Übungsblatt 3 (Vektorgeometrie)

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1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Mathematik- und Naturwissenschaft Übungsblatt (Vektorgeometrie Roger Burkhardt 08 Mathematik. Aufgabe Gegeben seien die Vektoren a = ( und b = ( Sie a + b und a b rechnerisch und zeichnerisch.. Aufgabe in der Ebene. Bestimmen (a Schreiben Sie den Vektor a als Linearkombination der Vektoren b und c (grafisch und rechnerisch: ( a =, ( b =, ( 0 c = 4 (b Gegeben sind die Punkte A (, und B (, sowie der Vektor ( 4 v = i. Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors AB. ii. Welchen Abstand haben die Punkte A und B voneinander? iii. Welchen Winkel schliesst der Vektor v mit der positiven x-achse ein? iv. Welchen Winkel schliessen die beiden Vektoren v und AB ein? (c Gegeben sind die Punkte A (,, und B (,,. Wieviele Prozent der Strecke AB liegt oberhalb der xy-ebene?. Aufgabe (a Ein Vektor ( 6 v = hat die Länge v =. Welchen Wert muss damit a die y-komponente annehmen? (b Der Ortsvektor r A des Punktes A (,, z A hat den Betrag r A = 4. Wie lautet die fehlende dritte Koordinate des Punktes A? 4. Aufgabe Gegeben sind die Vektoren a = 0 8, b = 4, c = (a Berechnen Sie den Vektor ( b ( d = a + a + c ( c a

2 Mathematik Übungsblatt (Vektorgeometrie 08 (b Berechnen Sie den Betrag dieses Vektors.. Aufgabe (a Berechnen Sie die Resultierende der Kräfte F = 0 N, F = 0 0 (b Berechnen Sie den Betrag dieser Resultierenden. 6. Aufgabe Berechnen Sie von den Vektoren a = (a die Beträge a und (b a = a und b (c a ( b und a b (d a b b = b N, F = und b = Aufgabe Gegeben seien die Vektoren a, b mit den Eigenschaften a =, ( a, b = 0. Bestimmen Sie a + b grafisch und rechnerisch. 8. Aufgabe (a Gegeben sind die Vektoren a =, b = s, c = t + t t N b = 4 und i. Berechnen Sie: ( a c ( a + c =? ii. Für welchen Wert des Parameters s hat der Vektor v = a b die Länge 0? iii. Für welchen Wert des Parameters t stehen die Vektoren b und c normal zueinander? Seite / 7

3 Mathematik Übungsblatt (Vektorgeometrie 08 (b Gegeben sind die drei Vektoren a =, b = 0 4, c = Bestimmen Sie die Beträge der Vektoren a, b und c. 9. Aufgabe Ein Parallelogramm wird durch die Vektoren AB und AC mit A (, 4, 6, B (,, und C (6, 7, 8 aufgespannt. (a Berechnen Sie die vierte Ecke des Parallelogramms. (b Berechnen Sie den Umfang und den Flächeninhalt des Parallelogramms Aufgabe Gegeben ist der Vektor a = ( (a Berechnen Sie den zu a gleichgerichteten Vektor b mit der Länge b = 4. (b Bestimmen Sie einen Einheitsvektor, welcher orthogonal (rechtwinklig zum Vektor a steht.. Aufgabe (a Von einem Dreieck kennt man die beiden Ecken A (,, und B (7,, 0 und den Schwerpunkt S (, 4, 6. Bestimmen Sie die dritte Ecke C. (b Gegeben sei das Viereck mit den Eckpunkten A (0, 8, 6, B ( 9,, 0, C (4, 0, und D (,, 9. Prüfen Sie, ob es sich um ein Parallelogramm handelt.. Aufgabe Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A (,,, B (, 0, und C (7,,. (a Bestimmen Sie die Seitenvektoren und die Seitenlängen des Dreiecks. (b Bestimmen Sie die Innenwinkel des Dreiecks.. Aufgabe Gegeben sind die Vektoren a = 0, b =, c = u v (a Berechnen Sie: ( b + a b ( a b c =? ( b c + a =? Seite / 7

4 Mathematik Übungsblatt (Vektorgeometrie 08 (b Für welche Werte der Parameter u und v steht der Vektor c normal (rechtwinklig zu den Vektoren a und b? 4. Aufgabe Gegeben sind die Punkte A (,, 4 und B (,,. Bestimmen Sie den Punkt C, so dass (a C auf der y-achse liegt und das Dreieck ABC gleichschenklig mit Basis AB ist, (b C auf der x-achse liegt und das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel aufweist.. Aufgabe Zerlegen Sie den Vektor v in eine Summe aus zwei normal zueinander stehender Vektoren v = a + b so dass a parallel zum Vektor c verläuft. v =, c = 0 6. Aufgabe Die Vektoren a = b = 7 spannen ein räumliches Dreieck auf. (a Berechnen Sie den bei senkrechter Projektion des Vektors b auf a entstehenden Bildvektor b a. (b Berechnen Sie den Flächeninhalt des räumlichen Dreiecks. 7. Aufgabe Eine konstante Kraft F = verschiebe einen Massepunkt von P (m, m, m aus geradlinig in den Punkt Q (0m, m, 4m. Welche Arbeit wird dabei verrichtet? Wie groß ist der Winkel α zwischen dem Kraftvektor F und dem Verschiebungsvektor? 8. Aufgabe Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A (,, B (, und C (4,. 0 (a Bestimmen Sie die Seitenvektoren AB, BC und CA. Seite 4 / 7

5 Mathematik Übungsblatt (Vektorgeometrie 08 (b Bestimmen Sie die Seitenlängen, die Fläche und die Innenwinkel des Dreiecks ABC. (c Bestimmen Sie die Seitenhalbierendenvektoren. (d Bestimmen Sie die Höhenvektoren. (e Bestimmen Sie den Umkreismittelpunkt. 9. Aufgabe (a Bestimmen Sie die Parametergleichung der Geraden g durch die Punkte A (9, 0 und B (6,. (b Welche der Punkte P (, 4, P (, und P (4, liegen auf der Geraden g? (c Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Geraden g. (d Bestimmen Sie die Achsenabschnitte der Geraden g. (e Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden g und g und deren Schnittpunkt B (Bemerkung: Der Strahl vom Leuchtturm wird an der Wasseroberfläche gespiegelt - es gilt: Einfallswinkel=Ausfallswinkel. y g B g T(0,h β α x 0. Aufgabe (a Bestimmen Sie die Parametergleichung der Ebene ε durch die Punkte A (,,, B (,, und C (4, 4, 4. (b Welche der Punkte P (, 4, und P (9, 6, 4 liegen auf der Ebene ε? (c Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene ε. (d Bestimmen Sie die Achsenabschnitte der Ebene ε.. Aufgabe Bestimmen Sie den Schnittwinkel und die Gleichung der Schnittgeraden der durch die Punkte P (,,, P (,,, P (, 0, und Q (,,, Q (,,, Q (0,, definierten beiden Ebenen. In der Form x x A In der Form x x A + y y A + y y A = sind x A und y A die Achsenabschnitte der Geraden. = sind x A, y A und z A die Achsenabschnitte der Ebene. + z z A Seite / 7

6 Mathematik Übungsblatt (Vektorgeometrie 08. Aufgabe Gegeben sei die Gerade g g : r = + 4t 7t 7t und der Punkt P (,,. Bestimmen Sie: (a den kürzesten Abstand des Punktes P von der Geraden g und den Punkt F auf der Geraden g der von P die kürzeste Entfernung besizt. (b die Punkte A und B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABP gleichseitig wird.. Aufgabe Weisen Sie nach, das die beiden Parametergleichungen: r = dieselbe Gerade darstellen. r = + t 8 + t t 4 s 6s + 4s 4. Aufgabe (* Bestimmen Sie den (kürzesten Abstand und die Fusspunkte der beiden Geraden g : r = g :. Aufgabe Es seien die beiden Geraden gegeben. Bestimmen Sie: r = t + 8t + t + s + s 4 + 4s g : x y + = 0 g : x + y 8 = 0 (a Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden. (b (* die Gleichung der Winkelhalbierenden. Die Summe zweier gleich langer Vektoren ergibt einen Vektor der die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen den gegebenen Vektoren angibt (Achtung: Es gibt zwei Lösungen!. Seite 6 / 7

7 Mathematik Übungsblatt (Vektorgeometrie Aufgabe (* Im Punkt Q (, 0, sei eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Bestimmen Sie die Richtung, die ein Lichtstrahl haben muss, um über einen Spiegel den Punkt P (,, anzustrahlen Aufgabe (a Gegeben sind die Geraden s : x y + z + = 0 g : r = h : r = + t + t t + s + s 4 + s Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene e, die h enthält und zu g parallel ist. (b Ein Dreieck D liegt in der Ebene E : x + 6y + 6z 0 = 0. Die Projektion des Dreiecks in die xy-ebene habe den Flächeninhalt A xy = 0. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. 4 Spiegeln Sie den Punkt P an der Ebene. Seite 7 / 7