Normalenformen. 1 Normalengleichung einer Geraden im IR 2. Bekannt als parameterfreie Form aus Kapitel IV.4.5 jetzt genauer unter die Lupe genommen!

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Stefanie Siegel
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1 VII Normalenformen Bekannt als parameterfreie Form aus Kapitel IV.4.5 jetzt genauer unter die Lupe genommen! 1 Normalengleichung einer Geraden im IR Definition der Normalengleichung der Geraden geht nur im IR g r r n Parameterform: Für die Ortsvektoren x aller Punkte auf g gilt: Normalengleichung: x = a + λr a x X Für die Ortsvektoren x aller Punkte auf g gilt: x a n, also ( x a) o n = (vektorielle Schreibweise) Beispiel 3 Normalform der Geraden g: x r = + k 1 Allgemein gilt: x1 a1 n1 (x a) o n = = x a n o. Damit lässt sich die Gerade auch in der Form schreiben x1n1+xn+ a1n1+an = x1n1+xn+ n = (Koordinatenschreibweise) Beispiel x + 3 y 1 = heißt jetzt x1 + 3 x 1 =. Es ist n1 =, n = 3, d.h. n r =. a ist nicht mehr zu 3 ermitteln. Man kann jedoch einen beliebigen Punkt A g ermitteln, z.b. A ( -1) und einen Richtungsvektor, der auf n r 3 senkrecht steht, z.b. r = und kann so eine Punkt-Richtungs-Form 3 der Geraden angeben: x r = + k 1 51

2 Anwendung 1. Tangente an den Kreis durch einen Punkt auf dem Kreis Sei P K(M,r). Dann gilt für die Tangente an den Kreis ( p m) o (x p) = Beispiel: Bestimme die Gleichung der Tangente an den Kreis um ( ) durch(4 ) x1 4 = o x =>... => x1 + x = 6. Tangente an den Kreis durch einen Punkt außerhalb des Kreises Hier stößt man zunächst auf die Gleichung ( p m) o (q p) =, bei der p blöderweise quadratisch auftritt. Da bekanntermaßen zusätzlich gilt: ( p m)² = r², erhält man durch Addition zur ersten Gleichung unter Verwendung des Distributivgesetzes ( p m) o (q m) = r² Man erhält daraus eine Gleichung für p1 in Abhängigkeit von p. Da P (p1 p) auf dem Kreis liegt, kann man durch Einsetzen dieser Abhängigkeit die Koordinaten bestimmen ( Lösungen). Wie unter 1 beschrieben, erhält man daraus die Gleichung der Tangente. Beispiel: Bestimme die Gleichung der Tangente an den Kreis um ( ) mit Radius durch(4 ). p1 = 4 p o => p1 + p = => p1 = 4 p (p1 )² + (p )² = 4 ( p 4)² + (p )² = 4 (p = und somit p1 = 4) oder (p = 4 und somit p1 = ) z.b. erster Fall: x1 4 o = x x = 4(Parallele zur x Achse)

3 Die Hesse-Normalenform der Geradengleichung 53

4 3 Normalengleichung und Hesse-Normalenform einer Ebene im IR 3 Analog zu den obigen Betrachtungen lässt sich im IR 3 eine Ebene durch seine Normalengleichung festlegen: n ( x a) o n = (vektorielle Schreibweise) x a x1n1+xn+x3n3 +n = (Koordinatenschreibweise) a Normiert man den Normalenvektor n r und fordert r n o a r > so erhält man: (x a) o n = (Hesse-Normal-Form (HNF)) r r r ( p a) o n = d (Abstand Punkt-Ebene) d (P, E) > O und P in unterschiedlichen Halbräumen bzgl. E d (P,E) = P liegt auf E d (P, E) < O und P im gleichen Halbraum Übungen... 54

5 4 Weitere Betrachtungen zu Winkeln 4.1 Schnittwinkel im IR³ Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden: r 1 r cos ϕ = r1 o r r r 1 Schnittwinkel zweier sich schneidender Ebenen: Der Winkel zwischen den beiden Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren auf die Ebenen! cos ϕ = n1 o n n n 1 Schnittwinkel zweier sich schneidender Ebenen: Winkel zwischen Ebene und Gerade = 9 - Winkel zwischen Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade φ φ cos ϕ ʹ = n o r, ϕ = 9 ϕʹ nr oder einfacher wg. cos (9 - φ) = sin φ sin ϕ = n o r nr 55

6 5 Winkelhalbierende Gerade bzw. Ebene w g1 w1 g Vorgehen für Geraden: - Addiere die normierten 1 Richtungsvektoren der Geraden 1 und und erhalte einen Richtungsvektor der winkelhalbierenden Gerade w1. - Subtrahiere die normierten Richtungsvektoren der Geraden 1 und und erhalte einen Richtungsvektor der winkelhalbierenden Gerade w. - Bestimme einen Schnittpunkt von g1 und g. - Gib die Geradengleichungen von w1 und w an. Einfacheres Verfahren für Ebenen: Für die Punkte der Winkelhalbierenden ist der Betrag des Abstands von beiden Ebenen gleich. Eine Abstandsform ergibt sich aus der HNF der Ebene. Für P gilt: d (P, E1) >, d (P, E) >, also d (P, E1) = d (P, E) Für Q gilt: d (Q, E1) <, d (Q, E) >, also d (Q, E1) = -d (Q, E) W1 P E1 Q W E (Zur Erinnerung: d (P, E) > O und P in unterschiedlichen Halbräumen bzgl. E d (P,E) = P liegt auf E d (P, E) < O und P im gleichen Halbraum) Beispiel (Abitur 1984): E1: 5x1 x3 5 = ; E: -x1 + 5x3 19 = Ermittlung der HNF: 1 1 E1: (5x1 x3 5) = E: (-x1 + 5x3 19) = 6 6 Gleichsetzen der Abstände: a) d(p, E1) = d (P, E) 1 1 (5x1 x3 5) = (-x1 + 5x3 19) 6 6 <=> 6x1 6x3 6 = <=> x1 x3 = 1 b) d(q, E1) = -d (Q, E) 1 1 (5x1 x3 5) = (-x1 + 5x3 19) 6 6 <=> 4 x1 + 4x 44 = <=> x1 + x 11 = (FS S. 88 gemeinsam anschauen!) 1 Es ist ausreichend, wenn die Vektoren gleich lang sind. Die Normierung stellt hierfür ein einfaches Verfahren dar. 56

7 6 Weitere Abstandsprobleme im IR³ Bisher: Abstand Punkt Ebene mit Hilfe der HNF a Abstand von Gerade und Ebene v Geg.: E : n (x r a) r r r r o = ; g: x = b + k r r r r Einen Abstand gibt es nur, wenn Ebene und Gerade parallel sind (d.h. n, o n = ) Vorgehen: - Zeige Parallelität - Wähle einen beliebigen Punkt der Gerade - Bestimme mit der HNF der Ebene den Abstand dieses Punktes von der Ebene. b Geg: g: Abstand von Punkt und Gerade r r r x = b + k, P Vorgehen: - Bestimme die Normalenform einer Ebene durch P, die senkrecht auf g steht (einfach, da der Normalenvektor r r bekannt ist.) - Bestimme den Schnittpunkt S von Gerade und Ebene. - Der Abstand von P und S ist der gesuchte Abstand. Beispiel (in Anlehnung an gk Bayern, Abitur 87/III) 3 1 g: x r = + k, P( -4 1) 5 4 E: -x1 + x + 4x3 + c = Durch Einsetzen von P ergibt sich c = 4 E: -x1 + x + 4x3 + 4 = Einsetzen der Gerade: -3 + k + 4k k + 4 = => k = - 1 => (in g einsetzen) S (4-1) d (g, P)= ( 4 )² + ( ( 4))² + (1 1)² = c Abstand parallele Geraden Vorgehen: - Prüfe Kollinearität der Richtungsvektoren - Wähle einen beliebigen Punkt auf einer der Geraden. - Verfahre weiter wie bei b. 57

8 d Abstand windschiefer Geraden r r r r r r Geg: g: x = a + k, h: x = b + k s, Zwei windschiefe Geraden haben genau eine gemeinsame Lotgerade. Der Abstand der Schnittpunkte der Geraden ist der Abstand der Geraden. Vorgehen: - Ermittle einen Normalenvektor zu r r und s r. - Gib unter Verwendung des Normalenvektors eine Ebene E an, die g enthält. - Ermittle den Abstand der Geraden h von der Ebene E wie bei a. Beispiel: A (1 3), B(5-1), C( 3-1), D(6 7 1) Bestimme den Abstand der Geraden AB von CD. Ergebnis: 3 58

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