Gruber I Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Prüfungsaufgaben Hessen GTR / CAS. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen

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Helge Knopp
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1 Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi Prüfungsaufgaben Hessen GTR / CAS Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen

2 Vorwort Vorwort Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungen des zentralen Mathematik-Abiturs im Grundkurs abgestimmt und enthält Übungsaufgaben auf Prüfungsniveau aus allen Gebieten, sowie die Original-Prüfungsaufgaben. Die Aufgaben sind differenziert in Aufgaben für grafikfähige Taschenrechner (GTR) und Aufgaben für Computer-Algebrasysteme (CAS). Bei einigen Aufgaben (vor allem im Bereich der Geometrie und Stochastik) wird der GTR bzw. das CAS nur wenig benötigt. In der Regel sind dort die ausführlichen Lösungswege angegeben, wo es sinnvoll ist können Sie aber immer den GTR oder das CAS benutzen. Ab den Abituraufgaben 2008 finden Sie bei den CAS-Aufgaben kurze Tipps für die Eingabe von komplexeren Aufgaben. Dabei steht «TI» für die Geräte von Texas Instruments, wie der TI- Voyage oder der Ti-89 und «ClassPad» für das ClassPad von Casio. Der blaue Tippteil Hat man keine Idee, wie man eine Aufgabe angehen soll, hilft der blaue Tippteil in der Mitte des Buches weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfen, einen Ansatz zu finden, ohne die Lösung vorwegzunehmen. Wie arbeitet man mit diesem Buch? Am Anfang befinden sich die Aufgaben aus den drei Themenbereichen. Die Aufgaben sind in der Regel in ihrer Schwierigkeit gestaffelt. In der Mitte des Buches befindet sich der blaue Tippteil mit Denk- und Lösungshilfen. Die Lösungen mit ausführlichem Lösungsweg bilden den dritten Teil des Übungsbuchs. Hier findet man die notwendigen Formeln, Rechenverfahren und Denkschritte sowie sinnvolle alternative Lösungswege. Aus produktionstechnischen Gründen befindet sich das Stichwortverzeichnis auf Seite 139, am Ende des Lösungsteils. Einige Übungsaufgaben sind als Musterbeispiele für die Abiturprüfung von öffentlichen Stellen veröffentlicht worden. Die Urheber- und Nutzungsrechte für diese Aufgaben liegen bei dem jeweiligen Kultusministerium bzw. Landesinstitut. Die Tipps und die Lösungen hierzu stammen wie bei allen anderen Aufgaben von den Autoren. Allen Schülerinnen und Schülern, die sich auf das Abitur vorbereiten, wünschen wir viel Erfolg. Helmut Gruber und Robert Neumann

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis 1 Ganzrationale Funktion Kugelstoßen Ganzrationale Funktion Näherungskurve Ganzrationale Funktion Küstenlinie Exponentialfunktion Sonnenblume Exponentialfunktion Medikament Exponentialfunktion Tannensetzling Exponentialfunktion Fischteich Exponentialfunktion Fischteich (CAS) Exponentialfunktion Abkühlung (CAS) Exponentialfunktion Pharmaunternehmen (CAS) Lineare Algebra / Analytische Geometrie 11 Geometrie Turm Geometrie Würfelstumpf Geometrie Zelt Geometrie Solarzellen Geometrie Gleichungssystem Geometrie Turmdach Geometrie Geraden Geometrie Kreiskegel Geometrie Würfel (CAS) Stochastik 20 Stochastik Glücksspiel Stochastik Handys Stochastik Sommerfest Stochastik Roboter Stochastik Glücksspiel Stochastik Überraschungseier Stochastik Bundesbürger... 35

4 Inhaltsverzeichnis Tipps Lösungen Stichwortverzeichnis Abituraufgaben

5 1. Ganzrationale Funktion Kugelstoßen Analysis 1 Ganzrationale Funktion Kugelstoßen Tipps ab Seite 37, Lösungen ab Seite 57 a) Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch f t (x) = 1 4 tx3 3tx 2 + 9tx; x I R. Ihr Graph sei K t. Untersuchen Sie K t auf gemeinsame Punkte mit der x-achse, Extrem- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K 1 und K 1 für 0 x 8. 2 Jede Kurve K t schließt mit der x-achse eine Fläche ein. Berechnen Sie ihren Inhalt in Abhängigkeit von t. b) Die Gerade x = u (0 < u < 6) schneidet die x-achse im Punkt Q und die Kurve K 1 im Punkt P. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass das Dreieck OQP maximalen Flächeninhalt hat. c) Beim Kugelstoßen wird eine Kugel im Punkt A aus einer Höhe von 2,0 m unter einem Winkel von α = 42 bezüglich der Horizontalen abgestoßen und landet im Punkt B auf dem Boden. Als Weite werden 18, 6 m gemessen. Die Flugbahn der Kugel kann näherungsweise durch eine Parabel beschrieben werden. Bestimmen Sie die Gleichung der Flugbahn, berechnen Sie dabei die Parameter auf drei Stellen hinter dem Komma. Unter welchem Winkel β trifft die Kugel auf dem Boden auf? 9

6 Tipps 2. Ganzrationale Funktion Näherungskurve Tipps Analysis 1 Ganzrationale Funktion Kugelstoßen a) Schnittpunkte mit der x-achse erhalten Sie durch f t (x) = 0. Extrempunkte erhalten Sie mit Hilfe der 1. Ableitung, die Null sein muss. Mit Hilfe der 2. Ableitung können Sie Hoch- und Tiefpunkte unterscheiden. Beachten Sie, welche Werte t annehmen kann. Wendepunkte erhalten Sie mit Hilfe der 2. Ableitung, die Null sein muss. Überprüfen Sie die Existenz mit Hilfe der 3. Ableitung. Zur Flächenberechnung verwenden Sie die Nullstellen als Integrationsgrenzen und bestimmen eine Stammfunktion von f t (x). b) Skizzieren Sie die Problemstellung. Bestimmen Sie die Koordinaten von Q und P in Abhängigkeit von u. Überlegen Sie, wie lang die Grundseite und die Höhe des Dreiecks in Abhängigkeit von u sind und stellen Sie eine Flächeninhaltsfunktion ( A = 1 2 g h) für das Dreieck auf. Bestimmen Sie das Maximum der Flächeninhaltsfunktion durch zweimaliges Ableiten oder mit Hilfe des GTR. c) Bestimmen Sie die Koordinaten von A und B. Für die Steigung im Punkt A verwenden Sie die Formel m = tanα. Verwenden Sie als Ansatz eine allgemeine Parabelgleichung, leiten Sie diese ab und bestimmen Sie mit Hilfe der Punkte A und B sowie der Steigung m in A die drei Paramer der Parabelgleichung. Berechnen Sie die Steigung im Punkt B und den Auftreffwinkel mit der Formel m = tan β. 2 Ganzrationale Funktion Näherungskurve a) Verwenden Sie für die quadratische Funktion f den Ansatz: f (x) = ax 2 + bx + c. Bestimmen Sie die Nullstellen und das Maximum der Sinusfunktion im Intervall [0; π ]und stellen Sie ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten auf; lösen Sie dieses von Hand oder mit GTR. Verwenden Sie für die quadratische Funktion g den Ansatz: g(x) = dx 2 + ex + f. 37

7 Lösungen 1. Ganzrationale Funktion Kugelstoßen Lösungen Analysis 1 Ganzrationale Funktion Kugelstoßen a) Es ist f t (x) = 1 4 tx3 3tx 2 + 9tx; t > 0 Für die Ableitungen gilt: f t (x) = 3 4 tx2 6tx + 9t f t (x) = 3 tx 6t 2 f t (x) = 3 2 t Gemeinsame Punkte mit der x-achse erhält man durch f t (x) = 0: ( ) tx3 3tx 2 + 9tx = 0 x 4 tx2 3tx + 9t = 0 Daraus folgt, dass entweder x 1 = 0 oder 1 4 tx2 3tx + 9t = 0 ist. Lösen der quadratischen Gleichung mit Hilfe der pq- oder abc-formel ergibt x 2 = 6. Somit sind N 1 (0 0) und N 2 (6 0) gemeinsame Punkte von K t mit der x-achse. Extrempunkte erhält man durch f t (x) = tx2 6tx + 9t = 0. Lösen mit der pq- oder abc-formel ergibt: x 1 = 2 und x 2 = 6. Die zugehörigen y-werte sind y 1 = f t (2) = 8t und y 2 = f t (6) = 0. Zur Untersuchung auf Hoch- oder Tiefpunkte setzt man die x-werte in f t (x) ein. Wendepunkte erhält man durch f t (x) = 0. f t (2) = 3t < 0 H(2 8t) f t (6) = 3t > 0 T(6 0) 3 tx 6t = 0 x = 4 2 Der zugehörige y-wert ist y = f t (4) = 4t. Wegen f t (4) = 3 2 t > 0 folgt: W(4 4t) ist Wendepunkt von f t(x). 57

8 1. Ganzrationale Funktion Kugelstoßen Lösungen Den Flächeninhalt der von der Kurve und der x-achse eingeschlossenen Fläche erhält man mit Hilfe des Integrals. Die Integrationsgrenzen sind die Nullstellen: 6 A(t) = f t (x)dx = = 0 6 [ 1 16 tx4 tx tx2 0 ( ) 1 4 tx3 3tx 2 + 9tx dx ] 6 = 1 16 t 64 t t 62 = 27t Der Flächeninhalt beträgt damit 27t FE. b) Es ist f 1 (x) = 1 4 x3 3x 2 + 9x mit t > 0 0 ( 1 16 t 04 t ) 2 t 02 Für den Flächeninhalt des Dreiecks OQP gilt: A = 1 2 g h. Für die Grundseite g gilt: g = OQ = u, für die Höhe h gilt: h = QP = f 1 (u) = 1 4 u3 3u 2 + 9u. 58

9 Lösungen 1. Ganzrationale Funktion Kugelstoßen Damit gilt für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von u: A(u) = 1 ( ) 1 2 u 4 u3 3u 2 + 9u = 1 8 u4 3 2 u u2 Mit Hilfe des GTR bestimmt man das Maximum: u = 3. Der y-wert des Punktes P ist y = f 1 (3) = = 6,75 Damit hat der Punkt P die Koordinaten P(3 6, 75). c) Die Flugbahn der Kugel ist näherungsweise eine Parabel, daher kann man als Ansatz g(x) = ax 2 + bx + c wählen mit a, b, c I R, a 0. Im Punkt A(0 2) ist der Abstoßwinkel α = 42, d.h. die Steigung der Tangente im Punkt A ist m = tan42 0,900 = g (0). Da g (x) = 2ax + b, gilt: g (0) = 2a 0 + b = 0,900 b = 0,900. Setzt man A(0 2) in g(x) ein, so erhält man: a b 0 + c = 2 c = 2. Setzt man B(18,6 0) in die Funktion g(x) ein, so erhält man: a 18,6 2 + b 18,6 + c = 0 bzw. 345,96a + 0,9 18,6 + 2 = 0 a 0,054. Somit hat die Parabel die Gleichung: g(x) = 0,054x 2 + 0,9x + 2 Um den Auftreffwinkel β zu bestimmen, berechnet man die Tangentensteigung in B(18,6 0) 59

10 1. Ganzrationale Funktion Kugelstoßen Lösungen mit Hilfe von g (x) = 0,108x + 0,9: g (18,6) = 0,108 18,6 + 0,9 1,109 Aus tanβ = 1,109 folgt β 47,96. Die Kugel trifft also unter einem Winkel von 47,96 auf dem Boden auf. 60

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