Einführung in die Differenzialrechnung. Teil I. Klasse 10 B / Schuljahr 2018 / 19. Deyke

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1 Einführung in die Differenzialrechnung Teil I Klasse 10 B / Schuljahr 2018 / 19 Deyke Diff_Teil_I.pdf

2 Einführung in die Differenzialrechnung Etwas Wirtschaftsmathematik:

3 Einführung Seite 2 * (nach Tischel / Tobel: Analysis (GK) Diesterweg)

4 Einführung Seite 3 Einige kubische Funktionen Welcher Funktionsterm passt zu welcher Funktion? a) x x 2 b) 2 x 3 x x - 20 c) - x 3 + 0,4 x 2 5 x + 10 d) x 3 + x 2 + x + 20 *

5 Einführung Seite 4 HORNER SCHEMA: f : x ---> f(x) = y sei eine ganzrationale Funktion vom Grade n. Zur Berechnung des Funktionswertes von f an der Stelle a ist das auf den englischen Mathematiker William George Horner ( ) zurückgehende 3-zeilige Schema günstig. In der ersten Zeile werden die Koeffizienten der Funktion notiert (fehlende Koeffizienten sind als 0 anzuschreiben). Die zweite Zeile beginnt an der ersten Stelle mit 0. Die weiteren Stellen des Schemas werden nach den beiden folgenden Regeln berechnet, welche abwechselnd angewandt werden: Regel 1: Die untereinanderstehenden Zahlen aus Zeile eins und Zeile zwei werden addiert und darunter in Zeile 3 eingetragen. Regel 2: Die sich in der dritten Zeile ergebende Summe wird mit der Stelle a multipliziert; das Produkt wird um einen Schritt nach rechts verschoben in Zeile zwei eingetragen. Beispiel: f(x) = x x - 4 ; Stelle a = = f( 2 ) In der äußersten Stelle rechts in Zeile drei ergibt sich stets der Funktionswert an der Stelle a (siehe Unterricht). Zerlegungssatz für ganzrationale Funktionen: Aus dem HORNER-SCHEMA ergibt sich der folgende Satz 1 Ist f eine ganzrationale Funktion vom Grade n und a eine Stelle, so gibt es eine ganzrationale Funktion f a vom Grade n-1 derart, dass f( x ) = (x a) f a ( x ) + f( a ) gilt. Die Koeffizienten von f a stehen in der dritte Zeile des HORNER- Schemas vor dem Funktionswert f( a ). Für das obige Beispiel ergibt sich damit die Zerlegung f( x ) = (x 2) (x x + 6) + 8.

6 Einführung Seite 5 Die nachfolgende Rechnung begründet die Richtigkeit des Satzes 1. Die Funktionen Z 1, Z 2 und Z 3 sind Zeilenfunktionen, welche aus dem HORNER-Schema gebildet werden. *

7 Einführung Seite 6 Der Zerlegungssatz hat eine Zugabe : Satz 2 Ist f eine ganzrationale Funktion vom Grade n und a eine Nullstelle von f, so gibt es eine ganzrationale Funktion f a vom Grade n-1 derart, dass gilt. f( x ) = (x a) f a ( x ) Im Falle einer Nullstelle von f können wir die Funktion also als ein Produkt darstellen. Diese Aussage ist die entscheidende Hilfe bei der Suche nach Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen. Nullstellensuche bei ganzrationalen Funktionen: Ein Beispiel: Die kubische Funktion f hat folgende Funktionsgleichung: f( x ) = x x x 16. x 1 = 1 ist eine Nullstelle der Funktion f, wie man z.b. durch Probieren findet. Nach Satz 2 können wir unter Verwendung des HORNER-Schemas f in ein Produkt zerlegen. Wir verwenden natürlich die Stelle = f( 1 ) Damit bekommen wir die Zerlegung: f( x ) = ( x 1 ) (x x + 16) Da ein Produkt genau dann verschwindet, wenn ein Faktor verschwindet, ergeben sich als weitere Nullstellen die Lösungen der Gleichung x x + 16 = 0 x 2 = - 2 ; x 3 = - 8 Damit ergibt sich als Nullstellenmenge der Funktion f: N = { - 2 ; - 8; 1 }. Übungsaufgabe(Ü 1 ): Berechne die Nullstellen der kubischen Funktionen: a. f( x ) = x 3-6 x 2-6 x 7 ; x 1 = 7 b. f( x ) = x x x + 2 ; x 1 = - 2 c. f( x ) = x 3-6 x 2-36 x ; x 1 = 6 d. f( x ) = x x x 16 ; keine Nullstelle ist bekannt e. f( x ) = x x 2 ; keine Nullstelle ist bekannt

8 Einführung Seite 7 Satz 3 Für ganzrationale Funktionen gilt der nachfolgende Ist f eine ganzrationale Funktion vom Grade n, so hat sie höchstens n Nullstellen. Und eine kubische Funktion (n = 3) hat mindestens eine Nullstelle. Übungsaufgabe (Ü 2 ): Begründe die Richtigkeit von Satz 3. Das Tangentenproblem Was eine Tangente ist, wissen wir tatsächlich nur für den Kreis. Was eine Tangente an einem Funktionsgraphen ist, müssen wir sogar erst (sinnvoll) verabreden. Eine Tangente ist sicherlich eine Gerade, also der Graph einer linearen Funktion. Und sie muss die richtige Steigung haben. Aber was ist Steigung? Nur eine Gerade hat eine einheitliche Steigung. Bei der Parabel mit der Gleichung f( x ) = 0,5 x 2 können wir an keiner Stelle a ein Steigungsdreieck anlegen, weil der Graph von f gebogen und die Hypothenuse des Steigungsdreiecks gerade ist. Dennoch können wir an der Stelle a = 1 ein Steigungsdreieck hinlegen, das den Punkt A (1 ; f( 1 ) ) enthält (siehe Abbildung 1). Der Quotient Δy / Δx = 1,5 / 1,0 = 1,5 Abb. 1 beschreibt nur eine mittlere Steigung im Punkt A (auch die Änderungsrate der Funktion genannt). Wählen wir Δx kleiner, bekommen wir eine feinere Einschätzung der mittleren Steigung von f im Punkt A. Wir benötigen jedoch eine exakt richtige Steigung und keine ungefähre, also mittlere Steigung für die Tangente. Was können wir tun?

9 Einführung Seite 8 Das Tangentenproblem nach Tischel / Tobel : Grundkurs Analysis (Diesterweg) Wir wollen den Strahlengang am Parabol-Spiegel berechnen (siehe p. 9, (Ü 4)). Das Problem können wir jedoch nur dann bewältigen, wenn wir das sog. Tangentenproblem für die Parabel zuvor gelöst haben. (Ü 3) A( a ; f( a ) ) ist ein Punkt auf der (speziellen) Parabel mit der Funktionsgleichung f( x ) = k x 2 ( k > 0). Gesucht ist eine lineare Funktion t, welche die Tangente an die Parabel im Punkt A beschreibt. a) Erkläre den Ansatz t : x ---> m (x -a) + ka 2. b) Die Steigung lässt sich mit folgender Idee bestimmen: Man wählt in der Nähe von A einen Punkt P auf der Parabel, berechnet Abb. 1 die Steigung St(A,P) der Geraden durch A und P (einer Sekante der Parabel) und untersucht, was passiert, wenn man P immer näher an A heranschiebt (siehe Abb. 1). Für k = 1 und A( 3 ; 9 ) erhält man: also m = 6. ( 3 + h) h + h 2 Stei(A,P) = = = 6 + h, h h Erkläre diese Bestimmung von m. Bestätige das Ergebnis für m dadurch, dass du zeigst: Die Graphen von f: x ---> x 2 und t: x ---> 6( x - 3) + 9 haben genau einen gemeinsamen Punkt. c) Übertrage die Bestimmung von m auf den allgemeinen Fall. Lösung des Tangentenproblems: Die Tangente an die Parabel der Funktion f : x ---> k x 2 im Punkt A( a ; ka 2 ) hat die Steigung 2ka. Sie wird durch die lineare Funktion t : x ---> 2 k a(x - a) + ka 2 beschrieben.

10 Einführung Seite 9 ( Ü 4) Parabolspiegel Die y - Achse des Koordinatensystems ist so gewählt, dass der einfallende Lichtstrahl parallel zur ihr verläuft (siehe Abb. 2). Einfallender Strahl, reflektierter Strahl und das Einfallslot liegen in der x - y - Ebene. Die x - y - Ebene schneidet aus dem Parabolspiegel eine Parabel aus mit der Zuordnung f : x ---> k x 2, k > 0. Abb. 2 Reflexion am Parabolspiegel Der einfallende Lichtstrahl trifft die "Spiegelparabel" im Punkt A( a ; f(a) ). Um das Reflexionsgesetz anwenden zu können, muss man den Spiegel bei A "begradigen" (Tangente). Der reflektierte Lichtstrahl trifft die y - Achse im Punkt C( 0 ; c ); die Tangente schneidet die y - Achse im Punkt B( 0 ; b). 1. Berechnen Sie bitte b. 2. Begründen Sie die Gleichheit der drei Winkel α, β und γ. 3. c lässt sich aus dem Ansatz (c + ka 2 ) 2 = a 2 + (ka 2 - c) 2 1 berechnen. Es ergibt sich c = ---- oder a = 0. 4 k Begründen Sie diesen Ansatz und führen Sie die fehlende Berechnung aus. 4. Die Koordinaten von C hängen nur von k und nicht von a ab. Deuten Sie dieses Ergebnis physikalisch. Nennen Sie auch technische Anwendungen.

11 Einführung Seite 10 Das Tangentenproblem für die Parabel mit der Gleichung f( x ) = k x 2, k > 0 im Punkt A( a ; f( a )) ist gelöst: Tangente ist der Graph der linearen Funktion ( 1 ) t : x ----> m ( x a ) + f( a ) mit m = 2 k a (siehe p. 7, (Ü 2) ). Mit derselben Idee lösen wir das Tangentenproblem für die kubischen Funktionen ( 2 ) g : x ----> k x 3, k > 0. Wir berechnen die Steigung der Sekante durch die Punkte A und P (vgl. p. 7, (Ü 2) ). k(a + h) 3 k a 3 k a 3 + k 3 a 2 h + k 3 a h 2 +k h 3 - k a 3 ( 3) St(A,P) = = h h = 3 k a k a h + k h 2 Wenn wir nun den Punkt P auf dem Graphen der Funktion immer näher an A heranschieben, wird h beliebig klein (h strebt gegen Null ). Für h strebt gegen Null erhalten wir: ( 4 ) m = 3 k a 2. Diesen Term sehen wir als die Steigung der Tangente im Punkt A ( a ; g( a )) am Graphen von g an. Damit hat die Tangente die Gleichung: ( 5 ) t( x ) = 3 k a 2 ( x a ) + g( a ). Wir hatten im Unterricht folgendes Erlebnis: Schreibt man für die Funktion g mit der Stelle a das HORNER-Schema auf, so erhält man in der 3-ten Zeile auf dem letzten Platz den Funktionswert g( a ). Auf den Plätzen davor stehen die Koeffizienten einer Funktion g a (vgl. Zerlegungssatz, p. 4). Berechnet man nun g a ( a ) mit einem zweiten an das erste Schema angehängten HORNER-Schema, so erhält man g a ( a ) = 3 k a 2, also die Tangentensteigung an der Stelle a: k ka ka 2 ka 3 k ka ka 2 g(a) 0 ka 2ka 2 X k 2ka 3ka 2 X Dies galt auch für die Funktion f (s.o.) und h : x ----> k x 4 (siehe Unterricht).

12 Einführung Seite 11 Bisherige Ergebnisse: m( a ) sei die Tangentensteigung der Funktion f an der Stelle a. (Sie hängt natürlich von a ab. Damit ist m eigentlich eine Funktion m : a ---> m( a ).) Berechtigte (! ) Erwartung: f( x ) m( a ) f a ( a ) k x 2 2 k x 2k x k x 3 3 k x 2 3 k x 2 k x 4 4 k x 3 4 k x 3 Die Tangentensteigung für die Funktion f : x ---> k x n, n eine beliebige natürliche Zahl, ist an der Stelle a Verabredungen: m( a ) = n k x n-1. 1) Wir sehen die Steigung der Tangente am Graphen der Funktion f im Punkt A( a; f(a) ) als die "(lokale) Steigung der Funktion f an der Stelle a" an. (Nicht zu verwechseln mit der "mittleren Steigung" von f im Intervall [x 1 ; x 2 ]: f(x 2 ) - f(x 1 ) ) x 2 - x 1 (Siehe auch Lambacher Schweizer (Bd. 10), p. 193.) Aufgaben: L.S.,p. 194 f, Aufg. 1, Aufg. 5 2) Wir bezeichnen die Steigung von f an der Stelle a mit f '( a ) und sagen auch f'( a ) ist die Ableitung von f an der Stelle a. Das Berechnen der Ableitung der Funktion f nennt man das Differenzieren der Funktion. (Das Berechnen der Ableitung einer Funktion ist ein Thema der Differenzialrechnung.) 3) Ist f eine reelle Funktion, die an jeder Stelle a R eine (lokale) Steigung besitzt, so können wir zu f eine neue Funktion f ' bilden, welche jeder Stelle a R die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle a (also die lokale Steigung von f) zuordnet: ( 6 ) f ' : a ----> m( a ) = f '( a ). f ' heißt die Ableitungsfunktion von f oder auch kurz die Ableitung von f". Beispiel: f( x ) = 3 x 4 f '( a ) = 12 a 3 * Ist h die Summe der beiden ganzrationalen Funktionen f und g, also h( x ) = f( x ) + g( x ), so kann man die Steigung von h an der Stelle a berechnen, indem man die Steigungen von f und g an der Stelle a berechnet und diese dann

13 Einführung Seite 12 addiert: ( 7 ) h '( a ) = f '( a ) + g '( a ). Andere Formulierung: Man darf h "summandenweise" differenzieren und anschließend die einzelnen Ableitungen addieren. (Siehe Unterricht.) Bisherige Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen: R 1: (Potenzregel) Die Funktion f mit der Funktionsgleichung f( x ) = x n hat die Ableitung f ' ( x ) = n x n-1. n ist eine natürliche Zahl (n e N ). R 2: (Faktorenregel) Ist f das Produkt aus der Konstanten k und der Funktion g, also f : x ----> k g( x ), so hat f die Ableitung: f ' ( x ) = k * g ' ( x ). (Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren als Faktor erhalten.) R 3: (Summenregel) Ist f die Summe zweier anderer Funktion, also f( x ) = g( x ) + h( x ), so hat f die Ableitung: f ' ( x ) = g ' ( x ) + h ' ( x ). (Eine Summe wird summandenweise differenziert.) * (Ü 5) Die nachfolgende Abbildung Abb. 2 (siehe p. 13) zeigt den Graphen der Funktion f : x -----> 2 x 2 (x 2 2) 1. Zeichne die Tangente in den Punkten P 1 (- 0,5 ; f( - 0,5)) und P 2 ( 1,3 ;f(1,3)). 2. Berechne auch die beiden Tangentengleichungen. 3. Vergleiche schließlich Steigung und y-achsenabschnitt deiner gezeichneten Tangenten mit deinen berechneten Tangenten.