B Anwendungen der Differenzialrechnung

Transkript

1 B Anwendungen der Differenzialrechnung Kurvendiskussionen Um den Verlauf eines Funktionsgraphen zu bestimmen, kann eine Wertetabelle aufgestellt werden. Dies kann jedoch sehr mühselig sein und es ist nicht sichergestellt, dass alle besonderen Punkte erfasst werden. Einen guten Überblick über den Kurvenverlauf erhält man mithilfe ausgezeichneter Punkte und durch Grenzwertbetrachtungen. Untersuchung ganzrationaler Funktionen Das Schaubild der Funktion f mit f (x) = } 6 (x + 6x 5x 6) soll untersucht und gezeichnet werden. Ableitungen f9 (x) = } 6 (x + x 5) = } 6 (x + 4x 5) f0 (x) = } 6 (x + 4) = } (x + ) 8 f- (x) = } 8 Definitionsmenge Die Funktion f ist als ganzrationale Funktion für alle x * R definiert. Symmetrie f ( x) = } ( 6 ( x) + 6 ( x) + 5x 6) ) = } 6 ( x + 6x + 5x 6) Es ist f ( x) f (x) und f ( x) f (x). Das Schaubild von f ist somit weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-achse. Verhalten für x Der Summand mit dem größten Exponenten ist maßgebend. Für x strebt f (x). Für x + strebt f (x) +. Die Funktion ist somit unbeschränkt. Nullstellen: f (x) = 0 Eine erste Nullstelle wird durch Probieren gefunden x + 6x 5x 6 = 0; x =. Polynomdivision bringt die Faktorenzerlegung x + 6x 5x 6 = (x + 9x + ) (x ). 55

2 B Anwendungen der Differenzialrechnung Mit x + 9x + = 0 werden weitere Lösungen x / = 9 ± Î }} }}} gefunden. Somit existieren drei Nullstellen: N ( 0), N ( 7,7 0), N (,6 0). Schnittpunkt mit der y-achse f (0) = } 6 ( ) = } 9 4, S y (0,5). Extremstellen: f9(x) = 0 und f0 (x) 0 } 6 (x + 4x 5) = 0 x + 4x 5 = 0 für x 4 = 5, x 5 = und f0 () = } 8 ( + ) = } 9 > 0 lokales Minimum T (,75) 8 bzw. f0 ( 5) = } 8 ( 5 + ) = } 9 < 0 lokales Maximum H ( 5 4) 8 Wendepunkte: f0 (x) = 0 und f- (x) 0 } 8 (x + ) = 0 x + = 0 für x 6 = und f- ( ) = } 8 0 W ( 5 } 8 ) Schaubild H 4 y N W N N x S y T. Führen Sie für die folgenden Funktionen eine vollständige Kurvenuntersuchung durch und zeichnen Sie das Schaubild. a) f (x) = x + x + 4 b) f (x) = } 9 x4 + } x c) f (x) = x + x x d) f (x) = x 4 x + 56

3 Kurvendiskusionen Untersuchung gebrochenrationaler Funktionen Die Funktion f mit f (x) = x x }}}} x x + werden. Umformen: f (x) = x x }}}} x x + = (x ) (x + ) }}}}} (x ) soll untersucht und ihr Schaubild gezeichnet Ableitungen: f9 (x) = }}} x + 5, f0 (x) = x }}} 4, f- (x) = 6x }}} (x ) (x ) (x ) 5 Definitionsmenge: Die Funktion f ist definiert für (x ) 0, somit D = R \ {}. Pole In der näheren Umgebung von x = ist der Zähler negativ. Der Nenner ist stets positiv. Die Funktion f besitzt bei x = einen Pol ohne Vorzeichenwechsel. Für x strebt f (x). Symmetrie Wegen f (x) = ( x) + x }}}}} = x + x }}}} ( x ) (x + ) noch Achsensymmetrie zur y-achse vor. liegt weder Punktsymmetrie zum Ursprung Verhalten für x Da Zählergrad und Nennergrad gleich sind, existiert für x eine waagerechte Asymptote. Mit lim f (x) = ist dies die Gerade y =. x Nullstellen: f (x) = 0 (x ) (x + ) = 0 für x = und x =, N ( 0), N ( 0) Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = 0 }}} 0 = S (0 ) y (0 ) Extremstellen: f9 (x) = 0 und f0 (x) 0 x + 5 = 0 für x 4 = 5 und f0 (5) = 5 4 }}} (5 ) 4 = } 64 < 0 lokales Maximum H ( 5 9 } Wendepunkte: f0 (x) = 0 und f- (x) x 4 = 0 für x 5 = 7 und f- (x) = }}}} (7 ) = }} W ( 7 } 0 9 ) 8 ) 57

4 B Anwendungen der Differenzialrechnung Schaubild y H W N 4 0 N x S y Die Funktion f ist nach oben beschränkt. Bei H ( 5 9 } 8 ) handelt es sich sogar um ein globales Maximum.. Führen Sie für die folgenden Funktionen eine vollständige Kurvenuntersuchung durch und zeichnen Sie den Graphen. a) f (x) = } x 4 } b) f (x) = x x }}} c) f (x) = x + 9 }}} d) f (x) = }} x x x x + Untersuchung nichtrationaler Funktionen Von der Logarithmusfunktion f mit f (x) = ln (x + ) sind die maximale Definitionsmenge, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extremstellen und Wendepunkte zu bestimmen. Ableitungen: f9 (x) = x }} x + ; x f0 (x) = }}}, f- (x) = 4x x }}}} (x + ) (x + ) Definitionsmenge Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Wegen x + > 0 ist die Funktion f somit für alle x * R definiert. Symmetrie: f (x) = ln (( x) + ) = ln (x + ) = f (x) Das Schaubild von f symmetrisch zur y-achse. Beschränktheit: Mit x º 0; x + º ist ln (x + ) º 0. Die Funktion f ist nach unten beschränkt. Nullstellen: f (x) = 0 ln (x + ) = 0 für x + = x = 0 für x = 0, N (0 0). Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = ln (0 + ) = ln = 0, somit S y (0 0) 58

5 Kurvendiskusionen Extremstellen: f9 (x) = 0 und f0 (x) 0 x }} = 0 x = 0 für x x + = 0 und f0 (0) = }}} 0 = > 0 lokales Minimum T (0 0). (0 + ) Wegen der Beschränktheit handelt es sich sogar um ein globales Minimum. Wendepunkte: f0 (x) = 0 und f0 (x) 0 x }}} = 0 (x + ) x = 0 x = für x =, x 4 = und f- ( ) = 4 ( ) ( ) }}}}}} (( ) + ) = 0, f ( ) = ln 0,69 W ( 0,69) bzw. f- () = 4 }}}}} ( + ) = 0, f () = ln 0,69 W ( 0,69). Schaubild y W W 0 T x. Bestimmen Sie für die Logarithmusfunktion f (x) = x ln x die maximale Definitionsmenge, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extremstellen und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild. 4. Führen Sie für die folgenden Exponentialfunktionen eine Kurvenuntersuchung durch. Zeichnen Sie das Schaubild. a) f (x) = e x (x ) b) f (x) = 4x e } 8 x 5. Bestimmen Sie für die trigonometrische Funktion f mit f (x) = x + sin x die maximale Definitionsmenge, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extremstellen und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild im Intervall p ª x ª p. 6. Bestimmen Sie für die trigonometrische Funktion f mit f (x) = ( sin x) die maximale Definitionsmenge, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extremstellen und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild im Intervall 0 ª x ª p. 59

6 B Anwendungen der Differenzialrechnung 7. Gegeben sind die Funktionen s und c mit s (x) = } (ex e x ) und c (x) = } (ex + e x ). a) Untersuchen Sie K s und K c auf Extrem- und Wendepunkte sowie auf Symmetrie. b) Zeigen Sie, dass K c ganz oberhalb von K s verläuft. c) Zeigen Sie, dass s9 (x) = c (x) und c9 (x) = s (x) sowie (c(x)) (s(x)) = gilt. Diese Eigenschaften sind ähnlich denen der trigonometrischen Funktionen. Nennen Sie solche Eigenschaften. 8. Bestimmen Sie mit möglichst wenig Aufwand den Verlauf des Schaubildes der e Funktion f mit f (x) = }} x. + e x 60

7 Aufstellen von Gleichungen ganzrationaler Funktionen Aufstellen von Gleichungen ganzrationaler Funktionen Wenn von einer Funkion f unterschiedliche Bedingungen gegeben sind, wird versucht, diese zunächst in Gleichungsform zu bringen. Anschließend wird dieses Gleichungssystem gelöst. Eine ganzrationale Funktion. Grades hat das relative Minimum T ( ) und besitzt für x = eine Tangente mit der Steigung sowie für x = eine Tangente mit der Steigung 4. Es ist die Funktionsgleichung von f zu bestimmen. Allgemeine Form einer Funktionsgleichung. Grades: f (x) = ax + bx + cx + d Einsetzen der Koordinaten des Minimums: = 8a + 4b + c + d () Ableitungen: f9 (x) = ax + bx + c f0 (x) = 6ax + b An den Extremstellen ist der Wert der. Ableitung null: 0 = a + 4b + c () An der Stelle x = ist f9 ( ) = 4: 4 = a 4b + c () An der Stelle x = ist f9 () = : = a + b + c (4) Der Einfachheit halber werden zunächst drei Gleichungen betrachtet. Man erhält ein Gleichungssystem mit drei Variablen: 0 = a + 4b + c () 4 = a 4b + c () = a + b + c (4) Gleichung () minus Gleichung (): 4 = 8b für b = } (5) Einsetzen von (5) in () und (4): 4 = a + + c = a + c (6) = a + c = a + c (7) Hiermit ist eine Reduzierung auf ein Gleichungssystem mit zwei Variablen erfolgt. 6

8 B Anwendungen der Differenzialrechnung Gleichung (6) minus Gleichung (7): = 9a für a = } (8) Einsetzen von (8) in (7): = + c für c = Einsetzen von a = }, b = } und c = in Gleichung (): = } } + d = } d für d = } Die gesuchte Funktionsgleichung lautet f (x) = } x } x x + }. 9. Eine ganzrationale Funktion. Grades geht durch den Ursprung und hat in W ( ) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn das Schaubild von f außerdem an der Stelle x = die Steigung besitzt. 0. Eine ganzrationale Funktion. Grades besitzt den Hochpunkt H ( ) und einen Wendepunkt an der Stelle x = 0,5. Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn das Schaubild von f außerdem an der Stelle x = die Steigung besitzt?. Eine zum Ursprung punktsymmetrische ganzrationale Funktion. Grades besitzt bei x = einen Tiefpunkt. Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn das Schaubild von f außerdem an der Stelle x = die Steigung 9 besitzt?. Eine zur y-achse symmetrische ganzrationale Funktion 4. Grades besitzt einen Tiefpunkt bei x = und hat bei x = 0,5 die Steigung,5. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn das Schaubild von f außerdem durch den Punkt P ( ) geht.. Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion. Grades berührt die x-achse im Ursprung und besitzt den Tiefpunkt T ( 4). Wie lautet die Funktionsgleichung? 6

9 Aufstellen von Tangentengleichungen Aufstellen von Tangentengleichungen Tangente in einem Kurvenpunkt Wenn P (x 0 y 0 ) zum Schaubild einer Funktion f gehört und f an dieser Stelle differenzierbar ist, so lautet die Gleichung der Tangente in P an das Schaubild von f: y 0 = f9 (x 0 )(x x 0 ) + y 0. Die Gleichung der Normalen in diesem Punkt lautet y = }} f9 (x 0 ) (x x 0) + y 0. Es ist die Gleichung der Tangente an das Schaubild der ganzrationalen Funktion f (x) = x x + x an der Stelle x 0 = gesucht. Funktionswert: f () = + = Steigung: f9 (x) = x 4x + f9 () = 4 + = 5 Einsetzen in die Tangentengleichung: y = f9 () (x ) + f () y = 5 (x ) + = 5x 9 Die Tangente an das Schaubild von f im Punkt P ( ) besitzt die Gleichung y = 5x 9. In welchen Punkten ist die Tangente an das Schaubild der gebrochenrationalen Funktion f (x) = x + }}} parallel zur. Winkelhalbierenden? x Die. Winkelhalbierende besitzt die Gleichung y = x.. Ableitung von f: f9 (x) = x (x ) (x + ) }}}}}}}} }}}} = (x x ) (x ) (x ) Gleichsetzen mit der Steigung der. Winkelhalbierenden m = : f9 (x) = (x x ) }}}} = (x ) x x = (x ) () Vereinfachen von () bringt x (x ) = 0 mit den Lösungen x = 0 und x =. Funktionswerte: f (0) = 0 + }} 0 = und f () = 4 + }} 4 = In den Punkten P (0 ) und P ( ) sind die gesuchten Tangenten parallel zur. Winkelhalbierenden. 6

10 B Anwendungen der Differenzialrechnung Für die Funktion f mit f (x) = tx e x, t 0, ist die Gleichung der Tangente an der Stelle x 0 = ist in Abhängigkeit von t zu bestimmen. Funktionswert: f t () = t e = } e t Steigung: 9 (x) = tx e x tx e x = tx ( x) e x f t f t 9 () = t e = } e t Einsetzen in y = f9 (x 0 )(x x 0 ) + y 0 bringt die Gleichung y = t } e (x ) + t } e = t } e x.. 4. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente für die Funktionen an der Stelle x = x 0. a) f (x) = x + x x, x 0 = b) f (x) = }}} x x, x 0 = c) f (x) = } x ln x, x 0 = 5. In welchen Punkten ist für folgende Funktionen die Tangente zur angegebenen Geraden g parallel? a) f (x) = x + x + x 5, g: y = x b) f (x) = x }}} x 4, g: y = x + 6. Alle Schaubilder der ganzrationalen Funktionen f t mit f t (x) = x + tx + tx gehen durch den Ursprung. Bestimmen Sie dort die Gleichung der Tangente in Abhängigkeit von t. 7. Für welchen Wert von t ist die Tangente an das Schaubild von f t mit f t (x) = der Stelle x 0 = parallel zur Geraden g: y = } 8 x +? t }} x + t an 8. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt N (x 0) an das Schaubild der Funktion f mit f (x) = (x t) e x. 9. Stellen Sie die Gleichungen der Tangente und der Normale im Wendepunkt folgender ganzrationaler Funktionen auf. a) f (x) = } 6 x + } x + } b) f (x) = } x x + x Stellen Sie die Gleichung der Tangente der Funktion f t mit f t (x) = 4 } t x + tx + x (t * R \ {0}) im Wendepunkt auf. Zeigen Sie, dass alle Wendetangenten zueinander parallel sind.. Stellen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale im Wendepunkt der Exponentialfunktion f mit f (x) = (x ) e x auf. 64