7.6. Prüfungsaufgaben zu Normalenformen

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1 7.6. Prüfungsaufgaben zu Normalenformen Aufgabe () Gegeben sind die Gerade g: x a + r u mit r R und die Ebene E: ( x p ) n. a) Welche geometrische Bedeutung haben die Vektoren a und u bzw. p und n? Veranschaulichen Sie ihre Antwort mithilfe einer Skizze. b) Welche Beziehungen müssen für die obigen Vektoren gelten, damit i) g parallel zu E ist bzw. ii) g senkrecht zu E verläuft? a) a Stützvektor, u Richtungsvektor, p Stützvektor, n Normalenvektor () Skizze () b) g parallel zu E n * u bzw. g senkrecht zu E n t u mit t R. () Aufgabe () Gegeben ist die Gerade g: x a + r u mit r R. Geben Sie einen Richtungsvektor u an, so dass die Gerade g a) parallel zur x -Achse () b) parallel zur x -x -Ebene () c) orthogonal zur Ebene E: x + x () d) parallel zur Ebene E: x + x () ist und begründen Sie kurz ihre Wahl a) u (klar) b) u (parallel zur x -Achse) c) u (Normalenvektor von E) d) u orthogonal zum Normalenvektor, da * Aufgabe () a) Zeigen Sie, dass die Gerade g: x + r mit r R parallel zur Ebene E: x + x + x ist. b) Geben Sie die Gleichung der Ebene F an, die orthogonal zur Ebene E verläuft und die Gerade g enthält a) Der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor von E sind orthogonal, da * () b) F: ( x p ) n mit Stützvektor p und Normalenvektor n orthogonal zu und zu, z.b. n F: x x ()

2 Aufgabe a () Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene, die den Punkt A( ) und die Gerade g: x mit t R enthält. E: x + x x 6 Question b () a) Find the common points of E : x + s + t and E : x + s + t using the GDC. () b) Find the coordinate equations of E and E. () c) Find the coordinate equations of E and E using the coordinate equations. This time work out every single step of the calculation by hand. () d) Show that the results from a) and c) are identical. () Question b () a) E E results in the system of linear equations with the solutions E E : x + τ with s + τ, t τ and s + τ, t τ () b) E : 6x 6y x + y and E : 6x 9y + z x + y z. () c) With parameter t x R we obtain y t and z t + ( t) t E E : x. () d) With t τ + τ t this line is identical to the result from a) () Aufgabe () Spiegeln Sie den Punkt A( ) an der Ebene E: x x 7. Lotfußpunkt L( ) und Spiegelpunkt A ( 6) Aufgabe 6 () Gegeben sind die Ebenen E : x + x + x und E : x. Stellen Sie die beiden Ebenen E und E in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Zeichnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen ein. Geben Sie die Gleichung dieser Schnittgeraden an. E E : x Aufgabe 7 () Eine Parameterform der Ebenegleichung ist g: x + r mit r, s R. () Ein Normalenvektor ist n 8 oder gekürzt n () Durch Einsetzen des Stützvektors erhält man die Koordinatenform x + x x 6 ()

3 Aufgabe 8 () Gegeben sind eine Ebene E und ein Punkt P, der nicht in E liegt. P wird an E gespiegelt. Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Bildpunkt P zu bestimmen. Fertigen Sie dazu eine Skizze an.. Man bestimmt die Lotgerade h durch P zur Eben E. Ihr Richtungsvektor ist ein Normalenvektor von E. Ihr Stützvektor ist der Ortsvektor von P. h: x OP + t n. Man berechnet den Schnittpunkt S h E z.b. durch Einsetzen von h in die Koordinatenform von E.. Den Ortsvektor des Bildpunktes P erhält man durch Verdoppeln des in b) berechneten Parameters: OP' OP + PS Aufgabe 9 (7) Die Punkte A( ), B( ) und C( ) legen eine Ebene E fest. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Beschreiben Sie die besondere Lage von E und stellen Sie E in einem Koordinatensystem dar. (Teilergebnis: E: x + x )( VP) b) Spiegelt man E an der x x -Ebene, so erhält man die Ebene F. Bestimmen Sie eine Gleichung von F. Stellen Sie F im vorhandenen Koordinatensystem dar. Die Ebene E kann auch durch eine Drehung um die x -Achse auf die Ebene F abgebildet werden. Bestimmen Sie einen möglichen Drehwinkel. ( VP) a) Parametergleichung E: x mit Normalenvektor n () E: x x x + x verläuft parallel zur x -Achse durch A( ) () Skizze () b) F: x + x () Skizze () Drehwinkel α tan ( ), () Aufgabe () Ein rechteckiger Spiegel ist um eine Achse drehbar. In der Ausgangslage befinden sich die Eckpunkte des Spiegels in A( ), B( ), C( ) und D( ). Die Drehachse verläuft durch die Punkte P( ) und Q( ). Weiterhin ist für jedes t R eine Ebene E t durch die Gleichung E t : x + tx t gegeben. a) Zeichnen Sie den Spiegel und die Strecke PQ in ein Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass der Spiegel in der Ausgangslage in der Ebene E liegt. Zeichnen Sie die Ebene E ein. Der Spiegel dreht sich nun so, dass er in der Ebene E liegt. Um welchen Winkel hat er sich dabei gedreht? () b) Zeigen Sie, dass jede Ebene E t eine mögliche Lage des Spiegels darstellt. Beschreiben Sie, wie sich die Lage von E für t verändert. Welche Stellung des Spiegels wird durch keine Ebene E t dargestellt? Im Punkt L(6 8 ) befindet sich eine Lichtquelle, welche einen Lichtstrahl mit der Richtung aussendet. Zeigen Sie, dass der Lichtstrahl den Spiegel unabhängig von dessen Stellung immer im gleichen Punkt trifft, sofern der Spiegel nicht parallel zum Lichtstrahl ist (7)

4 a) Zeichnung () Der Spiegel liegt in E : x + x, weil: A E wegen +, b E wegen +, C E E wegen + und D E wegen + () Normalenvektoren für E und E sind z.b. n und n Der Winkel zwischen E und E ist damit α cos ( ) cos ( ) 6,6 () () b) Die Punkte P und Q und damit die Drehachse sind in jeder Ebene E t enthalten, denn P E t wegen t t und Q E t wegen t t. Jede Ebene E t enthält also eine mögliche Lage des Spiegels. () Alle Ebenen E t enthalten die senkrechte Achse PQ. Für t wandert der Schnittpunkt S t (t ) auf der x -Achse immer weiter nach vorn, so dass sich die Ebene einer zur x -x -Eben parallelen Lage annähert. () Die zur x -x -Eben parallele Endlage x wird durch keine Ebene E t dargestellt, da t. () 6 Lichtstrahl g: x 8 mit s >. g E (6 s) + t(8 s) t ( t)s 6 6t s, falls t. Der Lichtstrahl trifft E t unabhängig von t im Punkt T( ), falls t. () Im Fall t hat die Ebene E : x x den Normalenvektor n senkrecht zum Richtungsvektor Lichtstrahls, d.h. g E. () Aufgabe () In einem kartesischen Koordinatensystem ist das Viereck ABCD mit A( ), B( 6 ), C( 8 ) und D( 6 ) gegeben. Der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks wird mit M bezeichnet. a) Begründe, dass die Gerade AB parallel zur x x -Ebene verläuft. () b) Weise nach, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist und bestimme die Koordinaten von M. () c) Bestimme die Gleichung der Ebene E, in der das Rechteck ABCD liegt. Kontrollergebnis: E: x x + x. () Solarmodule werden auf einem Gestell montiert, das an einem vertikal stehenden Metallrohr befestigt ist. Die gesamte Fläche der Solarmodule wird zu einem bestimmten Zeitpunkt modellhaft durch das Rechteck ABCD dargestellt. Das Metallrohr lässt sich im Modell durch eine Strecke beschreiben, der Befestigungspunkt am Gestell durch den Punkt M. (siehe Abbildung). Im Koordinatensystem beschreibt die x x -Ebene die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht,8 m in der Wirklichkeit. d) Im Sinne eines möglichst großen Energieertrags sollte der Neigungswinkel φ der Modulfläche gegenüber der Horizontalen zwischen und 6 liegen. Prüfe, ob diese Bedingung erfüllt ist. (). e) Zum betrachteten Zeitpunkt fällt das Sonnenlicht, welches im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, senkrecht auf die Fläche der Solarmodule. Diese Fläche erzeugt auf dem horizontalen Untergrund einen rechteckigen Schatten. Begründe unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze, dass der Flächeninhalt des Schattens durch den Term AD AB cos(,8 m berechnet werden kann. () Um die Solarmodule während eines Tages ständig nach der Sonnenstrahlung ausrichten zu können, lässt sich das Metallrohr mit dem Trägergestell um die Längsachse im Raum drehen. Die Neigung des Trägergestells zur Horizontalen bleibt dabei unverändert. f) Berechne den Radius des Kreises, auf dem sich der Punkt A bei der Drehung des Metallrohres bewegt. () g) Begründe ohne Rechnung, dass der in f) ermittelte Radius entsprechend auch für den unteren rechten Eckpunkt B der Modulfläche gilt. () A B D M C des

5 a) Die x -Koordinaten der Punkte A und B stimmen überein. () b) Wegen AB DC 6 sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. () Wegen AB AD ist DAB 9 und das Parallelogramm ABCD ist rechtwinklig. () Wegen OM OA + AC ist M( ) () c) Durch Einsetzen der Koordinaten der drei Punkte A, B und C in die Koordinatenform ax + bx + cx d erhält man die drei Gleichungen (I) c d (II) a + 6b + c d (III) a + 8b + c d () Aus (I) erhält man c d. Aus (II) (III) ergibt sich b d. Einsetzen in (II) führt zu a d. Mit z.b. d erhält man E: x x + x. () d) Mit den Normalenvektoren n und m erhält man den Neigungswinkel φ cos n m n m,. () Die Bedingung ist also erfüllt. () e) Da die Gerade AB parallel zur x x -Ebene verläuft, ist AB die Breite des rechteckigen Schattens. () Seine Länge ist FG AB cos(φ) () Durch den Faktor (,8 m) wird der Maßstab für Länge und Breite berücksichtigt. () f) Die Ecken A und B bewegen sich auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt M eine Einheit oberhalb der x x -Ebene senkrecht unter dem Befestigungspunkt M( ) liegt. M hat also die Koordinaten M ( ). () Der gesuchte Radius ist also r,8 LA,8,8,6 m () g) A du B haben den gleichen Abstand zum Befestigungspunkt M auf der Drehachse und liegen in eine Ebene senkrecht zu dieser Drehachse. Daher müssen sie den gleichen Abstand zur Drehachse haben. ()

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