Polynome. Analysis 1 für Informatik

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1 Gunter Ochs Analysis 1 für Informatik Polynome sind reelle Funktionen, die sich ausschlieÿlich mit den Rechenoperation Addition, Subtraktion und Multiplikation berechnen lassen. Die allgemeine Funktionsgleichung eines Polynoms p in Normalform ist p(x) = n k=0 a ka k = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 mit Koezienten a 0,..., a n R. Ist a n 0, so ist n N der Grad von p, Bezeichnung n = deg p(x) (von englisch degree). Beispiel (1) p(x) = 2x 4 +x 3 x+3 ist ein Polynom vom Grad n = 4 mit den Koezienten a 4 = 2, a 3 = 1, a 2 = 0 (da x 2 nicht vorkommt), a 1 = 1 und a 0 = 3. Beispiel (2) p 1 (x) = x 2 +2x+2, p 2 (x) = x 3, p 3 (x) = 2 x x 2 +3x 4 und p 4 (x) = 2x 7 4x 4 +3x 2 1 sind Polynome mit Grad deg p 1 (x) = 2, deg p 2 (x) = 3, deg p 3 (x) = 4 und deg p 4 (x) = 7. Beispiel (3) Die Funktionsgleichung f(x) = (x 2) (x 2 + 4) (2x + 5) (6 x 3) beinhaltet nur die Grundrechenarten plus, minus und mal. Somit handelt es sich um ein Polynom. Die Normalform erhält man, indem die Klammern ausmultipliziert und Terme geeignet zusammengefasst werden: f(x) = x 3 2x 2 + 4x 8 12x x x = x 3 + 4x 2 23x 38. Der Grad ist somit 3. Allgemein ist der Grad die höchste Potenz der Variablen x, die in der Normalform der Funktionsgleichung auftritt. Bemerkungen und Eigenschaften Polynome p(x) sind für alle x R deniert. Konstante Funktion p(x) = a 0 sind Polynome vom Grad 0, der Nullfunktion p(x) = 0 wird der Grad zugeordnet. Polynome p(x) = a 1 x + a 0 sind lineare Funktionen, ihr Funktionsgraph ist eine Gerade. Quadratische Polynome p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 haben den Grad 2, ihr Funktionsgraph ist eine Parabel. Dabei wird der Graph von f(x) = x 2 als Normalparabel bezeichnet. Ein x 0 mit p(x 0 ) = 0 heiÿt Nullstelle des Polynoms p(x). Hat ein Polynom p(x) vom Grad n die Nullstelle x 0, so gibt es ein Polynom q(x) vom Grad n 1 mit p(x) = (x x 0 ) q(x). q(x) kann mittels einer Polynomdivision berechnet werden. Dies kann mit Hilfe des Horner Schemas geschehen (siehe unten). Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle im Bereich der komplexen Zahlen besitzt. Es gibt jedoch Polynome ohne Nullstelle in R, z. B. p(x) = x Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms (welches nicht konstant 0 ist) ist immer kleiner gleich seinem Grad.

2 Die Nullstellen eines quadratischen Polynoms der Form f(x) = x 2 + py + q erhält man durch die pqformel: x 1,2 = p 2 ± ( p 2) 2 q. Dabei treten 3 Fälle auf: Fall 1: Ist der Ausdruck unter der Wurzel > 0, so hat f(x) zwei verschiedene reelle Nullstellen. Beispiel: f(x) = x 2 x 2 (d. h. p = 1 und q = 2) hat die Nullstellen x 1 = = 1 3 = 1 und x = = Fall 2: Ist der Ausdruck unter der Wurzel = 0, so hat f(x) eine reelle Nullstelle x 0 = p 2. Beispiel: p(x) = x 2 + 4x + 4 hat als einzige Nullstelle x 0 = 2 ± = 2. Fall 3: Ist der Ausdruck unter der Wurzel < 0, so hat f(x) keine reellen Nullstellen. In diesem Fall erhält man zwei Nullstellen im Bereich der komplexen Zahlen. Beispiel: Für f(x) = x 2 x + 2 ist ( ) p 2 2 q = 1 2 = 7 < 0. Somit hat f(x) keine reellen 4 4 Nullstellen. Die komplexen Nullstellen sind 1 ± j Ein Polynom vom Grad n heiÿt normiert, wenn für den Koezient a n der höchsten Potenz x n gilt a n = 1. Sollen die Nullstellen eines nicht normierten quadratischen Polynoms p(x) = ax 2 + bx + c berechnet werden, so kann p(x) durch Multiplikation mit 1 zunächst normiert und dann die a pqformel angewendet werden. Beispiel: 2x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 2x 3 = 0 x = 1 ± = 1 ± 2, also sind die Nullstellen x 1 = 1 und x 2 = 3. Alternativ können die Nullstellen auch direkt mit der abcformel x 1,2 = b± b 2 4ac berechnet 2a werden. Für die Nullstellen eines Polynoms vom Grad 3 gibt es keine einfachen Formeln mehr. Bei der Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms p(x) vom Grad 3 kann wie folgt vorgegangen werden. Zunächst wird eine Nullstelle x 1 durch Probieren geraten. Hilfreich ist dabei oft eine Folgerung aus dem Satz von Vieta: Sind alle Nullstellen ganzzahlig, so müssen sie Teiler des konstanten Terms a 0 des Ploynoms sein. Dann führt man die Polynomdivsion q(x) = p(x) : (x x 1 ) durch. Die übrigen Nullstellen von p(x) sind dann die Nullstellen von q(x) (Beispiel folgt). Berechnung von Polynomen mit Hornerschema Durch geschicktes Ausklammern lässt sich der Rechenaufwand bei der Auswertung eines Polynoms signikant reduzieren. Dies ist vor allem bei Berechnungen hilfreich, in denen eine groÿe Zahl von Polynomauswertungen durchgeführt wird. Beispielsweise lässt sich ein Polynom 3. Grades wie folgt umschreiben: p(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = ((a 3 x + a 2 )x + a 1 )x + a 0 Führt man jetzt die Berechnung ausgehend von der inneren Klammer durch, so erfordert die Berechnung von p(x) neben 3 Additionen noch 3 Multiplikationen, im Gegensatz zu 6 Multiplikationen bei Auswertung der ursprünglichen Funktionsgleichung. Allgemein kann die Auswertung eines Polynoms p(x) = n k=0 a kx k vom Grad n mit folgendem rekursiven Algorithmus erfolgen:

3 Algorithmus: Startwert y 1 = a n, für i = 1,..., n berechne y i+1 = y i x + a n i. Dann ist y n+1 = p(x). Beispiel (1) Zu p(x) = 2x 3 3x 2 + 4x 5 und x = 2 erhält man y 1 = a 3 = 2, y 2 = y 1 x + a 2 = a 3 x + a 2 = = 1, y 3 = y 2 x + a 1 = (a 3 x + a 2 ) x + a 1 = = 6 und schlieÿlich y 4 = y 3 x + a 0 = ((a 3 x + a 2 ) x + a 1 ) x + a 0 = p(x) = = 7. (2) Berechne p( 1) für p(x) = 2x 4 3x 3 + x 2 + 3x 3. Man erhält: y 1 = a 4 = 2, y 2 = y 1 x + a 3 = 2 ( 1) 3 = 5, y 3 = y 2 x + a 2 = 5 ( 1) + 1 = 6, y 4 = y 3 x + a 1 = 6 ( 1) + 3 = 3 und schlieÿlich p(x) = y 5 = y 4 x + a 0 = 3 ( 1) 3 = 0 Die Berechnung lässt sich übersichtlich im rechts dargestellten Schema durchführen. Erläuterung: Die obere Zeile enthält die Koezienten a 4 = 2, a 3 = 3, a 2 = 1, a 1 = 3 und a 0 = 3 des Polynoms. Die untere Zeile ergibt sich als Summe der beiden ersten Zeilen. In der mittleren Zeile startet man links mit 0, die übrigen Werte sind der Wert jeweils links darunter multipliziert mit x = 1 (durch Pfeile markiert). Das Ergebnis f(x) = 0 erscheint rechts unten. Für andere xwerte ist das Vorgehen das gleiche. Z. B. für x = 3 wird in Richtung der grünen Pfeile jeweils mit 3 multipliziert und man erhält p(3) = Polynomdivision Jeder Quotient zweier Polynome f(x) = p(x) r(x) lässt sich in der Form f(x) = k(x)+ mit Polynomen q(x) q(x) k(x) und r(x) schreiben, wobei der Grad von r(x) kleiner dem von q(x) ist. Dabei ist k(x) der ganzrationale und k(x) der echt gebrochenrationale Anteil von f(x). Die Berechnung q(x) von k(x) und r(x) erfolgt durch eine Polynomdivision mit Rest. Diese ist analog zur Division ganzer Zahlen mit Rest: Zu p, q N gibt es eindeutig bestimmte Zahlen k, r N 0 mit 0 r < q und p = k q + r p q = k + r q. k ist dabei der Ganzzahlquotient oder ganzzahlige Anteil der Division, r der Divisionsrest. Man schreibt p : q = k, Rest r. Beispiel: Zu p = 13 und q = 5 ist k = 2 und r = 3, d. h. 13 : 5 = 2, Rest 3, da 13 = = Mit Polynomen lässt sich analog eine Division mit Rest durchführen: Zu gegebenen Polynomen p(x) und q(x), für die der Grad von p(x) gröÿer gleich dem Grad von q(x) ist, gibt es eindeutig bestimmte Polynome k(x) und r(x), wobei der Grad von r(x) kleiner dem von

4 q(x) ist, so dass p(x) = k(x) q(x) + r(x) p(x) q(x) = k(x) + r(x) q(x). Der Grad von k(x) ist dann gleich dem Grad von p(x) minus dem von q(x). Man schreibt p(x) : q(x) = k(x) Rest r(x). k(x) ist der ganzrationale Anteil der Polynomdivision, r(x) der Divisionsrest. Beispiel: Mit p(x) = x 3 2x + 1, q(x) = x 3, k(x) = x 2 + 3x + 7 und r(x) = 22 gilt k(x) q(x)+r(x) = (x 2 +3x+7) (x 3)+22 = x 3 +3x 2 +7x 3x 2 9x = x 3 2x+1 = p(x). Somit ist (x 3 2x + 1) : (x 3) = x 2 + 3x + 7 Rest 22 x3 2x + 1 x 3 = x 2 + 3x x 3 Das vorstehende Beispiel zeigt jedoch nicht, wie k(x) und r(x) bei gegebenen p(x) und q(x) bestimmt werden können. Dies wird im Folgenden erläutert: Berechnung der Polynomdivision am Beispiel: Gegeben seien p(x) = 2x 3 x und q(x) = x 2 x + 1. Gesucht ist also ein Polynom k(x) vom Grad 3 2 = 1 sowie ein Polynom r(x) mit Grad kleiner 2, so dass p(x) = k(x) q(x) + r(x). Dies erhält man durch folgende Rechnung: 2x 3 x 2 +1 : x 2 x + 1 = 2x + 1 2x 3 +2x 2 2x Rest x 0 +x 2 2x +1 x 2 +x 1 0 x +0 Oben rechts steht der ganzrationale Anteil k(x) = 2x+1, den Rest r(x) erhält man aus der untersten Zeile. Die durchgeführte Rechnung besteht aus folgenden Schritten: Zunächst werden die Summanden mit der jeweils gröÿten Potenz von p(x) und q(x) dividiert. Dies ergibt den ersten Summanden des ganzrationalen Anteils k(x): 2x 3 : x 2 = 2x Im nächsten Schritt wird das 2xfache von q(x) von p(x) subtrahiert. Dazu wird 2x q(x) = 2x 3 + 2x 2 2x unterhalb von p(x) notiert und der erste Divisionsrest bestimmt: r 1 (x) = p(x) 2x q(x) = 2x 3 x x 3 + 2x 2 2x = x 2 2x + 1, welcher in der 3. Zeile notiert wird. Der x 3 Term hebt sich dabei weg, so dass der Grad von r 1 (x) (hier 2) kleiner als der Grad von p(x) (hier 3) ist. Da der Grad von r 1 (x) noch nicht kleiner dem von q(x) (hier 2) ist, werden die beiden vorhergehenden Schritte mit r 1 (x) statt p(x) wiederholt. D. h. man rechnet x 2 : x 2 = 1, was den 2. Summanden des ganzrationalen Anteils k(x) ergibt, und subtrahiert 1 q(x) von r 1 (x) und erhält damit den nächsten Divisionsrest r 2 (x) = r 1 (x) 1 q(x) = x 2 2x + 1 (x 2 x + 1) = x 2 2x + 1 x 2 + x 1 = x. Der Grad von r 2 (x) ist jetzt kleiner als der Grad von q(x), womit die Rechnung abgeschlossen ist. r 2 (x) = x entspricht dann dem endgültigen Divisionsrest r(x).

5 Berechnung von p(x) : q(x) allgemein Man subtrahiert von p(x) schrittweise Vielfache von q(x), sodass in jedem Schritt der Grad des verbleibenden Restes kleiner wird, solange, bis der Grad des Restes kleiner als der Grad von q(x) ist. Konkreter: Zu p(x) = a n x n a 0 und q(x) = b m x m b 0 mit n m bestimmt man im ersten Schritt k 1 (x) = a n x n : b m x m = an b m x n m und r 1 (x) = p(x) k 1 (x) q(x) = p(x) an b m x n m q(x). Dann ist deg r 1 (x) < deg p(x). Nun wiederholt man den ersten Schritt mit r 1 (x) statt p(x) und bildet den Quotienten k 2 (x) aus den führenden Summanden von r 1 (x) und q(x). Dann erhält man einen neuen Divisionsrest r 2 (x) = r 1 (x) k 2 (x) q(x) usw. Dies wird solange fortgesetzt, bis der Grad des erhaltenen Divisionsrestes r i (x) kleiner als der Grad von q(x) ist. Das Ergebnis k(x) setzt sich zusammen aus allen in den Zwischenschritten auftretenden k 1 (x), k 2 (x),... (im letzten Beispiel war k 1 (x) = 2x 3 : x 2 = 2x und k 2 (x) = x 2 : x 2 = 1 und somit k(x) = k 1 (x) + k 2 (x) = 2x 1). Als endgültigen Rest r(x) erhält man den im letzten Schritt aufgetretenen Rest r i (x). Bemerkung und Vereinfachung: Hat q(x) die Form q(x) = x a, so kann die Polynomdivision p(x) : q(x) mit dem HornerSchema durchgeführt werden. Dazu wendet mit das Schema für x = a auf das Polynom p(x) an. Die letzte Zeile enthält dann von links gelesen die Koezienten von k(x) sowie als letzten Eintrag rechts unten den (konstanten) Rest r. Beispiel 1: Für p(x) = 2x 3 3x 2 + 4x 5 und a = 2 ergibt das HornerSchema Es folgt 2x 3 3x 2 + 4x 5 : x 2 = 2x 2 + x + 6, Rest 7. Beispiel 2: Gesucht sind die Nullstellen von p(x) = x 3 + 2x 2 5x 6. Durch Probieren stellt man fest, dass p( 1) = 0 gilt. Im nächsten Schritt wird mit dem Hornerschema die Polynomdivision q(x) = p(x) : (x + 1) durchgeführt: Wegen p( 1) = 0 lässt sich p(x) ohne Rest durch x+1 teilen mit dem Ergebnis q(x) = 1 x 2 +1 x 6. Die restlichen Nullstellen von p(x) sind die Nullstellen von q(x), also x = 1 ± = 1 ± 25 = 1 ± 5, d. h. p(x) hat die Nullstellen x 1 = 1, x 2 = 6 2 = 3 und x 3 = 4 2 = 2.