Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartmann

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1 Lösugssizze Mathemati für Iformatier 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartma Verstädisfrage 1. We Sie die Berechug des Biomialoeffiziete mit Hilfe vo Satz 4.5 i eiem Programm durchführe wolle stoße Sie schell auf ei Problem. Welches? Habe Sie eie Lösug dafür? Wege der doppelte Reursio explodiert die Azahl der Aufrufe. Ma a aber eimal berechete Werte i eiem Array zwischespeicher. 2. Warum führt der Eulid sche Algorithmus immer zu eiem Ergebis? Der Rest wird immer leier, daher irgedwa zu Der größte gemeisame Teiler zweier Zahle a,b sei eie Primzahl. Ka es sei, dass a,b weitere gemeisame Teiler habe? Nei, dieser müsste sost ei Teiler der Primzahl sei. 4. Wie viele gerade Primzahle gibt es? (Nr.3 i Auflage 5) Nur die Zahl 2! 5. Wie wird der Rest eier Divisio a/b i der Mathemati berechet, wie i gägige Programmiersprache (Java oder C++)? Mathe: Das eideutige r mit 0 r < b mit a = bq +r (immer positiv!) Java: Bereche q = a / b, ist a oder b egativ da q 2 = -q ud r ommt aus a = bq 2 +r 6. Wird als Hashfutio die modulo Abbildug modulo eier Primzahl verwedet, so a ma bei liearer Kollisiosauflösug alle Primzahle verwede, bei quadratischer Kollisiosauflösug icht. Warum? Da icht alle Zahle der Hashtabelle durchlaufe werde, we p 3mod4ist. 7. I gilt immer! 0. Ka! 0 werde i / m? Ja, sobald m ist. Übugsaufgabe 1. Zeige Sie: sid a, b gaze Zahle mit a b ud b a, so gilt a = b oder a = b. a b b = q 1 a, b a a = q 2 b. Eigesetzt: a = q 2 (q 1 a) a = q 1 q 2 a q 1 q 2 = 1. Dies ist ur möglich we q 1 = q 2 = 1 oder q 1 = q 2 = -1. Also ist a = b. 2. Zeige Sie: gilt für gaze Zahle a 1 b 1 ud a 2 b 2, so gilt auch a 1 a 2 b 1 b 2. a 1 b 1 b 1 = q 1 a 1, a 2 b 2 b 2 = q 2 a 2. Damit b 1 b 2 = q 1 a 1 q 2 a 2 = q 1 q 2 a 1 a 2, also a 1 a 2 b 1 b Zeige Sie, dass die Teilbareitsrelatio (Defiitio 4.9) auf de atürliche Zahle eie partielle Ordug darstellt. Es ist Defiitio 1.12 achzuprüfe. Wege 4.10a) gilt a b ud b c a c. Natürlich gilt a a ud wege 4.10d) gilt auch a b ud b a a = b. (Die Aufgabe war auf die atürliche Zahle beschrät, daher a icht a = -b sei.) 1

2 Lösugssizze Mathemati für Iformatier 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartma 4. Schreibe Sie ei reursives Programm zur Berechug vo die Formel 1 = 1. it ueber(it, it ){ if((==) (==0)) retur 1; retur ueber(-1,) + ueber(-1,-1); mai(){ it,; ci >> >> ; cout << ueber(,);. Verwede Sie dazu 5. Eie etwas iffligere Idutiosaufgabe: Zeige Sie, dass zur reursive Berechug vo (ach Aufgabe 3) geau 2 1 Futiosaufrufe ötig sid. Idutiosafag: 0 1 ei Futiosaufruf. 0 Idutiosaahme: Sei die Behauptug richtig für ud 0. Idutiosschluss: Sei 0 < <. Der 1. Aufruf lautet: ueber(,); I dieser Futio wird ueber(-1,) ud ueber(-1,-1) berechet, also zusätzlich ach Idutiosaahme Aufrufe. Also habe wir isgesamt 2 1 Aufrufe. 1 Sie öe das auch ausprobiere, idem Sie i Ihrer Implemetierug eie Zähler itegriere, der die Azahl der Futiosaufrufe zählt. I dieser Form ist der Algorithmus also für pratische Zwece ugeeiget. We Sie die Berechug eies Biomialoeffiziete geau aalysiere werde Sie feststelle, dass i der Reursio viele Koeffiziete mehrfach berechet werde. Durch eie leie Tric öe Sie das vermeide ud de Algorithmus so aufbohre, dass er doch och sehr schell wird. 6. Bereche Sie die Wahrscheilicheit 6 Richtige im Lotto zu habe, we ma 8 Zahle aus 49 auswähle a = Azahl möglicher 6 er. 8 6 = Azahl der mögliche 6er i 8 Zahle. Die Wahrscheilicheit ist (1/Azahl der mögliche 6er) (Azahl der mögliche 6er i 8 Zahle) Zeige Sie mit vollstädiger Idutio, dass für alle gilt: a) 2 + ist durch 2 teilbar, b) 3 ist durch 6 teilbar. Zu a): Idutiosafag: ist durch 2 teilbar. Idutiosaahme: Es sei 2 + durch 2 teilbar, also 2 + = Idutiosschluss: ( 1) ( 1) ( ) ( 1), das ist durch 2 teilbar. 2

3 Lösugssizze Mathemati für Iformatier 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartma Zu b): Idutiosafag: = 0 ist durch 6 teilbar. Idutiosaahme: Es sei 3 durch 6 teilbar, also 3 = Idutiosschluss: ( 1) ( 1) ( ) 3( ) 6 3 2l, das ist durch 6 teilbar. 8. Bereche Sie de größte gemeisame Teiler d vo 456 ud 269 mit Hilfe des Eulid'sche Algorithmus. Bestimme Sie Zahle, mit d. 456 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Schreibe Sie i C++ oder Java eie Modulo-Operator, der auch für egative Zahle mathematisch orret arbeitet. Sei p > 0 ud < 0. Es ist ( ) mod p mod p ( )mod p 0. Da mod p ud ( )mod p beides Reste modulo p sid, muss mod p p ( ) mod p sei. Damit lautet eie mögliche Implemetierug i C++: log mod(log, usiged log p){ if ( >= 0) retur %p; retur p (-)%p; 10. Schreibe Sie für /7 ud /8 die Multipliatiostabelle auf. Schaue Sie sich die Zeile ud Spalte i de beide Tabelle geau a. Was fällt Ihe dabei auf? I jeder Zeile ud i jeder Spalte ommt jede Zahl geau eimal vor. Wora das liegt lere Sie im ächste Kapitel 3

4 Lösugssizze Mathemati für Iformatier 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartma 11. Zeige Sie: Ist a a' mod m ud b b' mod m, so gilt a+b a'+b' mod m. a a mod m a a' = q 1 m, ud b b mod m b - b' = q 2 m. Daraus folgt: (a a' ) + (b b' ) = (q 1 + q 2 )m (a + b) - (a' + b' ) = (q 1 + q 2 )m, also a + b a' + b' mod m. 12. Beim Reche mit Reste a ma die Operatioe +, mit der modulo Operatio vertausche. Geauso geht ma beim Poteziere vor: Um a 2 mod zu bereche, ist es eifacher [(a mod )(a mod )]mod zu bereche (warum eigetlich? Probiere Sie ei paar Beispiele aus). Ählich geht ma bei der Berechug vo a m mod vor. Mit diesem Wisse öe Sie mit Hilfe des i Aufgabe 8 vo Kapitel 3 agegebee Algorithmus zur Berechug vo x eie reursive Algorithmus zur Berechug vo a m mod formuliere. amod, falls m 1 m m/2 m/2 a mod ( a mod )( a mod ) mod, falls m gerade m 1 ( amod )( a mod ) mod, falls m ugerade 13. Implemetiere Sie de Eulid'sche Algorithmus; eimal iterativ ud eimal reursiv. Zuächst reursiv: it ggt(it a, it b) { it r = a%b; if(r == 0) retur b; retur ggt(b,r); Ud jetzt iterativ, gleichzeitig werde ud b berechet mit a + b b = ggt(a, b): it mai(){ log a,b,q,r,r1,r2,a0,a1,a2,b0,b1,b2; ci >> a; ci >> b; r = a; r1 = b; b0 = 0; a0 = 1; b1 = 1; a1 = 0; while (r2!= 0){ q = r/r1; r2 = r%r1; // Iitialisierug // Abbruchbedigug // Schleiferumpf a2 = a0 - q*a1; b2 = b0 - q*b1; r = r1; r1 = r2; a0 = a1; // Umspeicher vo Variable 4

5 Lösugssizze Mathemati für Iformatier 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartma a1 = a2; b0 = b1; b1 = b2; cout <<"ggt("<< a <<','<< b <<") lautet: "<< r; cout <<"\Es ist "<< a0 <<'*'<< a <<'+'<< b0 <<'*'<< b <<'='<< r; 5