Gruber I Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Niedersachsen Schwerpunkt 2010 grundlegendes Anforderungsniveau

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1 Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi Niedersachsen Schwerpunkt 2010 grundlegendes Anforderungsniveau

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Vorwort... 7 Die thematischen Schwerpunkte für das Abitur Analysis 1 Schwerpunktaufgaben Basiswissen Funktionenschar 1 GTR Funktionenschar 2 GTR Funktionenschar 3 GTR Sonnenblume GTR Medikament GTR Infusion GTR Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1A GTR Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1B GTR Funktionenschar 1 CAS Funktionenschar 2 CAS Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1A CAS Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1B CAS Analytische Geometrie / Lineare Algebra 14 Farbherstellung GTR/CAS Fischfarm GTR/CAS Konservenfabrik GTR/CAS Fertighäuser GTR/CAS Stochastik 18 Schwerpunktaufgaben Basiswissen Werbekampagne GTR/CAS Mobiltelefone GTR/CAS Raucher GTR/CAS Überraschungseier GTR/CAS Tipps Lösungen Binomialverteilungstabellen Stichwortverzeichnis

3 Vorwort Vorwort Erfolg von Anfang an Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungen des Mathematik-Abiturs 2010 für das grundlegende Anforderungsnivau ga in Niedersachsen abgestimmt. Es deckt das Schwerpunktwissen für das Abitur 2010 in den Bereichen Analysis, Analytische Geometrie/ Lineare Algebra und Stochastik ab. Grundlegende Aufgaben fördern das Grundwissen und die Grundkompetenzen, vom einfachen Rechnen und Formeln anwenden bis zum Verstehen von gedanklichen Zusammenhängen. Original-Abituraufgaben zu den Schwerpunkten fördern das Denken bei Anwendungsaufgaben und die Vernetzung des Gelernten. Der blaue Tippteil Hat man keine Idee, wie man eine Aufgabe angehen soll, hilft der blaue Tippteil in der Mitte des Buches weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfen, einen Ansatz zu finden, ohne die Lösung vorwegzunehmen. Wie arbeitet man mit diesem Buch? Am Anfang jedes Bereichs finden Sie grundlegende Aufgaben zu den Schwerpunktthemen für das Jahr Es folgen Aufgaben, die in Anspruch und Umfang den Aufgaben im Abitur entsprechen und Original-Abituraufgaben, die für den Schwerpunkt 2010 passend sind. Im Block 2 Geometrie und Stochastik gibt es unterschiedliche Aufgabenlängen, je nachdem, welcher Block im Abitur gewählt wird. Block 2A: Schwerpunkt Stochastik, Block 2B Schwerpunkt Analytische Geometrie. Es gibt drei Aufgabentypen in diesem Buch: Aufgaben für den GTR. Diese können Sie auch mit dem CAS lösen, teilweise vereinfachen sich dabei Lösungsschritte. Aufgaben für GTR und CAS. Bei diesen Aufgaben spielt es keine Rolle, ob Sie einen GTR oder ein CAS verwenden vor allem in der Geometrie und Stochastik. Aufgaben für CAS. Diese Aufgaben lassen sich mit dem GTR nur teilweise lösen. Allen Schülern, die sich auf das Abitur vorbereiten, wünschen wir viel Erfolg. Helmut Gruber, Robert Neumann 7

4 Vorwort Das Rechnen mit GTR und CAS Mit Hilfe des grafikfähigen Taschenrechners GTR und des Computeralgebrasystems CAS können komplexere Aufgaben relativ schnell gelöst werden. Allerdings ist die Eingabe oft komplizierter, als bei einem herkömmlichen Taschenrechner, der Rechner «verzeiht» formale Eingabefehler nicht und liefert Fehlermeldungen die verwirren können. Auch gibt es Aufgaben, die das CAS zu überfordern scheinen, obwohl es sich um lösbare Fragestellungen handelt. Aus diesen Gründen haben wir bei den Lösungen Eingabetipps für komplexere Fragestellungen eingefügt. Da es eine Vielzahl von Modellen der verschiedenen Hersteller gibt, haben wir uns auf die wesentlichen Tipps beschränkt und auf Screenshots verzichtet. Hier noch einmal die wichtigsten Dinge im Überblick: Das Minuszeichen Es gibt auf den Taschenrechnertastaturen zwei Minuszeichen. Das eine ist das «normale» Minuszeichen, dass bei den anderen Rechenoperationen steht. Das zweite Minus ist das «Vorzeichen- Minus», es ist meist kürzer dargestellt und von einer Klammer umgeben: -. Dieses Zeichen wird dann verwendet, wenn eine negative Zahl eingegeben wird. Die Tastenbelegungen Viele Tasten sind bei den Geräten mehrfach belegt. In den Tipps werden die Tastenbezeichnungen in eckigen Klammern angegeben. Beispiel: [sin] für die Sinus-Taste. Handelt es sich um eine Zweitbelegung der Taste, ist dies hochgestellt vor der eckigen Klammer vermerkt, z.b. 2nd [MATRX] bei TI-Geräten oder S [Trace] bei Casio-Geräten. Gleichungssysteme Bei den verschiedenen Geräten gibt es unterschiedliche Arten, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Die neueren Geräte akzeptieren eine Eingabeform, bei der die Gleichungen untereinander eingegeben werden können. Das ist übersichtlicher als die bisherige Eingabe, bei der die Gleichungen mit «and» verknüpft werden. Bei den grafikfähigen Taschenrechnern werden Gleichungssysteme in der Regel mit Hilfe von Matrizen gelöst, indem der rref-befehl verwendet wird. Eine Besonderheit ist bei den GTR-Geräten von CASIO zu beachten: Diese bieten eine Gleichungslösefunktion für lineare Gleichungssysteme. Diese unterscheidet aber nicht, ob es sich um ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen oder ein unlösbares Gleichungssystem handelt. Daher sollten Gleichungssysteme auch hier mit Hilfe einer Matrix und des rref-befehls gelöst werden. 9

5 Thematische Schwerpunkte Die thematischen Schwerpunkte für das Abitur 2010 Analysis Scharen von ganzrationalen Funktionen Ortslinien Exponentialfunktionen mit Anwendungsbezug Geometrie Grundlage für die Abiturprüfung 2010 ist der Inhaltsstrang «Anwendung von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen A3» der EPA Mathematik. Die Prüflinge sollem im Bereich der Lineare Algebra die Matrizen als zweckmäßiges Hilfsmittel zur Beschreibung und Bearbeitung von Prozessen kennen und anwenden können. Weiterhin sollen sie nachweisen, dass sie über eine sichere mathematische Orientierung im Anschauungsraum verfügen und die Verfahren der Vektorgeometrie zur Analyse und Synthese der Lagebeziehungen von Objekten im Raum beherrschen. Dabei genügt für die algebraische Untersuchung und Beschreibung der Objekte Gerade und Ebene die Beherrschung der jeweiligen Gleichung in Parameterform. Rechnen mit Matrizen Beschreibung von Prozessen mithilfe von Matrizen Darstellung und Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum. Vertiefungen für Unterricht auf grundlegendem Anforderungsniveau: Matrizen im Anwendungsbezug: Materialverflechtung Verflechtungsdiagramme, Verflechtungsmatrizen. Stochastik Bedingte Wahrscheinlichkeiten Berechnung mithilfe von Baumdiagrammen, Vierfeldertafeln oder der Formel von Bayes Vertrauensintervalle für nicht bekannte Wahrscheinlichkeiten 10

6 Eingeben von Matrizen Analytische Geometrie/ Lineare Algebra Im Abitur 2010 liegt der Schwerpunkt bei der Rechnung mit Matrizen. Alle grafikfähigen Taschenrechner und CAS-Systeme können mit Matrizen rechnen, allerdings gibt es bei der Eingabe und bei der Rechnung kleine Unterschiede. Hier noch einmal die wichtigsten Eingabetipps: Eingeben von Matrizen in das CAS TI: GTR: In das Matrizenmenü gelangt man über 2nd [MATRX]. Die Eingabe und Bearbeitung erfolgt über EDIT. CAS: Am besten gibt man die Matrix auch direkt ein, dabei wird die Matrix zeilenweise eingegeben, die einzelnen Zeilen werden dabei durch ein Semikolon getrennt. Beispiel: 2 1 Um die Matrix mat1 einzugeben, tippt man [ 2, 1; 3, 2 ] [sto ] mat1 3 2 Alternativ benutzt man das Data/Matrix-Menü. Im ersten Menü wählt man «new», um eine neue Matrix anzulegen. Im zweiten Menü wählt man bei «Type» Matrix aus, bei «Variable» z.b. mat1 oder einen anderen geeigneten Namen. Anschließend können die Anzahl der Zeilen und Spalten festgelegt werden. Tinspire: Entweder benutzt man den Katalog der mathematischen Vorlagen oder gibt die Matrix in eckigen Klammern ein. [ 2, 1; 3, 2 ] ctrl [sto ] A Casio: GTR Im Menü wird RUN MAT ausgewählt. Die Eingabe einer Matrix erfolgt, indem man mit [F1] das MAT-Menü auswählt. Zum Rechnen mit Matrizen wählt man [OPTN] und dann MAT. Um zum rref-befehlt zu gelangen muss man im Menü mit [F6] nach rechts scrollen. ClassPad Um eine Matrix einzugegen, benutzt man am besten das 2D-Menü. Mit der Taste wird eine Matrix eingefügt für 3 3-Matrizen mehrmals tippen. Weitere Spalten können über eingefügt werden, weitere Zeilen über. Rechenregeln zum Rechnen mit Matrizen finden Sie bei den Tipps auf Seite

7 14. Farbherstellung GTR/ CAS Aufgaben auf Prüfungsniveau und ehemalige Abituraufgaben 14 Farbherstellung GTR/ CAS Tipps ab Seite 62, Lösungen ab Seite 121 a Eine Firma benötigt für die Produktion von drei verschiedenen Farbtönen F 1, F 2 und F 3 die Grundfarben G 1, G 2 und G 3. Angegeben ist jeweils die benötigte Menge an Grundfarben pro Kilogramm des jeweiligen Farbtons. Grundfarbe Farbton F 1 F 2 F 3 G 1 0,8 0,7 0,6 G 2 0,1 0,1 0,1 G 3 0,1 0,2 0,3 Zeichnen Sie ein Verflechtungsdiagramm. Bestimmen Sie die Matrix des Produktionsprozesses. Welcher Bedarf an Grundfarben ergibt sich bei der Herstellung von 200kg F 1, 300kg F 2 und 400kg F 3? b Die Ebene E geht durch die Punkte A1,5 0 0, B0 3 0 und C Untersuchen Sie, ob die Gerade 4 2 g: x 2 +t 3 ; t IR 3 2 parallel zur Ebene E verläuft. c Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. 36

8 Tipps Rechnen mit Matrizen Analytische Geometrie/ Lineare Algebra Rechnen mit Matrizen Addition/ Subtraktion Die Summe/ Differenz von zwei Matrizen wird berechnet, indem man jeweils die Elemente der beiden Matrizen mit gleichen Indices addiert/ subtrahiert: a 11 a 12 a 21 a 22 + b 11 b 12 b 21 b 22 a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22 Es können also nur Matrizen mit gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl miteinander addiert bzw. voneinander subtrahiert werden. Skalare Multiplikation Eine Matrix wird mit einem Skalar einer Zahl multipliziert, indem jedes Elemente der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird: a 11 a 12 s a 11 s a 12 s a 21 a 22 s a 21 s a 22 Matrizenmultiplikation Folgende Eigenschaften sind zu beachten: 1. Bei der Multiplikation von Matrizen kommt es auf die Reihenfolge an: In der Regel gilt A B B A d. h. die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. 2. Das Produkt A B kann nur berechnet werden, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. 3. Die Ergebnismatrix hat die Zeilenanzahl der ersten Matrix und die Spaltenanzahl der zweiten Matrix. Siehe auch das Beispiel der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor auf der nächsten Seite. Die eigentliche Multiplikation Um das jeweilige Element der Ergebnismatrix zu berechnen, werden die Zeilen der ersten Matrix jeweils skalar mit den Spalten der zweiten Matrix multipliziert. Zur Berechnung empfiehlt sich das sogenannte «Falksche Schema»; dazu wird die zweite Matrix oberhalb der Ergebnismatrix plaziert, dies erleichtert das Rechnen. Beispiel: A a 11 a 12 a 21 a , B b 11 b 12 b 21 b , C c 11 c 12 c 21 c 22 gesucht ist das Produkt A B C Falksches Schema: 61

9 14. Farbherstellung GTR/ CAS Tipps beziehungsweise: Also ist: Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor Ein Vektor wird als 2 1 bzw. 3 1-Matrix aufgefasst; entsprechend gelten die gleichen Regeln wie bei der Multiplikation von Matrizen. Das Ergebnis der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ist ein Vektor. Matrix A ist eine 2 2 Matrix, x ist eine 2 1 Matrix, das Ergebnis ist also eine 2 1 Matrix: a 11 a 12 A x a 21 a Beispiel: A und x : A x x 1 x 2 14 Farbherstellung GTR/ CAS 62 a 11 x 1 + a 12 x 2 a 21 x 1 + a 22 x a Überlegen Sie, was der Outputvektor ist, legen Sie Variablen fest und stellen Sie Gleichungen für den Inputvektor, der den Bedarf an Grundfarben beschreibt, auf. Anschließend schreiben Sie das Gleichungssystem zu einer Matrix um und berechnen den gesuchten Inpukvektor durch Multiplikation der Matrix mit den Outputvektor. b Stellen Sie zuerst eine Gleichung der Ebene E durch die drei Punkte A, B und C auf. Berechnen Sie dann die gegenseitige Lage der Geraden g und der Ebene E. Dazu setzen Sie die beiden zugehörigen Terme gleich und lösen das so entstandene Gleichungssystem. c Skizzieren Sie die Problemstellung und stellen Sie eine geeignete Vektorkette auf

10 Lösungen 14. Farbherstellung GTR/ CAS Analytische Geometrie/ Lineare Algebra 14 Farbherstellung GTR/ CAS a Aus der Tabelle ergibt sich das folgende Verflechtungsdiagramm: Grundfarbe Farbton F 1 F 2 F 3 G 1 0,8 0,7 0,6 G 2 0,1 0,1 0,1 G 3 0,1 0,2 0,3 Zur Erstellung der Matrix des Produktionsprozesses bestimmt man zuerst die Input- und Outputvektoren. Die Eingangswerte x 1, x 2 und x 3 sind die Mengen an Farbtönen F 1, F 2 und F 3, die Ausgangswerte y 1, y 2 und y 3 sind die Mengen an Grundfarben G 1, G 2, und G 3. Somit gilt: y 1 0,8 x 1 + 0,7 x 2 + 0,6 x 3 y 2 0,1 x 1 + 0,1 x 2 + 0,1 x 3 y 3 0,1 x 1 + 0,2 x 2 + 0,3 x 3 Die Matrix hat die Form: 0,8 0,7 0,6 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,3 Der Bedarf an Grundfarben G 1, G 2, und G 3 ist der «Inputvektor». Um ihn zu bestimmen, multipliziert man die Matrix mit dem Outputvektor: y 1 y 2 y 3 0,8 0,7 0,6 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0, Es werden also 610 kg von G 1, 90 kg von G 2 und 200 kg von G 3 benötigt. 4 2 b Um zu untersuchen, ob die Gerade g: x 2 +t 3 ; t IR parallel zur Ebene 3 2 durch die Punkte A1,5 0 0, B0 3 0 und C0 0 6 verläuft, stellt man zuerst eine 121

11 14. Farbherstellung GTR/ CAS Lösungen Parametergleichung von E auf: x OA + r AB + s AC mit r, s IR 1,5 1,5 1,5 x 0 + r 3 + s Zur Bestimmung eines möglichen Schnittpunkts werden die Terme von g und E gleichgesetzt: 1,5 1,5 1, r 3 + s 0 2 +t Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: 1, 5r 1, 5s + 2t 5, 5 3r 3t 2 6s 2t 3 Löst man dieses Gleichungssystem mit dem Gaußschen Lösungsverfahren von Hand oder mit dem GTR/ CAS, ergibt sich ein Widerspruch, d.h. es gibt keine Lösung. Das bedeutet, dass sich Gerade und Ebene nicht schneiden, die Gerade liegt also parallel zur Ebene. 122

12 Lösungen 14. Farbherstellung GTR/ CAS Lösen des Gleichungssystems mit GTR und CAS TI: GTR: Das Gleichungssystem wird mit Hilfe einer Matrix gelöst: rref Da in der dritten Zeile der Lösungsmatrix ein Widerspruch steht, gibt es keine Lösung. CAS: solve -1.5r 1.5s + 2t -5.5 and 3r 3t 2 and 6s 2t 3,{r, s, t} Dies führt je nach Einstellung zu einem Ergebnis wie r , s und t Beim TInspire kann man das Gleichungssystem auch wie folgt eingeben: -1.5r 1.5s + 2t -5,5 solve 3r 3t 2 r, s, t 6s 2t 3 Auch dies führt zu einem Ergebnis wie z.b. r , und t , das als Lösung eher unwahrscheinlich scheint, sich aber nicht ohne weiteres als ein unlösbares Gleichungssystem interpretieren läßt. Bessere Ergebnisse erhält man, indem man das Gleichungssystem als Matrix schreibt und den rref-befehl benutzt: rref In der letzten Zeile steht ein Widerspruch, also ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Casio: GTR: Das Gleichungssystem wird mit Hilfe einer Matrix gelöst: rref Da in der dritten Zeile der Lösungsmatrix ein Widerspruch steht, gibt es keine Lösung. CAS:solve {-1.5x 1.5y + 2z -5.5, 3x 3z 2, 6y 2z 3},{x, y, z} Oder man benutzt das 2D-Menü zum Lösen des Gleichungssystems mehrmals tippen, um drei Zeilen zu erhalten: -1.5x 1.5y + 2z x 3z 2 6y 2z 3 x,y,z Man erhält: «No Solution» als Ergebnis. 123

13 14. Farbherstellung GTR/ CAS Lösungen c Um die Koordinaten von D zu bestimmen, hilft eine Skizze: Die Koordinaten des Punktes D erhält man mit Hilfe einer Vektorkette: OD OA + BC 1, ,5 3 6 Der Punkt D hat die Koordinaten D1,