Übungsaufgaben für die schriftliche Prüfung in Mathematik

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Insa Bruhn
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1 Übungsaufgaben für die schriftliche Prüfung in Mathematik Aufgabe 1) Bestimme den Scheitelpunkt der quadratischen Funktionen 1. Über die quadratische Ergänzung. Über die Ableitung der Funktion a) f(=x² - 10x b) g(=4x² + 8x - 1 c) h(=x² +1x + d) i(= -x² - 1,5x Aufgabe ) Bestimme die quadratische Funktion, deren Graf durch folgende Punkte verläuft. Hinweis: Überlege welche Darstellungsform am besten geeignet ist! a) P 1 (8 0), P (0 16), P (1-14) b) Scheitelpunkt S( 1), P 1 (0 ) c) Nullstellen N 1 (- 0), N ( 0), P 1 (1-8) Aufgabe ) Bestimme die Ableitungen folgender Funktionen: a) f(=x 4 b) g(=f( c) h( = 1/x 9 d) i( = h(/x e) j(= 5x² - f) k(=[j(]² g) l ( = x h) m( = x l( Aufgabe 4) Bestimme die Fläche zwischen dem Grafen folgender Funktionen und der x-achse. 1 a) = x² x b) g( = x 4x² c) h( = x³ + 4x² + 6x d) i ( = x³ 1 Aufgabe 5) Berechne die Fläche, welche von den Grafen f( und g( begrenzt wird. a) = x² g( = x² + 4x b) = 0,5x³ + x g ( = 0,5x² + Aufgabe 6) Führe für folgende Funktionen eine vollständige Kurvendiskussion durch. 1 4 a) f( = x²- 8x + 15 b) g( = 4 - x³ c) h ( = (x 8x³ + 16) 8 1FOI_Prüfungsvorbereitung_1.docx Seite 1

2 Aufgabe 7) Gesucht ist ein ganzrationale Funktion. Grades, mit Tiefpunkt T(1 -), deren Wendepunkt im Koordinatenursprung liegt. Aufgabe 8) Der Graf einer ganzrationalen Funktion. Grades hat im Ursprung und im Punkt P( 4) jeweils ein Extremum. Aufgabe 9) Der Graf einer ganzrationalen Funktion. Grades geht durch den Ursprung und besitzt einen Wendepunkt mit der x-achse bei x=-. Ferner schneidet die Wendenormale (Senkrechte 4 durch den Wendepunkt) die x-achse in N( 0) unter einem Winkel von 45 Grad. Aufgabe 10) In einem Weingut soll ein parabelförmiger Kellereingang gemauert werden (Bild 1). a) Gib die Gleichung der Parabel an. b) Wie hoch muss der Keller mindestens sein, damit man den Eingang in dieser Form mauern kann? c) Unter welchem Winkel trifft der Parabelbogen auf den Boden? d) Berechne die Steigung des Parabelbogens am Boden in %. Aufgabe 11) Die Punkte A(-u 0), B(u 0), C(u f(u)) und D(-u f(u)) 0 < u < des Grafen mit der Funktionsgleichung f(=-x²+9 bilden ein Rechteck. a) Für welches u wird der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD maximal? b) Wie groß ist der maximale Inhalt? c) Für welches u wird der Umfang des Rechtecks maximal? d) Wie groß ist der maximale Umfang? 1FOI_Prüfungsvorbereitung_1.docx Seite

3 Lösung der Übungsaufgaben Aufgabe 1) Bestimme den Scheitelpunkt der quadratischen Funktionen 1. Über die quadratische Ergänzung a) = ( x 5)² 5 b) g ( = 4( x + 1)² 5 a) h ( = ( x + )² 15 b) i ( = ( x + 0,75)² + 0, 565 Aufgabe ) Bestimme die quadratische Funktion, deren Graf durch folgende Punkte verläuft. Hinweis: Überlege welche Darstellungsform am besten geeignet ist! a) P 1 (8 0), P (0 16), P (1-14) = 4x 4x + 16 b) Scheitelpunkt S( 1), P 1 (0 ) 1 = ( x )² + 1 c) Nullstellen N 1 (- 0), N ( 0), P 1 (1-8) = x + x 1 1FOI_Prüfungsvorbereitung_1.docx Seite

4 Aufgabe 4) Aufgabe 5) 1FOI_Prüfungsvorbereitung_1.docx Seite 4

5 Aufgabe 6) 1FOI_Prüfungsvorbereitung_1.docx Seite 5

6 Aufgabe 7) Gesucht ist ein ganzrationale Funktion. Grades, mit Tiefpunkt T(1 -), deren Wendepunkt im Koordinatenursprung liegt. Lösung: Grad = ax + bx² x + d f '( = ax + bx f ' ' ( = 6ax + b f( geht durch Ursprung d = 0 Wendepunkt im Ursprung f (0) = 0 0 = b b = 0 Tiefpunkt bei x=1 f (1) = 0 0 = -a Tiefpunkt (1 -) f(1) = - - = a = x x daraus folgt a = 1 und c = - Aufgabe 8) Der Graf einer ganzrationalen Funktion. Grades hat im Ursprung um im Punkt P( 4) jeweils ein Extremum. Lösung: Grad = ax + bx² x + d f '( = ax + bx f ' ' ( = 6ax + b f( geht durch Ursprung d = 0 Extrempunkt im Ursprung f (0) = 0 c = 0 Extrempunkt bei x= f () = 0 1a + 4b = 0 Punkt ( 4) f() = 4 8a + 4b = 4 f + ( = x x daraus folgt a = -1 und b = 1FOI_Prüfungsvorbereitung_1.docx Seite 6

7 Aufgabe 9) Der Graf einer ganzrationalen Funktion. Grades geht durch den Ursprung und besitzt einen Wendepunkt bei x=-. Ferner schneidet die Wendenormale (Senkrechte durch den 4 Wendepunkt) die x-achse in N( 0) unter einem Winkel von 45 Grad. Lösung: Grad Ursprung d =0 = ax + bx² x + d f '( = ax + bx f ' ' ( = 6ax + b Wendepunkt bei x = - 1. Bedingung: f (-) = 0 Wendenormale mit 45 Grad. Bedingung: f (-) = -1 Gleichung der Wendenormalen mit N(-4/ 0) 0 = 1(-4/) + b Somit ist der Wendepunkt zu bestimmen f WN (-) = -/ B = 4/ f WN ( = x + 4/. Bedingung: f(-) = -/ Gleichungssystem ergibt sich aus obigen Bedingungen: 0 = 6a ( ) + b > 1a + b = 0 1 = a ( )² + b( ) = 1a 4b / = a( )³ + b( )² ( ) = 8a + 4b c WP(- -/) daraus folgt a = 1/ b = c = 1 = x + x² + x 1FOI_Prüfungsvorbereitung_1.docx Seite 7

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