Lösungsvorschlag Klassenarbeit Nr.6 K

Transkript

1 K..6 Pflichtteil (etwa 40min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.) Aufgabe : [P] Bestimmen Sie die Ableitung von g() cos() Lösungsvorschlag : sin( ) g '( ) sin( ) cos( ) cos( ) Anmerkungen: Vor dem Ableiten sollte man sich immer Folgendes klar machen: Fast alle Funktionen im Abi, die abgeleitet werden sollen, lassen sich aus anderen Funktionen zusammensetzen, sie sind Produkte, (Quotienten) oder Hintereinanderausführungen von einfacheren Funktionen, deren Ableitungen wir kennen. g f h ist Bei dieser Aufgabe müssen wir zuerst die Kettenregel anwenden, da eine Hintereinanderausführung. Die Funktion f () t t wird beim Berechnen der Funktionswerte nach h( ) c os ( ) angewandt. Wir leiten f also zuerst nach t ab und ersetzen nach dem Ableiten, d.h. in f '( t) zuerst t wieder durch t cos( ) und dann multiplizieren wird diesen Ausdruck mit der Ableitung der Funktion h() cos() d.h. mit h'( ) sin( ) VORSICHT: Die innere Ableitung in Klammern setzen! Aufgabe : [P] Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f( ) 4 Lösungsvorschlag : Die Stammfunktion ist F( ) d ln( 4) ln( 4) 4 Anmerkung : Das Ergebnis kann man nicht mehr vereinfachen! Es gibt nur die n Regeln ln( y) ln( ) ln( y) und ln( ) nln( ). Wer unbedingt will, kann natürlich (evtl. zur Übung) schreiben: ln( 4) ln( 4) oder ln( 4) ln 4 ln() ln 4 Anmerkung : LERNE ln oder etwas genauer: d ln c Ausführlicher: Wenn im Nenner n eines Bruches z steht, so schreibt man n beim Ableiten oder Integrieren diesen Bruch immer als z n (und wendet dabei etwa die Kettenregel an). Nur wenn der Nenner des Bruchs beim Integrieren nur eine lineare Funktion von ist, d.h. n a b, dann wissen wir, dass d ln( ) und

2 K..6 d ln( a b) (wegen innerer Ableitung!) a b a Anmerkung : Es gilt immer: a d a d a ln( ) Sinnvollerweise sollte man wissen, dass das Integral linear ist, d.h. af ( ) bg( ) d a f ( ) d b g( ) d Übrigens: ln( ) ' Dies wird im Abi auch öfters benötigt. Aufgabe : [P] Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung Lösungsvorschlag : Wir substituieren: quadratische Gleichung: a und natürlich mit der Kettenregel: ln( a b) ' a y e und erhalten dann y 4. e e 4 y oder y y y 4 0 mit den Lösungen y 4. Dies ist eine y/ / 4 Resubstitution: y e ln() 0 0 y 4 e Hier ergibt sich keine (reelle) Lösung, da die e-funktion nur positive Funktionswerte annimmt. Anmerkungen: Wenn wir eine Gleichung mit drei Summanden lösen müssen, die man nicht zusammenfassen kann, liegt im Abi (fast) immer eine quadratische Gleichung vor (im normalen Leben natürlich nicht!). Eine Gleichung, die in einem Nenner eine Unbekannte hat, muss man immer mit dem Hauptnenner multiplizieren, hier also mit e. Dann sieht man sofort, was man substituieren muss. Wichtig ist, dass ihr die Resubstitution nicht vergesst. Und dass ihr wisst, dass ln 0 (undlne ) ist. Außerdem gibt es keine negativen Funktionswerte der e- Funktion. Mengenschreibweise: Wenn ihr die Lösungsmenge darstellen wollt: Die leere Menge, d.h. es gibt keine Lösung ist 0 enthält das Element 0, d.h. 0 ist die einzige Lösung. L Die Menge Aufgabe 4: [4P] Gegeben sind die beiden Ebenen E : und 7 E : 7 s t Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind. Wie groß ist der Abstand der beiden Ebenen?

3 K..6 Die Ebene E ist parallel zu E und E hat von beiden Ebenen denselben Abstand. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E. Lösungsvorschlag 4: Die Normale der Ebene E ist n. Sie ist senkrecht zu den beiden Spannvektoren der Ebene E, denn n u 0 0 und 0 n v Damit ist sie auch eine Normale der Ebene E. 4 Der Abstand der beiden Ebenen ist der Abstand des Punktes P(7 7 5) von der Ebene E, deren Hessesche Normelenform E : 0 ist. Damit ist der Abstand zu P d. Die Ebene E hat denselben Normalenvektor wie die beiden anderen Ebenen. Wir benötigen also nur einen Punkt für den Stützvektor, der genau zwischen beiden Ebenen liegt. Wir wählen dafür den Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Stützpunkten der Ebenen. Der Punkt P(0 ) liegt auf der Ebene E. Der Punkt P(7 7 5) liegt 0 7 0,5 auf E. Damit ist der Punkt P durch 0P 0P PP 7 4 gegeben. 5,5 Die gesuchte Ebene ist also E : Anmerkung : Die Lösung erfordert ein tieferes Verständnis für die Normale einer Ebene und es wird verlangt, dass man mit dem Wissen geschickt umgeht, sich nicht sklavisch an bestimmte Algorithmen klammert. Selbstverständlich könnte man auch die Normale der zweiten Ebene bestimmen und dann nachweisen, dass beide linear abhängig sind. a Anmerkung : Die beiden zentralen Elemente der Ebene sind die Normale n b c und ein Stützvektor, ein Punkt auf der Ebene, oft als Normalenform a by cz d gegeben. Wenn ihr die Koordinatenform habt, solltet ihr sofort die Normale angeben können und auch einen Stützvektor bestimmen (z.b. zwei der drei Koordinaten Null setzen und die dritte ergibt sich dann mit der Koordinatengleichung) Mit der Normale

4 K..6 und einem Stützvektor könnt ihr auch d berechnen (Skalarprodukt aus Stützvektor und Normalen). Variante der Lösung: Den letzten Teil der Aufgabe könnte man auch anders bestimmen: Da der gerichtete Abstand des Ursprungs von der Ebene a by cz e 0 e gleich ist (den Ursprung einfach in die Hessesche Normalenform einsetzen) - Der gerichtete Abstand ist genau dann negativ, wenn der Punkt nicht in der a b c Halbebene liegt, in die die Normale zeigt. Der gerichtete Abstand des Ursprungs zur 7 Ebene E ist also d, der der Ebene E : y z 7 0 oder 5 E : y z 5 0 ist 5 d. Damit muss der gerichtete Abstand zur Ebene E d sein (Mittelwert der beiden d s). Also ist E : y z 0 Weitere Variante: Es geht auch mit den Normalen. Allerdings muss man sich dabei klarwerden, in welche Richtung man gehen muss. Da der gerichtete Abstand des Punktes P von E positiv ist, zeigt die Normale von E zu E. Wenn wir also von E zu E gehen, müssen wir die negative Normale wählen. Der Vektor v 4 4 = mal der normierte Normelenvektor zeigt von der Ebene zur Ebene. Damit ist der Abstandsvektor zur Ebene E v 4 4. Somit ist der Vektor P 0P v 7 7 ein Stützvektor der Ebene E. Die Koordinatendarstellung dieser Ebene ist also 9 E : y z 0 oder E : y z oder E : y z oder E : y z 0 Noch eine Variante: Die gesuchte Ebene sei E : y z k 0. Der Abstand des Punktes P(7 7 5) zu E ist d=, ebenso der Abstand des Punktes P(0 ). Damit gilt k 0 k oder 5 k k d.h. es ist entweder

5 K..6 5k k oder 5k k d.h. 5 oder 5 k. Da die erste Aussage immer falsch ist, ist k=. Und die letzte Variante: Wir kennen die Ebene, wenn wir einen Punkt kennen. Wenn wir diesen Punkt Q(,y,z) in die Koordinatengleichung von E : y z k 0 einsetzen, erhalten wir für y z immer k. Der Abstand dieses Punktes von E ist damit y z k und der Abstand zu E ist ebenfalls y z 5 k 5. Damit ist entweder k k 5 oder k k 5, d.h. 5 oder k 4. Also ist notwendigerweise k. Aufgabe 5: [P] Neun Spielkarten (vier Asse, drei Könige und zwei Damen) liegen verdeckt auf dem Tisch. Peter dreht zwei zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Es liegen genau zwei Asse aufgedeckt auf dem Tisch B: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch. C: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch. Lösungsvorschlag 5: Zu A: Wir arbeiten mit Bäumen, die sich an jeder Stelle zweimal verzweigen: Ass oder 4 kein Ass: P A Zu B: Wie eben: PB Zu C: Wieder benutzen wir Bäume, aber jetzt verzweigt er sich an jeder Stelle dreimal: Ass, Dame, König. Nun führen zwei Wege zum Ziel: Zuerst Dame, dann Ass bzw. 4 4 zuerst Ass, dann Dame. Also gilt PB Anmerkung: Wird bei einem Griff in die Urne die Kugel nicht zurückgelegt, arbeiten wir mit Bäumen und beachten, dass die Wahrscheinlichkeiten sich ändern, da ja nach jedem Zug weniger Kugeln in der Urne sind. Wird zurückgelegt und gibt es nur zwei Möglichkeiten, können wir mit der Binomialverteilung rechnen.

6 K..6 Wahlteil (etwa 40 min) Mit GTR und Formelsammlung nach Abgabe des Pflichtteils kann der GTR und die Formelsammlung verwendet werden. Aufgabe 6: Ein Pharmainstitut behauptet, ein neu entwickeltes Medikament wirke besser als das alte der Konkurrenzfirma, das seit Jahren eine Wirkung von 80% hat. Daraufhin wird das Medikament an 50 Personen verabreicht. a) [4P] In der ersten Testreihe zeigt das Mittel bei 45 der 50 Personen Wirkung. Ist damit die Behauptung des Pharmainstituts auf dem Signifikanzniveau von 5% bewiesen? Gib auch den Mittelwert und die Standardabweichung an. b) [P] Einige Zeit, nachdem das neue Medikament zugelassen ist, bekommt der angesehene Medizinprofessor Dr. Zweifel den Verdacht, das Pharmainstitut habe die Studie gefälscht und das Mittel wirke doch nicht so gut wie behauptet. Er lässt daraufhin einen Test an 50 Personen durchführen. Formuliere für Professor Zweifels Test die Nullhypothese (er will signifikant nachweisen, dass das Medikament eine Wirkung von weniger als 80% hat). Wie muss seine Entscheidungsregel lauten, wenn er seine Vermutung auf dem Signifikanzniveau von 5 % belegen will? c) [] Prof. Zweifel stellt fest, dass 0 Personen gesund wurden. Der Student, der mit der Überprüfung der Ergebnisse beauftragt wurde, meint, dass die relative Abweichung zum Erwartungswert nur 8,% beträgt. Die Abweichung der Firma aber 0% betragen habe. Er rechnet deshalb nicht, sondern sagt, man kann die Aussage der Firma nicht ablehnen. Was würden Sie dem Studenten antworten? Kann der Professor behaupten, die Firma hat betrogen? Begründe. Lösungsvorschlag 6: Zu a) Man wünscht zu zeigen, das p = Gesundungswahrscheinlichkeit des neuen > 0,8. Deshalb ist die Nullhypothese: H0: p 0,8 - das Gegenteil des Wunsches. Dies ist ein rechtsseitiger Signifikanztest. Wir führen also ein Bernoulli-Eperiment mit n = 50 und p 0,8 durch. Erwartungswert 500,8 40 (für die untere Grenze von p) Standardabweichung n p( p) 500,8 0,,8 Gesucht ist das kleinste k mit P( X k) P( X k ) 0,05 - dann ist die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau 5% abzulehnen, wenn die Anzahl der Treffer k ist. Die Abschätzung liefert 40,8 40 5,6 46 (zu groß, da einseitig) Der GTR liefert: k=45: P( X 45) P( X 44) 0,048 k=44: P( X 44) P( X 4) 0,0 Das gesuchte k ist also k=45. Der Annahmebereich der Nullhypothese ist [0/44], der Ablehnungsbereich [45/50] Damit ist das neue Medikament signifikant besser als das alte. Zu b) Prof. Zweifel will zeigen, dass die Gesundungswahrscheinlichkeit des neuen Medikaments < 0,8 ist. Die Nullhypothese ist jetzt also H0: p 0,8 und wir haben einen linksseitigen Signifikanztest. Wir führen ein Bernoulli-Eperiment mit n = 50 und p 0,8 durch.

7 K..6 Erwartungswert 500,8 0 Standardabweichung n p( p) 50 0,80, 4,90 Gesucht ist das größte k mit P( X k) 0,05 - dann ist die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau 5% abzulehnen, wenn die Anzahl der Treffer k ist. Die Abschätzung liefert 0 4,90 0 9,8 0, Der GTR liefert: k= PX ( ) 0,065 k=: PX ( ) 0,044 Das gesuchte k ist also k=. Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist [0/], der Annahmebereich [/50] Die Entscheidungsregel ist damit: Wenn höchstens Menschen gesund werden, dann ist die Nullhypothese abzulehnen und das neue Medikament ist signifikant nicht besser als das alte. Zu c) Der Student hat nicht recht: Wenn man die Kettenlänge eines Binomialtests vergrößert, d.h. n größer wählt, wird ein Test schärfer, d.h. die relative Abweichung vom Erwartungswert wird kleiner. Oben haben wir gesehen, dass bei n=50 die Standardabweichung,8 war, bei n=50, bei dreimal so vielen Proben, ist die Standardabweichung nicht,8 8, 49 sondern nur 4,90,8. Man kann nicht sagen, dass die Firma gelogen hat. Ein Test, der eine Aussage signifikant ablehnt, liefert keine Sicherheit dafür, dass die Nullhypothese falsch ist. Sie sagt nur, dass es unwahrscheinlich ist, genauer: dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ergebnis im Ablehnungsbereich auftritt, höchstens so groß ist, wie das Signifikanzniveau. Anmerkung : Bei einem zweiseitigen Signifikanztest ist der Ablehnungsbereich zweigeteilt, bei einem einseitigen nicht. Deshalb wählt man dann k, den Beginn des Ablehnungsbereiches so, dass ab diesem k gilt: P( X k) 0,05 - k ist also das kleinste k mit P( X k) 0,05. Der GTR macht uns das Leben dabei schwierig. Es gilt: P( X k) P( X k ) Also suchen wir das kleinste k mit P( X k ) 0, oder das kleinste k mit 0,95 0,05 P( X k ) Anmerkung : Es ist wichtig, sich klar zu machen, dass eine signifikante Ablehnung nicht heißt, dass die Nullhypothese falsch ist. Sie kann sehr wohl richtig sein! Und eine Annahme der Nullhypothese heißt nicht, dass sie richtig ist. In der Wahrscheinlichkeitstheorie kann man nicht absolute Aussagen sagen, sondern nur Aussagen mit Wahrscheinlichkeiten, dass etwas gilt. Man muss sich deshalb immer klarmachen, was die Aussage signifikant eigentlich bedeutet. Nochmals: Signifikat verworfen (umgangssprachlich oft falsch ) auf dem Signifikanzniveau 5% heißt: Wenn die Nullhypothese richtig ist, tritt nur in 5% der Fälle ein vergleichbares Testergebnis auf, ein Testergebnis, das so stark vom Mittelwert abweicht, Wenn man sagt, dass etwas falsch ist, dann ist dies nicht dasselbe, wie die Aussage es ist signifikant verworfen.!!

8 K..6 Aufgabe 7: Gegeben sind die Gerade g : 0 t und für jede reelle 0 Zahl a die Gerade h a : r 0 a a) [4P] Begründen Sie, dass g zu keiner der Geraden ha parallel ist. Für welche reelle Zahl a schneidet ha die Gerade g? b) [P] Alle Geraden ha liegen in einer Ebene H. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von H. Lösungsvorschlag 7: Zu a) Annahme: Die Gerade ha ist zu g parallel, dann gibt es ein k mit k a 0 Die erste Zeile liefert k, die zweite k. Das ist nicht möglich, also ist g zu keiner Geraden ha parallel. Sei a ein Parameter, für den es einen Schnittpunkt S( / / ) von ha mit g gibt. Dann gibt es ein t und ein r mit 0 t r Damit gelten drei 0 0 a Gleichungen mit zwei Unbekannten. t r t r tr G-G oder 5r Setzt man Gl., d.h. r in 5 ar ar die. Gleichung ein, erhält man a. Damit gibt es nur dann eine Lösung, wenn a ist. Die erste Gleichung liefert dann t r Der Schnittpunkt ist dann 0S Zu b) Die Ebene, die von h0 und h aufgespannt wird ist: H : r s. 0 0

9 K..6 Wir stellen die Ebene in der Koordinatenform dar: Sei n y eine Normale der z Ebene H, dann gilt y y 0 und y y z 0. = und z 0 z y= sind Lösung der ersten Gl, damit muss wegen Gleichung : z =0 sein. Also ist n. Die Koordinatendarstellung der Ebene H ist also 0 H : y 0 0 Wir zeigen nun, dass jeder Punkt der Geraden ha auf H liegt. Sei t 0 a ein solcher Punkt. Wir zeigen, dass die Koordinaten dieses Punktes eine Lösung der Koordinatengleichung von H sind. Setzen wir die Koordinaten in die linke Seite der y t t Also liegt der Koordinatengleichung ein, erhalten wir: Punkt auf H.