Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen

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Elmar Schuster
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1 Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen von Richard Mohr. Auflage Hanser München 0 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DI FACHBUCHHANDLUNG

2 Leseprobe Richard Mohr Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen ISBN: Weitere Informationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel. Carl Hanser Verlag, München

3 40 7Analytische Geometrie Grundsätzliches zur Beziehung zwischen Vektorraum und Punktraum. Vektorraum: Menge der Vektoren, Pfeilklassen im Raum; Pfeilekönnen beliebig parallel verschoben werden. Punktraum: Menge der Punkte im Raum Punktraum und Vektorraum können wie folgt miteinander identifiziert werden: Denken wir uns im Punktraum ein kartesisches Koordinatensystem vorgegeben und hängen im Koordinatenursprung sämtliche Vektoren (Pfeile) des Vektorraums an, so weist zu jedem Punkt P des Raumes genau ein Vektor. Wir nennen diesen Vektor p Ortsvektor des Punktes P.Inden folgenden geometrischen Aufgabenstellungen wird nicht mehr zwischen Punkt und Ortsvektor unterschieden. 7. Darstellung von Gerade und bene im Raum Gerade Parameterform: g g + λ, (λ R) Punkt + Richtung x Durchläuft der Parameter λ alle reellen Zahlen, so durchläuft allepunkte der Gerade. x x bene Parameterform: + λ + μ v, (λ, μ R) v Punkt + zwei Richtungen Durchlaufen die Parameter λ, μ alle reellen Zahlen, so durchläuft alle Punkte der bene. x x x

4 7. Grundaufgaben 4 Koordinatenform: ine bene lässt sich auch durch eine lineare Gleichung in x, x, x beschreiben. Mit v ergibt sich der Normalenvektor. v d ( konstant) x bzw. x x x n n n n x + n x + n x d x x ine Gerade lässt sich als Schnitt zweier benen interpretieren. Daher sind zu deren Beschreibung zwei lineare Gleichungen in x, x, x notwendig. 7. Grundaufgaben Schnitt bene Gerade g + λ n x + n x + n x d Die Parameterdarstellung der Geraden in die benengleichung eingesetzt, ergibt eine lineare Gleichung für den Parameter λ. Ist die bene ebenfalls in Parameterform gegeben, sobestimmt man zunächst die zugehörige lineare Gleichung und verfährt weiter nach obigem Schema. Schnittwinkel: sin(α) Beispiel: x x + x ; g (+λ) ( λ)+(+λ) λ S + λ s x x x 4; 6, ; sin α α S g x + λ x λ x +λ 4 6 α,...

5 4 7 Analytische Geometrie Schnitt zweier benen Die benen, seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eine einparametrische Lösung, d. h. die Parameterdarstellung der Schnittgeraden. Schnittwinkel zweier benen Der Schnittwinkel zwischen zwei benen ist derselbe wie der Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren und. ϕ n ϕ ϕ cos(ϕ) Schnitt zweier Geraden Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt, wenn sie in einer bene liegen und nicht parallel sind. Das Gleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen (Parameterverschieden bezeichnen!) ergibt ein linearesgleichungssystem fürdie beiden Parameter; die Lösbarkeit des LGS entscheidet über xistenz eines Schnittpunkts. Der Schnittwinkel der Geraden ergibt sich aus dem Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren. Schnitt dreier benen Die drei benen werden durch drei lineare Gleichungen repräsentiert. Die Suche nach einem Schnittpunkt läuft auf die Diskussion dieses Gleichungssystems hinaus. eindeutige Lösung: benen inallgemeiner Lage haben einen Schnittpunkt einparametrische Lösung: Bündel von drei benen um eine Gerade keine Lösung: eine bene ist parallel zur Schnittgeraden der beiden anderen benen oder alle drei benen sind parallel. Beispiel: x + x + x x +x x 6 x +x 4 benenbündel um die Schnittgerade g x t x 8+x 8+t x x x 0 t t...

6 7. Grundaufgaben 4 Abstand Punkt bene; Lotfußpunkt Wir konstruieren die Gerade durch den Punkt mit dem Richtungsvektor n (Normalenvektor der bene) p und schneiden diese mit der bene. Auf diese Weise erhält man den Lotfußpunkt L. Der Abstand Punkt-Lotfußpunkt ergibt auch den Abstand Punkt bene. Führt der Vektor zu einem Punkt der bene, so gilt für den x Abstand d : d ( p ) x x l p P L g Beispiel: x + x + x ; Punkt P ( 5 ). g 5 + λ x + λ x 5 + λ x + λ (+λ) + (5+λ) + (+λ) λ Lotfußpunkt: l Verbindungsvektor: Abstand: 5 LP d LP eingesetzt in Abstand Punkt Gerade Wir konstruieren eine bene durch den Punkt P mit dem Normalenvektor und schneiden diese mit der Geraden. Aufdiese Weise erhält man den Lotfußpunkt L. Der Abstand Punkt Lotfußpunkt ergibt auch den Abstand Punkt Gerade. x P p x x d l L g

7 44 7 Analytische Geometrie Beispiel: P ( ) g + λ x + λ x λ x + λ x x + x ( )+; eingesetzt: ( + λ) ( λ)+(+λ)5 λ l + LP 4 4 d LP 4 Abstand zweier windschiefer Geraden Die Messrichtung für den senkrechten Abstand zwischen g und g ist.die Projektion eines beliebigen Verbindungsvektors auf diese Richtung ergibt den Abstand d. d ( ) ( ) Bestimmen wir zwei benen, mit dem Normalenvektor, die die Geraden g bzw. g enthalten, so ist d der Abstand zwischen diesen parallelen benen. Beispiel: g x 5 x + λ ( ) ( u ) g g d x ; g 5 x ; 4 x x x + λ e e e ; 4 ; 6 d 6 Weitere Abstände Der Abstand zweier paralleler Geraden g und g ist gleich dem Abstand eines Punktes der einen Geraden von der anderen Geraden. Der Abstand zweier paralleler benen und ist gleich dem Abstand eines Punktes der einen bene von der anderen bene. Der Abstand einer Geraden zu einer zu ihr parallelen bene ist gleich dem Abstand eines Punktes der Geraden von der bene.

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