Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: 1. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung:

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1 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Stichworte: lineare Gleichungen; quadratische Gleichungen; Gleichungen höherer Ordnung; Substitution; Exponentialgleichungen; trigonometrische Gleichungen; Bruchgleichungen P Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung: x 3 + 2x(x + ) = 8x3 + 9x 2 P 2 Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung: 2x4 6x2 8 = 0 P 3 Für welche Werte für t hat die Gleichung x2 + t x+ 4= 0 genau zwei, genau eine oder keine Lösung? P 4 P 5 P 6 Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: a) e4x 4e2x + 3= 0 b) ex + 2e x 2 3= 0 c) ex 3e x 2= 0 d) ex + + ex = e) e4x 4e3x 5e2x = 0 f) (ex + 2) (3x2 27) = 0 Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: 5 4 a) + = 0 b) = x+ 2 x x4 x2 Bestimmen Sie für 0 x 2π die Lösungsmenge der Gleichung: a) (cos x) 2 2 cos x 3 = 0 b) sin 2 x sin x = 0 c) (sin x 2) cos x = 0

2 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen Stichworte: ganzrationale, gebrochenrationale, trigonometrische Funktionen; Exponentialfunktionen; Wurzelfunktionen; Verschieben / Strecken von Graphen; charakteristische Eigenschaften der Funktionen; Skizzieren von Graphen; Bestimmung eines Funktionsterms zu einem gegebenen Graph P 7 P 8 P 9 Der Graph der Funktion f mit f(x) = e x ; x 0 wird um zwei Einheiten in x-richtung nach rechts verschoben, anschließend an der x-achse gespiegelt und dann in y-richtung um 3 Einheiten nach oben verschoben. Skizzieren Sie den letzten Graph und geben Sie einen Funktionsterm dazu an. Wie entstehen die Graphen der folgenden Funktionen f aus denen der zugehörigen Grundfunktionen? Skizzieren Sie die Graphen. a) f(x) (x ) 3 π = + 2 b) f(x) = + 2 c) f(x) = 2sin x + x 3 3 d) f(x) = ex 3 2 e) f(x) = 2e x f) f(x) = x+ 2 Geben Sie eine ganzrationale Funktion f dritten Grades an, die genau die Nullstellen x = und x 2 = 2 besitzt und für die gilt: a) x f(x) + b) x f(x) P 0 Für welche Werte von x sind die Funktionswerte der Funktion f mit f(x) = (x + )(x 3) negativ? P Das Bild zeigt einen Ausschnitt des Graphen der Funktion f mit 4 7 f(x) = x + x3 2x a) Bestimmen Sie ohne Rechnung die Anzahl der Lösungen der Gleichung 4 7 x + x3 2x+ 2= b) Geben Sie einen Wert für c an, sodass die Gleichung 4 7 x + x3 2x+ 2= c 3 5 genau zwei (genau vier) Lösungen hat. 7

3 P 2 Die Graphen stellen gebrochenrationale Funktionen dar, die Funktionsterme haben, bei denen der Nennergrad höchstens 2 ist. Geben Sie jeweils einen Funktionsterm an. a) b) c) d) P 3 Geben Sie jeweils einen möglichen Funktionsterm der abgebildeten trigonometrischen Funktionen an: a) 8

4 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen b) c) d) P 4 Ordnen Sie jedem Funktionsterm einen Graph zu und begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. a) f(x) = 3x2e x b) f(x) = 2(x )ex c) f(x) = 2xex 9

5 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen P 5 a) Geben Sie zwei verschiedene gebrochenrationale Funktionen an, die an den Stellen x = 2 und x 2 = 2 jeweils eine Nullstelle und die Polstelle x 3 = ohne Vorzeichenwechsel haben. b) Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion an, deren Graph Asymptoten mit den Gleichungen x = und y = 2 besitzt. P 6 a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f mit f(x) =,5 sin( π x π ) + 2; 0 x 3. b) Geben Sie einen Funktionsterm einer Funktion g an, die die Periode π und den Wertebereich [ ; 3] besitzt. 0

6 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Differenzieren Stichworte: Ableiten von Funktionen; Bedeutung von f' und f''; Ableitungsregeln (Produktund Kettenregel); Tangente; Normale; Berührung; Grundzüge der Kurvendiskussion; grafisches Differenzieren P 7 Geben Sie die Ableitung an: a) f(x) = x3 cosx b) 2x f(x) = x e + x c) f(x) = (3x+ ) 8 d) f(x) = 3x3 x e) f(x) = x2 sin(x3 ) f) f(x) = e2x lnx g) f(x) = x2 2x+ h) 3 f(x) = 2x2 + P 8 Für eine ganzrationale Funktion dritten Grades gilt f(3) = 0, f ''(3) = 0, f '''(3) 0 sowie f(2) = 4, f '(2) = 0. a) Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen von f. b) Für den Funktionsterm von f gilt f(x) = 2x3 + bx2 + cx 36. Bestimmen Sie b und c. P 9 Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f mit f(x) = x 2 e x ; x 0 zwei Punkte mit waagrechter Tangente besitzt. Bestimmen Sie den Abstand dieser beiden Punkte. P 20 Zeigen Sie, dass der Graph von f mit f(x) = x e x ; x 0 an der Stelle x = einen Hochpunkt und an der Stelle x 2 = 2 einen Wendepunkt besitzt. P 2 Gegeben ist die Funktion f durch 2 f(x) = x + ; x 0 \{0}. x Ihr Graph hat einen Tiefpunkt und schneidet die x-achse in einem Punkt. a) Berechnen Sie den Schnittpunkt mit der x-achse und die Abszisse des Tiefpunktes. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente im Punkt P( f()) des Graphen von f. Untersuchen Sie, ob die Gerade durch die Punkte P und Q( 2 3) orthogonal zu dieser Tangente ist. P 22 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x3 + 3x. Ihr Graph ist die Kurve K. 3 a) Berechnen Sie die Nullstellen von f. Skizzieren Sie K. b) Die Normale an K im Ursprung O schneidet die Kurve K in mehreren Punkten. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte. 2

7 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Differenzieren P 23 Zeigen Sie, dass sich die Graphen der Funktionen f mit f(x) = x 2 und g mit g(x) = 2x 2 2x + berühren. P 24 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2; x 0 \{0}. x 2 a) Geben Sie die Asymptoten des Graphen an und skizzieren Sie den Graphen von f samt Asymptoten. b) In welchem Punkt P des Graphen ist die Tangente parallel zur Geraden g mit der Gleichung x + 4y + 8 = 0? x 2x P 25 Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = ; x 0 \{ ; }. x2 a) Geben Sie die Asymptoten des Graphen von f an. b) Eine der beiden abgebildeten Kurven K und K 2 stellt den Graphen der Funktion f dar. Entscheiden Sie, welche Kurve das ist und begründen Sie Ihre Wahl. 2 P 26 Die Diagramme zeigen Ausschnitte der Graphen differenzierbarer Funktionen. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Ableitungsfunktion in das Koordinatensystem. a) b) P 27 Was bedeutet es für den Graph einer (dreimal differenzierbaren) Funktion f, wenn f() = 2, f '() = 0, f "() = 0 und f '''() 0 gilt? 22

8 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Differenzieren P 28 Die Abbildung zeigt ausschnittsweise den Graphen der Ableitungsfunktion f ' einer Funktion f. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind: () Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 ein lokales Maximum. (2) Die Funktion f hat mindestens eine Wendestelle. (3) Für < x < ist f streng monoton steigend. (4) Der Graph von f hat mindestens drei Tangenten, die parallel zur Geraden y = 2x 6 sind. (5) f hat mindestens eine Nullstelle im Intervall [ 3; 3]. P 29 In der Abbildung sind die Graphen K f und K g zweier (zweimal differenzierbarer) Funktionen f und g dargestellt, deren Ableitungen keine Nullstellen haben. Entscheiden Sie, welche der Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Antworten. () f '(2) < g '(2) (2) f(2) < f '(2) (3) f "(2) < g "(2) P 30 Die Funktion f ist auf dem Intervall I = [0; 4] definiert und es gilt: () f(x) > 0 für alle x I (2) f '(x) > 0 für alle x I (3) f ''(x) > 0 für x < 2 und f ''(x) < 0 für x > 2 Welche Aussagen über den Graphen von f ergeben sich daraus? Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen. 23

9 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Integrieren Stichworte: Stammfunktion; Integralfunktion; lineare Substitution; Flächen-, Volumenbestimmung; grafisches Integrieren P 3 Berechnen Sie: ( + e 2x ) dx a) b) 0 c) 2 dx 3x + 0 d) 4 e) + x dx x f) 2 dx (2x + ) (2x + ) 5 dx π 3sin(4x π)dx π 2 P 32 Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung f(x) = x 2 2x. Sie schließt zusammen mit der x-achse und der Geraden x = 3 eine Fläche ein, die sich aus zwei Teilflächen zusammensetzt. Berechnen Sie den Inhalt der Gesamtfläche. P 33 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = e x. Ihr Graph ist die Kurve K. Skizzieren Sie K. Die Gerade y =, die y-achse und die Kurve K begrenzen eine nach rechts unbeschränkte Fläche. Untersuchen Sie, ob der Inhalt der Fläche endlich ist. P 34 Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f mit f(x) = 3e x. Der Graph begrenzt zusammen mit den Koordinatenachsen und der Geraden x = 2 eine Fläche. Diese Fläche rotiert um die x-achse. Welches Volumen hat der entstehende Drehkörper? P 35 Geben Sie für die Funktion f mit f(x) = 4x e 4x eine Stammfunktion an. x3 P 36 Geben Sie für die Funktion f mit f(x) = 4x 3 sin(3x + 2) eine Stammfunktion an. P 37 Geben Sie zu der Funktion f mit f(x) = x 3 e 2x 2 die Stammfunktion an, die an der Stelle den Funktionswert hat. P 38 Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von f mit f(x) = 6x 2 + 2x, deren Graph den Hochpunkt auf der x-achse hat. 33

10 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Integrieren P 39 Abgebildet ist der Graph einer (stetigen) Funktion f. Begründen oder widerlegen Sie unter Verwendung des Graphen die folgenden Aussagen für die Integralfunktion I mit x I(x) = f (t) dt: () Die Funktion I hat ein lokales Maximum. (2) Der Graph von I berührt die x-achse. (3) Es gilt: I(2) > 0. P 40 Die Abbildung zeigt ausschnittsweise den Graphen einer differenzierbaren Funktion f. Begründen Sie anhand des Graphen: () Die Ableitungsfunktion f ' hat mindestens eine Nullstelle. (2) Jede Stammfunktion von f hat mindestens ein lokales Maximum und mindestens ein lokales Minimum. (3) Der Graph jeder Stammfunktion von f hat an der Stelle 0 eine Tangente, die parallel zur Geraden y = 2x ist. P 4 Die Bilder zeigen Ausschnitte der Graphen einer Funktion f, ihrer Ableitungsfunktion f ' und einer Stammfunktion F von f. Ordnen Sie die Graphen den Funktionen f, f ' und F zu. Begründen Sie Ihre Antworten. Bild Bild 2 Bild 3 34

11 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Weitere funktionale Betrachtungen Stichworte: Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Nebenbedingungen; Interpretation von Graphen im anwendungsorientierten Zusammenhang; Änderungsrate; Extremwertaufgaben; Mittelwertbildung P 42 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F einer Funktion f. a) Bestimmen Sie näherungsweise f(3). b) Begründen Sie mithilfe des Graphen: () f besitzt mindestens eine Extremstelle. (2) Für 0 < x < 6 gilt f(x) 0, für 6 < x < 9 gilt f(x) (3) f(x)dx= f(x)dx 0 3 P 43 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 2. Grades geht durch den Punkt P( 6) und berührt an der Stelle x = 0 die. Winkelhalbierende. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung für diese Funktion. P 44 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Ordnung berührt die x-achse im Ursprung. Ihr Wendepunkt ist der Punkt W( 2). Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung für diese Funktion. P 45 Gegeben ist eine Funktion f, deren Funktionsgleichung die Form f(x) = 0(x + b) e a x hat. Die Abbildung zeigt zwei Kurven K und C, von denen eine den Graph von f, die andere den Graph der Ableitung f ' darstellt. a) Welche Kurve stellt die Funktion f dar? Begründen Sie Ihre Aussage. b) Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f. 42

12 Baden-Württemberg Übungsaufgaben Pflichtteil Weitere funktionale Betrachtungen P 46 Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x) = x 6 Berechnen Sie f(5), f(g(5)) und g(f(5)). Für welche Werte für x ist die Verkettung f g nicht definiert? und g(x) = x2 0. P 47 Der Graph beschreibt die vertikale Geschwindigkeit v eines Tauchers, der bis zum Grund eines Sees taucht. (Der Tauchvorgang beginnt zum Zeitpunkt t = 0 an der Wasseroberfläche; der Abwärtsbewegung entspricht eine negative Geschwindigkeit; t in Minuten, v in Meter pro Minute.) a) Nach wie viel Minuten hat der Taucher den Grund des Sees erreicht? Wie lange verweilt er dort? b) Schätzen Sie anhand des Graphen die Tiefe des Sees an dieser Stelle ab. Wie viel Meter ist der Taucher nach 4 Minuten von der Oberfläche entfernt? Begründen Sie Ihre Überlegungen! 43

13 Baden-Württemberg Übungsaufgaben Pflichtteil Weitere funktionale Betrachtungen P 48 Der Graph stellt das Höhenwachstum einer Tanne dar. a) Beschreiben Sie das Wachstum in Worten. Skizzieren Sie den Verlauf der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit. b) Berechnen Sie mithilfe des Graphen die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit für den Zeitraum zwischen dem 30. und dem 60. Jahr. P 49 Die Parabel K hat die Gleichung f(x) = x Skizzieren Sie K. Der Punkt P(u f(u)) ist ein Punkt auf K mit 0 < u < 2. Die Parallele zur y-achse durch den Punkt P schneidet die x-achse im Punkt Q. O ist der Ursprung des Koordinatensystems. Für welche Lage von P ist der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ am größten? P 50 Der stündliche Energieverbrauch einer Firma werde durch e(t) dargestellt. Dabei ist t die Zeit in Stunden ab einem bestimmten Zeitpunkt. Welche Bedeutung haben folgende Ausdrücke? a) 30 e(t) dt b) 0 30 e(t) dt

14 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Stichworte: Gaußverfahren; Linearkombination 3 P 52 Die Punkte P und Q sind Kantenmitten des Quaders. Stellen Sie den Vektor PQ als Linearkombination der Vektoren a, b und c dar. 2 3 durch die Vektoren 5, 4 dar- 2 P 53 a) Untersuchen Sie, ob sich der Vektor x = 8 stellen lässt. P 5 Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme. Deuten Sie die Lösungen jeweils geometrisch. a) x + 4x2 = 2 b) 2x 3x2 + x3 = 2x 9x2 + x3 = 2 3x + 2x 2 x3 = 0 3x + x = 9 8 b) Überprüfen Sie, ob sich der Vektor a = als Linearkombination der Vektoren 2, 2, 0 darstellen lässt c) Bestimmen Sie t so, dass sich der Vektor a = t als Linearkombination der 7 3 Vektoren b = 2 und c = darstellen lässt. 2 5

15 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Geraden und Ebenen Stichworte: Gleichungen von Geraden und Ebenen; Darstellung von Ebenen und Geraden in einem Koordinatensystem; Lagebeziehungen Gerade Gerade, Gerade Ebene, Ebene Ebene P 54 Begründen Sie, dass die Gerade g: x = s 2 ; s 0 parallel zur Verbindungsgeraden h der Punkte P(2 3) und Q(0 3 ) ist. Geben Sie eine Gleichung für die Mittelparallele von g und h an. P 55 Zeigen Sie, dass die Geraden 0 g: x = 2 + t ; t 0 und h: 2 windschief sind. 2 x = s 6 ; 4 s 0 P 56 Begründen Sie, dass die Geraden 2 g: x = 2 + t 6 ; t 0 und h: x = 0 + s 3 ; s 0 2 in einer Ebene E liegen. Geben Sie eine Koordinatengleichung für E an. P 57 Die Verbindungsgerade g der Punkte P(2 3) und Q(3 2 4) schneidet die Ebene E: 3x x 3 = 4 in einem Punkt S. Berechnen Sie S und begründen Sie, dass S zwischen P und Q liegt. P 58 Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die durch die drei Punkte P( 5), Q(2 3) und R(0 7) festgelegt ist. Veranschaulichen Sie die Ebene mithilfe ihrer Spurgeraden in einem Koordinatensystem. P 59 Beschreiben Sie, welche unterschiedlichen Lagen zwei verschiedene Geraden g und h im Raum zueinander haben können. Erläutern Sie die einzelnen Fälle jeweils durch selbst gewählte Beispiele. P 60 Gegeben sind die Ebenen E: 2x + 3x 2 + 3x 3 = 2 und F: 2x + 3x 3 = 6. Veranschaulichen Sie die Ebenen E und F mithilfe ihrer Spurgeraden in einem Koordinatensystem. Zeichnen Sie die Schnittgerade s von E und F ohne weitere Rechnung in das Koordinatensystem ein. 56

16 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Geraden und Ebenen P 6 Die Punkte O(0 0 0), P(3 0 0), Q(0 5 0) und R(0 0 3) sind die Eckpunkte eines Quaders. Stellen Sie den Quader in einem Koordinatensystem dar und geben Sie die Koordinaten der übrigen Quaderecken an. Die Ebene E: 2x + 0x x 3 = 60 schneidet den Quader in einer Fläche. Zeichnen Sie diese Schnittfläche in die Figur ein. Beschreiben Sie kurz Ihre Vorgehensweise. 57

17 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Abstand und Winkel Stichworte: Abstand: Punkt Ebene, Punkt Gerade, Gerade Gerade, Gerade Ebene, Ebene Ebene; Winkel zwischen Vektoren, Geraden, Ebenen, Gerade und Ebene; Parallelität; Orthogonalität P 62 Gegeben ist eine Gerade g: x = p+ t u; t 0. Geben Sie einen Richtungsvektor u an, sodass die Gerade g () parallel zur x -Achse ist, (2) parallel zur x 2 x 3 -Ebene ist, (3) orthogonal zur Ebene F: 3x + 4x 3 = 2 ist, (4) parallel zur Ebene F: 3x + 4x 3 = 2 ist. Begründen Sie kurz Ihre Wahl. P 63 Zeigen Sie, dass die Gerade g: x = 2 + t ; t 0 parallel zur Ebene E: x + 2x 2 + x 3 = 3 ist. Die Ebene F ist orthogonal zur Ebene E und enthält die Gerade g. Geben Sie eine Gleichung für F an. P 64 Gegeben sind die Ebene E: x + 2x 2 2x 3 = 4 und die Gerade g durch die Punkte P(5 ) und Q(3 0). a) Stellen Sie die Ebene E mithilfe ihrer Spurgeraden sowie die Gerade g in einem Koordinatensystem dar. b) Welche Gleichung hat die zu E parallele Ebene F durch den Punkt Q? c) Begründen Sie, dass g parallel zu E ist und bestimmen Sie den Abstand von E zu g. P 65 a) Spiegeln Sie den Punkt P(0 2) an der Ebene E: x 2x 2 = 3. b) Gegeben ist eine Gerade g im Raum und ein Punkt P, der nicht auf g liegt. Der Punkt P wird an der Geraden g gespiegelt. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung des Bildpunktes P'. Fertigen Sie dazu eine Skizze an. P 66 Zeigen Sie, dass das Dreieck PQR mit P(2 0), Q(4 3 ) und R(3 2) rechtwinklig und gleichschenklig ist. Ergänzen Sie das Dreieck durch einen vierten Punkt S zu einem Quadrat. P 67 Welche Punkte der x 3 -Achse haben von der Ebene E: 2x x 2 + 2x 3 = den Abstand? P 68 Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man den Abstand zweier paralleler Geraden bestimmen kann. 65

18 Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Abstand und Winkel P 69 In einem Koordinatensystem sind die Geraden g: x = + s 0 ; s 0 und h: x = 0 + t ; t gegeben. a) Beschreiben Sie die Lage der beiden Geraden im Koordinatensystem. b) Bestimmen Sie den Abstand von g und h. P 70 Zeigen Sie: Die Schnittwinkel der Geraden g: x = 0 + t ; t 0 mit den Ebenen E: 2x + 3x 2 = 2 und F: 3x + 2x 3 = 4 sind gleich groß. P 7 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die vier verschiedenen Punkte A, B, C und S gegeben. Die Punkte A, B und C bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse AB. Der Punkt S liegt so, dass die vier Punkte eine Pyramide bestimmen. Beschreiben Sie, wie man das Volumen dieser Pyramide berechnen kann. P 72 Gegeben ist der Punkt A( 2 2) und für jedes t 0 der Punkt B t ( + t t 2 t). Für welchen Wert von t haben die Punkte A und B t den kleinsten Abstand voneinander? P 73 Gegeben sind die Punkte A(4 0 0), B(0 4 0) und C(3 6). Stellen Sie das Dreieck ABC in einem Koordinatensystem dar. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. P 74 Gegeben ist die Ebene E: 2x + 2x 2 x 3 = 0. Bestimmen Sie Gleichungen der beiden Ebenen, die zu E parallel sind und von E den Abstand 2 haben. P 75 Die folgenden Zeilen zeigen einen Ausschnitt aus der Lösung einer Aufgabe.... P (+ t t + t); Q(2 3 2) t QPt = 0... Geben Sie eine mögliche Aufgabenstellung an. Lösen Sie die Aufgabe. 66