(Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.)

Transkript

1 K, Seite Pflichtteil (etwa min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen agegeen sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.) Aufgae : [P] Bestimmen Sie die erste Aleitung von f ( ) = 3 e + 7 Lösungsvorschlag : Wir enötigen die Produktregel die Faktoren sind 3 und e +. Zum Aleiten des zweiten Faktors enötigen wir noch die Kettenregel f '( ) = 3 e + 3 e 7 = 3 e + 7 Aufgae : [P] Berechnen Sie das Integral ( ) 8 d. ( + ) Lösungsvorschlag : Da der lineare Faktor + im Nenner steht und mit vier potenziert wird (damit ist das Integral kein ln!) müssen wir vor dem Integrieren umformen. Beim Integrieren müssen wir wie immer eachten, dass wir eim Aleiten eine 7 innere Aleitung haen, d.h. wir müssen den Faktor mit Beachtet, dass + = 3 ist. ( + ) kompensieren d = 8( + ) d = ( + ) = ( + ) = = = = + = ( ) ( ) ( ) e ), er- 5 Aufgae 3: [3P] Lösen Sie die Gleichung e = e Lösungsvorschlag 3: (Ai 7, 3) Wenn wir die Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren (hier mit halten wir ( ) e e 5 = (jeder Summand wird multipliziert!) Wir sustituieren nun t = e und erhalten t t 5 =. Diese quadratische Gleichung lösen wir mit der Mitternachtsformel ( ) ± ac ± 5 ± 6 ± 8 t/ = = = = = 5 / 3 a Resustitution: e = t = 5 liefert = ln(5) e = t = 3 hat keine Lösung, da e stets positiv ist. Merke: Wenn eine Unekannte im Nenner einer Gleichung auftritt, multiplizieren wir die Gleichung mit dem Hauptnenner. IMMER. Merke: Wenn wir eine Gleichung mit drei Summanden haen, die wir nicht addieren können, enötigen wir meistens die MNF. Wir ringen also alle drei

2 K, Seite Summanden auf eine Seite. Wenn die Variale in kompleerer Gestalt auftritt, dann versuchen wir eine Sustitution einer der Summanden muss die Variale dann im Quadrat enthalten. Aufgae : Gegeen sind E : = und g : = + t 5 3 a) [3P] Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S von E und g. ) [P] Wie kann man erkennen, dass eine Gerade h keinen Schnittpunkt mit der oigen Eene E hat ohne ihn zu erechnen. Nutzen Sie dies, um eine Gerade h anzugeen, die mit E keinen Schnittpunkt hat. Lösungsvorschlag : Zu a) Sei ( ) ein Schnittpunkt von E und g, dann erhalten wir folgende vier Gleichungen: Weil S auf E liegt gilt: +3 = und weil S auf g liegt, git es ein t mit = + und = und = 5 3 Setzen wir nun die drei letzten Gleichungen in die erste ein, erhalten wir eine Gleichung mit der Unekannten t.: (+)+3() (5 3) = oder = oder 6 = 6, d.h. =. Setzen wir diese t in die Gerade ein, erhalten wir den Ortsvektor des Schnittpunktes: S = + =. Damit ist (6 ) Zu ) Eine Gerade hat genau dann keinen Schnittpunkt mit E, wenn sie parallel zur Eene ist, d.h. wenn der Richtungsvektor senkrecht zur Normalen der Eene ist, und der Stützvektor nicht auf der Eene liegt. Wir enötigen also einen Richtungsvektor u = y, der senkrecht zu z n = 3 ist, d.h. für den gilt +3 =. Wir müssen nur eine von sehr vielen Lösungen angeen. Es dürfen aer nicht alle drei Varialen Null sein. Wir wählen etwa den Richtungsvektor u =. Da P( 5) nicht auf E liegt, der Schnittpunkt von E und g ist ja ein anderer Punkt, wissen wir, dass die Gerade g : = + t die gewünschte Bedingung erfüllt. 5

3 K, Seite 3 Merke: Wenn Du mit Eenen etwas machen sollst, ist meist die Koordinatenform die este Variante. Alle können hoffentlich die Koordinatenform mit Hilfe des Verfahrens Bestimme die Normale ausrechnen. Merke: Nehme an, dass es einen Schnittpunkt git, wenn Du einen oder alle Schnittpunkte estimmen sollst. Damit erhältst Du eine oder mehrere Gleichungen, deren Lösungen Du estimmen musst. Aufgae 5: [3P] Gegeen sind eine Eene E und ein Punkt A, der nicht auf E liegt. Beschreien Sie ein Verfahren, mit dem man denjenigen Punkt B auf E estimmt, der den kleinsten Astand von A hat. Lösungsvorschlag 5: Mit g ezeichnen wir die Gerade, die senkrecht auf E steht und durch A geht. Die Gerade steht genau dann senkrecht auf E, wenn gilt: Richtungsvektor von g = Normalenvektor von E. Sie geht dann durch A, wenn der Ortsvektor der Geraden = Ortsvektor von A ist. Schneiden wir die Gerade g mit der Eene E, erhalten wir den Punkt der Eene, der A am nächsten ist. Merke: Bei solchen Aufgaen muss nicht eschrieen werden, wie man rechnet, sondern wie man mathematisch vorgeht, welche Bausteine man verwendet. Wenn man schreit, man setzt die Gerade in die Eene ein, so ist dies falsch. Das ist logisch unsinnig. Wenn ein Punkt auf g und E ist, so erhält man zwei Gleichungen für den Punkt. Diese Gleichungen muss man lösen, daei kann man dann das Einsetzungsverfahren verwenden.

4 K, Seite Wahlteil (etwa min) Mit GTR und Formelsammlung nach Agae des Pflichtteils kann der GTR und die Formelsammlung verwendet werden. Aufgae 6: Gegeen sind der Punkt P(3 3), die Eene E, die durch die Punkte A( -), 3 B( -) und C( - ) estimmt ist., die Gerade g : = + t 5 a) [3P] Bestimmen Sie die Koordinatenform der Eene E (Zwischenergenis: E : = 8 ) ) [3P] Bestimmen Sie den Astand des Punkte P von g c) [3P] Bestimmen Sie diejenigen Punkte auf g, die von der Eene E den Astand 3 LE haen. Lösungsvorschlag 6: Zu a) Die Parameterform der Eene E ist E : = + r + s 5 u u + v = Sei n = v eine Normale, dann gilt w u v + 5w = Da wir nur eine Lösung enötigen, können wir in Gl. = und = wählen. Damit wird Gl zu 8 +5 = oder =. Damit ist die Normale n = und die Normalenform : ++ = ( ) = 8 Zu ) Schritt : Die Eene senkrecht zu g durch P ist die Eene mit dem Stützvektor OA und dem Normalenvektor = Richtungsvektor von g, d.h. 3 E : = oder E : + y = 3 + = 5 3 Schritt : Sei S(u,v,w) ein Schnittpunkt von g und E, so gilt: = 5 oder = oder =. Damit ist der Schnittvektor 3 S = + ( ) = 3 5 5

5 K, Seite 5 Schritt 3: Der Astand des Punktes P von g ist damit die Länge des Vektors SP = = = 66 8, 8 3 Zu c) Die Punkte der Geraden g : = + t sind die laufenden Punkte 5 (3+ + 5). Sei P ein solcher Punkt, der von der Eene den Astand 3 hat. Wir estimmen dazu die Hessesche Normalenform der Eene 3 8 E : =. Setzen wir den Punkt P in die HNF ein und nehmen + + davon den Betrag, erhalten wir den Astand: (3 + t) + ( + t) + ( 5) + 8 = d = t + + t + 8 Wir formen um = 3 oder t = 9 3 Fall : Aus = 9 folgt die erste Lösung = 5 Fall : Aus = 9 folgt die zweite Lösung = 3 Damit sind die eiden Punkte (8 9 5) und ( 9 5) 3 Aufgae 7: Gegeen ist die Eenenschar E : + 3 = a) [3P] Zeigen Sie, dass es eine Gerade h git, die in allen Eenen E liegt. Bestimmen Sie eine Gleichung von g. ) [3P] Untersuchen Sie, o es Eenen der Schar git, die zueinander orthogonal oder zueinander parallel liegen. c) [P] Bestimmen Sie die Menge aller Punkt, der 3-Eene, die in keiner Eene E liegen. Lösungsvorschlag 7: Zu a) Es git prinzipiell zwei Arten, wie man diese Aufgae lösen kann: Variante : Wenn sich alle Eenen in einer Geraden schneiden, müssen sich auch zwei in dieser Geraden schneiden. Damit kann man die Gerade estimmen, indem man etwa E : = und E : + 3 = schneidet und dann noch üerprüft, o alle Punkte dieser Schnittgeraden auch auf den ürigen Eenen liegen. Variante : Man schneidet E : = mit E : + 3 =. Die Schnittgerade darf nun nicht von ahängen. Ist dies der Fall schneiden sich alle Eenen in dieser Geraden. Zu Variante : Sei (! ") ein Schnittpunkt von E : = und E : + =. Dann e = und e + f g =. Die erste Gleichung liefert uns =. Setzen wir dies in die zwei ein, erhalten wir eine Gleichung mit Unekannten + f g = f g =. Wir können dann

6 K, Seite 6 eine Unekannte elieig wählen, etwa! = und dann die dritte erechnen r g = g = r Damit gilt für den Ortsvektor von S: e OS = f = r = + r = + r. Dies ist die Gleichung der g r r Schnittgeraden. Wir zeigen: Jeder Punkt dieser Schnittgeraden, d.h. ( ) liegt auf E : + 3 =. Wir setzen die drei Punktkoordinaten in E ein: ( ) + r r =. Damit liegt der Punkt auf der Eene E Zu Variante : # (! ") ein Schnittpunkt von E : = und E : + =. Dann gilt e = und e + f g =. Die erste 3 Gleichung liefert uns =. Setzen wir dies in die zwei ein, erhalten wir eine Gleichung mit Unekannten + f g = f g = f g =. Wir können nun eine Unekannte elieig wählen, etwa! = und dann die dritte erechnen r g = g = r Damit gilt für den Ortsvektor von S: e OS = f = r = + r = + r. g r r Da die Gerade unahängig von ist, ist sie für alle gleich. Damit schneiden sich alle Eenen in dieser Geraden. Zu ) Seien E : + 3 = und Ec : + c c3 = zwei Eenen, die orthogonal sind, dann müssen die Normalen der Eenen eenfalls orthogonal sind, also gilt c = oder c + c + c = c( + ) = = d.h. die Eene E ist senkrecht 5c zu E c. Damit git es außer für E zu jeder Eene eine zu ihr senkrechte Eene. Zu c) Die Punkte der -3-Eene = sind von der Gestalt ( ). Gefragt ist, für welche Punkte es eine Eene git, in der dieser Punkt liegt. Wir suchen also z.b.: eine Gleichung, die sowohl enthält also auch diesen Punkt (d.h. die drei Koordinaten des Punktes. Wenn man so weit gedacht hat, ist das weitere Vorgehen wohl eher naheliegend: Wenn ein solcher Punkt auf der Eene E liegt, dann gilt $ $ = oder $( ) =. Gesucht ist ein, so dass die Gleichung richtig ist. Also müssen wir nach auflösen! 5c

7 K, Seite 7 Wenn ist kann man nach auflösen, man dividiert einfach durch und erhält, dass der Punkt P mit auf der Eene E liegt. y z Wenn = ist, git es kein, so dass die Gleichung gilt. Damit sind genau die Punkte der Geraden h : = r auf keiner Eene. Tipp: Versucht Euch immer klar zu machen, was gesucht ist: Hier ein in Ahängigkeit eines Punktes. Und dann geht itte gezielt vor. In der Schule kann man die Ahängigkeit fast immer mit einer Gleichung estimmen. Wenn nicht, ist es normalerweise recht schwer.