Mathematik LK 12 M1, 2. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung

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1 Mathematik LK M,. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung..7 Aufgabe : Rechnen mit Vektoren Berechne... und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich. Falls der Term keinen gültigen Ausdruck darstellt, schreibe ungültig = = 5+4 = = 5 56 = = 5 = =ungültig Kreuzprodukt nur für Vektoren im R definiert..4...den Winkel zwischen 4 cosϕ= = 5 und ϕ=arccos,497=,497=6, = 6 69 = 6 =, den Gegenvektor zum Einheitsvektor von v = 4 = = = Seite von

2 Mathematik LK M,. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung den Flächeninhalt des von 4 5 und aufgespannten Parallelogramms. A= 4 5 = 5 56 = 5F.E. 57,49 F.E.7...das Volumen des von 4 5 und und und aufgespannten Spats. V = 4 5 = 5 56 Aufgabe : Lineare Abhängigkeit / - Unabhängigkeit = = 5+56=9 V. E.. Entscheide mit Hilfe einer Rechnung, ob der Satz von Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig ist. Der Begriff der linearen Abhängigkeit ergibt nur innerhalb eines Vektorraumes einen Sinn. Vektoren haben unterschiedliche Dimensionen... und 4..5, 4 und Ist linear unabhängig, wenn die Gleichung a +b +c 4 = nur die triviale Lösung a=b=c= hat. I. a b+4 c= II. a+ b+c= III. a+b c= I. a 4 b+ c= I. II. II. a+ b+c= II. III. III. a+6 b c= Ia. 5 b+5 c= Ia. IIa. IIa. 5 b+5 c= = linear abhängig Seite von

3 Mathematik LK M,. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung..7. Erkläre, warum ein Satz von n+ Vektoren aus dem R n immer linear abhängig ist. Ein Satz von n+ Vektoren aus dem R n führt zu einem LGS mit n Gleichungen und n+ Unbekannten. Ein solches LGS hat unendlich viele Lösungen. Die Bedingung für lineare Unabhängigkeit ist, dass es nur eine einzige Lösung gibt alle Unbekannten gleich. Also ist der Satz von n+ Vektoren linear abhängig. Aufgabe : Gegeben sind die folgenden Geraden und Ebenen: g : x= +t 4, g : x= 5 +t 4, E : x= +r 6 4. Wandle die Ebene E in alle bekannten Ebenenformen um. Von der Parameterform in die Koordinatenform E : x= I. x =+6 r s I+III II. x =+4 r III. x = 4 r+ s Ia. x +x =4 + r Ia II II. x =+4r E : x x +x = +r s 4 +s, E : x x + x =5 Normalenform: Normalenvektor n=, Stützvektor von Parameterform übernommen E :[ x ] = Hesse'sche Normalenform: Normaleneinheitsvektor E :[ x ] / / = / n = n n = + + = 9 = / / /.4 Untersuche, ob die Geraden g und g parallel oder windschief oder identisch sind oder sich schneiden. Berechne ggf. den Schnittpunkt. + s 4 = 5 +t 4 t 4 s 4 t 4 = 4 Seite von

4 Mathematik LK M,. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung..7 I. s 4t=4 I III II. s = s= III. 4 s t= Das LGS hat keine Lösung, also schneiden sich die Geraden nicht. Prüfe Richtungsvektoren auf Parallelität. Ia. 6 s= s= 4 =t 4 t=,5 t=? nicht parallel t= Die Geraden sind windschief..5 Untersuche, ob sich die Geraden g und die Ebene E schneiden. Berechne ggf. den Schnittpunkt. +t 4 = +r 6 4 t 4 r s 4 +s = t r s 4 r s = I. t 6 r +s= I +III II. t 4 r = III. 4 t+4r s= Ia. t r= II. t 4r= Ia II Setze t=,5 in II ein: 4r= 4r= r= Setze t=,5 und r=,5 in I ein: t= t= 6 +s= +s= s= 4 Eigentlich genügt es, t auszurechnen. Setze t= in die Geradengleichung ein: x S= + 4 =,5.6 Untersuche, ob sich die Ebene E und die Ebene E schneiden. Berechne ggf. die Schnittgerade und den Schnittwinkel. E : x= +r s x =+6 r s x =+4 r, E : x x + x =5 x = 4r+ s Seite 4 von

5 Mathematik LK M,. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung..7 Setze Koordianten aus E in E ein: +6r s +4r+ 4 r+s=5 4+r s 6 r r+6 s=5 r+4 s=5 r+4 s=7 4 s=7+r s= 7 4 +r Setze s= 7 4 +r in E ein: x= +r r = +r /4 +r = 7/4 7/ 4 +7/ +r Schnittgerade: x= /4 7/ +r 4 4 Schnittwinkel ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen. n = siehe.; n = aus Koordiantengleichung. cosϕ= n n n n = =,9 ϕ=7, Berechne den Abstand des Koordinatenursprungs von der Ebene E. Führe die Rechnung zweimal durch und benutze beide bekannte Verfahren. Lotfußpunktverfahren: Die Lotgerade geht durch und steht senkrecht auf der Ebene. Wähle also den Normalenvektor von E als Richtungsvektor der Lotgeraden. n= siehe.. Damit g L : x= +t Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt von Lotgerade und Ebene. +t = +r s t r s = I. t 6 r +s= I +III II. t 4 r = III. t+4 r s= 9t= t= 9 Ia. 5 t r= II. t 4 r= Ia II Setze t= 9 in Geradengleichung ein: Seite 5 von

6 Mathematik LK M,. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung..7 x L= 9 = 4/9 4/9 /9 Der gesuchte Abstand ist der Abstand vom Koordinatenursprung zu x L. d= x L = x L = = = 6 = 6 9 = Mit der Hesse'schen Normalenform: d= [ ] / / = / / / / = + = =. Bestimme einen Punkt im R, der zu beiden Ebenen den Abstand d= hat. Betrachte die beiden Ebenen in Sichtrichtung der Schnittgeraden: Die schwarzen Linien stellen die beiden Ebenen dar. Der Schnittpunkt der schwarzen Linien ist die Draufsicht auf die jeweilige Schnittgerade. Die roten Linien sind Ebenen mit dem Abstand parallel zu den jeweiligen Ebenen. Die runden Punkte sind Draufsichten auf die Schnittgeraden zwischen den rot markierten Ebenen. Jeder Punkt auf einer dieser Geraden ist eine Lösung der Aufgabe. Es ist also egal, welche beiden Ebenen geschnitten werden. Eine Ebene mit dem Abstand d= zur Ebene E konstruiert man z.b. durch die Verschiebung des Punktes des Stützvektors um die Längeneinheit in Richtung des Normalenvektors. E : x= +r s Normaleneinheitsvektor: n = / / / Seite 6 von

7 Mathematik LK M,. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung..7 Verschiebung: x = + / / = / 7/ / / Der Parameter hat den Betrag, weil wir den Einheitsvektor benutzen Also E : x= / 7/ / +r s E :x x + x =5 Normaleneinheitsvektor: n = + + = 7 = 7 Punkt x auf E als Stützvektor : x + =5 x =4 x = Also E :[ x ] 7 = Verschiebe Punkt: x = + 7 4/ 7 Damit E :[ x / 7 / 7 ] = Jetzt noch Schnittgerade bestimmen: / 7 / 7 = 4/ 7 E : x= / 7/ / +r s x =/+6r s x =7/+4 r x =/ 4r + s Setze Koordianten aus E in E ein: [ /+6 r s 7 /+4 r / 4 r+ s 4 / 7 / 7 / 7 ] = +6r s r r+s 7 = 6 +r s r r+6 s 7 = r+4 s= s=,9+r s,5+ r Seite 7 von

8 Mathematik LK M,. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung..7 Setze s,5+ r in E ein: g : x= / 7/ / +r ,5+r = / 7/ / +r ,5 +r,559 4 g : x=,47 7/,49 +r 4 4 Jeder Punkt auf dieser Geraden ist eine Lösung der Aufgabe. Wähle z.b. den Stützvektor: Der Punkt,47,,49 hat sowohl zur Ebene E als auch zur Ebene E den Abstand d=. Aufgabe 4: Der Eingang des berühmten Pariser Kunst-Museums "Louvre" wird durch eine m hohe, regemäßige Glas-Pyramide mit quadratischer Grundfläche gebildet. Diese Pyramide wird in einem dreidimensionalen rechtwinkligen Koordinatensystem L.E. = m mit der Bodenfläche als x -x -Ebene betrachtet. In diesem Koordinatensystem haben die vier Eckpunkte auf dem Boden die folgenden Koordinaten: A ; B5 ;C 5 5 ; D 5 4. Zeige, dass die Spitze S die Koordinaten 7,5 7,5 hat. Bei einer regelmäßigen Pyramide liegt die Spitze über dem Schnittpunkt des Diagonalen. Dieser Schnittpunkt teilt die Diagonalen in der Mitte. Ortsvektor Schnittpunkt Diagonale: m= a+ AC= a+ c a= 5 ]= 7,5 7,5 + [ 5 Die Grundfläche des Pyramide liegt in der x -x -Ebene und die Spitze liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt. Die Spitze muss also die gleichen x - und x -Koordinaten wie der Schnittpunkt haben und die Länge des Verbindungsvektors muss die Länge haben. s m = 7,5 7,5 7,5 7,5 x = x = + +x = x = Also s= 7,5 7,5 q.e.d. Seite von

9 Mathematik LK M,. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung Bestimme den Winkel, den die Seitenflächen der Pyramide jeweils mit dem Fußboden bilden. Kontrolllösung: α 5,5 Weil die Pyramide regelmäßig ist, ist der Winkel für alle Seitenflächen gleich. O.B.d.A. betrachren wir die Seitenfläche S in der Ebene E S, welche durch die Punkte A, B, S definiert ist. E S : x= a+r s a+s s b= Normalenvektor von E S : n S = s a s b = 7,5 7,5 +r 7,5 7,5 +s 7,5 5 7,5 = +r 7,5 7,5 +s 7,5 7,5 77 6,5 7,5 7,5 = Normalenvektor der Grundflächenebene: n G= Winkel zwischen den Normalenvektoren ist gleich dem gesuchten Winkel zwischen den Flächen: cosϕ= n n S G n S n G = 6,5,65 ϕ=5, Am Tage fällt bei schönem Wetter paralleles Sonnenlicht auf die Pyramide. Zum einem bestimmten Zeitpunkt t ist r der Richtungsvektor des Sonnenlichts. Berechne die Koordinaten des Schattenpunktes P der Pyramidenspitze auf dem Boden. r= 5 Geradengleichung für Sonnenstrahl, welcher die Spitze berührt: g S : x= s+t r= 7,5 7,5 +t 5 Der Schattenpunkt P ist der Schnittpunkt von Gerade und Bodenflächenebene, also der x -x - Ebene. 7,5 7,5 +t 5 =r +s t 5 r s = 7,5 7,5 I. 5t r = 7,5 II. t s= 7,5 III. t = t= 4 Der Schattenpunkt hat die Koordinaten Setze t= 4 p= 7,5 7,5,75. in die Geradengleichung ein: 4 5 =,75 Seite 9 von

10 Mathematik LK M,. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung Die kleine Pyramide vor der Hauptpyramide ist m hoch eine exakte, verkleinerte Version der großen Pyramide. Die Grundseiten der kleinen Pyramide sind jeweils parallel zu den Grundseiten der großen Pyramide. Zum Zeitpunkt t berührt ein Lichtstrahl gleichzeitig die Spitzen beider Pyramiden. Berechne die Koordinaten eines Eckpunkts am Boden der kleinen Pyramide. Das Ergebnis entsprechen nicht den realen Gegebenheiten. Die Senkrechten über den Grundflächendiagonalenschnittpunkten der beiden Pyramiden sowie die Verbindungslinien von der Spitze und dem Grundflächendiagonalenschnittpunkt der großen Pyramide jeweils zum Schattenpunkt ergeben eine Strahlensatzfigur. Länge Verbindungsvektor von S zu P. l= p s =,75 7,5 7,5 =54,5 Es gilt: SM SP = S K P S K M K Das ist der Sinus des Winkels an P. 54,5 = S K P S K P = 54,5 =9,7 S K liegt auf der Geraden t g S : x= p+ s p Normierung des Richtungsvektors. 54,5 s K = p+ 9,7 54,5 s p=,75 + [ 7,5 7,5,75 ]=,75 Der Verbindungsvektor von S zu A ist s a= 7,5 7,5. Weil die kleine Pyramiden eine exakte, verkleinerte Version der großen Pyramide ist, muss gelten: s K a K = 7,5 7,5.,75 a = K 7,5 7,5 a = k 7,5 7,5 +,75 = 5, 6,6 Der Punkt 5, 6,6 ist ein Eckpunkt der kleinen Pyramide. Seite von