1 Potenzen und Polynome

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1 1 Potenzen und Polynome Für eine reelle Zahl x R und eine natürliche Zahl n N definieren wir x n := x x x... x }{{} n-mal Einschub über die bisher aufgetretenen mathematischen Symbole: Definition mittels := (die linke Seite des := wird durch die rechte definiert) Zahlenmengen, nämlich die Menge N der natürlichen Zahlen (bei uns ohne 0; wenn wir die 0 dabeihaben wollen, schreiben wir N 0 ) N := {1,2,3,...} unddiemengederreellenzahlenr,dieauchdie0,dienegativenganzen Zahlen, die Brüche und die irrationalen Zahlen enthält. Für die so definierten Potenzen gelten die Potenzgesetze: für beliebige Zahlen x,y R und m,n N gilt x m x n = x m+n, (1.1) x m y m = (x y) m, (1.2) (x m ) n = x m n. (1.3) Präziser könnten wir unsere Potenzen rekursiv definieren (wieder sei x R und n N): { x n x für n = 1, := x x n 1 für n > 1. Für Informatiker ist diese Definition vielleicht angenehmer, weil sie schon fast an ein Programm erinnert hier in Pascal aufgeschrieben unter der Annahme, dass Real und Integer geeignete Datentypen für reelle bzw. natürliche Zahlen sind: function Potenz(x: Real; n: Integer): Real; begin if n=1 then Potenz := x else Potenz := x Potenz(x, n 1) end;

2 Die erste Definition erinnert auch an ein Programm: function Potenz(x: Real; n: Integer): Real; var p : Real; i : Integer; begin p := 1.0; for i := 1 to n do p := p x; Potenz := p; end; Die Definition für den Computer ist formaler. Dieser benötigt immer eine Berechnungsvorschrift unsere mathematische Definition ist das hier auch, in anderen Fällen kann da aber z.b. auch stehen das y R, für das...gilt. Brüche als Exponent Definition: Für eine positive Zahl x R und n N ist x 1 n diejenige positive Zahl y, für die y n = x gilt. Für n = 2 bekommen wir die üblichen Wurzeln. Entsprechend ist die n-te Wurzel definiert durch n x := x 1 n. Diese Definition ist auch insofern sinnvoll, weil die Regel(1.3), die ursprünglich nur für natürliche Zahlen n und m galt, nun auch auf den Fall m = 1/n ausgedehnt werden kann. (1.3) führt somit direkt zu einer Definition von x p q mit positivem x und p,q N: x p q := (x 1 q) p. Negative Exponenten: x m x n = x m+n für m = 0 : x 0 x n = x 0+n = x n Daher muss x 0 = 1 sein. x m x n = x m+n für m = n : x n x n = x n+n = x 0 Daher muss x n := 1 x n sein wegen x n x n = 1. Die Definition von x b für positives x lässt sich auch auf beliebige reelle Exponenten (z.b. 2) erweitern und die Potenzgesetze (1.1) bis (1.3) gelten weiterhin.

3 Wenn wir Potenzen kennen, können wir uns als nächstes daraus Polynome zusammenbauen. Im ganzen Kapitel werden nur nichtnegative ganze Zahlen als Exponenten vorkommen (also aus N 0 ), so dass als Basis beliebige (z.b. reelle) Zahlen zulässig sind. Ein Term der Form x n, x R, n N heißt Monom. Ein Term der Form a i x i mit n+1 Zahlen a i als Koeffizienten heißt Polynom (in x). Das Summenzeichen dient der einfacheren Notation: a i x i := a 0 x 0 +a 1 x 1 +a 2 x a n x n. Polynom als code: program Polynom; const n = 3; var a: array [0.. n] of Real = (4.0, 0.0, 7.0, 15.0); x: Real = 2.0; sum: Real; i : Integer; begin sum := 0.0; for i := 0 to n do sum := sum + a[ i ] (x i ); WriteLn(sum); end. Wer will kann sich einen effizienteren code überlegen. Beispiele für Polynome: 1 (nach 0 das Einfachste!) 7x+3 15x 3 +7x 2 +4 (Es können auch Koeffizienten 0 sein) Der Grad eines Polynoms P (in Zeichen: deg(p)) ist die höchste vorkommende Potenz mit Koeffizient ungleich Null ( mit Ausnahme von deg(0) := ) ( minus unendlich ). Es gilt also: deg a i x i n (kleiner als n, wenn a n = 0 ist). Für die Beispiele von eben gilt: deg(1) = 0, deg(0) =, deg(7x+3) = 1 und deg(15x 3 +7x 2 +4) = 3.

4 Rechenregeln für deg: Sei p n Polynom vom Grad n. deg(p n p m ) = n+m = deg(p n )+deg(p m ) deg(p n +p m ) max{n,m} = max{deg(p n ),deg(p m )} Speziell für p n = 0 soll daher auch gelten: deg(0 p m ) = deg(0)+m = deg(0) deg(0+p m ) = max{deg(0),m} = m Also deg(0) < 0, so dass deg(0) +1 = deg(0) deg(0) =. Manchmal auch deg(0) = 1 in der Computeralgebra. Addition von Polynomen: ( x 2 +2x+1 ) + ( x 2 x+3 ) = 2x 2 +x+4 Multiplikation von Polynomen: ( x 2 +2x+1 ) (x 2 x+3 ) = x 4 +x 3 +2x 2 +5x+3. Division (mit Rest) geht auch. Im Allgemeinen funktioniert die Division analog zum schriftlichen Dividieren ganzer Zahlen. ( x 4 +x 3 +2x 2 +2x+4 ) = ( x 2 +2x+1 )( x 2 x+3 ) 3x+1 Division mit Rest bei den natürlichen Zahlen: Zu n,m N gibt es eindeutig bestimmte q,r N mit r < m, so dass n = q m + r. Dann ist q das Ergebnis, r der Rest der ganzzahligen Division von n durch m. Jetzt mit Polynomen: Zu zwei Polynomen N und M mit Koeffizienten aus R gibt es eindeutig bestimmte Polynome Q, R mit Koeffizienten aus R mit deg(r) < deg(m),sodassn = Q M+R.DannistQdasErgebnis, R der Rest der Polynomdivision von N durch M. Wichtige Spezialfälle sind die Polynome von kleinem Grad. Im Fall von deg(p) 1 heißt P linear, ist also von der Form P = a x + b. Diese kommen z.b. in linearen Gleichungen vor, die die Form ax+b = 0 haben oder sich auf diese Form bringen lassen, und dann leicht zu lösen sind (a 0 vorausgesetzt).

5 Im Fall von deg(p) 2 heißt P quadratisch, ist also von der Form P = a x 2 +b x+c. Dazu gehören die quadratischen Gleichungen (hier für a = 1) mit den Lösungen x 2 +px+q = 0, x 1/2 = p 2 ± p 2 4 q, sofern p 2 4q (andernfalls komplexe Lösungen). DieNullstellenx 1 undx 2 einesquadratischenpolynomslieferneinezerlegung in Linearfaktoren: x 2 +px+q = (x x 1 ) (x x 2 ). Entsprechendes gilt auch für Polynome höheren Grades: sei P ein Polynom vom Grad n in x und x 1 eine Nullstelle von P (also P(x 1 ) = 0). Dann kann man einen Linearfaktor x x 1 abspalten (z.b. durch Polynomdivision): P(x) = Q(x) (x x 1 ) mit einem Polynom Q(x) vom Grad n 1. Das ist nützlich: die Nullstellen von P sind nun x 1 und die Nullstellen eines Polynoms Q von kleinerem Grad, wir haben das Problem also auf ein kleineres zurückgeführt. Hauptsatz der Algebra: Polynom zerfällt in Linearfaktoren. Polynome P und rationale Funktionen P sind wichtige Klassen von Beispielfunktionen und dienen als Baukasten, um kompliziertere Funktionen Q anzunähern (Potenzreihe, Computergraphik, Bildverarbeitung). Aufgaben 1.1 Berechne 2 n für n = Für größere Zweierpotenzen ist die Faustregel 2 10 oder 1000 das ist doch praktisch dasselbe nützlich. Gib damit Näherungen für 2 32 und 2 64 an. 1.2 Gegeben sind die beiden Funktionen f(x) = 6 x 2 und g(x) = 2 x 3. a) Skizziere beide Graphen. b) Für welche x ist f(x) = g(x)? Für welche ist f(x) > g(x) und für welche f(x) < g(x)?

6 1.3 Für welche ganzen Zahlen n ist 2 n > n 2? (Probieren ist hier besser als rechnen!) 1.4 a) Skizziere den Graph der Funktion x 2 x für x = und diskutiere den Satz die Exponentialfunktion ist ein rechter Winkel. b) Bestimme die kleinste Zahl x 0, so dass für alle x x 0 gilt: 2 x 16x 3. c) Wie ändert sich die Antwort in b), wenn die rechte Seite (16x 3 ) mit 2 13 = 8192 multipliziert wird, also die Ungleichung 2 x x 3 betrachtet wird? 1.5 Wie viele verschiedene Zustände kann man mit n Bits darstellen? Speziell: wennwirganzezahlen(bei0beginnend)in32bitspeichern,wieweitkönnen wir damit zählen? 1.6 Vereinfache folgende Terme (dabei seien x, y, z > 0): a) d) ( ) , b), c) 3 x, 125 ( ) 3 6, (x x 2 y 3 z 4 ) 2 x y y 3 e) 2, f) (x y z) x y 1.7 Um eine Koch-Kurve zu konstruieren, beginnen wir mit einer Strecke der Länge 1 und ersetzen nun in jeder Runde jede bis dahin erzeugte Strecke durch vier Teilstrecken von je einem Drittel der Länge gemäß folgendem Muster Die Ergebnisse der Runden zwei bis fünf sehen dann so aus (die Koch-Kurve selbst ist das fraktale Objekt, das im Grenzprozess unendlich vieler Iterationen entsteht):

7 Schätze die Länge dieser Streckenzüge! Wie lang sind sie wirklich? 1.8 Lineare Gleichungen bestimme für die folgenden Gleichungen jeweils alle x, die die Gleichung erfüllen: a) 4 (x 1) = 5 (x 2) 1 b) = x+1 1 x 1 x 2 c) (x+2) (x 2) = 21 Naja, die letzte Gleichung ist nicht linear in x; wen das stört, der führt zwischendrin ein y := x 2 ein Leite die Lösungsformel x 1/2 = p ± p 2 q der quadratischen Gleichung 2 4 mit Hilfe der so genannten quadratischen Ergänzung her, d.h. bringe die Gleichung x 2 + px + q = 0 erst in die Form (x + α) 2 + β = 0 und löse die Gleichung dann nach x auf Gegeben sind die Punkte A(0 2), B(2 6) und C( 1 1.5). a) Konstruiere eine Funktion f(x) = ax 2 +bx+c, so dass ihr Graph durch diese drei Punkte verläuft. Wie viele solcher Funktionen gibt es? b) Bestimme y 1 und y 2 so, dass die Punkte D(4 y 1 ) und E( 3 y 2 ) ebenfalls auf dem Graphen liegen! 1.11 Dividiere x 5 x 4 + 2x 3 2x 2 8x + 8 durch x 2 2 und bestimme alle Nullstellen von x 5 x 4 +2x 3 2x 2 8x+8. ( ) 1.12 Berechne x i (x 1) und stelle damit eine geschlossene Formel (d.h. ohne Summenzeichen) zur Berechnung von x i für x 1 auf.