier halbe, d.h. a der Diagoale durchgeschittee Matrix (Dreiecktabelle) ka folgedermaße als Java-Fuktio formuliert werde: static it maxteilsumme(fial it[] folge) { fial it = folge.legth; it[][] teilsumme = ew it [][]; /* Dreiecktabelle der Teilsumme: für i j gilt teilsumme[i][j] ist Teilsumme i bis j, d.h. folge[i]+folge[i+]+ +folge[j] */ /* Jede Kompoete teilsumme[vo] mit eier it-reihug der richtige Läge (ämlich -vo) iitialisiere ud die 0-te Kompoete dieser it-reihug mit dem it-wert folge[vo] (mit der Summe der Teilfolge folge[vo..vo]) iitialisiere: */ for (it vo = 0; vo < folge.legth; vo++) { teilsumme[vo] = ew it[ - vo]; // vo-te Zeile des Dreiecks erzeuge teilsumme[vo][0] = folge[vo]; // 0-te Kompoete iitialisiere // die Spalte 0 vo teilsumme wurde iitialisiert; jetzt die übrige Spalte iitialisiere: for (it vo = 0; vo < ; vo++) for (it bis = ; bis < - vo; bis++) teilsumme[vo][bis] = teilsumme[vo][bis - ] + folge[vo + bis]; mit de Laufvariable vo, bis ud i Mathematiker sage Matrix, Java-Programmierer sage Tabelle

6 . Gleichwertige Lösuge 3 /* Teilsumme 0 bis,, 0 bis -: Auf die vorherige Teilsumme wurde das ächste Elemet addiert. */ // die maximale Kompoete i teilsumme ermittel: it maxsumme = 0; for (it vo = 0; vo < ; vo++) for (it bis = 0; bis < - vo; bis++) maxsumme = Math.max(maxSumme, teilsumme[vo][bis]); retur maxsumme; I dieser Lösug habe wir Laufzeit gespart, idem wir Speicherplatz geopfert habe: Aus de ur doppelt geschachtelte Schleife ist es ersichtlich, dass dieser Algorithmus eie Zeitkomplexität vo ur O( ) hat. Dafür muss hier die Dreiecktabelle teilsumme erzeugt werde, dere Größe mit auch quadratisch wächst: Die Speicherkomplexität ist also im Gegesatz zu maxteilsumme3 jetzt O( ). Diese Überlegug gilt allerdigs ur für hireiched große. Für kleies (z.b. für = 3) ka es durchaus vorkomme, dass die Fuktio maxteilsumme3 scheller ist. Dies gilt allgemei für Komplexitätsbetrachtuge: Eie bessere Komplexität ergibt eie bessere Laufzeit oder eie bessere Speicherplatzbedarf ur bei hireiched großer Date(mege). Für kleie Date(mege) ka ei schlechterer Algorithmus durchaus geeigeter sei...6. Teile ud herrsche Wir wolle jetzt eie och schellere Algorithmus kostruiere, mit dem ma die größte Teilsumme eier Zahlefolge bereche ka. Dabei wolle wir eier Strategie folge, die sich bei der Lösug vieler Probleme bewährt hat. Diese Strategie wird häufig Teile-ud-herrsche-Strategie geat ud ist als politisch-militärische Strategie midestes seit Machiavelli 3 (wahrscheilich aber scho viel läger) bekat. Auf ei algorithmisches Problem agewedet, legt diese Strategie folgede Vorgehesweise ahe:. Ma immt das gesamte Problem (z.b. Berechug der maximale Teilsumme vo folge) ud teilt es i mehrere Teilprobleme ei. Besoders häufig teilt ma das Gesamtproblem i zwei etwa gleich große Teilprobleme ei.. Ma löst die Teilprobleme. 3. Aus der Lösug der Teilprobleme errechet ma eie Lösug für das Gesamtproblem. mit de Laufvariable vo ud bis maxteilsumme3 kommt mit kostatem Speicher aus, d.h. der verbrauchte Speicher wächst icht mit ; seie Speicherkomplexität ist O( 0 ) = O() 3 italieischer Historiker ud Stratege,

7 4. Gleichwertige Lösuge Besoders iteressat ist diese Strategie, we ma sie rekursiv awede ka, d.h. we ma die Teilprobleme ach der gleiche Strategie i och kleiere Teil-Teilprobleme aufteile ka, ud diese Teil-Teilprobleme i och kleiere Teil-Teil-Teilprobleme usw., bis ma ur och atomare Problemche" hat, die ma direkt (d.h. ohe weitere Teilug) löse ka. Wie köe wir das Problem Bereche die maximale Teilsumme vo folge i zwei ugefähr gleich große Teilprobleme zerlege? Offebar geügt es icht, folge i zwei ugefähr gleich große Hälfte likehaelfte ud rechtehaelfte zu teile, vo jeder Hälfte die maximale Teilsumme zu bereche ud die größere dieser beide Teilsumme als Gesamtergebis zu ehme. De die maximale Teilsumme vo folge köte die Summe eier Folge sei, die teilweise i likehaelfte ud teilweise i rechtehaelfte liegt. Beispiel: Sei folge = (-, -, -, +, +, +, +, -, -, -). Die maximale Teilsumme ist offebar +4, ud die zugehörige Teilfolge (+, +, +, +) liegt teilweise i likehaelfte = (-, -, -, +, +) ud teilweise i rechtehaelfte = (+, +, -, -, -) vo folge. Eiige zusätzliche Begriffe werde die Kostruktio eies fuktioierede Algorithmus erleichter. Defiitio: Wir habe eie Folge folge ud betrachte alle Teilfolge, die irgedwo i folge afage ud bis zum rechte Rad vo folge reiche. Eie solche Teilfolge vo folge ee wir eie rechte Radfolge vo folge. Jede rechte Radfolge hat eie Summe. Jetzt betrachte wir die Summe aller rechte Radfolge vo folge. Die größte dieser Summe heißt auch rechtes Radmaximum vo folge. Like Radfolge ud likes Radmaximum werde aalog defiiert. Aufgabe.7: Bereche Sie vo folgede Folge jeweils die maximale Teilsumme sowie das rechte ud das like Radmaximum: folge = (-3, +5, -0, +4, +8, -4, -9, -, +3, +) folge = (+3, -, +5, -0, +3, +3) folge3 = (-0, +5, +3) folge4 = (+, +, +) folge5 = (-, -, -) folge6 = (+7) folge7 = (-7) folge8 = () Algorithmus zur Berechug der maximale Teilsumme eier Folge folge ach der Teileud-herrsche-Strategie:. We folge ur aus eier Zahl zahl besteht, da imm das Maximum vo zahl ud 0.. We folge aus zwei oder mehr Zahle besteht da:.. Teile folge i zwei etwa gleich große Hälfte likehaelfte ud rechtehaelfte.

8 . Gleichwertige Lösuge 5.. Bereche die maximale Teilsumme maxliks ud das rechte Radmaximum rechtesradmax vo likehaelfte..3. Bereche die maximale Teilsumme maxrechts ud das like Radmaximum likesradmax vo rechtehaelfte..4. Das Maximum der drei Zahle maxliks, maxrechts ud rechtesradmax + likesradmax ist die maximale Teilsumme vo folge. Im folgede Programm formuliere wir zwei Java-Fuktioe mit dem überladee Name maxteilsummerekursiv. Die Versio mit eiem Parameter vom Typ it[] stellt die Lösug der Aufgabe dar: private static it rechtesradmax(fial it[] folge, it liks, it rechts) { // // requires 0 <= liks <= rechts < folge.legth // berechet rechtes Radmaximum i folge zwische liks ud rechts it bishermax = 0, bishersum = 0; for (it i = rechts; i >= liks; i--) { bishersum += folge[i]; bishermax = Math.max(bisherMax, bishersum); ; retur bishermax; private static it likesradmax(fial it[] folge, it liks, it rechts) { // requires 0 <= liks <= rechts < folge.legth // berechet likes Radmaximum i folge zwische liks ud rechts it bishermax = 0, bishersum = 0; for (it i = liks; i <= rechts; i++) { bishersum += folge[i]; bishermax = Math.max(bisherMax, bishersum); ; retur bishermax; private static it maxteilsummerekursiv(fial it[]folge, it liks, it rechts) { // requires 0 <= liks <= rechts < folge.legth // berechet maximale Teilsumme i folge zwische liks ud rechts if (liks == rechts) // ur ei Elemet retur Math.max(0, folge[liks]); else { fial it mitte = (rechts + liks)/; fial it maxliks = maxteilsummerekursiv(folge, liks, mitte); fial it maxrechts = maxteilsummerekursiv(folge, mitte+, rechts); fial it rechtesmax = rechtesradmax(folge, liks, mitte); // like Hälfte ladsläufig: überladee Fuktioe ; jedoch icht die Fuktio, soder ihr Name wird überlade Methode sollte private vereibart werde, we sie ur ierhalb der Klasse aufgerufe werde. I diesem Buch wurde die meiste Methode paketweit (d.h. ohe Zugriffschutz) formuliert, außer we die Zugreifbarkeit betot werde soll.

9 6. Gleichwertige Lösuge fial it likesmax = likesradmax(folge, mitte+, rechts); // rechte Hälfte retur Math.max(maxRechts, Math.max(maxLiks, rechtesmax + likesmax)); public static it maxteilsummerekursiv(fial it[] folge) { // berechet maximale Teilsumme vo folge retur maxteilsummerekursiv(folge, 0, folge.legth-); Aufgabe.8: Wie oft ka ma eie Folge der Läge, der Läge 4, der Läge 8,, der Läge 04 i zwei gleiche Hälfte teile? Aufgabe.9: Wie oft ka ma eie Folge der Läge 37, der Läge 578 oder der Läge 34 i zwei ugefähr gleich große Hälfte teile? Aufgabe.0: We ma die Fuktio maxteilsummerekursiv mit eier Folge der Läge als Parameter aufruft, wie oft ruft sie sich da rekursiv auf? Aufgabe.: Wie viele Befehle werde bei jedem Aufruf vo maxteilsummerekursiv ausgeführt, we ma die rekursive Aufrufe vo maxteilsummerekursiv icht mitzählt? Aufgabe.: Begrüde Sie, dass der Zeitbedarf der Fuktio maxteilsummerekursiv proportioal zu log wächst. Aufgabe.3: Diskutiere Sie die Geschwidigkeite der Fuktioe maxteilsumme3, maxteilsumme ud maxteilsummerekursiv relativ zueiader. Ist maxteilsummerekursiv immer scheller als maxteilsumme3? Welche Rolle spiele die Umgebuge (Compiler, Hardware usw.), i dee die Fuktioe ablaufe?..7. Die optimale Lösug Die Fuktio maxteilsumme3 hat eie Zeitkomplexität vo O( 3 ), maxteilsumme hat eie Zeitkomplexität vo O( ), maxteilsummerekursiv hat eie Zeitkomplexität vo O( log ). Damit ist maxteilsummerekursiv (als abstrakter Algorithmus) viel scheller als maxteilsumme3. Häufig ist es so, dass die Teile-ud-herrsche-Strategie zu eiem schellste Algorithmus führt. Für das Problem der maximale Teilsumme eier Folge ist das icht der Fall. Es gibt eie och schellere Algorithmus als maxteilsummerekursiv. Auch für die Fuktio maxteilsummerekursiv gilt: Sie fasst jedes Elemet der Folge folge mehrmals a. Das tut sie, we sie die (rechte ud like) Radmaxima der beide Hälf- i wie viele Schritte: Eie Folge der Läge 8 wird im. Schritt i zwei Folge der Läge 4, im. Schritt i vier Folge der Läge ud im 3. Schritt i acht Folge der Läge geteilt. we es icht geau aufgeht : Eie Folge der Läge 37 ka i eie Folge der Läge 8 ud eie Folge der Läge 9 aufgeteilt werde, die ugefähr gleich lag sid.

10 . Gleichwertige Lösuge 7 te, ud da der Hälfte der Hälfte usw. der Folge folge berechet. Es ist aber möglich, die maximale Teilsumme vo folge zu bereche, idem ma jedes Elemet vo folge ur geau eimal afasst. Algorithmus zur Berechug der maximale Teilsumme vo folge, bei dem jedes Elemet ur eimal agefasst wird: Wir gehe elemetweise vo liks ach rechts durch folge. Bei jedem Schritt bereche wir für die scho utersuchte like Teilfolge vo folge (sie begit am Afag vo folge ud edet bei dem Elemet, welches wir gerade utersuche):. die maximale Teilsumme dieser like Teilfolge ud. das rechte Radmaximum dieser like Teilfolge. static it maxteilsumme(fial it[] folge) { it bishermax = 0; it radmax = 0; for (it zahl : folge) { // Zählschleife radmax = Math.max(0, radmax + zahl); bishermax = Math.max(bisherMax, radmax); ; retur bishermax; Aufgabe.4: Wie verädert sich der Zeitbedarf der Fuktio maxteilsumme we wir die Läge vo folge verdoppel? Welche Zeitkomplexität hat die Fuktio maxteilsumme also? Aufgabe.5: Halte Sie es für möglich, dass ma i Zukuft eie Algorithmus maxteilsumme0 fidet, der das selbe Problem löst wie maxteilsumme, aber eie och bessere Zeitkomplexität besitzt? We ja: Wie köte maxteilsumme0 fuktioiere? We ei: warum icht? Warug: Für das hier behadelte Problem der maximale Teilsumme eier Folge ud die vier Lösuge maxteilsumme3, maxteilsumme, maxteilsummerekursiv ud maxteilsumme gilt: maxteilsumme hat eie bessere Zeitkomplexität, besteht aus weiger Zeile Java-Text ud ist wohl icht schwerer zu verstehe als die adere Lösuge. Die Fuktio maxteilsumme vereit also alle Vorzüge auf sich. Das ist utypisch. Für viele bekate Probleme gilt: Je besser die Lösug, desto umfagreicher ud schwerer verstädlich ist sie. Aber der Wuschtraum eies jede Algorithmebauers ist es, für ei bekates Problem eie Lösugsalgorithmus zu fide, der scheller ist, weiger Speicher braucht, sich kürzer darstelle lässt ud leichter verstädlich ist als alle bisher bekate Lösuge. Das Sprachelemet Zählschleife (oder verbesserte for-schleife ) ab der Java Versio 5 ermöglicht, alle Elemete aus eier Reihug i eie Variable hieizulese ud sie im Schleiferumpf zu verwede.

11

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 009/10 1 Drei Beispiele Beispiel 1 Bremsweg eies PKW Bremsweg Auto.xls Ui Esse WS 009/10 Für user Modell des Bremsweges gilt a = a + d a =

Mehr

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen: 61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl

Mehr

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3 INHALTSVERZEICHNIS AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2 Datefluß ud Programmablauf 2 Vorbedigug 3 Nachbedigug 3 Schleifeivariate 3 KONSTRUKTION 4 ALTERNATIVE ENTWURFSMÖGLICHKEITEN 5 EFFEKTIVE

Mehr

1 Randomisierte Bestimmung des Medians

1 Randomisierte Bestimmung des Medians Praktikum Diskrete Optimierug (Teil 0) 0.07.006 Radomisierte Bestimmug des Medias. Problemstellug ud Ziel I diesem Abschitt stelle wir eie radomisierte Algorithmus zur Bestimmug des Medias vor, der besser

Mehr

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Ierbetriebliche Leistugsverrechug I der Kostestellerechug bzw. im Betriebsabrechugsboge (BAB ist ach der Erfassug der primäre Kostestellekoste das Ziel, die sekudäre Kostestellekoste, also die Koste der

Mehr

LV "Grundlagen der Informatik" Programmierung in C (Teil 2)

LV Grundlagen der Informatik Programmierung in C (Teil 2) Aufgabekomplex: Programmiere i C (Teil vo ) (Strukturierte Datetype: Felder, Strukture, Zeiger; Fuktioe mit Parameterübergabe; Dateiarbeit) Hiweis: Alle mit * gekezeichete Aufgabe sid zum zusätzliche Übe

Mehr

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen . Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.

Mehr

Informatik II Dynamische Programmierung

Informatik II Dynamische Programmierung lausthal Iformatik II Dyamische Programmierug. Zachma lausthal Uiversity, ermay zach@i.tu-clausthal.de Zweite Techik für de Algorithmeetwurf Zum Name: "Dyamische " hat ichts mit "Dyamik" zu tu, soder mit

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Istitut für tochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math.. Urba Lösugsvorschlag 9. Übugsblatt zur Vorlesug Fiazmathematik I Aufgabe Ei euartiges Derivat) Wir sid i eiem edliche, arbitragefreie Fiazmarkt,

Mehr

n=0 f(x) = log(1 + x) = n=1

n=0 f(x) = log(1 + x) = n=1 Potez - Reihe Machmal ist es praktisch eie Fuktio f() mir Hilfe ihrer Potezreihe auszudrücke. Eie Potezreihe um de Etwicklugspukt 0 sieht im Allgemeie so aus a ( 0 ) Fuktioe, für die eie Potezreihe eistiert,

Mehr

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst.

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst. Krytologie: Krytograhie ud Krytoaalyse Krytologie ist die Wisseschaft, die sich mit dem Ver- ud Etschlüssel vo Iformatioe befasst. Beisiel Iteretkommuikatio: Versiegel (Itegrität der Nachricht) Sigiere

Mehr

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools http://www.mathematik.uikl.de/ mamaeusch Grudgesamtheitsaaylse ud Stichprobe. Betrachtuge zur Stichprobefidug Paula Lagares Justo Puerto 1 MaMaEuSch 2

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

Kleines Matrix-ABC. Fachgebiet Regelungstechnik Leiter: Prof. Dr.-Ing. Johann Reger. 1 Elementares

Kleines Matrix-ABC. Fachgebiet Regelungstechnik Leiter: Prof. Dr.-Ing. Johann Reger. 1 Elementares 4 6 Fachgebiet Regelugstechik Leiter: Prof. Dr.-Ig. Joha Reger Kleies Matrix-ABC 1 Eleetares Eie ( )-Matrix ist eie rechteckige Aordug vo reelle oder koplexe Zahle a ij (auch Skalare geat) ud besteht aus

Mehr

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002 Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2

Mehr

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik

Mehr

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist. Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true,

Mehr

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES Der Problematik der alphabetische Codes liege Suchprobleme zugrude, dere Lösug dem iformatiostheoretische Problem der Fidug eies (optimale) alphabetische Codes gleich

Mehr

6. Übung - Differenzengleichungen

6. Übung - Differenzengleichungen 6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. Tobias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 01 Musterlösug zu Blatt 0 Aufgabe 1. Käpt Schwarzbart,

Mehr

KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...

KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung... KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4

Mehr

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S Statistik mit Excel 2013 Peter Wies Theme-Special 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S 3 Statistik mit Excel 2013 - Theme-Special 3 Statistische Maßzahle I diesem Kapitel erfahre Sie wie Sie Date klassifiziere

Mehr

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39 Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle

Mehr

1 Analysis T1 Übungsblatt 1

1 Analysis T1 Übungsblatt 1 Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.

Mehr

15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet

Mehr

KAPITEL 2. Zahlenfolgen

KAPITEL 2. Zahlenfolgen KAPITEL Zahlefolge. Kovergete Zahlefolge...................... 35. Grezwertbestimmug....................... 38.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug............. 4.4 Mootoe Folge..........................

Mehr

2. Diophantische Gleichungen

2. Diophantische Gleichungen 2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze

Mehr

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche

Mehr

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik

Mehr

Kapitel 4: Stationäre Prozesse

Kapitel 4: Stationäre Prozesse Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud

Mehr

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110 Name, Vorame Matrikel-Nr. Studiezetrum Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studieleistug Datum 10.11.2001 BW-WMT-S12 011110 Verwede Sie ausschließlich das

Mehr

Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartmann

Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartmann Lösugssizze Mathemati für Iformatier 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartma Verstädisfrage 1. We Sie die Berechug des Biomialoeffiziete mit Hilfe vo Satz 4.5 i eiem Programm durchführe wolle stoße Sie schell

Mehr

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit

Mehr

Kreisabbildungen. S 1 f S 1. Beispiele: (1) f = id, F = id,

Kreisabbildungen. S 1 f S 1. Beispiele: (1) f = id, F = id, Kreisabbilduge Im Folgede sehe wir us eie gaz spezielle Klasse vo dyamische Systeme a: Abbilduge auf dem Kreis. Diese sid eifach geug, so dass wir sie och recht leicht aalysiere köe, habe aber adererseits

Mehr

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

Einführung in die Grenzwerte

Einführung in die Grenzwerte Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der

Mehr

1. Folgen ( Zahlenfolgen )

1. Folgen ( Zahlenfolgen ) . Folge ( Zahlefolge Allgemeies Beispiel für eie regelmäßige Folge: /, /3, /4, /5, /6,... Das erste Glied ist a =/ Das ist das Glied mit dem Ide Das zweite Glied ist a =/3 Das ist das Glied mit dem Ide

Mehr

10 Aussagen mit Quantoren und

10 Aussagen mit Quantoren und 0 Aussage mit Quatore ud 0.6. Eisatz vo (bereits bekater) Eistezaussage Bisher hatte wir Eistezbeweise geführt, idem wir ei passedes Objekt agegebe habe ( Setze... ). Stattdesse ka ma auch auf bereits

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,

Mehr

Fakultät und Binomialkoeffizient Ac

Fakultät und Binomialkoeffizient Ac Faultät ud Biomialoeffiziet Ac 2013-2016 Die Faultät (atürliche Zahl): Die Faultät Faultät ist so defiiert:! = 1 2 3... ( - 1) ; 0! = 1 Die reursive Defiitio ist: Falls = 0, da! = 1; sost! = ( - 1)! JAVA-Methode(iterativ):

Mehr

1. Zahlenfolgen und Reihen

1. Zahlenfolgen und Reihen . Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,

Mehr

4. Reihen Definitionen

4. Reihen Definitionen 4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a

Mehr

Nennenswertes zur Stetigkeit

Nennenswertes zur Stetigkeit Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum

Mehr

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f

Klasse: Platzziffer: Punkte: / Graph zu f Pflichtteil Mathematik I Aufgabe P Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: / P.0 Gegebe ist die Fuktio f mit der Gleichug (siehe Zeichug). y x8 y,25 4 mit GI IRIR Graph zu f O x P. x 8 Die Pukte C (x,25

Mehr

Wörterbuchmethoden und Lempel-Ziv-Codierung

Wörterbuchmethoden und Lempel-Ziv-Codierung Kapitel 3 Wörterbuchmethode ud Lempel-Ziv-Codierug I diesem Abschitt lere wir allgemei Wörterbuchmethode zur Kompressio ud isbesodere die Lempel-Ziv (LZ))-Codierug kee. Wörterbuchmethode sid ei eifaches

Mehr

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur

Mehr

Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr

Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gaz ausführliches Traiig Datei Nr. 4002 Neu Überarbeitet Stad: 7. Juli 206 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

Aufgaben zur Übung und Vertiefung

Aufgaben zur Übung und Vertiefung Aufgabe zur Übug ud Vertiefug ARITHMETISCHE ZAHLENFOLGEN Berufliches Gymasium / Uterstufe () Stelle Sie fest, welche der gegebee Folge arithmetisch sid: Bestimme Sie zuächst die erste füf Folgeglieder,

Mehr

FormelnfürdieAnzahlmöglicherQuadrateaufn*nSpielfeldern

FormelnfürdieAnzahlmöglicherQuadrateaufn*nSpielfeldern Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 1 FormelfürdieAzahlmöglicherQuadrateauf*Spielfelder Mit Erläuteruge zur Ableitug der Formel vo Dr. Volker Bagert Berli, 11.03.010 Ihaltsverzeichis

Mehr

$Id: komplex.tex,v /04/13 15:09:53 hk Exp $

$Id: komplex.tex,v /04/13 15:09:53 hk Exp $ Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 $Id: komplex.tex,v.2 206/04/3 5:09:53 hk Exp $ Komplexe Zahle I diesem Kapitel wolle wir erst eimal zusammestelle was aus de vorige Semester über die komplexe

Mehr

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008 Stochasti ud ihre Didati Refereti: Iris Wiler 10.11.2008 Aufgabe: Führe Sie i der Seudarstufe II die Biomialoeffiziete als ombiatorisches Azahlproblem ei. Erarbeite Sie mit de Schülerie ud Schüler mithilfe

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 2

Musterlösung zu Übungsblatt 2 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.

Mehr

Fakultät und Binomialkoeffizient Ac

Fakultät und Binomialkoeffizient Ac Faultät ud Biomialoeffiziet Ac 2013-2016 Die Faultät (atürliche Zahl): Die Faultät Faultät ist so defiiert:! = 1 2 3... ( - 1), wobei 0! = 1 Die reursive Defiitio ist: Falls = 0, da! = 1; sost! = ( - 1)!

Mehr

Linsengesetze und optische Instrumente

Linsengesetze und optische Instrumente Lisegesetze ud optische Istrumete Gruppe X Xxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxx Xxxxxx Mat.-Nr.: XXXXX Mat.-Nr.: XXXXX XX.XX.XX Theorie Im olgede werde wir eie kurze Überblick über die Fuktio, de Aubau ud die Arte vo

Mehr

Reihen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen. Datei Nr (Neu bearbeitet und erweitert) Juni Friedrich W. Buckel

Reihen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen. Datei Nr (Neu bearbeitet und erweitert) Juni Friedrich W. Buckel Zahlefolge Teil 3 Reihe Reihe Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Datei Nr. 4003 (Neu bearbeitet ud erweitert) Jui 005 Friedrich W. Buckel Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt Defiitio eier Reihe

Mehr

Das Erstellen von Folgen mit der Last Answer Funktion

Das Erstellen von Folgen mit der Last Answer Funktion Schülerarbeitsblatt Wisseschaftlicher Recher EL-W5 WriteView Das Erstelle vo Folge mit der Last Aswer Fuktio 5 9 Die obige Folge wird ach eier eifache Regel gebildet: Zu jedem Glied wird addiert. Über

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,

Mehr

Musterlösung. Testklausur Vorkurs Informatik, Testklausur Vorkurs Informatik Musterlösung. Seite 1 von 10

Musterlösung. Testklausur Vorkurs Informatik, Testklausur Vorkurs Informatik Musterlösung. Seite 1 von 10 Musterlösug Name, Vorame, Matrikelummer Agabe sid freiwillig) Bitte ubedigt leserlich ausfülle Testklausur Vorkurs Iformatik, 27.09.20 Testklausur Vorkurs Iformatik 27.09.20 Musterlösug eite vo 0 Musterlösug

Mehr

Normierte Vektorräume

Normierte Vektorräume Normierte Vektorräume Wir betrachte im Folgede ur Vektorräume über R 1. Sei also V ei Vektorraum. Wir möchte Metrike auf V betrachte, die im folgede Sie mit der Vektorraumstruktur verträglich sid:, y,

Mehr

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Iformatik Logik i der Iformatik Prof. Dr. Nicole Schweikardt Page-Rak: Markov-Kette als Grudlage für Suchmaschie im Iteret Skript zum gleichamige Kapitel der im

Mehr

5 Bernoulli-Kette. 5.1 Bernoulli-Experiment. Jakob Bernoulli 1654-1705 Schweizer Mathematiker und Physiker. 5.1.1 Einleitung

5 Bernoulli-Kette. 5.1 Bernoulli-Experiment. Jakob Bernoulli 1654-1705 Schweizer Mathematiker und Physiker. 5.1.1 Einleitung Seite vo 7 5 Beroulli-Kette Jakob Beroulli 654-705 Schweizer Mathematiker ud Physiker 5. Beroulli-Exerimet 5.. Eileitug Oft iteressiert ma sich bei Zufallsexerimete icht für die eizele Ergebisse, soder

Mehr

Lernhilfe in Form eines ebooks

Lernhilfe in Form eines ebooks Ziseszisrechug Lerhilfe i Form eies ebooks apitel Thema Seite 1 Vorwort ud Eiführug 2 2 Theorie der Ziseszisrechug 5 3 Beispiele ud Beispielrechuge 12 4 Testaufgabe mit Lösuge 18 Zis-Ziseszis.de 212 Seite

Mehr

Kapitel 9: Schätzungen

Kapitel 9: Schätzungen - 73 (Kapitel 9: chätzuge) Kapitel 9: chätzuge Betrachte wir folgedes 9. Beispiel : I eiem Krakehaus wurde Date über Zwilligsgeburte gesammelt. Bei vo 48 Paare hatte die beide Zwillige verschiedees Geschlecht.

Mehr

Asymptotische Notationen

Asymptotische Notationen Foliesatz 2 Michael Brikmeier Techische Uiversität Ilmeau Istitut für Theoretische Iformatik Sommersemester 29 TU Ilmeau Seite 1 / 42 Asymptotische Notatioe TU Ilmeau Seite 2 / 42 Zielsetzug Igoriere vo

Mehr

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man: Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes

Mehr

Kombinatorik und Polynommultiplikation

Kombinatorik und Polynommultiplikation Kombiatorik ud Polyommultiplikatio 3 Vorträge für Schüler SS 2004 W Pleske RWTH Aache, Lehrstuhl B für Mathematik 3 Eiige Zählprizipie ud Ausblicke Wir habe bislag gesehe, was die Multiomialkoeffiziete

Mehr

Dynamisches Programmieren Stand

Dynamisches Programmieren Stand Dyamisches Programmiere Stad Stad der Dige: Dyamische Programmierug vermeidet Mehrfachberechug vo Zwischeergebisse Bei Rekursio eisetzbar Häufig eifache bottom-up Implemetierug möglich Das Subset Sum Problem:

Mehr

n 2(a + bx i y i ) = 0 und i=1 n 2(a + bx i y i )x i = 0 i=1 gilt. Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir nach wenigen einfachen Umformungen

n 2(a + bx i y i ) = 0 und i=1 n 2(a + bx i y i )x i = 0 i=1 gilt. Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir nach wenigen einfachen Umformungen Regressio Dieser Text rekapituliert die i der Aalsis ud Statistik wohlbekate Methode der kleiste Quadrate, auch Regressio geat, zur Bestimmug vo Ausgleichsgerade Regressiosgerade ud allgemei Ausgleichpolome.

Mehr

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a)

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a) Quatisierug eies skalare Feldes Das Ziel ist eigetlich das elektromagetische Feld zu quatisiere, aber wie ma scho a de MAXWELLsche Gleichuge sehe ka, ist es zu kompliziert, um damit zu begie. Außerdem

Mehr

Tutorial zum Grenzwert reeller Zahlenfolgen

Tutorial zum Grenzwert reeller Zahlenfolgen MAE Mathematik: Aalysis für Igeieure Herbstsemester 206 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Witerthur Tutorial zum Grezwert reeller Zahlefolge I diesem Tutorial lere Sie, die logische Aussage i der Defiitio des

Mehr

Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17

Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17 Folge, Reihe Idex Kovergezkriterie Hauptkriterium, Leibiz-Kriterium, Majoratekriterium, 4 Mioratekriterium, otwediges Kriterium, 0 Quotietekriterium, teleskopierede Summe, Wurzelkriterium, Majorate, 4

Mehr

5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge

Mehr

Wallis-Produkt, Gammafunktion und n-dimensionale Kugeln

Wallis-Produkt, Gammafunktion und n-dimensionale Kugeln Wallis-Produkt, Gammafuktio ud -dimesioale Kugel Thomas Peters Thomas Mathe-Seite www.mathe-seite.de 6. Oktober 3 Das Ziel dieses Artikels ist es, Formel für das Volume ud die Oberfläche vo -dimesioale

Mehr

Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen

Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Eperte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge

Mehr

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac Die Gasgesetze Die Beziehug zwische olume ud Temeratur (Gesetz vo J.-L. Gay-Lussac ud J. Charles): cost. T oder /T cost. cost.. hägt h vo ud Gasmege ab. Die extraolierte Liie scheidet die Temeratur- skala

Mehr

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015 Lösuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 04/05 Fabia Hafer, Thomas Baldauf I Richtig oder Falsch Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie

Mehr

Statistik I/Empirie I

Statistik I/Empirie I Vor zwei Jahre wurde ermittelt, dass Elter im Durchschitt 96 Euro für die Nachhilfe ihrer schulpflichtige Kider ausgebe. I eier eue Umfrage uter 900 repräsetativ ausgewählte Elter wurde u erhobe, dass

Mehr

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa 20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle

Mehr

Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr

Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr ZAHLENFOLGEN Teil Geometrische Folge Auch Wachstumsfolge Viele Aufgabe Lösuge ur auf der Mathe-CD Hier ur Ausschitte Datei Nr. 00 Friedrich Buckel März 00 Iteretbibliothek für Schulmathematik 00 Geometrische

Mehr

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez

Mehr

Kapitel 10. Rekursion

Kapitel 10. Rekursion Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 1 Kapitel 10 Rekursio Rekursio Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Ziele Das Prizip der rekursive

Mehr

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Rekursionsgleichungen. Übersicht. Vorlesung 6: Mastertheorem (K4) Joost-Pieter Katoen

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Rekursionsgleichungen. Übersicht. Vorlesung 6: Mastertheorem (K4) Joost-Pieter Katoen Übersicht Datestrukture ud Algorithme Vorlesug 6: (K) Joost-Pieter Katoe Lehrstuhl für Iformatik 2 Software Modelig ad Verificatio Group 1 Substitutiosmethode Rekursiosbäume http://moves.rwth-aache.de/teachig/ss-15/dsal/

Mehr

ELEMENTE DER ZAHLENTHEORIE UND AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS

ELEMENTE DER ZAHLENTHEORIE UND AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS ELEMENTE DER ZAHLENTHEORIE UND AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS vo Rolf Waldi 1 Kapitel I. Elemetare Zahletheorie 1 Grudlegede Regel ud Prizipie Es wird vorausgesetzt, daß der Leser mit gaze Zahle reche ka ud

Mehr

LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018

LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018 LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge

Mehr

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v Tao De / Pa JiaWei Ihrig/Pflaumer Fiazmathematik Oldeburg Verlag 1999 1..Ei Darlehe vo. DM soll moatlich mit 1% verzist ud i Jahre durch kostate Auitäte getilgt werde. Wie hoch sid a) die Moatsrate? b)

Mehr

Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017

Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017 4 Elemete der Mathemati - Witer 201/2017 Prof. Dr. Peter Koepe, Regula Krapf Übugsblatt 8 Aufgabe 33 ( Pute). Beweise Sie folgede Idetitäte durch vollstädige Idutio: (a) 0 2 (1)(21), N. (b) 2 (1 1 ) 1

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes

Mehr

Taylorreihen und ihre Implementierung mit JAVA: n 0

Taylorreihen und ihre Implementierung mit JAVA: n 0 Taylorreihe ud ihre Implemetierug mit JAVA: Taylorpolyome sid gazratioale Futioe T(), welche eie bestimmte adere Futio f() i der Umgebug eier vorgegebee Stelle approimiere. å T ( ) = a ( - ) = a + a (

Mehr

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen 6 Grezwerte vo Zahlefolge Ei zetraler Begriff der Aalysis ist der des Grezwertes. Wir begie mit der Betrachtug vo Grezwerte vo Zahlefolge. 6. Zahlefolge 6.. Grudbegriffe Defiitio 6... Eie Fuktio f : Z

Mehr

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt

Mehr

3 Elemente der Komplexitätstheorie Definitionen und ein Beispiel Nichtdeterminismus und das P-NP-Problem... 57

3 Elemente der Komplexitätstheorie Definitionen und ein Beispiel Nichtdeterminismus und das P-NP-Problem... 57 Ihaltsverzeichis 1 Berechebarkeit ud Algorithme 7 1.1 Berechebarkeit................................. 7 1.1.1 LOOP/WHILE-Berechebarkeit................... 8 1.1.2 Turig-Maschie...........................

Mehr

Abb. 1: Woher kommen die schwarzen Quadrate?

Abb. 1: Woher kommen die schwarzen Quadrate? Has Walser, [0160916], [0161009] Umögliche pythagoreische Dreiecke Idee: Chr. Z., B. 1 Schwarze Quadrate Woher komme die beide schwarze Quadrate? Abb. 1: Woher komme die schwarze Quadrate? Sachverhalt

Mehr

4-1 Elementare Zahlentheorie

4-1 Elementare Zahlentheorie 4-1 Elemetare Zahletheorie 4. Dirichlet s Satz über Primzahle i arithmetische Progressioe. Satz (Dirichlet 1837). Seie a, k atürliche Zahle. Sid die Zahle a, k teilerfremd, so gibt es uedlich viele Primzahle

Mehr

5.3 Wachstum von Folgen

5.3 Wachstum von Folgen 53 Wachstum vo Folge I diesem Abschitt betrachte wir (rekursiv oder aders defiierte) Folge {a } = ud wolle vergleiche, wie schell sie awachse, we wächst Wir orietiere us dabei a W Hochstättler: Algorithmische

Mehr

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele

Mehr