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Leander Berg
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1 Inhalt der Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil... Wahlteil Analysis... 8 Wahlteil Analysis... Wahlteil Analytische Geometrie/Stochastik... Wahlteil Analytische Geometrie/Stochastik... 9

2 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte Kenntnisse: Analysis: Ableiten mit Kettenregel, Integral mit Stammfunktion berechnen, Gleichung lösen, ganzrationale Funktion aufstellen, von f auf f schließen, Rotationskörper. Analytische Geometrie: Längenberechnung, Vektoraddition, Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem, Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene. Stochastik: Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeitsberechnung. Aufgabe : Die Funktion f mit f(x) = ( e ) x + muss mit der Kettenregel abgeleitet werden. Mit der Kettenregel f (u(x)) = f (u) u (x) und u(x) = + e x und f(u) = u folgt: f (x) = ( + e ) x e x = e x ( + e ) x Ergebnis: Die erste Ableitung von f ist f (x) = e x ( e ) x +. Aufgabe : Es ist: x sin x dx = x + cos x = + cos = ( + cos()) Ergebnis: Der Wert des Integrals x sin x dx beträgt. Aufgabe : Lösung der Gleichung (x x) (e x ) = : Aufgrund des Satzes vom Nullprodukt sind alle Lösungen dieser Gleichung die Lösungen der beiden Gleichungen (I) (x x) = und (II) (e x ) =. (Anm.: Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt dann ist, wenn einer der beiden Faktoren ist.) (I) x x = Variable x ausklammern x (x ) = x = und x = + (II) e x = + e x = ln x = ln : x ± x und x = x = ln Ergebnis: Die Gleichung (x x) (e x ) = hat die vier Lösungen x =, x, x = und x = ln. Mathematik-Verlag,

3 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe : Die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion f: Ansatz: f(x) = ax + bx + cx + d und f (x) ax + bx + c ; mit a, b, c und d IR. Aufgrund der im Text beschriebenen Eigenschaften müssen folgenden Gleichungen erfüllt sein: O( ) ist ein Hochpunkt: (I) f() = und (II) f () = Bei x = hat der Graph von f eine Tangente mit der Gleichung y = x : (III) f () = (Die Tangentensteigung ist m = ) (IV) f() = (Den Funktionswert bei x = erhält man mit der Tangentengleichung: y = = ) Mit den allgemeinen Gleichungen f(x) = ax + bx + cx + d und f (x) ax + bx + c lauten die vier Gleichungen: (I) f() = ergibt: a + b + c + d = d = (II) f () = ergibt: a + b + c = c = (III) f () = ergibt: a + b + c = a + b + c = (IV) f() = ergibt: a + b + c + d = 8a + b + c + d = Mit den Werten d = und c = folgt für die Gleichungen (III) und (IV): (III) a + b = (IV) 8a + b = (III) (IV) ergibt: a = 8 a = Einsetzen von a = in (III) ergibt: + b = b = : b = Ergebnis: Die Funktionsgleichung von f ist f(x) = x x. Aufgabe : Bewerten der Aussagen: Aussage () ist wahr, weil das Schaubild von f bei x = eine Nullstelle hat mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Aussage () ist wahr, weil im Intervall < x < die Werte f (x) > sind und somit f in diesem Intervall streng monoton wachsend ist. Somit muss gelten f( ) < f( ). Zur Bewertung von Aussage () muss man die Werte f ( ) und f ( ) im Schaubild von f ablesen: Da f bei x = einen Extrempunkt hat, muss gelten f ( ) =. Der Wert von f ( ) ist der Funktionswert von f bei x =. Es ist: f ( ) =. Somit ist f ( ) + f ( ) = + = >. Damit ist Aussage () falsch. Aussage () ist wahr. Da das Schaubild von f mindestens Extrempunkte hat, muss der Grad von f mindestens drei sein. Da der Grad von f um größer ist als der Grad von f, muss der Grad von f also mindestens vier sein. Mathematik-Verlag,

4 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe 6: a) Nachweis der Gleichschenkligkeit von ABC: Zum Nachweis der Gleichschenkligkeit muss man die Länge der drei Vektoren AB, AC und BC bestimmen. Man erhält: AB = AC = BC = 6 6 = = = = Wegen AC = BC ist das Dreieck ABC gleichschenklig mit der Basis AB. Was zu zeigen war. b) Die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ergänzt: Das Dreieck ABC wird beispielsweise von dem Punkt D zu einem Parallelogramm ergänzt. Für den Ortsvektor von D muss dann gelten (siehe Skizze): D C D' OD = OA + AD Wegen AD = BC folgt: OD = OA + BC Mit den Punktkoordinaten A( ), B( ) und C(6 6 ) erhält man: 6 OD = + = D( ) Ergebnis: Ein Punkt, der das Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ergänzt, ist D( ). Es gibt drei solcher Punkte. Die beiden anderen Punkte sind D ( ) und D ( 6). (Die Berechnung von D und D ist aber nicht verlangt.) Anmerkung: Streng genommen müssten die Ecken des Parallelogramms ABCD entgegen dem Uhrzeigersinn angeordnet sein. Dann würde es nur einen möglichen Punkt geben, der ABC zu einem Parallelogramm ergänzt, nämlich D( ). Dass die Reihenfolge der Eckpunkte des Parallelogramms keine Rolle spielen soll, geht aus dem Aufgabentext leider nicht hervor. O. A D'' B Mathematik-Verlag,

5 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe 7: a) Die Ebene E im Koordinatensystem: Um die Ebene E: x + x = in einem Koordinatensystem darstellen zu können, muss man zuerst ihre Spurpunkte (= Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) berechnen. x S E... Schnitt mit der x -Achse: Mit x = und x = folgt: x und damit S ( ) Schnitt mit der x -Achse: Mit x = und x = folgt: =, falsche Aussage. Es gibt also keinen Schnittpunkt mit der x -Achse. Das heißt, die Ebene E verläuft parallel zur x -Achse. Schnitt mit der x -Achse: Mit x = und x = folgt: x = und damit S ( ) x S... x b) Alle Punkte der x -Achse mit dem Abstand zur Ebene E: Alle Punkte der x -Achse haben die Koordinaten P a ( a), mit a IR. Der Abstand eines Punktes P a ( a) zur Ebene E: x + x = wird mit der Hesse-Normalen-Form (HNF) von E beschrieben: Die HNF von E lautet: x + x + + bzw. x + x Da die gesuchten Punkte P a ( a) den Abstand zu E haben sollen, muss gelten: + a a Auflösen der Betragsstriche ergibt folgende zwei Gleichungen: (I) a a (II) a = + a = 7 : a = 9 P ( 9) a + a + = a :( ) a = P ( ) Ergebnis: Die Punkte auf der x -Achse, die von E den Abstand haben, sind P ( 9) und P ( ). Mathematik-Verlag,

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