Klausur zur Mathematik für Maschinentechniker

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Theresa Gerstle
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1 SS Klausur zur Mathematik für Maschinentechniker Apl. Prof. Dr. G. Herbort Aufgabe. Es sei f die folgende Funktion f(x) = 4x 4x 9x 6 x (i) Was ist der Definitionsbereich von f? Woistf differenzierbar, wo nicht? ( Punkte) (ii) Was sind die Nullstellen von f? (Hilfe: Eine Nullstelle liegt bei x =4) ( Punkte) (iii) An welchen Stellen hat f lokale Extrema (Hilfe: f ( /) = 0)? (4 Punkte) (iv) Zeigen Sie, dass f(x) =4x 9 5 x Wo also hat f Wendepunkte? ( Punkte) Lösung. i) Die Funktion ist auf IR \{} definiert und in nicht stetig fortsetzbar, weil f( + 4+8n )= 5n 5 +,wennn. n n ii) Es gilt f(4) = 0. Wenden wir das Hornerschema auf den Zähler von f an, so finden wir 4x 4x 9x 6 = (x 4)(4x +x +9) = 4(x 4)(x + x ) = 4(x 4)(x + ) Somit hat f genau bei x + 4 und x = eine Nullstelle. iii) Mit der Quotientenregel erhalten wir für die. Ableitung von f f (x) = (x 8x 9)(x ) 4x +4x +9x +6 (x )

2 = x 0x x +9 4x +4x +9x +6 (x ) = 8x 6x +8x +5 (x ) Mit dem Hornerschema erhalten wir jetzt 8x 6x +8x +5=8(x + )(x x ) Da aber x x =(x 4 ) > 0 überall, ist die einzige Nullstelle von f. Wir haben also f (x) =8(x + )(x 4 ) (x ) Somit ist f (x) < 0, wenn x< und f (x) > 0, wenn x>. Bei liegt also ein lokales Minimum für f, das jedoch kein absolutes Minimum sein kann, da f( + ),wennn. n (iv) Die Darstellung f(x) =4x 9 5 x erhalten wir aus dem Divisionsalgorithmus. Damit können wir leicht f berechnen. Es folgt f (x) =8 50 (x ), f (x) = 450 (x ) 0 4 Eine Wendestelle ergibt sich bei x 0 =+ 50. Weitere Wendepunkte sind nicht vorhanden, da x 0 die einzige Nullstelle von f ist. Aufgabe. a) Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) =x x +4 nur eine reelle Nullstellen hat, und zwar im Intervall (.5,.). (4 Punkte) b) Prüfen Sie, ob das Newtonverfahren anwendbar ist und berechnen Sie mit dem Newtonverfahren diese Nullstelle (+4 Punkte) Lösung. a) Wir leiten f ab und finden f (x) =9x =9(x x + )(x x ) mit Nullstellen bei x ± = ±. Es gilt f (x) > 0, wenn x<x oder x>x + und f (x) < 0, wenn x <x<x +.Es folgt f(x) f(x + ), wenn x x.daf(x + ) > 0, ist also auf [x, ) keine Nullstelle vorhanden.

3 Da f auf (,x ) streng monoton wächst, gibt es auf diesem Bereich höchstens eine Nullstelle. Dass es wirklich eine solche gibt, folgt aus dem Mittelwertsatz b) Es gilt f (x) =9(x x + )(x x ) > 0auf(,x ) und f (x) =8x<0. Da also f und f auf dem Intervall (.5,.) das Vorzeichen nicht ändern, ist das Newtonverfahren anwendbar. Sei R(x) :=x f(x) f (x) = 6x 4 9x Dann ist x := R(.4) =.0844 x := R(x ) =.00 x := R(x ) = x 4 := R(x ) = Dann ist f(x ) ( 0 8, 0), also x eine bis auf 8 Nachkommastellen exakte Nullstelle von f. Aufgabe. Studieren Sie das lineare Gleichungssystem x 4x + x x 4 = x 5x + x + 9x 4 = 9x 9x + x + 5x 4 = a wobei a IR sein soll. i) Bestimmen Sie die Koeffizientenmatrix A ( Punkt) ii) Für welches a ist das Gleichungssystem lösbar? (4 Punkte) iii) Lösen Sie das Gleichungssystem für dieses a vollständig. (5 Punkte)

4 Lösung. i) und ii): Wir nehmen an der erweiteten Matrix A elementare Zeilenumformungen vor. Die Matrix a geht, wenn wir von der. Zeile das -fache der. Zeile abziehen, in a über. Dann nehmen wir die. Zeile mal mit 6 und die. Zeile mit 9. Es entsteht a a Subtraktion der. Zeile von der. Zeile liefert a Nun ziehen wir noch von der. Zeile (/) mal die. Zeile ab und finden a 0 4

5 Wir teilen die. Zeile wieder durch 6 und die. Zeile durch. Es entsteht a 0 Das Gleichungssystem hat somit genau dann eine Lösung, wenn a = 0 ist. iii) Das gegebene Gleichungssystem ist dem folgenden äquivalent x 4x + x x 4 = x 8x x 4 = Das sehen wir als Gleichungssystem in x und x an. Die Lösung lautet x = x + 46 x = 8x + x 4 x 4 Dem entnehmen wir, dass der allgemeine Lösungsvektor durch λ 8 + µ mit λ, µ IR gegeben ist. Aufgabe 4. a) Berechnen Sie I := x x dx b) Bestimmen Sie Stammfunktionen zu (5 Punkte) f (x) =x sin(x), f (x) = x x +5 Benutzen Sie dabei Ihre Formelsammlung nicht! (6 Punkte) Lösung. a)seif(x) =x x. Dann ist f(x) =(x +)(x ) und f hat Nullstellen bei und. Auf (, ) ist f positiv, ebenso auf (, ), während f auf (, ) negative Werte hat. Daher gilt x x dx = f(x)dx f(x)dx + f(x)dx 5

6 Als Stammfunktion von f dient uns F (x) = x x x. Es folgt x x dx = F ( ) F ( ) ( F () F ( ) ) + F () F () = F ( ) F () + F () F ( ) = 49 6 b) Durch partielle Integration folgt x sin(x)dx = x cos(x)+ cos(x)dx Mit der Substitutionsregel erhalten wir x = x cos(x)+ 4 sin(x) x +5 dx = ln(x +5) Aufgabe 5. Gegeben seien die beidengeraden 5 G := + IR und G := 0 + IR a) Welchen Abstand haben G und G voneinander? 8 ( Punkte) b) Sei E die Ebene E = { x IR x 6x + x =}. In welchen Punkten schneiden G und G die Ebene E? (4 Punkte) c) Berechnen Sie die Projektion von G auf E (4 Punkte) Lösung. a) Wir bilden zuerst das Vektorprodukt der Richtungsvektoren und finden n = 8 = Der Vektor hat die Länge +5 + = 95. Der Verbindungsvektor der beiden Aufpunkte 5 ist 0 =. Sein Skalarprodukt mit n ist n, = 6 5

7 Der gewünschte Abstand ist dann d = 95 =, 4. b) Der Schnittpunkt von G mit E sei S. Dann gilt 5 S = + λ Soll S E sein, so muss sein, also Somit ist λ = und S = 5+λ 6( + λ )++λ = 5 8λ 5 = = 6 5 Entsprechend finden wir, dass G die Ebene E in S = schneidet. c) Wir müssen nur noch den Richtungsvektor der Projektionsgeraden bestimmen. Dieser ist gegeben durch w =, 6 6 = 6 4, 8 9 denn 6 hat das Längenquadrat 8. Die gesuchte Gerade ist also P E (G )= S + IR w = IR 6 4 Aufgabe 6. Untersuchen Sie die folgende Differentialgleichung: ( ) y +6y y = x a) Bestimmen Sie Basislösungen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. (Das charakteristische Polynom hat ganzzahlige Nullstellen)

8 ( Punkte) b) Finden Sie eine partikuläre Lösung. (Tipp: Ansatz mit Polynom. Grades ) ( Punkte) c) Bestimmen Sie die Lösung u von (*), für die zusätzlich gilt: u(0) = 64,u (0) = 0, u (0) = (5 Punkte) Lösung. a) Das charakteristische Polynom P (X) =X +6X hat die Linearfaktorzerlegung P (X) =(X )(X +4), was mit dem Hornerschema zu finden ist. Es folgt, dass e x,e 4x, und xe 4x als Basislösungen dienen können. b) Der Polynomansatz u p (x) =ax + bx + c wird in die Dgl eingesetzt und liefert 6u p(x) u p (x) =a ax bx c = x Mit Koeffizientenvergleich erhalten wir daraus also ist eine partikuläre Lösung. c) Wir machen den Ansatz a =, b =0, c = 5 56 u p (x) = x und berechnen die Ableitungen. Es entsteht u(x) =u p (x)+ae x +(B + Cx)e 4x u (x) = 6 x +Aex +( 4B + C 4Cx)e 4x Die Startbedingungen sagen, dass u (x) = 6 +4Aex +(6B 8C +6Cx)e 4x A + B = 64 A 4B + C = 0 4A +6B 8C 6 = 9 64 Dieses Gleichungssystem wird durch A =,B =0,C= gelöst So erhalten wir als Lösung für das Startwertproblem u(x) = x ex + 8 xe 4x 8

9 Aufgabe. Gegeben sei ein Dreieck mit Grundseite c und Höhe h. Ihm soll ein Rechteck maximalen Flächeninhalts einbeschrieben werden, wobei eine Seite dieses Rechtecks auf der Seite c liegen soll. h x y x x p c q a) Drücken Sie y durch h, c und x aus, also y = y(x). (5 Punkte) b) Wo hat x y(x) ein Maximum? (5 Punkte) Lösung. a) Einer der Strahlensätze liefert uns, dass x h y = p h, x h y = q h Addieren wir diese beiden Gleichungen, so folgt x h y = x h y + x h y = p h + q h = c h Somit wird, wenn wir nach y auflösen, und der Flächeninhalt des Rechtecks ist b) Wir formen um: y = y(x) =h ( x c ) F (x) =x y(x) =h x ( x c ) F (x) = hx hx c 9

10 = h c (x cx) = h ((x c ) c ) c 4 = hc 4 h c (x c ) hc 4 Der größtmögliche Wert, den F annehmen kann, ist also Dann ist y = h. F ( c )=hc 4 0

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