Erfolg im Mathe-Abi. Gruber I Neumann. Nordrhein-Westfalen Leistungskurs

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1 Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi Nordrhein-Westfalen Leistungskurs Übungsbuch für das Basiswissen in Analysis, Geometrie und Stochastik mit Tipps und Lösungen

2 Vorwort Vorwort Erfolg von Anfang an Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungen des zentralen Mathematik-Abiturs in Nordrhein-Westfalen abgestimmt und enthält alle Themenbereiche Analysis, Lineare Algebra/ Geometrie mit Matrizen und Stochastik. Viele der Aufgaben lassen sich ohne Taschenrechner lösen und fördern das Grundwissen und die Grundkompetenzen in Mathematik, vom einfachen Rechnen und Formelanwenden bis zu gedanklichen Zusammenhängen. Das Übungsbuch ist eine Hilfe zum Selbstlernen (learning by doing) und bietet die Möglichkeit, sich intensiv auf die Prüfung vorzubereiten und gezielt Themen zu vertiefen. Hat man Erfolg bei den grundlegenden Aufgaben, machen Mathematik und Lernen wieder mehr Spaß. Komplexere Aufgaben auf Prüfungsniveau und fördern die Vernetzung des Gelernten sowie die Übertragung der Grundlagen auf anwendungsbezogene Augaben; diese sind in unserem Buch «Erfolg im Mathe-Abi, Prüfungsaufgaben» zu finden. Die Prüfungsaufgaben des Zentralabiturs finden Sie unter Der blaue Tippteil Hat man keine Idee, wie man eine Aufgabe angehen soll, hilft der blaue Tippteil in der Mitte des Buches weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfen, einen Ansatz zu finden, ohne die Lösung vorwegzunehmen. Wie arbeitet man mit diesem Buch? Am Anfang jedes Kapitels befindet sich eine kurze Übersicht über die jeweiligen Themen. Die einzelnen Kapitel bauen zwar aufeinander auf, doch ist es nicht zwingend notwendig, das Buch der Reihe nach durchzuarbeiten. Die Aufgaben sind in der Regel in ihrer Schwierigkeit gestaffelt. Von fast jeder Aufgabe gibt es mehrere Variationen zum Vertiefen. In der Mitte des Buches befindet sich der blaue Tippteil mit Denk- und Lösungshilfen. Die Lösungen mit ausführlichem Lösungsweg bilden den dritten Teil des Übungsbuchs. Hier findet man die notwendigen Formeln, Rechenverfahren und Denkschritte sowie sinvolle alternative Lösungswege. Allen Schülerinnen und Schülern, die sich auf das Abitur vorbereiten, wünschen wir viel Erfolg. Helmut Gruber, Robert Neumann

3 Vorwort Die Abiturprüfung in NRW Seit 2007 werden die Mathematikaufgaben für die schriftliche Abiturprüfung in Nordrhein-Westfalen zentral gestellt. Dabei gibt es folgende inhaltliche Schwerpunkte, wobei die Inhalte des Lehrplans weiter verbindlich sind: Analysis Fortführung der Differentialrechnung Akzente für den Leistungskurs: Untersuchung von ganzrationalen Funktionen, gebrochenrationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen, Exponential- und Logarithmusfunktionen mit Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten- und Kettenregel) in Sachzusammenhängen Integralrechnung Akzente für den Leistungskurs: Untersuchung von Wirkungen Integrationsregeln (partielle Integration, Substitution) Flächenberechnung durch Integration Lineare Algebra/ Geometrie lineare Gleichungssysteme für n > 2, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme lineare Abhängigkeit von Vektoren, Parameterformen von Geraden- und Ebenengleichungen Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalität, Winkel und Länge von Vektoren Normalenformen von Ebenengleichungen, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Abstandsprobleme (Abstand Punkt-Ebene) Alternative 1: Abbildungsmatrizen, Matrizenmultiplikation als Abbildungsverkettung, inverse Matrizen und Abbildungen, Eigenwerte und Eigenvektoren oder Alternative 2: Übergangsmatrizen, Matrizenmultiplikation als Verkettung von Übergängen, Fixvektoren

4 Vorwort Stochastik Für den Leistungskurs: Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Binomialverteilung und Normalverteilung einschließlich Erwartungswert und Standardabweichung Alternative 1: ein- und zweiseitiger Hypothesentest oder Alternative 2: Schätzen von Parametern für binomialverteilte Zufallsgrößen.

5 Vorwort Übersicht über die verwendeten Operatoren Anforderungsbereich I Operator angeben, nennen berechnen beschreiben erstellen, darstellen skizzieren zeichnen, graphisch darstellen Anforderungsbereich II Operator begründen beschreiben bestimmen, ermitteln entscheiden erklären herleiten interpretieren untersuchen, prüfen vergleichen zeichnen, graphisch darstellen zeigen, nachweisen Erläuterung Objekte, Sachverhalte, Begriffe, Daten ohne nähere Erläuterungen, Begründungen und ohne Darstellung von Lösungsansätzen oder Lösungswegen aufzählen Ergebnisse von einem Ansatz ausgehend durch Rechenoperationen gewinnen Strukturen, Sachverhalte oder Verfahren in eigenen Worten unter Berücksichtigung der Fachsprache sprachlich angemessen wiedergeben (hier sind auch Einschränkungen möglich z.b.: Beschreiben Sie in Stichworten...) Sachverhalte, Zusammenhänge, Methoden in übersichtlicher, fachlich sachgerechter oder vorgegebener Form darstellen Wesentliche Eigenschaften von Sachverhalten oder Objekten graphisch darstellen (auch Freihandskizzen möglich) Hinreichend exakte graphische Darstellungen von Objekten oder Daten anfertigen Erläuterung Sachverhalte auf Gesetzmäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge zurückführen (hierbei sind Regeln und mathematische Beziehungen zu nutzen) Strukturen, Sachverhalte oder Verfahren unter Berücksichtigung der Fachsprache sprachlich angemessen wiedergeben (hier sind auch Einschränkungen möglich z.b.: Beschreiben Sie in Stichworten...) Zusammenhänge bzw. Lösungswege finden und die Ergebnisse formulieren (die Wahl der Mittel kann eingeschränkt sein) Sich bei Alternativen eindeutig und begründet auf eine Möglichkeit festlegen Sachverhalte mit Hilfe eigener Kenntnisse verständlich und nachvollziehbar machen und in Zusammenhänge einordnen Die Entstehung oder Ableitung von gegebenen oder beschriebenen Sachverhalten oder Gleichungen aus anderen Sachverhalten darstellen Zusammenhänge bzw. Ergebnisse begründet auf gegebene Fragestellungen beziehen Sachverhalte, Probleme Fragestellungen nach bestimmten, fachlich üblichen bzw. sinnvollen Kriterien bearbeiten Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Unterschiede ermitteln Hinreichend exakte graphische Darstellungen von komplexeren Objekten oder Daten anfertigen Aussagen oder Sachverhalte unter Nutzung von gültigen Schlussregeln, Berechnungen, Herleitungen oder logischen Begründungen bestätigen

6 Vorwort Anforderungsbereich III Operator begründen bestimmen, ermitteln beurteilen beweisen, widerlegen interpretieren vergleichen zeigen, nachweisen Erläuterung Komplexere Sachverhalte auf Gesetzmäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge zurückführen (hierbei sind Regeln und mathematische Beziehungen zu nutzen) Komplexere Zusammenhänge bzw. Lösungswege finden und die Ergebnisse formulieren (die Wahl der Mittel kann eingeschränkt sein) Zu Sachverhalten ein selbstständiges Urteil unter Verwendung von Fachwissen und Fachmethoden formulieren und begründen Beweise im mathematischen Sinne unter Verwendung von bekannten mathematischen Sätzen, logischen Schlüssen und Äquivalenzumformungen, ggf. unter Verwendung von Gegenbeispielen, führen Komplexere Zusammenhänge bzw. Ergebnisse begründet auf eine gegebene Fragestellung beziehen Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Unterschiede in komplexeren Zusammenhängen ermitteln Umfangreichere Aussagen oder komplexere Sachverhalte unter Nutzung von gültigen Schlussregeln, Berechnungen, Herleitungen oder logischen Begründungen bestätigen Diese Liste wurde vom Ministerium für Schule und Weiterbildung herausgegeben, um einen Überblick über die in der Prüfung verwendeten Operatoren zu bekommen.

7 Vorwort Der Ablauf der Abiturprüfung Im Abitur sind, neben einer mathematischen Formelsammlung und einem deutschen Wörterbuch ein wissenschaftlicher Taschenrechner ohne oder mit Grafikfähigkeit (TR oder GTR) oder ein Computer-Algebra-System (CAS) erlaubt. Die Schule erhält zwei Aufgabensätze: einen Aufgabensatz für Taschenrechner/ GTR und einen Satz für CAS. Dabei enthält der Satz für Taschenrechner/ GTR je eine Aufgabe mehr als der Satz für CAS. Jeder Satz besteht aus zwei Aufgabengruppen: Aufgabengruppe 1 Aufgabengruppe 2 Grundkurs Die Fachlehrerin/ der Fachlehrer wählt aus jeder der beiden Aufgabengruppen eine Aufgabe aus. Die Abiturprüfung besteht also aus zwei Aufgaben: In jedem Fall eine Analysisaufgabe und eine der Aufgaben aus der Aufgabengruppe 2. Die Bearbeitungszeit beträgt 180 Minuten. Eine Aufgabenauswahl durch den Schüler/ die Schülerin ist nicht vorgesehen.

8 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis 1 Von der Gleichung zur Kurve Aufstellen von Funktionen mit Randbedingungen Von der Kurve zur Gleichung Differenzieren Gleichungslehre Graphen von f, f und F Kurvendiskussion Integralrechnung Extremwertaufgaben / Wachstums- und Zerfallsprozesse Lineare Algebra / Analytische Geometrie 10 Rechnen mit Vektoren Geraden Ebenen Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen Gegenseitige Lage zweier Ebenen Abstandsberechnungen Winkelberechnungen Spiegelungen Matrizen Stochastik 19 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Kombinatorische Zählprobleme Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsgrößen Binomialverteilung Normalverteilung Alternative 1: Hypothesentests Alternative 2: Schätzen von Parametern Tipps Lösungen Tabellen (Stochastik) Stichwortverzeichnis

9 1. Von der Gleichung zur Kurve Analysis 1 Von der Gleichung zur Kurve Tipps ab Seite 97, Lösungen ab Seite 145 In diesem Kapitel geht es um die Grundfunktionen und ihre Verschiebung, Streckung und Spiegelung. Dazu sollten Sie die Graphen der wichtigsten Grundfunktionen kennen. Es handelt sich um: f (x) = x 2 f (x) = x 3 f (x) = 1 x f (x) = 1 x 2 f (x) = e x f (x) = lnx f (x) = sinx f (x) = cosx f (x) = x f (x) = x f (x) = e x Diese Grundfunktionen lassen sich verschieben und strecken: 15

10 1. Von der Gleichung zur Kurve Beispiel: Die Parabel f (x) = x 2 f (x) = x Verschiebung um 1 LE in y-richtung: das absolute Glied ist 1. Weitere Variationen: f (x) = (x 1) 2 Verschiebung um 1 LE in y-richtung: x wird ersetzt durch (x 1) f (x) = 2 x 2 Streckung in y-richtung um den Faktor 2. Die Funktionsgleichung wird mit 2 multipliziert. f (x) = x 2 Spiegelung an der x-achse: Die Funktionsgleichung wird mit 1 multipliziert. Spiegelung an der y-achse: Hierzu wird x ersetzt durch ( x) Stauchen in x-richtung: Hierzu wird x ersetzt durch a x. Der Graph wird bei einem Faktor, der größer als 1 ist, gestaucht, d.h. in x-richtung «kürzer» und bei einem Faktor, der kleiner als 1 ist, gestreckt, d.h. in x-richtung «länger». 1.1 Ganzrationale Funktionen Skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen und bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. a) f (x) = 1 2 x + 1 b) f (x) = (x 1)2 4 c) f (x) = x d) f (x) = (x + 1) e) f (x) = (x 1) Gebrochenrationale Funktionen Skizzieren Sie die Graphen von folgenden Funktionen und bestimmen Sie jeweils die Asymptoten. a) f (x) = 1 1 x b) f (x) = x 1 c) f (x) = 1 1 d) f (x) = (x+1) 2 (x 1) Exponential- und Logarithmusfunktionen Skizzieren Sie den Graphen folgender Funktionen und bestimmen Sie jeweils die Asymptote. a) f (x) = e x b) f (x) = e x c) f (x) = lnx + 2 d) f (x) = ln(x + 2) 16

11 Tipps 1. Von der Gleichung zur Kurve Tipps Analysis 1 Von der Gleichung zur Kurve 1.1 Ganzrationale Funktionen Den Schnittpunkt mit der y-achse erhalten Sie durch Einsetzen von x = 0 in f (x), die Schnittpunkte mit der x-achse erhalten Sie durch Lösen der Gleichung f (x) = 0. Zuerst wird gespiegelt und gestreckt, anschließend verschoben (Reihenfolge beachten!). Ist f (x) = a(x b) 2 + c bzw. g(x) = a(x b) 3 + c, so gibt es folgende Verwandlungen: a: Streckfaktor in y-richtung; a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-achse. b > 0 bzw. b < 0: Verschiebung nach rechts bzw. links. c > 0 bzw. c < 0: Verschiebung nach oben bzw. unten. 1.2 Gebrochenrationale Funktionen Die Asymptoten der Graphen der Funktionen erhalten Sie, indem Sie den Nenner gleich Null setzen und f (x) für x ± betrachten. Die Graphen sind Variationen der Graphen der Grundfunktionen f (x) = 1 x bzw. g(x) = 1 x 2. Falls vor dem Bruch ein Minuszeichen steht, müssen Sie zuerst an der x-achse spiegeln und anschließend in x- bzw. y-richtung verschieben. Ist f (x) = x b a + c bzw. g(x) = a + c, so gibt es folgende Verwandlungen: (x b) 2 a: Streckfaktor in y-richtung; a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-achse. b > 0 bzw. b < 0: Verschiebung nach rechts bzw. links. c > 0 bzw. c < 0: Verschiebung nach oben bzw. unten. Asymptoten: x = b senkrechte Asymptote (Pol) und y = c waagrechte Asymptote. 1.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen Zur Bestimmung der Asymptoten betrachten Sie f (x) für x ±. Die Graphen sind Variationen der Grundfunktionen f (x) = e x bzw. g(x) = e x. Ist f (x) = a e x b + c bzw. g(x) = a e (x b) + c, so gibt es folgende Verwandlungen: a: Streckfaktor in y-richtung; a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-achse. b > 0 bzw. b < 0: Verschiebung nach rechts bzw. links. c > 0 bzw. c < 0: Verschiebung nach oben bzw. unten. 97

12 2. Aufstellen von Funktionen mit Randbedingungen Tipps Logarithmusfunktionen Zur Bestimmung des Definitionsbereichs müssen Sie beachten, dass das Argument der Logarithmusfunktion (der Ausdruck in der Klammer) stets positiv sein muss. Ist f (x) = a ln(x b) + c, so gibt es folgende Verwandlungen: a: Streckfaktor in y-richtung; a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-achse. b > 0 bzw. b < 0: Verschiebung nach rechts bzw. links. c > 0 bzw. c < 0: Verschiebung nach oben bzw. unten. 2 Aufstellen von Funktionen mit Randbedingungen 2.1 Ganzrationale Funktionen Für alle ganzrationalen Funktionen gilt: Parabel 2. Grades: f (x) = ax 2 + bx + c Zur y-achse symmetrische Parabel 2. Grades: f (x) = ax 2 + b Parabel 3. Grades: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Zum Ursprung punktsymmetrische Parabel 3. Grades: f (x) = ax 3 + bx Zum Aufstellen der Funktionen: 1. Bilden Sie die 1. und 2. Ableitung des jeweiligen Ansatzes (dies ist nicht nötig, falls es keine Angaben über die Steigung oder über die Extrempunkte gibt). 2. Verwenden Sie die Bedingungen der Kurvendiskussion: Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 Schnittpunkt mit der y-achse: x = 0 Extrempunkt: f (x) = 0 Wendepunkt: f (x) = 0 3. Sie brauchen so viele Gleichungen wie Unbekannte! Stellen Sie die Gleichungen auf und lösen Sie sie nach den Parametern (a, b, c,...) auf. 2.2 Gebrochenrationale Funktionen Stellen Sie möglichst einfache Bruchterme auf. 98

13 Lösungen 1. Von der Gleichung zur Kurve Lösungen 1 Von der Gleichung zur Kurve 1.1 Ganzrationale Funktionen a) f (x) = 2 1x + 1. Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = = 1 S(0 1) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. 1 2x + 1 = 0 führt zu x = 2 N( 2 0) Es handelt sich um eine Gerade mit y-achsenabschnitt b = 1 und Steigung m = 2 1. a) f (x) = 1 2 x + 1, b) f (x) = (x 1) 2 4 c) f (x) = x b) f (x) = (x 1) 2 4 Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = (0 1) 2 4 = 3 S(0 3) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. (x 1) 2 4 = 0 führt zu x 1 = 3, x 2 = 1 N 1 (3 0), N 2 ( 1 0). Es handelt sich um eine Normalparabel, die um eine LE nach rechts und 4 LE nach unten verschoben wurde, d.h. eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel bei (1 4). c) f (x) = x Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = = 4 S(0 4) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. x = 0 führt zu x 1 = 2, x 2 = 2 N 1 (2 0), N 2 ( 2 0). Es handelt sich um eine Normalparabel, die an der x-achse gespiegelt und dann um vier LE nach oben verschoben wurde, d.h. eine nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitel (0 4). 145

14 1. Von der Gleichung zur Kurve Lösungen d) f (x) = (x + 1) e) f (x) = (x 1) d) f (x) = (x + 1) Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = (0 + 1) = 0 S(0 0) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. f (x) = (x + 1) = 0 führt zu x 1 = 0, x 2 = 2 N 1 (0 0), N 2 ( 2 0). Es handelt sich um eine Normalparabel, die an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach links und eine LE nach oben verschoben wurde, d.h. eine nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitel ( 1 1). e) f (x) = (x 1) Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = (0 1) = 0 S(0 0) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. f (x) = (x 1) = 0 führt zu x = 0 N(0 0). Es handelt sich um eine kubische Parabel, die um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben wurde. 1.2 Gebrochenrationale Funktionen a) f (x) = 1 x Asymptoten: x + 1 = 0 führt zu x = 1, senkrechte Asymptote (Pol); x ± führt zu y = 2 (waagerechte Asymptote), da der Bruchterm gegen Null geht. Der Graph von g(x) = 1 x wurde um eine LE nach links und zwei LE nach oben verschoben. b) f (x) = x 1 1 Asymptoten: x 1 = 0 führt zu x = 1, senkrechte Asymptote (Pol); x ± führt zu y = 0 (waagerechte Asymptote), da der Bruchterm gegen Null geht. Der Graph der Funktion g(x) = 1 x wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach rechts verschoben. 146

15 Lösungen 1. Von der Gleichung zur Kurve a) f (x) = x b) f (x) = x 1 c) f (x) = 1 1 (x+1) 2 Asymptoten: x + 1 = 0 führt zu x = 1, senkrechte Asymptote (Pol); x ± führt zu y = 1 (waagerechte Asymptote), da der Bruchterm gegen Null geht. Der Graph der Funktion g(x) = 1 wurde um eine LE nach links und eine LE nach unten x 2 verschoben. d) f (x) = 1 (x 1) Asymptoten: x 1 = 0 führt zu x = 1, senkrechte Asymptote (Pol); x ± führt zu y = 2 (waagerechte Asymptote), da der Bruchterm gegen Null geht. Der Graph der Funktion g(x) = 1 x 2 wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach rechts und zwei LE nach oben verschoben. c) f (x) = 1 (x+1) 2 1 d) f (x) = 1 (x 1)

16 1. Von der Gleichung zur Kurve Lösungen 1.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen a) f (x) = e x Asymptote: x führt zu y = 1 (waagerechte Asymptote). Der Graph der Funktion g(x) = e x wurde um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben. b) f (x) = e x Asymptote: x führt zu y = 1 (waagerechte Asymptote). Der Graph der Funktion g(x) = e x wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben. a) f (x) = e x b) f (x) = e x c) f (x) = lnx + 2. Definitionsbereich: x > 0, senkrechte Asymptote: x = 0. Der Graph der Funktion g(x) = lnx wurde um zwei LE nach oben verschoben. d) f (x) = ln(x + 2). Definitionsbereich: x + 2 > 0 führt zu x > 2, senkrechte Asymptote: x = 2. Der Graph der Funktion g(x) = lnx wurde um zwei LE nach links verschoben. c) f (x) = lnx + 2 d) f (x) = ln(x + 2) 148