1 /41. Abschlussprüfung Fachoberschule 2010, (Mathematik) Aufgabenvorschlag B

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1 , (Mathematik) / Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x) = x x + x 6x+ ; x. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und begründen Sie Ihre Aussage. /. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f im Unendlichen.. /. Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-achse an. /. Begründen Sie, dass die Funktion f im Intervall [ ; ] eine Nullstelle haben muss. /9 Berechnen Sie diese Nullstelle durch ein geeignetes Näherungsverfahren auf vier Nachkommastellen genau. Brechen Sie Ihre Berechnung bei einem Fehlerquotienten von f ( x), oder nach höchstens drei Iterationsschritten ab.. Weisen Sie nach, dass eine zweite Nullstelle bei x = existiert. /.6 Nennen Sie die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Bestimmung der Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Graphen von f und berechnen Sie diese Punkte. /.7 Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [ ; ] unter Zuhilfenahme aller ermittelten Punkte..8 Gegeben sei nun die Funktionsgleichung fa ( x) = x x + ax 6x+ mit x und a. rmitteln Sie, für welches a der Graph der Funktion f keine Wendepunkte besitzt. Begründen Sie Ihre Antwort. /6 /, (Mathematik) Aufgaben Seite von

2 , (Mathematik) / Der Funktionsgraph f einer Funktion dritten Grades besitzt den xtrempunkt P( ). An der Stelle x = hat die zugehörige Normale n die Funktionsgleichung nx ( ) =,x+,.. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Funktion f. / Wenn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, lösen Sie ersatzweise das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f. a + 6b + c +,d = a + b + c + d = a b c = 6a b c = Falls Sie die Funktionsgleichung der Funktion f nicht bestimmen konnten, arbeiten Sie im Weiteren mit der Funktionsgleichung f ( x) = x x + x und der Normalengleichung nx ( ) =,x+,.. Skizzieren Sie die Graphen der Funktion f sowie der Normale n. Verwenden Sie hierbei das xtremum von f im Punkt P( ), den Schnittpunkt der Graphen der Funktion f und der Normale n, das absolute Glied der Funktion f sowie das Verhalten von f im Unendlichen. /. Die Graphen der Funktion f und der Normale n sowie die y-achse schliessen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche. Berücksichtigen Sie bei Ihrer Lösung die folgenden Hinweise: Die Graphen der Funktion f und der Normale n schneiden sich an der Stelle x =. Der Graph der Funktion f schneidet die x-achse bei ca. x =, 7. /7, (Mathematik) Aufgaben Seite von

3 , (Mathematik) / Aus Sperrholz soll eine quaderförmige Kiste gebaut werden; alle Kanten sind mit Aluminiumschiene zu verstärken. Beim Bau sind folgende Maßgaben zu beachten:. Die Länge l soll genau das Doppelte der Breite b betragen.. s stehen insgesamt cm Aluminiumschiene zur Verfügung.. Weisen Sie nach, dass man das Volumen der Kiste mit der folgenden Zielfunktionsgleichung berechnen kann (Längeneinheit: cm): Vb ( ) = 7b 6b. Welche Länge l, Breite b und Höhe h muss die Kiste haben, damit ihr Volumen maximal ist? Wie groß ist das maximale Volumen? /6 /9, (Mathematik) Aufgaben Seite von

4 , (Mathematik) / Auf dem Freigelände eines Jugendclubs ist der Bau einer Halfpipe (siehe Foto - aus urheberrechtlichen Gründen hier nicht verfügbar) zum Skateboard fahren geplant. Der Querschnitt der Halfpipe soll folgende Maße haben:, m, m m m Gesamtlänge = m Die Konstrukteure haben festgelegt, dass sich die eigentliche Skaterbahn aus zwei Parabelästen und einer waagerechten Geraden zusammensetzt. Um sanfte Übergänge zwischen dem geraden und den beiden abschüssigen Abschnitten zu erreichen, befinden sich genau in den Übergängen (bei jeweils m) die Scheitelpunkte der Parabeln.. Stellen Sie die Funktionsgleichung einer der beiden Parabeln auf. Skizzieren Sie diese in einem geeigneten Koordinatensystem und bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Falls Sie die Funktionsgleichung der Funktion f nicht bestimmen konnten, arbeiten Sie im Weiteren mit der Funktionsgleichung f ( x) = x. 8 /6. Berechnen Sie, wie viel m Beton für den Bau der Halfpipe notwendig sind, wenn diese eine Breite von m hat. /6. Sponsoren haben für den Bau dieses Objektes 7 zur Verfügung gestellt. / Die Jugendlichen haben recherchiert, dass m Beton 6 zuzüglich % für die Verarbeitung kostet. Berechnen Sie, ob das Geld der Sponsoren reichen wird.. Um wie viele Meter müsste die Breite der Halfpipe verändert werden, damit das zur Verfügung stehende Geld voll ausgenutzt wird? /, (Mathematik) Aufgaben Seite von

5 (Mathematik) für Teil- rwartete Teilleistung aufgaben. f ( x) f( x) und f ( x) f( x) oder die xponenten von x sind gerade und ungerade, der Graph ist weder achsensymmetrisch zur y-achse noch punksymmetrisch zum Ursprung.. lim f( x) = und lim f( x) x x =. S y (/) da f () = ist.. s gibt eine Nullstelle im Intervall[ ; ], da ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte im Intervall auftritt, denn f () = und f () = Newtonsches Näherungsverfahren: f( xn ) x n x + n f ( xn ) f ( x) = x x + x 6x+ f ( x) = x 9x + x 6 B in AB rbrachte Teilleistung I II III B Begutachtung x n f ( x n ) f ( x n) x n + -6,,,7 -,69,68,68, -9,69,,, f(,), Die Nullstelle liegt bei xn,. Die Bedingung für eine Nullstelle ist erfüllt, denn es gilt f () =. B, (Mathematik) Seite von 7

6 (Mathematik) für.6 a)xtrempunkte, notw. und hinr. Bedingung: Hochpunkt: f ( x ) = und f ( x ) > Tiefpunkt: f ( x ) = und f ( x ) < f ( x ) = x 9x + x 6= x = ; Linearfaktor (x-) ( x 9x + x 6) : ( x ) = x 8x+ 6 x 8x+ 6= x = ± 6 6 =, f ( x) = x 8x+ f () = f () = 9 > Tiefpunkt f () = ; TP(/ ) ; an der Stelle liegt vermutlich ein Sattelpunkt. x, b)wendepunkte, notw. und hinr. Bedingung: f ( x W ) = und f ( xw ) f ( xw) = x 8x+ = x = ± 9 8 = ± W, xw = ; x W = f ( x) = 6x 8 f () = 6 > rechts-links-krümmung f () = 6 < links-rechts-krümmung f () = ; WP (/ ) f () = ; WP (/ ) ist ein Sattelpunkt, da f () = f () = und f () B, (Mathematik) Seite von 7

7 (Mathematik) für.7 Intervallgrenzen: f() = ; f() =,.8 f ( x) = x 9x + ax 6 = f ( x) = x 8x+ a f ( x) = 6x 8 f ( x) = x 8x+ a= a x, = ± 9.Fall: Aus 9 a < folgt, dass es für 7 < a keine Lösung, somit keine Wendestelle gibt. a 7.Fall: Aus 9 = folgt a = und x, =. f () = somit keine ntscheidung zur xistenz der Wendestelle s gibt keine Wendestelle. Der Nachweis f7 ( x) für alle x wird nicht gefordert. Summe 9 mögliche B erreichte B B, (Mathematik) Seite von 7

8 (Mathematik) für Teil- rwartete Teilleistung aufgaben. Ansatz: f ( x) = ax + bx + cx+ d f ( x) = ax + bx+ c f ( x) = 6ax+ b Bedingungsgefüge:. f () = Punkt P( ). f '() = xtremum bei x =. f () = f() = n() =. f '() = mm n t = f'() = mt = Gleichungssystem: I: a + b + c + d = - II: a + b + c = III: 8a + b + c + d = IV: a + b + c = B in AB rbrachte Teilleistung I II III B Begutachtung Lösen des Gleichungssystems (auch rsatz-lgs) Lösungen des Gleichungssystems (auch rsatz-lgs) a= ; b= ; c= ; d = Funktionsgleichung:. Graphen von f und n: f x x x x ( ) = + Die genaue Lage des lokalen Maximum 6 H ( ) bleibt unberücksichtigt, seine xistenz 7 ergibt sich aus den bekannten igenschaften von f. B, (Mathematik) Seite von 7

9 (Mathematik) für.,7 A= f( xdx ) + nxdx ( ) f( xdx ),7,7 A= x x + x x +,x +,x + x x x x,7 A =,89 +,, 67 +,89 A = 6,87 Summe 7 mögliche B erreichte B Teilauf- rwartete Teilleistung B in AB rbrachte Teilleistung gaben I II III B Begutachtung. Hauptbedingung: Vbhl (,, ) = bhl soll maximal sein Nebenbedingungen: (NB) l = b (NB) l+ b+ h= (NB) in (NB) einsetzen: 8b+ b+ h= h= b Nebenbedingungen in Hauptbedingung einsetzen: Zielfunktion: Vb ( ) = b ( b) b= 7b 6b. Ableitungen: V '( b) = b 8 b ; V"( b) = 6b Notw. Bed.: V '( b) = b 8b = b( 8 b) = Lösungen: b = ist nicht sinnvoll b = ist sinnvoll Hinreichende Bedingung V"( b ) < prüfen: V "() = < Maximum Optimale Höhe und Länge berechnen: h max = = l max = = 6 Maximales Volumen berechnen: V max = 6 = 8 Antwortsatz mit Maßeinheiten Summe mögliche B erreichte B B, (Mathematik) Seite von 7

10 (Mathematik) für Teilaufgaben. rwartete Teilleistung s gibt mehrere Möglichkeiten, die Parabel in ein Koordinatensystem zu zeichnen, exemplarisch sei hier nur die effektivste Variante aufgezeigt. Beide Parabeläste werden zu einer Parabel verbunden, so dass der Scheitelpunkt bei S ( ) liegt und ein weiterer relevanter Punkt bei P ( ). B in AB rbrachte Teilleistung I II III B Begutachtung Funktionsgleichung: f ( x) = ax = 9a a = 8 f ( x) = x 8 P (/ ) B, (Mathematik) Seite 6 von 7

11 (Mathematik) für. Ansatz für Flächeninhalt: A= f( x) dx= ( x) dx Stammfunktion : F( x) = x 8 A = i = m Volumen: V = ( A +,i) i Breite = m m Beton werden für den Bau der Halfpipe benötigt.. m 6uro+ % m 6uro + uro m 8uro m uro Das Geld der Sponsoren ist ausreichend.. m x = 7 x = 8,m Bei 8,m Beton wäre das Geld voll ausgenutzt. 8, (, ) m = A+ i ibreite 8, = m m Breite,8m= Breite i Die Halfpipe müsste um ca.,8 m verbreitert werden, damit dass Geld voll ausgenutzt wird. Summe 6 mögliche B erreichte B B, (Mathematik) Seite 7 von 7

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