1 Rund um die Kugel. a) Mathematische Beschreibung

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Joachim Fischer
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1 Rund um die Kugel a) Mathematische Beschreibung Die Punkte der Oberfläche haben vom Mittelpunkt M alle die Entfernung r. Oder, mit den Mitteln der analytischen Geometrie: Für alle Punkte der Kugeloberfläche gilt: X M = r Eine Kugeloberfläche mit Mittelpunkt M = Gleichung: (x m ) + (x m ) + (x 3 m 3 ) = r oder m m m 3 und Radius r kann also mit der (x m ) + (x m ) + (x 3 m 3 ) = r beschrieben werden. b) Lage von Geraden Diese Gleichung erinnert an die Koordinatengleichung einer Ebene. Will man die Schnittpunkte mit einer Geraden wissen, dann kann man die Geradengleichung einfach einsetzen: Beispiel: Kugel mit Radius um den Punkt M = K : (x ) + (x ) + (x 3 ) = Welche Lage haben die Geraden g : X = + µ 4 h : ( X ) = bezüglich der Kugel? + λ : und Setze g in K: (λ ) + ( ) + ( ) = 4 λ λ + + = 4 (quadratische Gleichung)

2 λ λ = λ / = ± 4 4 ( ) = ± 3 Ergibt also zwei Punkte, die Gerade und Kugel gemeinsam haben. Setze h in K: (µ ) + ( ) + (4 ) = 4 µ µ = 4 (quadratische Gleichung) µ µ + 7 = µ / = ± Da der Radikand negativ wird, ist keine Lösung möglich, die Gerade passiert die Kugel (Passante). c) Lage von Ebenen Geometrisch gesehen ergeben sich Punkte oder Kreise als Schnittmengen. Deren algebraische Beschreibung bekommt man dann ebenfalls durch Einsetzen der Parametergleichung der Ebene in die Koordinatenform der Kugel. Dies erfordert aber die Kenntnis der Parameterform kreisförmiger Linien, welche nicht zum Schulstoff gehören. d) Arbeit mit Ebenenschnitten Fürs Abitur sind daher eher noch Fragen zu Situationen in Ebenenschnitten interessant. Dabei werden nämlich abgetestet: Vorstellungsvermögen bei der Erzeugung der entsprechenden Schnittlinien, bzw. Abstände Elementare geometrische Zusammenhänge, wie der Satz des Thales oder der Satz des Pythagoras. e) Beispielaufgaben

3 Abitur Geometrie II Aufgabe Gegeben sind die Punkte A(7 5 ), B( 5 6), C( 5 ) 7 + λ und g : X = OA + λ = 5 + λ. M ist der Mittelpunkt der Strecke [AB]. K ist die Kugel mit Mittelpunkt M und r = AB. Begründen Sie, dass die Gerade g die Kugel K in den Punkten A und C schneidet. Lösung : Wenn man keine quadratische Gleichung lösen will, dann setzt man sowohl A als auch C in die Geraden- und die Kugelgleichung ein und zeigt, dass die Punkte die Kugelgleichung erfüllen und zu einem λ führen, wenn mit der Geradengleichung gleichgesetzt: ( M = A + B ) 4,5 = 3,5 r = AM = (4,5 7) + ( 5) + (3,5 ) =, ,5 = 37,5 Kugelgleichung: (x 4,5) + (x ) + (x 3 3,5) = 37,5 oder (x 4,5) + x + (x 3 3,5) = 37,5 Dass A auf der Kugel liegt, geht aus der Angabe hervor: K ist ja als die Kugel definiert, die die Punkte A und B enthält. Überprüfe C: ( 4,5) + ( 5) + ( 3,5) =, ,5 = 37,5 A und C liegen also auf der Kugel. Dass A auf der Geraden liegt, geht aus der Angabe hervor: A ist der Aufpunkt der Geraden, wird also für λ = erreicht. Überprüfe C: 3

4 5 = 7 + λ 5 + λ λ = 5 Lösung : Eleganter ist natürlich ein Schnitt der Kugel mit der Gerade. Dazu setzen wir die PaFo der Gerade in die Kugelgleichung ein: (7 + λ 4,5) + (5 + λ) + ( 3,5) = 37,5 (,5 + λ) + (5 + λ) +,5 = 37,5 6,5 + 5λ + λ λ + 4λ + 6,5 = 37,5 5λ + 5λ + 37,5 = 37,5 5λ + 5λ = 5λ(λ + 5) = λ = ;λ = 5 Lösung 3: Noch eleganter ist, dass C sich auf einem Thaleskreis über AB befinden muss, und damit im Dreieck ABC bei C ein rechter Winkel: AC BC = 5 5 = ( 5) + ( ) + ( 5) = Abitur 4 Geomertie I Aufgabe 3 Durch den Punkt B( ) verläuft parallel zur x -Achse die Gerade h. Auf der Geraden h liegen die Mittelpunkte M und M zweier Kugeln K und K. Die Kugeln haben den Radius 7; der Punkt Q( 6 5) liegt sowohl auf K als auch auf K. (a) Berechnen Sie die Koordinaten von M und M. (M sei der Mittelpunkt mit positiver x -Koordinate.) 4

5 [Zwischenergebnis: M = ;M = (b) Die beiden Kugeln schneiden sich in einem Kreis. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, in der dieser Schnittkreis liegt, sowie den Mittelpunkt und den Radius dieses Kreises. (c) Eine weitere Kugel K3 mit Mittelpunkt M hat den Radius R. Für welche Werte von R hat diese Kugel einen Schnittkreis mit K? Erläutern Sie Ihre Lösung. Lösung: ] (a) Definiere zuerst die Gerade h : X = + λ = Zur Klärung der Situation sucht man sich eine geeignete Schnittebene, in der sowohl h als auch Q enthalten sind: λ K K Q h M M F Am einfachsten lassen sich die Mittelpunkte der Kugeln durch den Schnitt der Geraden h mit einer Kugel vom Radius 7 um den Punkt Q schneiden: In K : (x ) + (x 6) + (x 3 5) = 49 wird die Geradengleichung λ 5

6 eingesetzt: ( ) + (λ 6) + ( 5) = λ λ = 49 λ λ + = λ (λ ) = Das funktioniert für λ = und λ = Daraus ergeben sich die Mittelpunkte: M = und M =, was dem Zwischenergebnis entspricht. (b) Die Ebene S ist die Symmetrieebene zwischen M und M. In ihr sind sowohl Q als auch F enthalten. Außerdem muss diese Ebene die Gerade senkrecht schneiden (Symmetrieebene!). Damit lässt sich der Geradenvektor als Normalenvektor für die Ebene definieren und z.b. Q als Aufpunkt in der Koordinatengleichung zur Bestimmung von c verwenden: S : x + x + x 3 c = und Q einsetzen: S : 6 c = c = 6 führt zur Ebenengleichung: S : x 6 = Der Mittelpunkt F ergibt sich aus dem Mittel zwischen M und M als ( ) F = M + M = 6 Der Radius des Kreises wiederum folgt aus dem Abstand von F und Q: r = Q F = ( ) + (6 6) + (5 ) = 3 6

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