Gruber I Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Niedersachsen Schwerpunkt 2011 grundlegendes Anforderungsniveau

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1 Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi Niedersachsen Schwerpunkt 2011 grundlegendes Anforderungsniveau

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Vorwort... 4 Die thematischen Schwerpunkte für das Abitur Analysis 1 Basiswissen Funktionenschar 1 GTR Funktionenschar 2 GTR Funktionenschar 3 GTR Abitur Niedersachsen 2010 Aufgabe 1B Sonnenblume GTR Medikament GTR Infusion GTR Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1A GTR Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1B GTR Abitur Niedersachsen 2010 Aufgabe 1A Funktionenschar 1 CAS Funktionenschar 2 CAS Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1A CAS Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1B CAS Analytische Geometrie / Lineare Algebra 16 Fischfarm Konservenfabrik Fertighäuser Abitur Niedersachsen 2010 Block 2B Aufgabe Gegenseitige Lage von Geraden Abitur Niedersachsen 2010 Block 2A Aufgabe Stochastik 22 Basiswissen Werbekampagne Glücksspiel Überraschungseier Abitur Niedersachsen 2010 Block 2A Aufgabe Abitur Niedersachsen 2010 ea Block 2B Aufgabe Tipps Lösungen Binomialverteilungstabellen Stichwortverzeichnis

3 Vorwort Vorwort Erfolg von Anfang an Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungen des Mathematik-Abiturs 2011 für das grundlegende Anforderungsnivau (ga) in Niedersachsen abgestimmt. Es deckt das Schwerpunktwissen für das Abitur 2011 in den Bereichen Analysis, Analytische Geometrie/ Lineare Algebra und Stochastik ab. Grundlegende Aufgaben fördern das Grundwissen und die Grundkompetenzen, vom einfachen Rechnen und Formeln anwenden bis zum Verstehen von gedanklichen Zusammenhängen. Original-Abituraufgaben zu den Schwerpunkten fördern das Denken bei Anwendungsaufgaben und die Vernetzung des Gelernten. Der blaue Tippteil Hat man keine Idee, wie man eine Aufgabe angehen soll, hilft der blaue Tippteil in der Mitte des Buches weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfen, einen Ansatz zu finden, ohne die Lösung vorwegzunehmen. Wie arbeitet man mit diesem Buch? Am Anfang jedes Bereichs finden Sie grundlegende Aufgaben zu den Schwerpunktthemen für das Jahr Es folgen Aufgaben, die in Anspruch und Umfang den Aufgaben im Abitur entsprechen und Original-Abituraufgaben, die für den Schwerpunkt 2011 passend sind. Im Block 2 (Geometrie und Stochastik) gibt es unterschiedliche Aufgabenlängen, je nachdem, welcher Block im Abitur gewählt wird. (Block 2A: Schwerpunkt Stochastik, Block 2B Schwerpunkt Analytische Geometrie.) Es gibt drei Aufgabentypen in diesem Buch: Aufgaben für GTR und CAS. Bei diesen Aufgaben spielt es keine Rolle, ob Sie einen GTR oder ein CAS verwenden (vor allem in der Geometrie und Stochastik). Aufgaben für den GTR (mit «GTR» gekennzeichnet). Diese können Sie auch mit dem CAS lösen, teilweise vereinfachen sich dabei Lösungsschritte. Aufgaben für CAS (mit «CAS» gekennzeichnet). Diese Aufgaben lassen sich mit dem GTR nur teilweise lösen. Allen Schülern, die sich auf das Abitur vorbereiten, wünschen wir viel Erfolg. Helmut Gruber, Robert Neumann 4

4 Vorwort Das Rechnen mit GTR und CAS Mit Hilfe des grafikfähigen Taschenrechners (GTR) und des Computeralgebrasystems (CAS) können komplexere Aufgaben relativ schnell gelöst werden. Allerdings ist die Eingabe oft komplizierter als bei einem herkömmlichen Taschenrechner. Der Rechner «verzeiht» formale Eingabefehler nicht und liefert Fehlermeldungen die verwirren können. Auch gibt es Aufgaben, die das CAS zu überfordern scheinen, obwohl es sich um lösbare Fragestellungen handelt. Aus diesen Gründen haben wir bei den Lösungen Eingabetipps für komplexere Fragestellungen eingefügt. Da es eine Vielzahl von Modellen der verschiedenen Hersteller gibt, haben wir uns auf die wesentlichen Tipps beschränkt und auf Screenshots verzichtet. Hier noch einmal die wichtigsten Dinge im Überblick: Das Minuszeichen Es gibt auf den Taschenrechnertastaturen zwei Minuszeichen. Das eine ist das «normale» Minuszeichen, dass bei den anderen Rechenoperationen steht. Das zweite Minus ist das «Vorzeichen- Minus», es ist meist kürzer dargestellt und von einer Klammer umgeben: (-). Dieses Zeichen wird dann verwendet, wenn eine negative Zahl eingegeben wird. Die Tastenbelegungen Viele Tasten sind bei den Geräten mehrfach belegt. In den Tipps werden die Tastenbezeichnungen in eckigen Klammern angegeben. Beispiel: [sin] für die Sinus-Taste. Handelt es sich um eine Zweitbelegung der Taste, ist dies hochgestellt vor der eckigen Klammer vermerkt, z.b. 2nd [MATRX] (bei TI-Geräten) oder S [Trace] (bei Casio-Geräten). Gleichungssysteme Bei den verschiedenen Geräten gibt es unterschiedliche Arten, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Die neueren Geräte akzeptieren eine Eingabeform, bei der die Gleichungen untereinander eingegeben werden können. Das ist übersichtlicher als die bisherige Eingabe, bei der die Gleichungen mit «and» verknüpft werden. Bei den grafikfähigen Taschenrechnern werden Gleichungssysteme in der Regel mit Hilfe von Matrizen gelöst, indem der rref-befehl verwendet wird. Eine Besonderheit ist bei den GTR-Geräten von CASIO zu beachten: Diese bieten eine Gleichungslösefunktion für lineare Gleichungssysteme. Diese unterscheidet aber nicht, ob es sich um ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen oder ein unlösbares Gleichungssystem handelt. Daher sollten Gleichungssysteme auch hier mit Hilfe einer Matrix und des rref-befehls gelöst werden. 5

5 Thematische Schwerpunkte Die thematischen Schwerpunkte für das Abitur 2011 Analysis Scharen von ganzrationalen Funktionen Ortslinien Exponentialfunktionen mit Anwendungsbezug Geometrie Grundlage für die Abiturprüfung 2011 ist der Inhaltsstrang «Anwendung von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen (A3)» der EPA Mathematik. Die Prüflinge sollem im Bereich der Lineare Algebra die Matrizen als zweckmäßiges Hilfsmittel zur Beschreibung und Bearbeitung von Prozessen kennen und anwenden können. Weiterhin sollen sie nachweisen, dass sie über eine sichere mathematische Orientierung im Anschauungsraum verfügen und die Verfahren der Vektorgeometrie zur Analyse und Synthese der Lagebeziehungen von Objekten im Raum beherrschen. Dabei genügt für die algebraische Untersuchung und Beschreibung der Objekte Gerade und Ebene die Beherrschung der jeweiligen Gleichung in Parameterform. Rechnen mit Matrizen Beschreibung von Prozessen mithilfe von Matrizen Darstellung und Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum. Vertiefungen für Unterricht auf grundlegendem Anforderungsniveau: Matrizen im Anwendungsbezug: Materialverflechtung (Verflechtungsdiagramme, Verflechtungsmatrizen). In der Abiturprüfung 2010 waren die Aufgaben so gewählt, dass im Aufgabenblock 2A (Schwerpunkt Stochastik) nur Aufgaben zur Vektorgeometrie im Anschauungsraum gestellt wurden, während im Aufgabenblock 2B Aufgaben mit Matrizen zu bearbeiten waren. Stochastik Baumdiagramme in Anwendungsbezügen Vertrauensintervalle für nicht bekannte Wahrscheinlichkeiten 6

6 Der Ablauf der Abiturprüfung Der Ablauf der Abiturprüfung Im Abitur sind neben Zeichenmitteln, einer mathematischen Formelsammlung, dem Duden und einem Fremdwörterbuch entweder ein grafikfähiger Taschenrechner (GTR) oder ein Computer- Algebra-System (CAS) erlaubt. Die Schule erhält für jeden Kurs einen Aufgabensatz (unterschieden nach dem Taschenrechnertyp). Ein Aufgabensatz besteht aus zwei Analysisaufgaben, zwei Aufgaben zur Analytischen Geometrie und zwei Stochastikaufgaben. Die Zusammenstellung der Prüfungsaufgaben geschieht wie folgt: Analysisaufgaben Aufgabenblock 2 Der Prüfling wählt eine der beiden Analysisaufgaben und entweder Aufgabenblock 2A oder Aufgabenblock 2B aus. Die Mathematikprüfung besteht also aus drei Teilaufgaben (in der Zeichnung grau hinterlegt): Einer Analysisaufgabe, einer Aufgabe der Analytischen Geometrie und einer Stochastikaufgabe. Die Prüfungszeit beträgt 220 Minuten. 7

7 8. Infusion GTR 8 Infusion GTR Tipps ab Seite 49, Lösungen ab Seite 92 Dem menschlichen Körper können Medikamente durch einen Tropf kontinuierlich zugeführt werden. Zu Beginn weist der Körper keine Medikamentenmenge auf, nach in Gang setzen des Tropfes erhöht sich die Medikamentenmenge mit jedem Tropfen, aber zugleich beginnen Nieren und Leber, die Substanz wieder auszuscheiden. Die Funktion m(t) = a (1 e k t), t in Minuten, m(t) in Milligramm (mg) gemessen, gebe die Medikamentenmenge im Körper an. a) Erläutern Sie die Bedeutung der Ableitungsfunktion m für den oben beschriebenen Wachstumsprozess. b) Für ein bestimmtes Medikament gelte m (t) = e 0,02t. Bestimmen Sie m(t) unter der Voraussetzung, dass der Tropf zum Zeitpunkt t = 0 gestartet wird. Es gilt fortan: m(t) = 50 (1 e 0,02t). c) Skizzieren Sie die Graphen von m(t) und m (t) für einen sinnvollen Zeitraum und interpretieren Sie deren Verlauf bezüglich der Medikamentenzufuhr. d) Erläutern Sie, dass lim m(t) = 50 gilt. t Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Medikamentenmenge 90% dieses Grenzwerts erreicht und den, von dem ab der Zuwachs des Medikaments weniger als 0,5 mg pro Minute beträgt. e) Berechnen Sie e 0,02t dt nachvollziehbar, d.h ohne den GTR. Erläutern Sie die Bedeutung dieser Zahl f) Nach 5 Stunden wird der Tropf abgesetzt. Der Abbau des Medikaments erfolgt danach mit einer Halbwertszeit von 6 Stunden. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, von dem ab die Nachweisgrenze des Medikaments von 1µg ( = 10 3 mg ) im Körper unterschritten wird. 18

8 Tipps 9. Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1A GTR 8 Infusion GTR a) Überlegen Sie, welche Bedeutung die 1. Ableitung hat. b) Bestimmen Sie eine allgemeine Stammfunktion und verwenden Sie die Bedingung, dass der Körper zu Beginn (t = 0) keine Medikamentenmenge aufweist. c) Skizzieren Sie die Kurven mit Hilfe des GTR. Einen sinnvollen Zeitraum können Sie abschätzen, indem Sie schauen, ab wann sich die Funktionswerte nur noch wenig ändern. Überlegen Sie, welche Bedeutung die Asymptoten haben. d) Überlegen Sie, welcher Term von m(t) für t gegen Null geht. Stellen Sie mit Hilfe von m(t) bzw. m (t) jeweils eine Ungleichung auf und lösen Sie diese. Beachten Sie dabei: Teilt man bei einer Ungleichung durch eine negative Zahl, so dreht sich das < bzw. > Zeichen um. e) Berechnen Sie das Integral mit Hilfe einer Stammfunktion, z. B. mit m(t). Interpretieren Sie das Integral als Summe. f) Berechnen Sie die Medikamentenmenge nach 5 Stunden (= 300 Minuten). Stellen Sie mit Hilfe der gegebenen Daten eine neue Funktion für natürlichen exponentiellen Zerfall auf (Sie können t auch in Stunden angeben). Anschließend stellen Sie mit dieser Funktion eine Ungleichung auf und lösen diese. 9 Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1A GTR a) Setzen Sie d = 100 bzw. d = 300 in f d (x) ein und skizzieren Sie die Graphen mit Hilfe des GTR; achten Sie auf eine geeignete Einstellung des Zeichenfensters. Um den Verlauf des Graphen zu erläutern, betrachten Sie den Beginn, die Zu- und Abnahmen sowie den Extrempunkt des Graphen. Bestimmen Sie den Einfluss von d auf den Extrempunkt. Überlegen Sie, ob ein Term von f d (x) für x gegen Null geht und was dies für f d (x) bedeutet. b) Leiten Sie f d (x) mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel ab. Zur Berechnung der Extremstellen in Abhängigkeit von d setzen Sie die 1. Ableitung gleich Null. Setzen Sie d = 100 bzw. d = 300 in die berechnete Extremstelle ein und bestimmen Sie jeweils deren Funktionswert. Um einen Term für die maximale konzentrationssteigernde Wirkung in Abhängigkeit von der eingenommenen Dosis d zu bestimmen, setzen Sie die Extremstelle, die von d abhängt, in f d (x) ein. 49

9 8. Infusion GTR Lösungen 8 Infusion GTR a) Die Ableitung einer Funktion beschreibt die momentane Änderung einer Funktion, somit beschreibt m (t) die momentane Änderungsrate der Medikamentenmenge im Körper in Abhängigkeit von der Zeit bzw. zu einem bestimmten Zeitpunkt t. b) Um m(t) zu bestimmen, bildet man eine allgemeine Stammfunktion von m (t) = e 0,02t : Als Ansatz erhält man: m(t) = 1 0,02 e 0,02t + c = 50 e 0,02t + c Da der Körper für t = 0 keine Medikamentenmenge aufweist, gilt: m(0) = 0 bzw. 50e 0, c = 0 c = 50 Somit gilt: m(t) = 50e 0,02t + 50 = 50 ( 1 e 0,02t) ; t 0 c) Es sind m(t) = 50 ( 1 e 0,02t) und m (t) = e 0,02t mit den zugehörigen Graphen G m und G m : 92 Anhand des Graphen von m(t) kann man erkennen, dass die Medikamentenmenge im Körper zunächst schnell, mit wachsender Zeit aber immer langsamer zunimmt; die Medikamentenmenge ist für t > 250 nahezu konstant und beträgt dann nahezu 50 mg. Anhand des Graphen von m (t) kann man erkennen, dass die Änderungsrate bzw. Zunahme der Medikamentenmenge im Körper mit wachsendem t immer kleiner wird und schließlich gegen Null geht. d) Es ist lim m(t) = lim 50( 1 e 0,02t) = 50 t t da der Term e 0,02t für t gegen Null geht, weil bei e 0,02t = 1 e 0,02t wachsendes t immer größer wird. der Nenner für

10 Lösungen 8. Infusion GTR Um den Zeitpunkt t 1 zu bestimmen, ab dem die Medikamentenmenge 90% des Grenzwerts erreicht, gilt: m(t 1 ) = 0,90 50, d.h. 50 ( 1 e 0,02t 1 ) = 45 0,1 = e 0,02t 1 t 1 = ln(0,1) 0,02 115,13 Alternativ kann man auch den GTR benutzen, um diesen Wert zu berechnen. Nach 115 Minuten, d.h. nach etwa 2 Stunden, erreicht die Medikamentenmenge 90% des Grenzwerts. Um den Zeitpunkt t 2 zu bestimmen, ab dem der Zuwachs des Medikaments weniger als 0,5 mg pro Minute beträgt, muss folgende Ungleichung gelöst werden: m (t 2 ) < 0,5 e 0,02t 2 < 0,5 0,02t 2 < ln(0,5) t 2 > ln(0,5) 0,02 34,66 Also ist nach ca. 35 Minuten der Zuwachs der Medikamentenmenge im Körper kleiner als 0,5mg pro Minute. e) Zur Berechnung des Integrals benötigt man eine Stammfunktion. Da die zu integrierende Funktion m (t) ist, kann man als Stammfunktion m(t) verwenden. Somit gilt: 10 0 e 0,02t dt = [50 ( 1 e 0,02t)] 10 = 50( 1 e 0,02 10) 50 ( 1 e 0,02 0) 9,06 0 Da dieses Integral die Summe aller Zuwachsraten von t = 0 bis t = 10 beschreibt, ist das Ergebnis die Medikamentenmenge in mg, die nach 10 Minuten im Körper vorhanden ist, also 10 e 0,02t dt = m(10). 0 f) Zuerst bestimmt man die Medikamentenmenge nach 5 Stunden (= 300 Minuten): m(300) = 50 ( 1 e 0,02 300) 49,88mg Da der Abbau danach mit einer Halbwertszeit von 6 Stunden erfolgt, stellt man eine neue Funktion f (t) für natürlichen exponentiellen Zerfall ab diesem Zeitpunkt (t in Stunden, f (t) in mg) auf: f (t) = a e k t ; k > 0; t 0 Mit den gegebenen Daten erhält man: f (0) = a e k 0 = 49,88 a = 49,88 f (6) = 49,88 e k 6 = ,88 k = ln(0,5) 6 0,

11 8. Infusion GTR Lösungen Somit gilt: f (t) = 49,88 e 0,1155 t Um den Zeitpunkt t zu bestimmen, ab dem die Nachweisgrenze von 10 3 mg unterschritten wird, stellt man folgende Ungleichung auf: f (t) < ,88 e 0,1155 t < 10 3 e 0,1155 t < ,88 t > ln( ) 0, ,66 Alternativ kann man auch den GTR benutzen, um diesen Wert zu berechnen. Nach etwa weiteren 94 Stunden, also insgesamt etwa 99 Stunden (ca. 4 Tage) nach erstmaliger Einnahme des Medikaments, wird die Nachweisgrenze unterschritten. 94