Sj 2017/18, Mathe K1 Graf-Zeppelin-Gymnasium Seite 1

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Ulrich Burgstaller
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1 Sj 07/8, Mathe K Graf-Zeppelin-Gmnasium Seite Ebenen und Geraden Inhaltsverzeichnis Ebenen und Geraden... Die drei Ebenenformen... Eine Gerade... Schnitt Gerade und Ebene... Eine Gerade senkrecht zu E durch einen festen Punkt R... Eine Gerade senkrecht zu g und k durch einen festen Punkt Q...4 Eine Gerade senkrecht zu k (nur zu einer Geraden) durch einen festen Punkt T...4 Die drei Ebenenformen Aufgabe : Eine Ebene geht durch die Punkte P(/ / ), Q(/ -4 /) und R(/ 4/ 0) a) Bestimme die Parameterform, die Normalenform und die Koordinatenform. b) Bestimme die Schnittpunkte mit den Achsen, zeichne sie. Lösungsvorschlag zu a): 0 Parameterform: E: x r 6 s Zur Normalen: Berechne die Normale entweder mit dem Kreuzprodukt oder mit unserem tpischen Vorgehen: x x x 0 Sei n eine Normale, dann gilt 6 x6z0 und z0 z z z Das sieht zuerst aufwändig aus, nach viel Arbeit, ist es aber nicht. Wir müssen ja nicht alle Lösungen angeben, eine einzige genügt. Bei der zweiten kann man eine Lösung sofort angeben: = und =. Klar? Was ist der Trick? Setzt man diese Werte in die erste Gleichung ein, erhält man x840x Damit ist n eine Normale. Wenn man es geschickt anstellt (schaue, dass die ersten beiden Werte keinen gemeinsamen Teiler haben), erhält man auch leicht die Normale mit den kleinsten natürlichen Zahlen. Oft tritt bei der Lösung der zweiten Gleichung ein Bruch auf, man muss dann die Normale einfach mit dem Nenner multiplizieren. Normalenform: E: x 0 Hier können wir mit den Vektoren rechnen, wie wenn es Zahlen sind, also E: x 664 Damit ist die Koordinatenform E:xz 4 Ebenen und Geraden LOES.docx W.Seboldt Stand: 4.5.8

2 Sj 07/8, Mathe K Graf-Zeppelin-Gmnasium Seite MERKE: Alle Aufgaben zu Schnittpunkten, Abständen und Schnittwinkeln erledigen wir mit der Koordinatenform. Sie beschreibt die Punkte der Ebene durch eine einzige Gleichung, besser geht es nicht. Lösungsvorschlag zu b): Sei A x(x,0,0) der Schnittpunkt der Ebene mit der x-achse, dann ergibt sich mit der Koordinatenform: =4 oder x=7. Also ist (7,0,0). Ebenso folgt (7,,0) und (0,0,7) Eine Gerade Aufgabe : Die Gerade g geht durch die Punkte A(/ / -) und B(-/ 4/ ) Gib die Geradendarstellung an. Lösungsvorschlag zu ): 6 g: x t oder g: x t, wobei wir den Richtungsvektor durch ein Vielfaches 5 5 ersetzt haben, genauer: Wir haben den Vektor durch den größten gemeinsamen Teiler der drei Elemente dividiert. Schnitt Gerade und Ebene Aufgabe : Bestimme den Schnittpunkt der Geraden E:xz 4. g: x t und der Ebene 5 Lösungsvorschlag zu ): Sei S(x//z) ein Schnittpunkt. Dann liegt S auf E und auf g, d.h. xz 4 und es gibt ein t mit x t Wir haben also vier Gleichungen mit vier Unbekannten x,,z und t. Ersetzen wir z 5 in der ersten Gleichung, d.h. in der Koordinatengleichung, die Variablen x, und z mit Hilfe der drei weiteren Gleichungen, den drei Geradengleichungen, erhalten wir eine Gleichung mit einer Unbekann- t t 5t 4oder 64tt40t 4 oder 59t 4oder ten t, d.h. 9t9d.h. t. Die Koordinaten des Schnittpunktes erhalten wir, wenn wir den Wert t = in die Geradengleichung einsetzen:. Der Schnittpunkt der Ebene E und der Geraden g x z 5 ist also S(//) Eine Gerade senkrecht zu E durch einen festen Punkt R Aufgabe 4: Bestimme die Gerade k, die E senkrecht schneidet und durch den Punkt R(5/ 0 / -7) geht. Bestimme den Schnittpunkt der Geraden k mit der Ebene E. Ebenen und Geraden LOES.docx W.Seboldt Stand: 4.5.8

3 Sj 07/8, Mathe K Graf-Zeppelin-Gmnasium Seite Schneiden sich die beiden Geraden k und g? Wenn ja, gib den Schnittpunkt an. Lösungsvorschlag zu 4): Bem: Eine solche Gerade gibt es immer, egal ob R auf E oder nicht auf R liegt. Wenn der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zu E ist, dann ist die Gerade senkrecht zu E. Als Richtungsvektor der Geraden können wir also einfach eine Normale der Ebene wählen. Sie ist z.b. 5 n. Damit ist die gesuchte Gerade k:x 0 t 7 Den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene bestimmen wir wie oben: Sei S(x//z) ein Schnittpunkt. Dann liegt S auf E und auf k, d.h. xz 4 und es gibt ein t mit x 5 0 t Ersetzen wir die Variablen in der Ebenengleichung, erhalten wir: z 7 5t 0t 7t 4oder 04t9t44t 4 oder 47t4oder 7t8 8 d.h. t,0588. Die Koordinaten des Schnittpunktes erhalten wir, wenn wir diesen Wert in die 7 x 5 7, 8 Geradengleichung einsetzen: 0,8 7. Der Schnittpunkt der Ebene E und der z 7 4,88 Geraden g ist also S(7, /,8 /-4,88) MERKE: Wenn wir entscheiden sollen, ob ein Schnittpunkt existiert, nehmen wir an, dass es einen Schnittpunkt gibt. Erhalten wir dann einen Schnittpunkt, so gibt es natürlich einen, wenn wir einen Unsinn erhalten, gibt es keinen Schnittpunkt. 5 Sei also S(x / / z) ein Schnittpunkt der Geraden g: x r und k:x 0 s. 5 7 (Vorsicht: Die Variablen in den beiden Geraden müssen verschieden sein!) Dann gibt es Zahlen r und s 5 mit r 0 s. Dies sind drei Gleichungen mit zwei Ungekannten r und s. Aus den 5 7 ersten beiden Gleichungen können wir r und s berechnen. Ist dann mit diesen Zahlen auch die dritte Gleichung erfüllt, so gibt es einen Schnittpunkt, sonst keinen. Die beiden Gleichungen sind r 5 s rs Lösen wir die zweite Gleichung nach r auf und setzen sie in die erste ein (würden wir nach s auflösen, würden wir Brüche erhalten, das macht das Rechnen nur etwas anstrengender, ansonsten geht es gleich.). s 5 s oder 8s 0 oder s = 0. Damit ist =. Wir erhalten Die linke Seite der letzten Gleichung ist also 5 = 7 und die rechte Seite ebenfalls -7. Damit sind die beiden Variablen eine Lösung der drei Gleichungen. Ebenen und Geraden LOES.docx W.Seboldt Stand: 4.5.8

4 Sj 07/8, Mathe K Graf-Zeppelin-Gmnasium Seite 4 Den Schnittpunkt erhalten wir, wenn wir in der Geraden k den Parameter s durch Null ersetzen. Er ist also S(5/0/-7) Eine Gerade senkrecht zu g und k durch einen festen Punkt Q 5 Aufgabe 5: Bestimme eine Gerade i, die senkrecht zu g: x t und k:x 0 t 5 7 und durch R(/ / ) geht. Bestimme den Schnittpunkt der Geraden i mit der Ebene E:xz 4. Schneiden sich die beiden Geraden i und g? Wenn ja, gib den Schnittpunkt an. ist Lösungsvorschlag zu 5): Der Richtungsvektor von i muss senkrecht zu dem von g und k sein. x x Sei also u ein Richtungsvektor von i, so gilt x5z0 und z z 5 x xz0. Addieren wir die beiden Gleichungen, erhalten wir 47z 0. Eine Lösung dieser Gleichung ist =7 und = 4. Setzten wir diese Werte in eine der ursprünglichen Glei- z chungen ein, etwa in die erste, erhalten wir x5z70 oder x. Ein Richtungsvektor ist also u 7 oder u 4. Die gesuchte Gerade ist also i: x t Sei S(x//z) ein Schnittpunkt der Geraden i und der Ebene E, dann gilt: xz 4 und x t 4. Wir setzen wieder die letzten drei Gleichungen in die erste ein und erhalten 8 t 4t8t 4 oder 6t4t6t 4 oder 7 4 Da diese Gleichung nie richtig ist, war unsere Annahme falsch, d.h. es gibt keinen Schnittpunkt. Eine Gerade senkrecht zu k (nur zu einer Geraden) durch einen festen Punkt T 5 Aufgabe 6: Bestimme eine Gerade j, die senkrecht zu k:x 0 t ist und durch R(/- /-) 7 geht. Bestimme den Schnittpunkt der Geraden j mit der Ebene E:xz 4. Ebenen und Geraden LOES.docx W.Seboldt Stand: 4.5.8

5 Sj 07/8, Mathe K Graf-Zeppelin-Gmnasium Seite 5 Lösungsvorschlag zu 6): Der Richtungsvektor von j muss senkrecht zu dem von k sein. x x d.h für den Richtungsvektor u von j muss gelten xz0. Da diese Gleichung drei Unbekannten hat, können wir zwei davon beliebig wählen, allerdings so, dass nicht alle drei z z Null sind. Setzen wir etwa =0, so ist = und = eine Lösung, also ist u 0 ein möglicher Richtungsvektor von j. Da R auf der Geraden liegen soll, ist j: x t 0 eine Gerade mit den gewünschten Eigenschaften. Zu den möglichen Schnittpunkten der Gerade j mit der Ebene E: Sei S(x//z) ein Schnittpunkt, dann x gilt: xz 4 und t 0. Setzten wir wieder die letzten drei Gleichungen in die z t t 4 oder 4t64t 4 oder 4 4. erste ein, erhalten wir: Die letzte Gleichung ist immer richtig, was auch immer wir für t einsetzen. Also liegen alle Punkte der Geraden j auf der Ebene. Die Gerade j liegt also in der Ebene E. Ebenen und Geraden LOES.docx W.Seboldt Stand: 4.5.8

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