Vorkurs Mathematik für Informatiker Potenzen und Polynome --

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1 Vorkurs Mathematik für Iformatiker -- Poteze ud Polyome -- Thomas Huckle Stefa Zimmer (Stuttgart)

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3 Vorwort Es solle Arbeitstechike vermittelt werde für das Iformatikstudium Der wesetliche Teil ist das Bearbeite der Übugsaufgabe V, Z, T, S, Aufgabe, die ma icht löse kote, ka ma vergesse, daher gibt es keie Musterlösuge : learig by doig Stoffauswahl: - Wiederholug vo Schulstoff - Iformatik-relevate Mathematik - isgesamt relativ willkürlich, aber iteressat!

4 Vorgehesweise Typischer Lösugsweg für Übugsaufgabe: Aus aktuellem Teil des Skripts/der Vorlesug die Defiitioe aschaue, umformuliere, zusammefüge Lösug Mathematik: Defiitio vo Objekte ud Operatioe. Frage ach Eigeschafte der defiierte Strukture! Vorlesug verstehe? Mitschreibe! Nacharbeite! Jeder Zeit Frage stelle! Aweseheit! Verschiedee Schwierigkeitsstufe. Serlo: 4

5 Poteze bzgl. Additio Eiführug der Zahloperatioe, basiered auf 0 ud : Poteze bezgl. + :... -mal Mächtigkeit eier Mege mit Elemete (Äpfel) Additio: + = (++..++) + als Nachfolger vo Multiplikatio: m... m-mal als wiederholte Additio i Pakete oder Mächtigkeit vo m Mege der Mächtigkeit 5

6 6 Poteze bzgl. Multiplikatio Potez als wiederholte Multiplikatio: : -mal als abkürzede Defiitio/Schreibweise := m m m-mal -mal m+-mal m m m y y y y y y m-mal m-mal m-mal m m m m -mal m-mal m-mal -mal

7 Rekursive Defiitio Präzise mathematische Defiitio: : für für 0 0 Als Computer-Programm: fuctio Potez( : Real; : Iteger): Real; begi if = the Potez := else Potez := Potez(, -) ed; Rekursives Programm (Ausführug vo obe her) 7

8 Loop programm fuctio Potez ( : Real; : Iteger ) : Real ; var p: Real ; i : Iteger ; begi p :=.0 ; for i := to do p := p ; Potez := p ; ed ; Iduktives Programm (Ausführug vo ute her) 8

9 Brüche als Epoet Defiitio: Für eie positive Zahl ϵ IR ud ϵ IN ist / diejeige positive Zahl y, für die gilt y =. Damit diese Defiitio verüftig ist, sollte es ur eie solche Zahl y gebe! y Für = bekomme wir die übliche Wurzel y Etspreched ist die -te Wurzel defiiert durch : 9

10 Recheregel Die Defiitio vo / alte Regel ( m ) = m wurde geau so gewählt, dass die weiter gilt:? Somit hebt der Epoet / die Wirkug des Epoete auf, bzw. Epoet hebt / auf. Daher ist die Umkehrfuktio vo y / (ud umgekehrt). p q p q q : p p q 0

11 Ziel: Erweiterug des Potezieres auf reelle Zahle Brüche (positive ratioale Zahle), scho geschafft. Erweiterug jeweils so, dass die alte Regel weiter gelte. Negative Epoete: m m für m = 0: 0 0 Daher muss 0 = sei. m m für m = : 0 Daher muss : sei wege Später soll atürlich auch y für, yr, 0, defiiert sei.

12 Polyome - Defiitioe Ei Term der Form heißt Moom (i ); є ǀR: Ubekate; є ǀN: Potez Die a i, i=0,,,, heiße Koeffiziete des Polyoms. Etspreched heißt ei Term ei Polyom (i ). Ide i. Summezeiche. 0 0 a a a a i i i Das Summezeiche Σ diet der eifachere Notatio i i a a a a a a 0 0

13 Polyom als Code program Polyom; cost = ; var a: array [0.. ] of Real = (4.0, 0.0, 7.0, 5.0 ); : Real =.0; sum: Real; i: Iteger; begi sum := 0.0; for i := 0 to do sum := sum + a[i] * ( ** i); WriteL (sum); ed;

14 Diskussio Das Programm wertet das Polyom aus. Ma gibt also eie Stelle ei ud erhält dafür de Wert des Polyoms sum a dieser Stelle. Das Programm ist eigetlich ei schwerer Kustfehler. Aufwädig ud teuer! Es geht wesetlich geschickter! Beispiele für Polyome: (ach 0 das eifachste) ( ei ierer Koeffiziet ist 0) 4

15 Grad eies Polyoms Der Grad eies Polyoms ist das größte i mit a i 0 Notatio: deg( ) : Allgemei: a i0 i deg i (=, falls a 0). Aufgabe: deg()=?, deg(7+)=?, deg( )=? deg()=0; deg(7+)=; deg( )=; deg(0)=? 5

16 deg(0)? Recheregel für deg: Sei p Polyom vom Grad. deg(p p m ) = + m = deg(p ) + deg(p m ) deg(p +p m ) <= ma{,m} = ma{deg(p ),deg(p m )} Speziell für p =0 soll daher auch gelte: deg(0 p m ) = deg(0) + m = deg(0) deg(0+p m ) = ma{deg(0),m} = m Also deg(0)<m, so dass deg(0)+=deg(0) deg(0) = Machmal auch deg(0) = - i der Computeralgebra. 6

17 7? Addiere ud Multipliziere vo Polyome Fuktioiert mit de übliche Recheregel. 4 Multipliziere:?

18 8 Polyomdivisio (mit Rest) Nahelieged: (+) : (+) = (Vorsicht mit =-) oder p() = + = (+) = q() p:q= Ählich: ( -) : (+) = (-) oder - = (-) (+) ) ( sieht ma Aus dem vorige Beispiel 5 4 Formale Defiitio? Berechug?

19 Divisio mit Rest für ln Zu,m ϵ ln gibt es eideutig bestimmte q,r ϵ ln mit r<m, so dass = q m + r gilt. Dabei ist q das Ergebis ud r der Rest der gazzahlige Divisio vo durch m, /m. Übertragug auf Polyome: Zu zwei Polyome N ud M mit Koeffiziete aus lr gibt es eideutig bestimmte Polyome Q, R mit Koeffiziete aus lr mit deg(r) < deg(m), so dass N = Q M + R. Dabei ist Q das Ergebis ud R der Rest der Polyomdivisio vo N durch M, N : M. 9

20 Beispiel ( ) : ( ) ( ) /( ) ( ) ( ) (- ist der Rest) 0

21 Lieare Polyome Wichtige Spezialfälle: Polyome vo kleiem Grad Im Fall deg(p) heißt P liear ud ist eie Gerade. P vo der Form P P( ) a b z.b. i lieare Gleichuge: a + b = 0 Ist leicht zu löse, so lage a 0 ist.

22 Quadratische Polyome Im Fall deg(p) heißt P quadratisch, ist also vo der Form P = P() = a + b + c (eie Parabel) Dazu gehöre die quadratische Gleichuge (obda a=): p q 0 mit de Lösuge p p 4 q so lage p 4q ist (aderfalls komplee Lösuge!) Aufgabe: = 0. Lösuge? =, =4.

23 Nullstellesuche Die Nullstelle, eies quadratische Polyomes liefer eie Zerlegug i Liearfaktore: p q ( )( ). Sei P ei beliebiges Polyom vom Grad mit Nullstelle. Da ka ma de Liearfaktor abspalte durch Polyomdivisio: P( ) Q( ) ( ) mit eiem Polyom Q vom Grad -. Die Nullstelle vo P sid u ud die Nullstelle vo Q. Hauptsatz der Algebra: Polyom zerfällt i Liearfaktore.

24 Beispiele Polyome P ud ratioale Fuktioe P/Q sid wichtige Klasse vo Beispielfuktioe ud diee als Baukaste, um kompliziertere Fuktioe azuäher (Potezreihe, Computergraphik, Bildverarbeitug) Aäherug der Epoetialfuktio bei =0 durch Polyome wachsede Grads. 4

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