Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007

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1 Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben. Die Lösungswege sind absichtlich nicht angegeben, Fragen können aber in den Übungen gestellt werden. Alle Klausuren dauerten Minuten. Taschenrechner waren nicht zugelassen. Dieses Material unterliegt dem Urheberrecht und ist nur für die Studierenden der FH Jena zur eigenen Vorbereitung auf Klausuren freigegeben. Analysis-Klausur vom..7, Erreichbare Punktzahl: = Aufgabe : a) Ordnen Sie die folgenden reellen Zahlen der Größe nach und beginnen Sie mit der kleinsten! a = ln, b = sin π, c = log 5, d = cosh, f = x lim e x b) Durch welche Verschiebung in x Richtung und in y Richtung geht der Graph der Funktion f(x) =x 8x + aus dem Graphen der Funktion g(x) =x + hervor? c) Berechnen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung sinx + tanx = im Intervall, π! Aufgabe : (Gehört jetzt in die Algebra) a) Welche der beiden komplexen Zahlen z = + j j, z = e j hat den größeren Betrag? b) Welche der beiden komplexen Zahlen hat das größere Argument? Aufgabe : Welchen Anstieg hat der Graph der Funktion an der Stelle x? a) f(x) =sinx tanx ; x = π b) f(x) = x + x ; x = Aufgabe : Gegeben ist die gebrochene rationale Funktion f(x) = x x +. a) Wo ist die Funktion monoton wachsend bzw. fallend? b) Wo ist die Funktion konvex bzw. konkav? Aufgabe 5: Welche Fläche schließt der Graph der Funktion f(x) =x x + mit der x Achse im Intervall - x ein? (Hinweis: Wurzelwerte müssen nicht ausgerechnet werden!) Aufgabe 6: Stellen Sie die Funktion f(x) = x x als Summe einer ganzen x x +

2 rationalen Funktion und von Partialbrüchen dar! Aufgabe 7: (Gehört jetzt in Analysis ) Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion z(x,y) = x + y an der Stelle x =, y = in der Richtung des Winkels α=5! Lösung : a) c < = d < a < = b < f = b) Einheiten nach rechts und Einheiten in y Richtung! c) x =, x = π Lösung : a) z = < = z b) z = j arg(z )= π < arg(z )= Lösung : a) f ( π )= b) f () = 6 Lösung :a) f(x) ist monoton wachsend in D f. b) f(x) ist konvex für x < und konkav für x > Lösung 5: A = Lösung 6: f(x) =x x (x ) Lösung 7: α z (P )= 7,99 Analysis-Klausur vom.5.7, Erreichbare Punktzahl: = Aufgabe : Gegeben ist die gebrochene rationale Funktion f(x) = x x. a) Berechnen Sie evtl. vorhandene Nullstellen und Unstetigkeitsstellen der Funktion sowie ihre Asymptote für x ±! b) Wie verhalten sich die Funktionswerte bei Annäherung (von links und rechts) an die Unstetigkeitsstellen? c) In welchem Teil des Definitionsbereiches ist die Funktion monoton wachsend? d) In welchem Teil des Definitionsbereiches ist die Funktion konvex? e) An welcher Stelle x > ist der Anstieg des Graphen der Funktion um % größer als an der Stelle x =? Aufgabe : (Gehört jetzt in die Algebra)

3 a) Man berechne die komplexe Zahl z = j e π j und gebe das Ergebnis in der + j arithmetischen, in der trigonometrischen und in der Exponentialform an! b) Man berechne z! Aufgabe : Geben Sie für die Funktion y = x x + x 7x + 7x x + 8 den Ansatz für die Partialbruchzerlegung an! Die weitere Rechnung soll nicht erfolgen! Hinweis: x = ist eine doppelte Nullstelle des Nennerpolynoms! Aufgabe : Hat die Funktion f(x) =sin ln ( x + ) + π e x an der Stelle x = ein relatives (lokales) Extremum? a Aufgabe 5: Man berechne 6x cos(x + π )dx mit a = π! Aufgabe 6: (Gehört jetzt in Analysis ) Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen der Funktion z(x,y) =(x + y)cos(x + y ) an der Stelle x =π, y = an! Lösung : a) Nullstelle: x N =, Polstelle: x P = Asymptote: y As = b) lim = x + lim =+ c) mon. wachs. in D f. x d) konvex in (,) e) x = Lösung : a) z = e 5 6 πj = cos 5 6 π+jsin 5 6 π = j b) z = + = Lösung : x x + (x ) (x x + ) = A x + B (x ) + Cx + D x x + Lösung : f () =sin π cos π π = sin π π = π Kein rel. Extr.! Lösung 5: sin(x + π ) π = ( ) = Lösung 6: z T (x,y) = πx y + π Analysis-Klausur vom..8, Erreichbare Punktzahl: = Aufgabe : Man gebe je ein Beispiel an für

4 a) eine in R stetige und monoton fallende Funktion, b) eine alternierende Nullfolge, c) eine echt gebrochene rationale Funktion mit einer Polstelle und einer Lücke, d) eine geometrische Folge, bei der jedes Glied um % größer ist als sein Vorgänger, e) eine kubische Funktion, die an der Stelle x = den Anstiegswinkel 6 hat, f) eine quadratische Funktion f(x), für die f(x)dx = gilt! Aufgabe : Man berechne folgende Grenzwerte, falls sie existieren! a) lim n n +( ) n n n 5 n + b) lim x π sinx cosx c) lim x x e x Aufgabe : Man zerlege die Funktion f(x) = x in eine Summe von Partialbrüchen! x Aufgabe : Man linearisiere die Funktion f(x) = x x + an der Stelle x =! Aufgabe 5: Wo hat die Funktion f(x) =x 9x + x 6 im Intervall [,9] ihr absolutes (globales) Maximum? Aufgabe 6: Man berechne die bestimmten Integrale! a) 9 x dx b) dx 6 + x c) Aufgabe 7: Von welcher Funktion f(x) ist die Funktion π x + cosx dx d) tan 5 (x)dx F(x) =ln x x + 5cos x x eine Stammfunktion? Lösung : a) b) c) Lösung : f(x) = x x = (x ) + (x + ) Lösung : y T (x) = x + Lösung 5: glob. Max bei x = 9 Lösung 6: a) x 9 x + 9arcsin x = 9π b) ln x x c) [xtanx + ln cosx ] π/ = π 8 ln d) = ln8 ln = ln

5 Lösung 7: f(x) =F (x) = x 5 sinx x x + 5cos x + x Analysis-Klausur vom.5.8, Erreichbare Punktzahl: = Aufgabe : Man gebe je ein Beispiel an für a) die Funktionsgleichung einer nach unten geöffneten Parabel mit dem Scheitelpunkt S( ;), b) eine Zahlenfolge {a n } mit dem Grenzwert 7, für die a = gilt, c) eine gerade Funktion f(x) mit f() =, d) eine Funktion g(x), deren Graph bei x = einen um % größeren Anstieg hat als der Graph von f(x) = x, e) eine Funktion f(x), für die f(x)dx = gilt! Aufgabe : Wie lautet das Taylorpolynom. Grades für die Funktion f(x) =e x an der Stelle x =? Aufgabe : Für die Funktion f(x) = x x + 6x 6 x x + x ist eine Stammfunktion F(x) zu ermitteln! (Hinweis: Partialbruchzerlegung!) Aufgabe : Warum hat die Funktion f(x) =cos ln ( x + ) + π e x an der Stelle x = kein relatives (lokales) Extremum? Aufgabe 5: Man berechne die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) =lnx und g(x) = x im Intervall [,]! Aufgabe 6: Man berechne den Grenzwert lim tanx x π cosx! Lösung : T (x) = + (x ) +(x ) Lösung : F(x) = dx x + dx (x ) dx = ln x x x + x Lösung : f () = π Kein rel. Extremum! Lösung 5: A = + ln

6 Lösung 6: lim tanx x π cosx = lim sinx x π cosx = lim x π cosx sinx = Analysis-Klausur vom 9..9, Erreichbare Punktzahl: = Aufgabe : a) Man gebe ein Beispiel an für eine trigonometrische Funktion mit der Periode π! b) Gesucht ist das Glied a einer arithmetischen Folge, von der a = 5 und a 9 = 6 bekannt sind. c) Man gebe ein Beispiel an für eine ganze rationale Funktion mit den Nullstellen x =, x = x = und x =! d) Wie lautet die Funktionsgleichung einer Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S( ;5)? e) Die Ellipse beschreiben! (x 6) + (y + ) 9 = ist durch eine Parameterdarstellung zu f) Gesucht ist irgendeine Funktion, deren Graph an der Stelle x = den Anstiegswinkel 6 hat. g) Man gebe ein Beispiel an für eine hyperbolische Funktion f(x), für die f(x)dx = gilt! Aufgabe : Welche Art von Unstetigkeit hat die Funktion f(x) = sinx cosx bei x = π? Aufgabe : Wie muss der Ansatz für die Partialbruchzerlegung der Funktion f(x) = x x + 6 gewählt werden? Die Berechnung soll nicht erfolgen. x x 6x + Hinweis: x = ist eine doppelte Nennernullstelle. Aufgabe : Berechne das Taylorpolynom. Grades der Funktion f(x) =cosx an der Stelle x = π! Aufgabe 5: Wo hat der Graph der Funktion f(x) =x x 5x + 5 im Intervall [,] den steilsten Anstieg? Aufgabe 6: Man berechne die bestimmten Integrale! a) x (lnx) dx b) 5 x dx c) x x + sinxdx π d) ( cosx + cos x) Aufgabe 7: Gesucht ist die Länge der Kurve y = 9 ( x) zwischen x = und x =!

7 Lösung : lim x π cosx sinx = Lösung : x x + 6 x x 6x + = Es liegt eine Lücke vor. A x + Lösung : T (x) = x + π + 6 (x π ) Lösung 5: Steilster Anstieg bei x = Lösung 6: a) 5 (lnx) 5 b) 5 c) = 5 ln 5 B (x ) + Cx + D x + x + 8 x x + dx = ln x x + = ln 5 5 x x + sinxdx = Lösung 7: L = + y dx = ( x) d) x sinx + sinx π = π = 8 Analysis-Klausur vom 9.5.9, Erreichbare Punktzahl: = Aufgabe : a) Der Graph der Funktion f(x) = cosx + x wird um Einheiten nach links und um Einheiten nach oben verschoben. Man gebe die Funktionsgleichung für die so entstehende Funktion g(x) an! b) Berechne lim x ± sinx + x! (Begründung!) c) Welche der Funktionen sind gerade und welche sind ungerade: f(x) =x sinx, g(x) =lnx + x, h(x) =e x + e x? d) In Ungarn kostet ein bestimmter Artikel 6 Forint. Darin sind % Mehrwertsteuer enthalten. Wie hoch ist der Nettopreis (also ohne Mwst.)? e) Für die Funktion f(x) = x an! sinx gebe man die. Ableitung und eine Stammfunktion Aufgabe : Die durch die Gleichung x x + y = beschriebene Kurve C ist in Polarkoordinaten r = r(ϕ) anzugeben! Aufgabe : Man skizziere den Graph der Funktion f(x) =x 9x + x 6,

8 nachdem man zuvor die Schnittpunkte mit den Achsen, die relativen Extrema und die Wendepunkte ermittelt hat! Aufgabe : Man zerlege die Funktion f(x) = x + x(x + ) in eine Summe von Partialbrüchen! Aufgabe 5: Man berechne die Bogenlänge der Zykloide x = (t sint), y = ( cost) für eine volle Umdrehung ( t π) des erzeugenden Kreises! Aufgabe 6: Man gebe die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y = x 6x + 7 im Punkt (;) an! Lösung : a) g(x) = b) lim x ± sinx + x cos(x + ) +(x + ) + =, dasin( ) <. c) f(x) ist ungerade und h(x) ist gerade. d) 6 :, = 5 HUF e) f (x) = x cosx, F(x) =ln x + cosx Lösung : r(ϕ) = cosϕ Lösung : Schnittpunkt mit der y Achse: (; 6); Nullstellen: x N =, x N = x N = Rel. Max. bei P max (;) Rel. Min. bei P min (;) ; Wendepunkt: x W = y W = y 6 - x - - Lösung : x + x(x + ) = x x + (x + ) + (x + ) π Lösung 5: L = sin t dt = 8cos t π = 6

9 Lösung 6: y T (x) = x + 5 Analysis-Klausur vom.., Erreichbare Punktzahl: = Aufgabe : a) Man gebe ein Beispiel an für eine monoton fallende Folge! b) Gesucht ist das Glied a einer geometrischen Folge, von der a = und a = 5 bekannt sind. c) Man gebe ein Beispiel an für eine echt gebrochene rationale Funktion mit der einzigen Nullstelle x N = und der einzigen Unstetigkeitsstelle x p =! d) Wie lautet die implizite Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt M(; 5) und dem Radius R =? e) Der Kreis aus Aufgabe d) ist durch eine Parameterdarstellung zu beschreiben! f) Der Graph der Funktion f(x) =ax hat an der Stelle x = den Anstiegswinkel 6. Man bestimme a! g) Man gebe ein Beispiel an für eine Funktion f(x), für die Aufgabe : Welche Art von Unstetigkeit hat die Funktion f(x) = f(x)dx = sinx cos x f(x)dx gilt! bei x =π? Aufgabe : Man berechne die restlichen Nullstellen der Funktion f(x) =x x x + 7x + 6,wennbereitsx N = bekannt ist! Aufgabe : Für die Funktion f(x) = x x + 6 gebe man den Ansatz für die (x )(x + ) (x + ) Partialbruchzerlegung an! Aufgabe 5: Berechne das lineare Taylorpolynom der Funktion f(x) = x =π! e x cosx an der Stelle Aufgabe 6: Wo hat die Funktion f(x) =x x 9x + 5 im Intervall [,] ihr globales Maximum? Aufgabe 7: Man berechne die bestimmten Integrale! π/ a) π/6 cosx (sinx) dx Aufgabe 8: b) x + x dx c) sin x sin x + x dx Gesucht ist die Länge der Kurve y = ( x) zwischen x = und x =!

10 Lösung : a) n b) a = (q = 5) c) Beispiel: f(x) = x + (x )(x + ) d) (x ) +(y + 5) = 6 e) x = + cost, y = 5 + sint f) a = g) f(x) =x Lösung : lim x π sinx cos x = Es liegt eine Lücke vor. Lösung : x N =, x N =, x N = Lösung : x x + 6 (x )(x + ) (x + ) = A x + B x + + B (x + ) + Cx + D x + Lösung 5: T (x) = e π e π (x π)= e π (x + π) Lösung 6: globales Max. bei x = Lösung 7: a) 5 (sinx) 5 π π 6 = 5 5 b) ln (x + x ) + 8x + c) sin x sin x + x dx = Lösung 8: L = 8 = ln = ln7 ln + 5 Analysis-Klausur vom.., Erreichbare Punktzahl: = Aufgabe : a) Man ordne die folgenden reellen Zahlen der Größe nach und beginne mit der kleinsten! a = ln, b = sin π, c = log 5, d = cosh, e = x lim e x b) Durch welche Verschiebung in x Richtung und in y Richtung geht der Graph der Funktion f(x) =x 8x + aus dem Graphen der Funktion g(x) =x + hervor? c) Berechne alle reellen Lösungen der Gleichung sinx + tanx = im Intervall, π! Aufgabe : Gesucht ist das globale Minimum und das globale Maximum der Funktion y = x x + im Intervall [,]. Aufgabe : Welchen Anstieg hat der Graph der Funktion an der Stelle x?

11 a) f(x) =sinx tanx ; x = π b) f(x) = x + x ; x = Aufgabe : Gegeben ist die gebrochene rationale Funktion f(x) = x x +. a) Wo ist die Funktion monoton wachsend bzw. fallend? b) Wo ist die Funktion konvex bzw. konkav? Aufgabe 5: Welche Fläche schließt der Graph der Funktion f(x) =x x + mit der x Achse im Intervall x ein? (Hinweis: Wurzelwerte müssen nicht ausgerechnet werden!) Aufgabe 6: Stellen Sie die Funktion f(x) = x x als Summe einer ganzen x x + rationalen Funktion und von Partialbrüchen dar! Aufgabe 7: Für folgende Funktionen sind Stammfunktionen anzugeben! a) f(x) =x x b) f(x) = x c) f(x) =x + cosx cos(x) Aufgabe 8: Berechne die bestimmten Integrale! a) 9 x dx b) tan 5 (x)dx c) π x cos(x)dx π Lösung : a) c < = d < a < = b < e = b) Einheiten nach rechts und Einheiten in y Richtung! c) x =,x = π Lösung : globales Min. in P min (; ) und globales Max. in P max (; 5 ) Lösung : a) f ( π )= b) f () = 6 Lösung : a) f(x) ist monoton wachsend in D f. b) f(x) ist konvex für x < und konkav für x > Lösung 5: A = Lösung 6: f(x) =x x (x ) Lösung 7: a) F(x) = x x + x x ln x + x b) F(x) = (xtanx + ln cosx ) c) F(x) = x sinx + x cosx

12 Lösung 8: a) x 9 x + 9arcsin x c) x sinx + x cosx π/ = π = 9π b) tan 5 xdx =,weil...