Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/1) und B(-5/8)?

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1 Übungsbeispiel / 2 Gerade durch 2 Punkte Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/) und B(-5/8)? Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

2 Übungsbeispiel 2 / 2 Gerade durch 2 Punkte Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Lösung : Der Verbindungsvektor von A nach B ist der Richtungsvektor der gesuchten Geraden a b AB Als Einstiegspunkt nimmt man entweder A oder B, hier wurde A genommen. Die Gleichung von g lautet dann : g : t x

3 Übungsbeispiel 2 / 2 Normale Gerade Gesucht ist die Gleichung derjenigen Geraden, die durch A geht und die auf die Strecke AB normal steht. A(4/), B(-5/8) Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

4 Übungsbeispiel 2 2 / 2 Normale Gerade Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Lösung : Der Verbindungsvektor von A nach B ist der Normalvektor der gesuchten Geraden. Daher wird die gesuchte Gerade in Normalvektorform angegeben a b AB Als Einstiegspunkt nimmt man entweder A oder B, hier A. Die Gleichung von g in Normalvektorform lautet dann : g : x oder g : -9 x + 7 y = - 29

5 Übungsbeispiel / 2 Schnittpunkt von Geraden Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Untersuche, ob die beiden Geraden g : 2 5 t x und h : s x einander schneiden und berechne gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes.

6 Übungsbeispiel 2 / 2 Schnittpunkt von Geraden Lösung : Man setzt die beiden Gleichungen gleich t = s 2 5 Trennt man zeilenweise, so erhält man ein Gleichungssystem in den beiden Variablen s und t. t - 7 s = - 2 t - s = 0 Die erste Gleichung wird mit 2 multipliziert und davon die 2. Gleichung subtrahiert. Man erhält dann : - s = -6 und daraus 6 79 s und nach Einsetzen in eine Gleichung t. Für den Schnittpunkt gilt dann : 68 P / 0 p Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

7 Übungsbeispiel 4 / 2 Schnittgerade von Ebenen Gegeben sind die beiden Ebenen : x y 8z = und 2 : 2x + 5y + 6z = 2. Berechne die Gleichung der Schnittgeraden. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

8 Übungsbeispiel 4 2 / 2 Schnittgerade von Ebenen Lösung : Die erste Gleichung wird mit 5 multipliziert, man erhält dann : I : 5x 5y 40z = 5 II : 2x + 5y + 6z = 2 Beide Gleichungen werden addiert : 7x 4z = 7, und nach x aufgelöst : x = + 2z Setzt man dieses Ergebnis für x in eine der beiden Gleichungen ein, so erhält man für y : y = - 2z Setzt man für z den allgemeinen Parameter t ein, so gilt : x = + 2t y = - 2t z = t oder x 2 0 t 2 0 Diese Gleichung stellt die Schnittgerade zwischen den beiden Ebenen dar. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

9 Übungsbeispiel 5 / 2 Windschiefe Gerade Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Gegeben sind die beiden Geraden g : t x, g 2 : s x Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Geraden!

10 Übungsbeispiel 5 2 / 2 Windschiefe Gerade Lösung : Die beiden Richtungsvektoren sind nicht proportional, dh. die Geraden sind entweder schneidend oder windschief. Man setzt die beiden Gleichungen gleich, rechnet aus zwei Zeilen die beiden Parameter t und s aus und setzt zur Kontrolle in die dritte Gleichung ein. 6 8 t 2 = 2 2 s 2. Zeile : t = +.s 2. Zeile : 2. t = -2 2s. Zeile : - +. t = 2 s Aus der. Gleichung erhält man : s = 5. t Setzt man in die 2. Gleichung ein, so erhält man : 2. t = (5.t) und daraus t und für s : 8 s 8 In die erste Zeile eingesetzt ergibt das 6 + = + 8, was offensichtlich eine falsche Aussage darstellt. Die beiden Geraden sind somit windschief. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

11 Übungsbeispiel 6 / 2 Ebenengleichungen umformen Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Ermittle die parameterfreie Form der folgenden Ebene : : s t x

12 Übungsbeispiel 6 2 / 2 Ebenengleichungen umformen Lösung : Die Ebenengleichung wird zeilenweise zerlegt x = t. s y = +2. s z = 7. t + 9. s Diese Zeile nach s lösen. Und in die erste Gleichung einsetzen. Die letzte Gleichung wird nach t gelöst. Die Ergebnisse für s und t werden in die dritte Gleichung eingesetzt. Formt man die letzte Gleichung um, so erhält man : x 8 y + 5z = -22 Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

13 Übungsbeispiel 7 / 2 Normalebene Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Ermittle die Gleichung der durch P gehenden Normalebene zur Geraden g und die Koordinaten des Durchstoßpunktes von g mit! P(2/4/0), g : t x

14 Übungsbeispiel 7 2 / 2 Normalebene Lösung : Der Richtungsvektor von g ist der Normalvektor von. Für die Ebenengleichung bietet sich daher die Normalvektorform an. Als Einstiegspunkt wird der Punkt P verwendet. x Die parameterfreie Form sieht dann so aus : 2 y z = 8. Berechnung des Durchstoßpunktes von g mit : Aus der Geradengleichung erhält man : x = y = t z =. t Setzt man diese Werte in die parameterfreie Form der Ebenengleichung ein, so erhält man: 2. ( t). (. t) = t t = 8. t = t = Dieser Wert für t in die Geradengleichung eingesetzt ergibt für den Schnittpunkt : S(/4/0) Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

15 Übungsbeispiel 8 /2 Skalares Produkt a) Verwende die beiden beigelegten Pfeile, die Verlängerung und die Schnur und erkläre damit das skalare Produkt. Schätze das skalare Produkt der beiden Vektoren zu einem bestimmten Winkel ab. b) Zeichne in ein geeignetes Koordinatensystem die Vektoren a 7 8 = und b =. 2 5 Konstruiere die Projektion von b auf a und bestimme das skalare Produkt durch Messung und Berechnung. c) Berechne den Winkel zwischen den Vektoren a und b d) Betrachte die Fälle = 0 o, = 90 o und = 80 o. Welche Werte ergeben sich für das skalare Produkt? Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

16 Übungsbeispiel 8 2/2 Skalares Produkt Lösungen: a) Gib die Schlaufe über den Vektor a und lege den Schaft des Vektors b auf den Schaft von a. Spanne die Schnur im rechten Winkel zur Spitze von b. Du kannst nun die Länge der Projektion von b auf a bei der Schlaufe auf a ablesen. Wird der Winkel größer als 90 0 brauchst du die Verlängerung. Lege sie an den Schaft von a in die Gegenrichtung von a und lies jetzt die Länge der Projektion ab. Das skalare Produkt ist gleich dem Produkt von der Länge von a und der Länge der Projektion von b auf a. Muss auf der Verlängerung in der Gegenrichtung abgelesen werden, so wird das Produkt negativ. b) Ergebnis: Länge der Projektion: a b = c) Einsetzen in die Formel: a b = a b cos ergibt: 2 0 d) = 0 o : a b = a b = 90 o a b = 0 = 80 o : a b = a b Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

17 Bastelvorlage zu Übungsbeispiel Vektor a Vektor b Verlängerung Laminieren Sie zuerst dieses Blatt. Schneiden Sie dann die Vektoren und die Verlängerung aus. Das linke Feld dient zur Fixierung der Teile mit Hilfe einer Nadel. Gemessen werden kann von 0 bis zur Spitze des Vektors. Als Lot ist eine dünne Schnur oder Faden zu verwenden, an deren einem Ende eine Schlaufe gemacht wird, die um einen Vektor gelegt wird.

18 Übungsbeispiel 9 / 2 Winkelberechnung Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Berechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren 2 a und 4 7 b, sowie zwischen den Vektoren 6 5 a und 2 9 b

19 Übungsbeispiel 9 2 / 2 Winkelberechnung Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Lösung : Man verwendet die cos-formel b a b a.. cos cos = = 65 = 0,47724 cos (0,47724) = 6,44 oder 80 6,44 = 6,56 die beiden Winkel sind supplementär cos = = = 0,07859 cos (0,07859) = 85,49 oder 80-85,49 = 94,50

20 Übungsbeispiel 0 /2 Anwendung Skalarprodukt Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Gegeben sind die Punkte A(-2/2/0), B(-/0/2) und die Gerade g: x = t. Gesucht sind Punkte P auf dieser Geraden, so dass der Winkel PAB = 45 o wird.

21 Übungsbeispiel 0 2/2 Anwendung Skalarprodukt Lösung: Eingabe: allgemeiner Vektor Punkte A und B Eingabe der Geraden Einsetzen in die Formel für das Skalarprodukt Lösen der Gleichung Berechnung der Punkte P (/2/) und P 2 (-/-0/5) Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

22 Übungsbeispiel /2 Linearkombination Fünf Punkte A(4//2), B(2/6/), C(- /2/4), P(0/0/5) und Q(/9/-) sind gegeben. Man denke sich das Dreieck ABC als undurchsichtige Fläche und begründe rechnerisch, ob P von Q aus sichtbar ist oder nicht. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

23 Übungsbeispiel 2/2 Linearkombination Lösung: Idee: Die Gerade durch die Punkte P und Q wird mit der Trägerebene des Dreiecks ABC geschnitten. Der Schnittpunkt wird D genannt. Der Vektor AD wird als Linearkombination der Vektoren AB und AC dargestellt: AD = t AB + s AC Sind die Bedingungen 0<t<, 0<s< und 0< s + t < erfüllt, so liegt D innerhalb des Dreiecks ABC. (Führe den Beweis mit Hilfe des Strahlensatzes!) Eingabe: Punkte A, B, C, P, Q allgemeiner Vektor xv Gleichung der Trägerebene aufstellen: Bestimmen des Normalvektors Gleichung der Ebene Eingabe der Geraden durch die Punkte P und Q Berechnung des Schnittpunktes: Punkt der Geraden in die Ebene einsetzen Schnittpunkt: S(//) Darstellung der Linearkombination Parameter t und s aus zwei Gleichungen berechnen (. Gleichung wird erfüllt, da der D in der Ebene liegt) s = / und t = /, daher liegt D im Dreieck; P ist von Q aus nicht sichtbar Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

24 Übungsbeispiel 2 /2 Winkelsymmetralen Stelle die Gleichungen der Winkelhalbierenden der Geraden g: x 4y + 2 = 0 und h: 5x + 2y = 0 auf. Welchen Winkel schließen die Winkelhalbierenden eín? Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

25 Übungsbeispiel 2 2/2 Winkelsymmetralen Lösung: x Mit xv wird der allgemeine Vektor bezeichnet y Der Teil ( x - p ) n 0 der Geradengleichung wird unter g bzw. h abgespeichert. Setzt man nun diese beiden Ausdrücke gleich, so liefert der Rechner kein schönes Ergebnis. Da man für die Symmetriegeraden (Winkelhalbierenden) die Beträge zu subtrahieren hat, ergeben sich zwei Gleichungen. (Siehe Theorie: Winkelhalbierende) Ergebnis: 4x 2y + = 0 64x + 8y + 2 = 0 (Kopfrechnen!) Die beiden Winkelhalbierenden sind normal zueinander. (Führe den Beweis, dass das immer so ist!) Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

26 Übungsbeispiel /2 Projektion im R 2, Abstand Punkt- Gerade Gegeben ist die Gerade g durch den Punkt A (6/4) und durch den Richtungsvektor r = und der Punkt P (-9/-). 4 Projiziere die Strecke AP auf die Gerade g. Gib die Projektion in einer Vektordarstellung an. Trage von A aus diesen Vektor ab. Welcher Punkt ergibt sich? Projiziere die Strecke AP auf einen Normalvektor mit der Länge LE der Geraden. Welche Bedeutung hat diese Zahl? Fertige eine Skizze an und überprüfe die Ergebnisse. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

27 Übungsbeispiel 2/2 Projektion im R 2, Abstand Punkt- Gerade Lösungen: Eingabe der Punkte Berechnung der Projektion mit Hilfe des Skalarprodukts Länge der Projektion: LE, Richtung entgegengesetzt zu r Projektionsvektor Schnittpunkt der Normalen zu g durch P mit der Geraden g Abstand des Punktes P von der Geraden g Normalvektor eingeben Berechnung der Länge der Projektion: - 9 = 9 ist wieder der Abstand; das negative Vorzeichen besagt, dass der Normalvektor nicht in die Halbebene hineinzeigt, in der der Punkt P liegt. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

28 Übungsbeispiel 4 /2 Abstandsberechnung Welche Punkte auf der Geraden g: x = 0 2 t 2 haben von den Ebenen E: 2x + 2y + z + = 0 und E2: 2x y + 2z = 0 gleiche Abstände? Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

29 Übungsbeispiel 4 2/2 Abstandsberechnung Lösung: Abspeichern der Geraden unter g(t) Eingabe des allgemeinen Vektors xv Zur Erinnerung: Die Ebene wird günstigerweise in der Form ( x - a ) n = 0 eingegeben Für x wird die Gerade (richtig: Punkt der Geraden), für n wird der Einheitsvektor n 0 eingegeben Zur Erinnerung: Der Betrag von ( p - a ) n 0 ergibt den Abstand eines Punktes P von der Ebene E; dieser wird unter d abgespeichert Gleiches Verfahren mit der 2. Ebene Die Abstände werden gleichgesetzt Mit g(7) erhält man den Punkt (-7/6/4), mit g(-/5) erhält man den Punkt (2.2/-2.4/-5.2) Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

30 Übungsbeispiel 5 /2 Flächeninhalt, Abstand Punkt- Gerade im R Die Punkte A(2//2), B(/5/4) und D(/-/) bestimmen ein Parallelogramm ABCD. Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms. Wie lang ist die Höhe auf die Seite AB? Entwickle aus der vorhergehenden Rechnung ein Verfahren, um den Abstand des Punktes D von der Geraden durch A und B zu ermitteln? Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

31 Übungsbeispiel 5 2/2 Flächeninhalt, Abstand Punkt- Gerade im R Lösung: Eingabe der Punkte Der Betrag des vektoriellen Produkts der Vektoren AB und AD entspricht der Maßzahl des Flächeninhalts Fläche : Seitenlänge = Höhe Wähle ein Parallelogramm, dessen Seite auf der Geraden g die Länge hat. unitv(b-a) ist der Einheitsvektor der Geraden g. Der Betrag des vektoriellen Produkts der Vektoren AD und r 0 entspricht der Maßzahl des Flächeninhalts und damit der Höhe im Parallelogramm und das ist die gesuchte Höhe. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

32 Übungsbeispiel 6 /2 Projektion, Spiegelung einer Geraden Stelle eine Parametergleichung der Geraden auf, die durch Spiegelung der Geraden x = t 5 an der Ebene x 2y + z = 0 hervorgeht. Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch Projektion der Geraden auf die Ebene hervorgeht? Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

33 Übungsbeispiel 6 2/2 Projektion, Spiegelung einer Geraden Lösung: Eingabe: Punkt A und Richtungsvektor rv der Geraden, Punkt P und Normalvektor nv der Ebene, allgemeiner Vektor xv h(-2) ergibt den Projektionspunkt A P von A. Die Projektionsgerade ist durch die Punkte A P und S P bestimmt. (Richtungsvektor kürzen!) x = t 4 4 Eingabe: Gerade g(t), Normale h(s) zur Ebene durch A Bestimmung des Schnittpunkts S P der Geraden g mit der Ebene h(-4) ergibt den Spiegelpunkt A S von A. Die Spiegelgerade ist durch die Punkte A S und S P bestimmt. x = 6 + t 2 Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung

34 Übungsbeispiel 7 / 2 Abstand windschiefer Gerader Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden g und h. Berechne ihren kürzesten Abstand, sowie die Fußpunkte der Verbindungslinie! g : t x, h : s x

35 Übungsbeispiel 7 2 / 2 Abstand windschiefer Gerader Lösung : Man bestimmt eine Ebene, die g enthält und die zu h parallel ist. Der Normalvektor auf ist dann der Vektor n g h, wobei g und h die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind. Die beiden Richtungsvektoren werden eingegeben. Normalvektor von. Die Ebene wird in Normalvektorform dargestellt. Die Gleichung der Ebene lautet dann : x + 2y +6z = 5. Um den Abstand der beiden Geraden zu bestimmen, berechnet man nun den Abstand eines Punktes von h von der Ebene. Als Punkt auf h nimmt man zweckmäßig den Punkt P(8/8/4) den Einstiegspunkt von h. Damit wird der Abstand berechnet. Der gesuchte Abstand ist 7. Zur Bestimmung der Fußpunkte berechnet man eine Ebene, die die Gerade h enthält und die auf normal steht. Diese Ebene wird dann mit g geschnitten. Der Normalvektor auf ist dann der Vektor und h der Richtungsvektor der Geraden. n h, wobei n der Normalvektor auf ist Normalvektor auf. Darstellung der Ebene in Normalvektorform. Setz man di egerade in die Eben ein, so erhält man für den Parameter t den Wert 4. Für den Fußpunkt auf g ergibt sich dann F g (//). Den Fußpunkt auf h erhält man aus dem Normalvektor n und der Länge d = 7. F h = F g - 7*n 0 = (4/5/7) (zur Kontrolle des Vorzeichens überprüft man, ob der Punkt tatsächlich auf h liegt) Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung