Lösungen Serie 8 (Vektorgeometrie)

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Michael Joachim Kohl
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1 Name: Seite: Fachhochchule Nordwetchweiz (FHNW) Hochchule für Technik Löungen Serie 8 (Vektorgeometrie) Dozent: R. Burkhardt Büro: 4.6 Klae:. Studienjahr Semeter: Datum: HS 008/09. Aufgabe (a) Betimme die Parametergleichung der Geraden g durch die Punkte A (9, 0) und B (6, ). r ra + t rb r A t t 0 g : x 9 t r y t (b) Welche der Punkte P (, 4), P (, ) und P (4, ) liegen auf der Geraden g? Punkte einetzen: P : 4 P : 9 t t 9 t t t 4 t 4 t t P : 4 9 t t t t Die Punkte P und P liegen auf der Geraden g. (c) Betimme die Koordinatengleichung der Geraden g. x 9 t y t x 9 y x +y 90 (d) Betimme die Achenabchnitte der Geraden g. x +y 9 x 9 + y Die Achenchnittpunkte ind omit S x (9, 0) und S y (0, ). (e) Betimme die Gleichungen der Geraden g und g und deren Schnittpunkt B (Bemerkung: Der Strahl vom Leuchtturm wird an der Waeroberfläche gepiegelt -> EinfallwinkelAufallwinkel). In der Form x + y ind x x A y A und y A die Achenabchnitte der Geraden. A

2 Name: Seite: y g B g T(0,h) β α x Gerade g : Wir kennen einen Punkt T (0,h) (->b h) und die Steigung m tan(α): g : y mx + b x tan (α)+h Gerade g :DieGeradeg hat die Steigung m tan(β) und geht durch den an der x-ache gepiegelten Punkt T (0, h). Alo: g : y mx + b x tan (β) h Schnittpunkt (Ballonpoition): tan (α) x tan (β) y D tan (α) tan (β) D x h h h D y tan (α) h tan (β) h h h tan(β) tan (α) h (tan (α)+tan(β)) x B D x D h tan (β) tan (α) y B D y D B h (tan (α)+tan(β)) tan (β) tan (α) h h (tan (α)+tan(β)), tan (β) tan (α) tan (β) tan (α). Aufgabe (a) Betimme die Parametergleichung der Ebene ε durch die Punkte A (,, ), B (,, ) und C (4, 4, 4). r ra + t rb rc r A + r A

3 Name: Seite: + t t 0 + ε : r x +t + y + z t + (b) Welche der Punkte P (, 4, ) und P (9, 6, 4) liegen auf der Ebene ε? Punkte einetzen: P : 0 t t + + t + t 0 t P : 9 +t t + 0 t t 0 0 keine Löung! 0 0 Der Punkt P liegt auf der Ebene ε. (c) Betimme die Koordinatengleichung der Ebene ε. x +t + y + z t + x +t +y z t + y t x y +4 z 4 x y + z 0 y x y y (d) Betimme die Achenabchnitte der Ebene ε. Da die Achenabchnittform nicht erzeugt werden kann, gilt x A y A z A 0.D.h.dieEbene beinhaltet den Urprung!. Aufgabe Betimme den Schnittwinkel und die Gleichung der Schnittgeraden der durch die Punkte P (,, ), P (,, ), P (, 0, ) und Q (,, ), Q (,, ), Q (0,, ) definierten beiden Ebenen. Normalenvektoren betimmen: np P P P P rp r P rp r P In der Form x + y + z ind x x A y A z A, y A und z A die Achenabchnitte der Ebene. A

4 Name: Seite: 4 Ebenengleichungen: 4 9 n Q Q Q Q Q p : n p r rp 0 x +9y +z q : n Q r rq 0 x +y z 0 Schnittgerade: x +9y +z x +y z 0 x z 8 y 7z L {(x, y, z) :(z 8, 7z,z)} bzw. r 8 + t 7 0 Schnittwinkel (Winkel zwichen den Normalenvektoren): np n Q α a co n p nq a co Aufgabe Gegeben ei die Gerade g und der Punkt P (,, ). Betimme: g : r +4t 7t 7t (a) den kürzeten Abtand de Punkte P von der Geraden g und den Punkt F auf der Geraden g der von P die kürzete Entfernung beizt. Die kürzete Verbindung teht normal zur Geraden.

5 Name: Seite: F g P 0 Der Verbindungvektor PF teht enkrecht zum Richtungvektor der Geraden: PF a 0 rf r P a 0 r0 + t a r P a 0 t a a rp r 0 a t a rp r 0 a r F Und noch die Ditanz: d PF (b) die Punkte A und B auf der Geraden g, o da da Dreieck ABP gleicheitig wird. Mit der Löung der letzten Teilaufgabe finden wir für die Seitenlänge de Dreieck: h d Die beiden Punkte A und B ind nun gleich weit von F entfernt: ra r F + ea r B r F ea Aufgabe Weie nach, da die beiden Parametergleichungen: r +t 8+t t

6 Name: Seite: 6 r dieelbe Gerade dartellen. Parallele Richtungvektoren: k 6 k 4 Der Punkt (, 8, ) liegt auch auf der unteren Geraden: Aufgabe Betimme den (kürzeten) Abtand und die Fupunkte der beiden Geraden 4 t g : r +8t +t g : r Der Verbindungvektor teht normal auf beiden Geraden: Fupunkte: Ditanz: 7. Aufgabe F F r F r F F F F F t +8t +t t 4 F F t ,t d t 8t 7+4 t Hier teht die kürzete Verbindung normal zu beiden Geraden.

7 Name: Seite: 7 E eien die beiden Geraden g : x y +0 g : x + y 80 gegeben. Betimme: (a) Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden. Schnittpunkt: x x 6 y 8,y 8 Schnittwinkel (zwichen den Normalenvektoren der beiden Geraden): n, n n n α a co n a co n 0 (b) Die Gleichung der Winkelhalbierenden. Hee che Normalformen: HNF (g ) : x y HNF (g ) : x + y 8 0 Winkelhalbierende (Summe bzw. Differenz der Hee chen Normalformen): x y + ω : + x + y ω : x y + 0 x + y Aufgabe Im Punkt Q (, 0, ) ei eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Betimme die Richtung die ein Lichttrahl haben mu, um über einen Spiegel : x y + z +0 den Punkt P (,, ) anzutrahlen. 6 Die Summe zweier gleich langer Vektoren ergibt einen Vektor der die Richtung der Winkelhalbierenden zwichen den gegebenen Vektoren angibt (Achtung: E gibt zwei Löungen!). 6 Spiegle den Punkt P an der Ebene.

8 Name: Seite: 8 Q P Wir piegeln zuert den Punkt P am Spiegel: r P r P d n n Die Richtung de Lichttrahl: 4 8 QP 4 8 P' Aufgabe Betimme den Inkreimittelpunkt de Dreieck A (, ), B (, 6) und C (4, ). Hee che Normalformen der Seitengeraden: Seite a: y y B y C (x x B )+y B x B x C (x ) x 9y +40 x 9y Seite b: y y A y C x A x C (x x A )+y A 4 (x ) + 4x y 0 4x y 0

9 Name: Seite: 9 Seite c: y y A y B x A x B (x x A )+y A (x ) + x y +70 x y +7 0 Bemerkung: Negative Vorzeichen, o da der Punkt C auf der poitiven Seite der Geraden liegt. Mittelpunkt M (x M,y M )und Inkreiradiu r: x M 9y M +4 8 r 4x M y M r x M y M +7 r x M y M 4 r 7 M (4.66,.8),r.

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